Страница 88, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Что такое период функции? Что называют периодической функцией?

Что такое период функции?

Число $T$, не равное нулю, называется периодом функции $y = f(x)$, если для любого значения $x$ из области определения функции выполняются два условия:

1. Числа $(x + T)$ и $(x - T)$ также принадлежат области определения.
2. Выполняется равенство: $f(x + T) = f(x)$.

Из определения следует, что если $T$ — период функции, то любое число вида $nT$, где $n$ — целое число, не равное нулю ($n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$), также является ее периодом. Например, если $f(x+T) = f(x)$, то и $f(x+2T) = f((x+T)+T) = f(x+T) = f(x)$.

Чаще всего под периодом функции понимают её основной (или наименьший положительный) период. Это самое маленькое положительное число $T$, для которого выполняется указанное выше равенство.

Например, для функции $y = \sin(x)$ периодами являются числа $2\pi, 4\pi, -2\pi$ и т.д. Однако её основным периодом является $2\pi$. Для функций $y = \tan(x)$ и $y = \cot(x)$ основной период равен $\pi$.

Ответ: Период функции $f(x)$ — это ненулевое число $T$, такое, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Наименьший положительный такой период называют основным периодом.

Что называют периодической функцией?

Функция $y = f(x)$ называется периодической, если существует такое не равное нулю число $T$, что для любого $x$ из её области определения $D(f)$ выполняется равенство: $f(x + T) = f(x)$.

Это число $T$ называется периодом функции. Важным условием является симметричность области определения относительно сдвига на период: если $x \in D(f)$, то и $(x+T) \in D(f)$, и $(x-T) \in D(f)$.

Графически это свойство означает, что график периодической функции состоит из бесконечно повторяющихся одинаковых фрагментов. Если построить часть графика на любом промежутке длиной в основной период $T$, например, на отрезке $[x_0, x_0 + T]$, то весь остальной график можно получить, сдвигая этот фрагмент вдоль оси абсцисс на $T, 2T, 3T, \dots$ вправо и влево.

Классическими примерами периодических функций являются тригонометрические функции:

• $y = \sin(x)$ и $y = \cos(x)$ с основным периодом $2\pi$.
• $y = \tan(x)$ и $y = \cot(x)$ с основным периодом $\pi$.

Другим примером может служить функция "дробная часть числа" $y = \{x\}$, её основной период равен $1$.

Ответ: Периодической называют функцию, значения которой повторяются через определённый ненулевой интервал (период). То есть, это функция $f(x)$, для которой существует такое число $T \neq 0$, что $f(x+T) = f(x)$ для всех $x$ из области определения.

2. Известно, что $T$ – период функции $y = f(x)$. Можно ли утверждать, что периодом функции является также число $2T$, $-2017T$, $0,5T$?

По определению, число $T \neq 0$ является периодом функции $y = f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняются два условия:
1. Если $x$ принадлежит области определения, то $x+T$ и $x-T$ также принадлежат области определения.
2. Выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Из этого определения следует, что если $T$ — период, то $f(x-T) = f(x)$. Это можно показать, подставив $x' = x-T$ в основное равенство: $f(x'+T) = f(x')$, что эквивалентно $f(x) = f(x-T)$.

Рассмотрим каждое число по отдельности.

2T

Чтобы проверить, является ли $2T$ периодом, нужно проверить выполнение равенства $f(x+2T) = f(x)$.
Мы можем представить $f(x+2T)$ как $f((x+T)+T)$.
Поскольку $T$ — период функции, то для любого аргумента $z$ выполняется $f(z+T) = f(z)$.
Возьмем в качестве $z$ выражение $x+T$. Тогда получим:
$f((x+T)+T) = f(x+T)$.
Но мы также знаем, что $f(x+T) = f(x)$, так как $T$ — период.
Объединяя эти равенства, получаем: $f(x+2T) = f(x+T) = f(x)$.
Таким образом, равенство $f(x+2T) = f(x)$ выполняется, и $2T$ является периодом функции.
В общем случае, если $T$ — период, то и любое число вида $kT$, где $k$ — целое ненулевое число, также будет периодом.

Ответ: да, можно.

–2017T

Это частный случай общего правила, упомянутого выше, где $k = -2017$. Так как $-2017$ является целым ненулевым числом, $-2017T$ также является периодом.
Докажем это формально. Нам нужно проверить, выполняется ли равенство $f(x-2017T)=f(x)$.
Мы знаем, что $f(x-T)=f(x)$. Применяя это свойство 2017 раз, получаем:
$f(x-2017T) = f((x-2016T)-T) = f(x-2016T) = \dots = f(x-T) = f(x)$.
Следовательно, $-2017T$ является периодом функции.

Ответ: да, можно.

0,5T

Утверждать, что $0,5T$ является периодом, в общем случае нельзя. Хотя это может быть правдой для некоторых функций (например, если наименьший положительный период на самом деле равен $0,5T$, а нам в условии дали число $T$, которое в два раза больше), это неверно для всех функций.
Чтобы доказать, что это утверждать нельзя, достаточно привести один контрпример.
Рассмотрим функцию $f(x) = \sin(\frac{2\pi}{T}x)$. Её наименьший положительный период действительно равен $T$.
Проверим, является ли $0,5T$ периодом для этой функции. Для этого подставим $x+0,5T$ в функцию:
$f(x+0,5T) = \sin\left(\frac{2\pi}{T}(x+0,5T)\right) = \sin\left(\frac{2\pi x}{T} + \frac{2\pi}{T} \cdot 0,5T\right) = \sin\left(\frac{2\pi x}{T} + \pi\right)$.
Используя формулу приведения $\sin(\alpha+\pi) = -\sin(\alpha)$, получаем:
$\sin\left(\frac{2\pi x}{T} + \pi\right) = -\sin\left(\frac{2\pi x}{T}\right) = -f(x)$.
Так как $f(x+0,5T) = -f(x)$, а не $f(x)$ (для всех $x$, где $f(x) \neq 0$), то $0,5T$ не является периодом данной функции.
Поскольку мы нашли функцию, для которой $T$ является периодом, а $0,5T$ — нет, мы не можем утверждать, что $0,5T$ всегда будет периодом.

Ответ: нет, нельзя.

Вычислите $sin\, t$ и $cos\, t$, если:

13.1. а) $t = 0$;

б) $t = \frac{\pi}{2}$;

в) $t = \frac{3\pi}{2}$;

г) $t = \pi$.

Для вычисления значений $\sin t$ и $\cos t$ для заданных углов $t$ мы будем использовать единичную тригонометрическую окружность. На этой окружности каждой точке с координатами $(x, y)$ соответствует угол $t$, при этом $x = \cos t$ и $y = \sin t$. Углы $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$ являются "опорными" и соответствуют точкам пересечения окружности с осями координат.

а) При $t = 0$.
Этому значению угла на единичной окружности соответствует точка, лежащая на положительной части оси абсцисс (оси Ox). Координаты этой точки — $(1, 0)$.
Следовательно, косинус этого угла равен абсциссе точки, а синус — ординате.
$\cos 0 = 1$
$\sin 0 = 0$
Ответ: $\sin 0 = 0, \cos 0 = 1$.

б) При $t = \frac{\pi}{2}$.
Этому значению угла на единичной окружности соответствует точка, лежащая на положительной части оси ординат (оси Oy). Координаты этой точки — $(0, 1)$.
Следовательно, косинус этого угла равен абсциссе точки, а синус — ординате.
$\cos \frac{\pi}{2} = 0$
$\sin \frac{\pi}{2} = 1$
Ответ: $\sin \frac{\pi}{2} = 1, \cos \frac{\pi}{2} = 0$.

в) При $t = \frac{3\pi}{2}$.
Этому значению угла на единичной окружности соответствует точка, лежащая на отрицательной части оси ординат (оси Oy). Координаты этой точки — $(0, -1)$.
Следовательно, косинус этого угла равен абсциссе точки, а синус — ординате.
$\cos \frac{3\pi}{2} = 0$
$\sin \frac{3\pi}{2} = -1$
Ответ: $\sin \frac{3\pi}{2} = -1, \cos \frac{3\pi}{2} = 0$.

г) При $t = \pi$.
Этому значению угла на единичной окружности соответствует точка, лежащая на отрицательной части оси абсцисс (оси Ox). Координаты этой точки — $(-1, 0)$.
Следовательно, косинус этого угла равен абсциссе точки, а синус — ординате.
$\cos \pi = -1$
$\sin \pi = 0$
Ответ: $\sin \pi = 0, \cos \pi = -1$.

13.2. а) $t = \frac{5\pi}{6}$;

б) $t = \frac{5\pi}{4}$;

в) $t = \frac{7\pi}{6}$;

г) $t = \frac{9\pi}{4}$.

а) $t = \frac{5\pi}{6}$

Чтобы определить, в какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу $t = \frac{5\pi}{6}$, сравним это значение с граничными значениями четвертей.
Границы четвертей в радианах:
I четверть: от $0$ до $\frac{\pi}{2}$
II четверть: от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$
III четверть: от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$
IV четверть: от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$
Для сравнения приведем границы второй четверти к общему знаменателю 6: $\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6}$ и $\pi = \frac{6\pi}{6}$.
Так как выполняется неравенство $\frac{3\pi}{6} < \frac{5\pi}{6} < \frac{6\pi}{6}$, то есть $\frac{\pi}{2} < t < \pi$, точка находится во второй четверти.
Ответ: II четверть.

б) $t = \frac{5\pi}{4}$

Чтобы определить четверть для $t = \frac{5\pi}{4}$, сравним это значение с границами четвертей.
Приведем границы третьей четверти к общему знаменателю 4: $\pi = \frac{4\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{6\pi}{4}$.
Так как выполняется неравенство $\frac{4\pi}{4} < \frac{5\pi}{4} < \frac{6\pi}{4}$, то есть $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$, точка находится в третьей четверти.
Ответ: III четверть.

в) $t = \frac{7\pi}{6}$

Чтобы определить четверть для $t = \frac{7\pi}{6}$, сравним это значение с границами четвертей.
Приведем границы третьей четверти к общему знаменателю 6: $\pi = \frac{6\pi}{6}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$.
Так как выполняется неравенство $\frac{6\pi}{6} < \frac{7\pi}{6} < \frac{9\pi}{6}$, то есть $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$, точка находится в третьей четверти.
Ответ: III четверть.

г) $t = \frac{9\pi}{4}$

Значение $t = \frac{9\pi}{4}$ больше $2\pi$, поскольку $2\pi = \frac{8\pi}{4}$. Это означает, что точка совершила полный оборот по окружности. Чтобы найти ее положение, вычтем полный оборот ($2\pi$), чтобы найти наименьший положительный угол, соответствующий той же точке.
$t' = \frac{9\pi}{4} - 2\pi = \frac{9\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.
Теперь определим четверть для угла $t' = \frac{\pi}{4}$.
Сравним с границами первой четверти: $0 < t' < \frac{\pi}{2}$.
Поскольку $0 < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$, точка находится в первой четверти.
Ответ: I четверть.

13.3. a) $t = \frac{13\pi}{6}$;

б) $t = -\frac{8\pi}{3}$;

В) $t = \frac{23\pi}{6}$;

Г) $t = -\frac{11\pi}{3}$.

Для определения, в какой четверти единичной окружности находится точка, соответствующая углу $t$, необходимо найти основной угол $t_0$, соответствующий $t$, в промежутке $[0, 2\pi)$. Это делается путем прибавления или вычитания целого числа полных оборотов ($2\pi k$, где $k$ - целое число). Формула: $t = t_0 + 2\pi k$.

• I четверть: $0 < t_0 < \frac{\pi}{2}$
• II четверть: $\frac{\pi}{2} < t_0 < \pi$
• III четверть: $\pi < t_0 < \frac{3\pi}{2}$
• IV четверть: $\frac{3\pi}{2} < t_0 < 2\pi$

а) $t = \frac{13\pi}{6}$

Представим угол $t$ в виде суммы целого числа оборотов и остатка. Для этого выделим из дроби $\frac{13}{6}$ целую часть:

$t = \frac{13\pi}{6} = \frac{12\pi + \pi}{6} = \frac{12\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}$.

Это означает, что угол $\frac{13\pi}{6}$ получается совершением одного полного оборота ($2\pi$) и дополнительного поворота на угол $\frac{\pi}{6}$. Таким образом, точка на единичной окружности будет той же, что и для угла $\frac{\pi}{6}$.

Поскольку $0 < \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}$, точка находится в I четверти.

Ответ: I четверть.

б) $t = -\frac{8\pi}{3}$

Чтобы найти соответствующий угол в промежутке $[0, 2\pi)$, будем прибавлять к данному отрицательному углу полные обороты ($2\pi$). Переведем $2\pi$ в дробь со знаменателем 3: $2\pi = \frac{6\pi}{3}$.

Поскольку $|-\frac{8\pi}{3}| = \frac{8\pi}{3} = 2\frac{2}{3}\pi$, нам нужно прибавить $4\pi$, чтобы получить положительный угол.

$t' = -\frac{8\pi}{3} + 4\pi = -\frac{8\pi}{3} + \frac{12\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

Точка, соответствующая углу $-\frac{8\pi}{3}$, совпадает с точкой для угла $\frac{4\pi}{3}$. Определим четверть для $\frac{4\pi}{3}$.

Сравним этот угол с границами четвертей: $\pi$ и $\frac{3\pi}{2}$.

$\pi = \frac{3\pi}{3}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{4.5\pi}{3}$.

Так как $\pi < \frac{4\pi}{3} < \frac{3\pi}{2}$, точка находится в III четверти.

Ответ: III четверть.

в) $t = \frac{23\pi}{6}$

Выделим из угла $t$ целое число полных оборотов. Ближайшее к 23 число, кратное 6, - это 24.

$t = \frac{23\pi}{6} = \frac{24\pi - \pi}{6} = \frac{24\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = 4\pi - \frac{\pi}{6} = 2 \cdot (2\pi) - \frac{\pi}{6}$.

Это означает, что угол $\frac{23\pi}{6}$ соответствует тому же положению, что и угол $-\frac{\pi}{6}$. Чтобы получить угол в стандартном промежутке $[0, 2\pi)$, прибавим $2\pi$ к $-\frac{\pi}{6}$:

$t_0 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$.

Определим четверть для угла $\frac{11\pi}{6}$. Сравним его с границами четвертей: $\frac{3\pi}{2}$ и $2\pi$.

$\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$ и $2\pi = \frac{12\pi}{6}$.

Так как $\frac{3\pi}{2} < \frac{11\pi}{6} < 2\pi$, точка находится в IV четверти.

Ответ: IV четверть.

г) $t = -\frac{11\pi}{3}$

Прибавим к отрицательному углу $t$ достаточное число полных оборотов ($2\pi = \frac{6\pi}{3}$), чтобы получить положительный угол в промежутке $[0, 2\pi)$.

Поскольку $|-\frac{11\pi}{3}| = \frac{11\pi}{3} \approx 3.67\pi$, нам нужно прибавить $4\pi$.

$t' = -\frac{11\pi}{3} + 4\pi = -\frac{11\pi}{3} + \frac{12\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

Точка, соответствующая углу $-\frac{11\pi}{3}$, совпадает с точкой для угла $\frac{\pi}{3}$.

Поскольку $0 < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$, точка находится в I четверти.

Ответ: I четверть.

Вычислите:

13.4. a) $\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \cos \frac{\pi}{3} + \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right);$

б) $\cos \frac{\pi}{6} \cdot \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{2};$

в) $\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) - \cos (-\pi) + \sin \left(-\frac{3\pi}{2}\right);$

г) $\sin \frac{\pi}{6} \cdot \sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin \frac{\pi}{3} \cdot \sin \frac{\pi}{2}.$

а)

Для вычисления значения выражения $ \sin(-\frac{\pi}{4}) + \cos\frac{\pi}{3} + \cos(-\frac{\pi}{6}) $ воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций, а также табличными значениями.

1. Функция синус является нечетной, то есть $ \sin(-x) = -\sin(x) $. Поэтому $ \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) $.

2. Функция косинус является четной, то есть $ \cos(-x) = \cos(x) $. Поэтому $ \cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) $.

3. Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$ -\sin(\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(\frac{\pi}{6}) $

4. Теперь используем табличные значения тригонометрических функций:

$ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $

$ \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

5. Подставляем эти значения и вычисляем:

$ -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2} $

Ответ: $ \frac{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2} $

б)

Для вычисления значения выражения $ \cos\frac{\pi}{6} \cdot \cos\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{3} \cdot \cos\frac{\pi}{2} $ найдем значение каждого множителя.

1. Используем табличные значения тригонометрических функций:

$ \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $

$ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $

2. Перемножим эти значения:

$ \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0 $

3. Так как один из множителей равен нулю, все произведение равно нулю.

Ответ: $ 0 $

в)

Для вычисления значения выражения $ \sin(-\frac{\pi}{2}) - \cos(-\pi) + \sin(-\frac{3\pi}{2}) $ воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций и их значениями в ключевых точках.

1. Применим свойства четности и нечетности:

$ \sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) $

$ \cos(-\pi) = \cos(\pi) $

$ \sin(-\frac{3\pi}{2}) = -\sin(\frac{3\pi}{2}) $

2. Выражение принимает вид:

$ -\sin(\frac{\pi}{2}) - \cos(\pi) - \sin(\frac{3\pi}{2}) $

3. Используем известные значения тригонометрических функций:

$ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $

$ \cos(\pi) = -1 $

$ \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1 $

4. Подставим значения в выражение и вычислим:

$ -(1) - (-1) - (-1) = -1 + 1 + 1 = 1 $

Ответ: $ 1 $

г)

Для вычисления значения выражения $ \sin\frac{\pi}{6} \cdot \sin\frac{\pi}{4} \cdot \sin\frac{\pi}{3} \cdot \sin\frac{\pi}{2} $ найдем значение каждого множителя.

1. Используем табличные значения тригонометрических функций:

$ \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $

$ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $

2. Перемножим эти значения:

$ \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{1 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 1}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{6}}{8} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{6}}{8} $

13.5. a) $ \sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right) + \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \sin\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{2} + \cos 0 \cdot \sin\frac{\pi}{2}; $

б) $ \cos\frac{5\pi}{3} + \cos\frac{4\pi}{3} + \sin\frac{3\pi}{2} \cdot \sin\frac{5\pi}{8} \cdot \cos\frac{3\pi}{2}. $

a) $sin(-\frac{3\pi}{4}) + cos(-\frac{\pi}{4}) + sin\frac{\pi}{4} \cdot cos\frac{\pi}{2} + cos0 \cdot sin\frac{\pi}{2}$

Для решения данного выражения вычислим значение каждого слагаемого, используя свойства тригонометрических функций и их табличные значения.

1. Применим свойства четности и нечетности тригонометрических функций: синус — функция нечетная ($sin(-x) = -sin(x)$), а косинус — функция четная ($cos(-x) = cos(x)$).

$sin(-\frac{3\pi}{4}) = -sin(\frac{3\pi}{4})$

$cos(-\frac{\pi}{4}) = cos(\frac{\pi}{4})$

2. Найдем значения тригонометрических функций от стандартных углов. Для $sin(\frac{3\pi}{4})$ используем формулу приведения:

$sin(\frac{3\pi}{4}) = sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, $sin(-\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Остальные значения являются табличными:

$cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$cos(0) = 1$

$sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

3. Подставим все найденные значения в исходное выражение:

$-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0 + 1 \cdot 1$

4. Выполним арифметические действия:

$(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0) + (1 \cdot 1) = 0 + 0 + 1 = 1$

Ответ: 1

б) $cos\frac{5\pi}{3} + cos\frac{4\pi}{3} + sin\frac{3\pi}{2} \cdot sin\frac{5\pi}{8} \cdot cos\frac{3\pi}{2}$

Рассмотрим выражение и вычислим значение каждой его части.

1. Обратим внимание на последнее слагаемое, которое представляет собой произведение трех множителей: $sin\frac{3\pi}{2} \cdot sin\frac{5\pi}{8} \cdot cos\frac{3\pi}{2}$.

Найдем значение $cos\frac{3\pi}{2}$. Это табличное значение:

$cos\frac{3\pi}{2} = 0$

Поскольку один из множителей равен нулю, все произведение равно нулю, и нам не нужно вычислять значения $sin\frac{3\pi}{2}$ и $sin\frac{5\pi}{8}$:

$sin\frac{3\pi}{2} \cdot sin\frac{5\pi}{8} \cdot 0 = 0$

2. Теперь выражение значительно упростилось:

$cos\frac{5\pi}{3} + cos\frac{4\pi}{3} + 0$

3. Найдем значения оставшихся косинусов, используя формулы приведения.

Для $cos\frac{5\pi}{3}$:

$cos\frac{5\pi}{3} = cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ (угол $\frac{5\pi}{3}$ находится в IV четверти, где косинус положителен).

Для $cos\frac{4\pi}{3}$:

$cos\frac{4\pi}{3} = cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ (угол $\frac{4\pi}{3}$ находится в III четверти, где косинус отрицателен).

4. Подставим вычисленные значения в упрощенное выражение:

$\frac{1}{2} + (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$

Ответ: 0

13.6. Найдите значение выражения:

а) $\cos 2t$, если $t = \frac{\pi}{2}$;

б) $\sin \frac{t}{2}$, если $t = -\frac{\pi}{3}$;

в) $\sin^2 t - \cos^2 t$, если $t = \frac{\pi}{4}$;

г) $\sin^2 t + \cos^2 t$, если $t = \frac{\pi}{6}$.

а) Чтобы найти значение выражения $\cos 2t$ при $t = \frac{\pi}{2}$, необходимо подставить данное значение $t$ в выражение:
$\cos(2t) = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = \cos(\pi)$
Значение косинуса от $\pi$ равно -1.
$\cos(\pi) = -1$
Ответ: -1

б) Чтобы найти значение выражения $\sin \frac{t}{2}$ при $t = -\frac{\pi}{3}$, подставим значение $t$ в выражение:
$\sin(\frac{t}{2}) = \sin(\frac{-\pi/3}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{6})$
Синус является нечетной функцией, что означает $\sin(-x) = -\sin(x)$. Следовательно:
$\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6})$
Табличное значение $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, поэтому:
$-\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$
Ответ: $-\frac{1}{2}$

в) Чтобы найти значение выражения $\sin^2 t - \cos^2 t$ при $t = \frac{\pi}{4}$, можно воспользоваться двумя способами.
Способ 1: Прямая подстановка.
$\sin^2(\frac{\pi}{4}) - \cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} - \frac{2}{4} = 0$
Способ 2: Использование тригонометрической формулы.
Известно, что $\cos(2t) = \cos^2 t - \sin^2 t$. Тогда исходное выражение равно $-\cos(2t)$.
$\sin^2 t - \cos^2 t = -(\cos^2 t - \sin^2 t) = -\cos(2t)$
Подставим $t = \frac{\pi}{4}$:
$-\cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{2}) = -0 = 0$
Ответ: 0

г) Выражение $\sin^2 t + \cos^2 t$ представляет собой основное тригонометрическое тождество, которое равно 1 для любого значения $t$.
$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$
Следовательно, при $t = \frac{\pi}{6}$ значение выражения также будет равно 1.
Для проверки можно выполнить подстановку:
$\sin^2(\frac{\pi}{6}) + \cos^2(\frac{\pi}{6}) = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$
Ответ: 1

Вычислите:

13.7. a) $ \sin^2 (1.5 + 32\pi) + \cos^2 1.5 + \cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right); $

б) $ \cos^2 \left(\frac{\pi}{8} + 4\pi\right) + \sin^2 \left(\frac{\pi}{8} - 44\pi\right). $

a) $ \sin^2(1,5 + 32\pi) + \cos^2 1,5 + \cos(-\frac{\pi}{4}) + \sin(-\frac{\pi}{6}) $

Для решения воспользуемся свойствами тригонометрических функций.

1. Периодичность синуса. Период функции синус равен $2\pi$. Это означает, что $ \sin(x + 2\pi k) = \sin(x) $ для любого целого $k$. В нашем случае $ 32\pi = 16 \cdot 2\pi $, поэтому $k=16$. Следовательно, $ \sin(1,5 + 32\pi) = \sin(1,5) $, а $ \sin^2(1,5 + 32\pi) = \sin^2(1,5) $.

Выражение принимает вид: $ \sin^2(1,5) + \cos^2(1,5) + \cos(-\frac{\pi}{4}) + \sin(-\frac{\pi}{6}) $.

2. Основное тригонометрическое тождество. Согласно тождеству, $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $. Применим его к первым двум слагаемым: $ \sin^2(1,5) + \cos^2(1,5) = 1 $.

3. Четность и нечетность функций. Косинус — четная функция, то есть $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $. Синус — нечетная функция, то есть $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $.

$ \cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} $

4. Итоговое вычисление. Подставим все найденные значения в выражение:

$ 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{1}{2}) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1+\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ \frac{1+\sqrt{2}}{2} $.

б) $ \cos^2(\frac{\pi}{8} + 4\pi) + \sin^2(\frac{\pi}{8} - 44\pi) $

Для решения воспользуемся периодичностью и основными тождествами тригонометрии.

1. Периодичность косинуса и синуса. Период обеих функций равен $2\pi$.

Для первого слагаемого: $ 4\pi = 2 \cdot 2\pi $. Таким образом, $ \cos(\frac{\pi}{8} + 4\pi) = \cos(\frac{\pi}{8}) $, и, соответственно, $ \cos^2(\frac{\pi}{8} + 4\pi) = \cos^2(\frac{\pi}{8}) $.

Для второго слагаемого: $ -44\pi = -22 \cdot 2\pi $. Таким образом, $ \sin(\frac{\pi}{8} - 44\pi) = \sin(\frac{\pi}{8}) $, и, соответственно, $ \sin^2(\frac{\pi}{8} - 44\pi) = \sin^2(\frac{\pi}{8}) $.

2. Упрощение выражения. После применения свойства периодичности исходное выражение принимает вид:

$ \cos^2(\frac{\pi}{8}) + \sin^2(\frac{\pi}{8}) $

3. Основное тригонометрическое тождество. Согласно тождеству $ \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 $, при $ \alpha = \frac{\pi}{8} $ получаем:

$ \cos^2(\frac{\pi}{8}) + \sin^2(\frac{\pi}{8}) = 1 $

Ответ: $1$.