Страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

9. Приведите пример функции, заданной графически, ограниченной снизу на некотором промежутке и не имеющей на этом промежутке наименьшего значения.

Для выполнения условий задачи нам нужна функция, значения которой подходят сколь угодно близко к некоторой нижней границе, но никогда её не достигают. Такое поведение можно продемонстрировать на примере непрерывной функции, заданной на открытом интервале.

Рассмотрим в качестве примера функцию $f(x) = x$ на промежутке $x \in (0, 1)$.

Графическое представление и ограниченность снизу

Графиком данной функции является отрезок прямой линии, соединяющий точки с координатами $(0, 0)$ и $(1, 1)$. Так как сам промежуток является открытым, его концы $x=0$ и $x=1$ не входят в область определения, поэтому точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$ на графике изображаются "выколотыми" (пустыми кружками).

Все точки этого графика лежат строго выше оси абсцисс (прямой $y=0$). Это означает, что для любого $x$ из промежутка $(0, 1)$ значение функции $f(x) = x$ положительно. Следовательно, функция ограничена снизу на этом промежутке, например, числом 0. То есть, для любого $x \in (0, 1)$ выполняется неравенство $f(x) \ge 0$.

Отсутствие наименьшего значения

Наименьшее значение функции на промежутке — это самое маленькое из всех её значений на этом промежутке. В нашем случае, множество значений функции $y=f(x)$ представляет собой открытый интервал $(0, 1)$. Точная нижняя грань этого множества значений равна 0. Однако, значение 0 не достигается ни в одной точке нашего промежутка, так как для этого требовалось бы, чтобы $x=0$, но $0 \notin (0, 1)$.

Можно доказать это от противного: предположим, что наименьшее значение существует и равно $y_{min}$ в некоторой точке $c \in (0, 1)$. Тогда $y_{min} = f(c) = c$. Но мы всегда можем взять точку $c' = c/2$. Так как $c \in (0, 1)$, то и $c' \in (0, 1)$. Значение функции в этой точке $f(c') = c/2$. Очевидно, что $f(c') = c/2 < c = y_{min}$, что противоречит предположению о том, что $y_{min}$ — наименьшее значение. Следовательно, наименьшего значения у функции на данном промежутке не существует.

Ответ: Примером такой функции является $f(x) = x$, заданная на открытом промежутке $(0, 1)$. Ее график — это отрезок прямой с выколотыми концами в точках $(0, 0)$ и $(1, 1)$. Функция ограничена снизу (например, числом 0), но не имеет на этом промежутке наименьшего значения, так как ее значения стремятся к 0, но никогда его не достигают.

10. Приведите пример функции, заданной графически, ограниченной сверху на некотором промежутке и достигающей на этом промежутке своего наибольшего значения.

Рассмотрим в качестве примера функцию, график которой представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз. В качестве конкретной аналитической записи такой функции возьмем $y = -x^2 + 2$ и рассмотрим ее на промежутке (отрезке) $[-2, 2]$.

Графиком данной функции является парабола, которая симметрична относительно оси ординат $Oy$, ее ветви направлены вниз, а вершина находится в точке с координатами $(0, 2)$.

Ограниченность сверху на промежутке.

На промежутке $[-2, 2]$ мы рассматриваем непрерывную дугу этой параболы. Из вида графика очевидно, что все его точки лежат не выше прямой $y=2$. Это означает, что функция ограничена сверху на данном промежутке. Формально, для любого $x$ из отрезка $[-2, 2]$ выполняется неравенство $x^2 \ge 0$, следовательно $-x^2 \le 0$, и $-x^2 + 2 \le 2$. Таким образом, $y(x) \le 2$ для всех $x \in [-2, 2]$.

Достижение наибольшего значения на промежутке.

Самая высокая точка графика на этом промежутке — это вершина параболы, точка $(0, 2)$. Ордината этой точки, равная 2, и есть наибольшее значение функции. Это значение достигается при $x=0$. Так как точка $x=0$ принадлежит рассматриваемому промежутку $[-2, 2]$, функция достигает на нем своего наибольшего значения.

Таким образом, мы привели пример функции, которая задана графически (парабола с ветвями вниз), ограничена сверху на некотором промежутке и достигает на этом промежутке своего наибольшего значения. Это соответствует теореме Вейерштрасса о том, что непрерывная на отрезке функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

Ответ: Примером такой функции является $y = -x^2 + 2$ на промежутке $[-2, 2]$. Функция ограничена сверху (например, числом 2) и достигает своего наибольшего значения, равного 2, в точке $x=0$.

11. Приведите пример функции, заданной графически, ограниченной сверху на некотором промежутке и не имеющей на этом промежутке наибольшего значения.

Для того чтобы привести пример функции, которая на некотором промежутке ограничена сверху, но не имеет на нем наибольшего значения, необходимо рассмотреть ситуацию, когда значения функции стремятся к некоторому числу (точная верхняя грань или супремум), но никогда его не достигают. Этого можно достичь, например, если рассмотреть функцию на открытом или полуоткрытом промежутке, либо если функция имеет разрыв в точке, где мог бы достигаться максимум.

Рассмотрим один из простейших примеров — линейную функцию на открытом промежутке.

Пример функции и промежутка

Возьмем функцию $f(x) = 2 - x$ на промежутке $I = (0, 2)$.

Обоснование

Проверим, что данная функция на указанном промежутке удовлетворяет обоим условиям задачи.

1. Ограниченность сверху.
   Для любого значения $x$ из промежутка $(0, 2)$ выполняется неравенство $0 < x < 2$.
   Умножим все части неравенства на $-1$, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные: $0 > -x > -2$.
   Прибавим ко всем частям число 2: $2 + 0 > 2 - x > 2 - 2$.
   Это равносильно $2 > f(x) > 0$.
   Из этого неравенства видно, что для любого $x \in (0, 2)$ значение функции $f(x)$ строго меньше 2. Следовательно, функция ограничена сверху на данном промежутке. В качестве верхней границы можно взять число $M=2$ (или любое число, большее двух).
2. Отсутствие наибольшего значения.
   Множеством значений функции $f(x) = 2 - x$ на промежутке $(0, 2)$ является промежуток $(0, 2)$. Точная верхняя грань (супремум) этого множества значений равна 2. Однако, это значение не достигается функцией ни в одной точке из промежутка $(0, 2)$.
   Чтобы значение функции было равно 2, необходимо выполнение равенства $f(x) = 2 - x = 2$, что возможно только при $x=0$. Но точка $x=0$ не принадлежит рассматриваемому промежутку $(0, 2)$.
   Таким образом, значения функции могут быть сколь угодно близки к 2 (например, $f(0.001) = 1.999$), но никогда не будут равны 2. Это означает, что у функции на данном промежутке нет наибольшего значения.

Графическое представление

Поскольку в условии требуется привести пример функции, заданной графически, опишем ее график.

График функции $y = 2 - x$ — это прямая линия.

На промежутке $x \in (0, 2)$ ее график представляет собой отрезок этой прямой, концы которого соответствуют концам промежутка:

• При $x \to 0$, $y \to 2$. Конец отрезка стремится к точке $(0, 2)$.
• При $x \to 2$, $y \to 0$. Конец отрезка стремится к точке $(2, 0)$.

Так как промежуток $(0, 2)$ открытый, то есть точки $x=0$ и $x=2$ в него не входят, то и соответствующие точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$ не принадлежат графику. На чертеже такие точки принято обозначать "выколотыми" (пустыми кружочками).

Визуально график представляет собой наклонный отрезок, который расположен строго ниже горизонтальной прямой $y=2$ и строго правее вертикальной оси $y$. Верхняя точка графика "выколота", и график к ней бесконечно приближается, но не достигает ее. Это и есть графическое представление функции, ограниченной сверху, но не имеющей наибольшего значения.

Ответ: Примером такой функции является $f(x) = 2 - x$ на промежутке $(0, 2)$. Ее график — это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$, с выколотыми концами. Эта функция на данном промежутке ограничена сверху числом 2, но не имеет наибольшего значения, так как ее значения лишь стремятся к 2, не достигая его.

12. Что такое точка максимума? Что такое точка минимума функции?

Что такое точка максимума?

Точка $x_0$ из области определения функции $f(x)$ называется точкой максимума (или точкой локального максимума) этой функции, если существует такая проколотая окрестность точки $x_0$, то есть интервал $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$, где $\delta > 0$, что для любого $x$ из этой окрестности, принадлежащего области определения функции и не равного $x_0$, выполняется строгое неравенство $f(x) < f(x_0)$.

Простыми словами, точка максимума — это такая точка на оси абсцисс, в которой значение функции больше, чем во всех соседних (бесконечно близких) точках. На графике функции точка максимума выглядит как "вершина холма".

Важно отметить, что это локальное свойство. Функция может иметь несколько точек максимума, и они не обязательно являются точками, где функция достигает своего наибольшего значения на всей области определения (которое называется глобальным максимумом).

Если функция дифференцируема, то необходимым условием для того, чтобы точка $x_0$ была точкой максимума, является равенство нулю ее производной в этой точке: $f'(x_0) = 0$. Достаточным условием является смена знака производной с «+» на «–» при переходе через точку $x_0$.

Ответ: Точка максимума $x_0$ — это такая точка из области определения функции $f(x)$, для которой существует окрестность, где значение функции в точке $x_0$ является наибольшим, то есть $f(x) \le f(x_0)$ для всех $x$ из этой окрестности.

Что такое точка минимума функции?

Точка $x_0$ из области определения функции $f(x)$ называется точкой минимума (или точкой локального минимума) этой функции, если существует такая проколотая окрестность точки $x_0$, то есть интервал $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$, где $\delta > 0$, что для любого $x$ из этой окрестности, принадлежащего области определения функции и не равного $x_0$, выполняется строгое неравенство $f(x) > f(x_0)$.

Иначе говоря, точка минимума — это такая точка на оси абсцисс, в которой значение функции меньше, чем во всех соседних точках. На графике функции точка минимума выглядит как "дно впадины".

13. Какую функцию называют чётной, нечётной?

чётной?

Функцию $y = f(x)$ называют чётной, если её область определения симметрична относительно нуля (то есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ тоже принадлежит) и для любого значения $x$ из области определения выполняется равенство:

$f(-x) = f(x)$

Важным свойством чётной функции является её график: он всегда симметричен относительно оси ординат ($Oy$). Это означает, что если точка $(x_0, y_0)$ лежит на графике, то и точка $(-x_0, y_0)$ также лежит на этом графике.

Примеры чётных функций:
- $y = x^2$, $y = x^4$ и любая другая степенная функция с чётным показателем, так как $(-x)^{2n} = x^{2n}$.
- $y = |x|$, так как $|-x| = |x|$.
- $y = \cos(x)$, так как по определению $\cos(-x) = \cos(x)$.
- $y = 5$ (любая константа) - это чётная функция, так как $f(-x) = 5$ и $f(x) = 5$.

Ответ: Чётной называют функцию, у которой область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

нечётной?

Функцию $y = f(x)$ называют нечётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого значения $x$ из области определения выполняется равенство:

$f(-x) = -f(x)$

График нечётной функции всегда симметричен относительно начала координат (точки $(0, 0)$). Это означает, что если точка $(x_0, y_0)$ принадлежит графику, то и симметричная ей относительно начала координат точка $(-x_0, -y_0)$ также ему принадлежит.

Примеры нечётных функций:
- $y = x$, $y = x^3$ и любая другая степенная функция с нечётным показателем, так как $(-x)^{2n+1} = -x^{2n+1}$.
- $y = \sin(x)$, $y = \tan(x)$, $y = \cot(x)$, так как $\sin(-x) = -\sin(x)$, $\tan(-x) = -\tan(x)$ и т.д.
- $y = \frac{1}{x}$, так как $f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x)$.

Большинство функций не являются ни чётными, ни нечётными. Их называют функциями общего вида. Например, функция $y = x+1$. Для неё $f(-x) = -x+1$, что не равно ни $f(x) = x+1$, ни $-f(x) = -x-1$.

Ответ: Нечётной называют функцию, у которой область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

14. В каком случае числовое множество называют симметричным?

Числовое множество $X$ называют симметричным (относительно нуля), если для любого числа $x$, принадлежащего этому множеству, противоположное ему число $-x$ также принадлежит этому множеству.

Формально, это условие можно записать с помощью квантора всеобщности:
Множество $X \subset \mathbb{R}$ является симметричным, если выполняется условие: $\forall x \in X \implies -x \in X$.

Геометрически на числовой прямой это означает, что множество симметрично относительно точки $0$ (начала координат). Если точка принадлежит множеству, то и точка, находящаяся на том же расстоянии от нуля, но с противоположной стороны, тоже ему принадлежит.

Примеры симметричных множеств:
- Интервал $(-a, a)$ или отрезок $[-a, a]$ для любого положительного числа $a$. Например, множество $(-3, 3)$. Если мы возьмем любое число из этого интервала, например, $x = 2.5$, то противоположное ему число $-x = -2.5$ также будет находиться в этом интервале.
- Вся числовая прямая $\mathbb{R}$.
- Множество целых чисел $\mathbb{Z}$.
- Дискретное множество, состоящее из пар противоположных чисел, например, $\{-5, -2, 2, 5\}$. Ноль также может входить в такое множество: $\{-10, -1, 0, 1, 10\}$.
- Объединение симметричных промежутков, например, $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Примеры несимметричных множеств:
- Промежуток $[0, 5)$. Число $4$ принадлежит этому множеству, а $-4$ — нет.
- Множество натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$.
- Множество $\{-2, -1, 1\}$. Число $-2$ входит в множество, а $2$ — нет.

Понятие симметричного множества является фундаментальным при изучении свойств функций, в частности, при определении четных и нечетных функций. Область определения таких функций обязательно должна быть симметричным множеством, так как для их определения требуется сравнивать значения функции в точках $x$ и $-x$.

Ответ: Числовое множество называют симметричным, если вместе с каждым своим элементом $x$ оно содержит и противоположный ему элемент $-x$.

15. Как, глядя на график некоторой функции, установить, является ли она чётной или нечётной?

Чтобы по графику функции определить, является ли она чётной или нечётной, нужно проверить его на наличие определённых видов симметрии. Важным предварительным условием является симметричность области определения функции относительно точки $x=0$.

Чётная функция

По определению, функция $f(x)$ является чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Геометрический смысл этого свойства заключается в том, что график чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY). Это значит, что если взять любую точку $(x_0, y_0)$ на графике, то точка $(-x_0, y_0)$ также будет принадлежать этому графику. Визуально, левая часть графика является зеркальным отражением правой части относительно оси OY.

Ответ: Функция является чётной, если её график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Нечётная функция

По определению, функция $f(x)$ является нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Геометрический смысл этого свойства заключается в том, что график нечётной функции симметричен относительно начала координат (точки O(0,0)). Это значит, что если взять любую точку $(x_0, y_0)$ на графике, то точка $(-x_0, -y_0)$ также будет принадлежать этому графику. Такую симметрию также называют центральной. Визуально это можно проверить, повернув график на 180° вокруг начала координат — он должен совпасть сам с собой.

Ответ: Функция является нечётной, если её график симметричен относительно начала координат.

Если график функции не обладает ни одним из указанных видов симметрии, то функция не является ни чётной, ни нечётной. Такую функцию называют функцией общего вида.

12.7. Имеется ли на числовой окружности точка, абсцисса или ордината которой равна:

а) $0,7$;

б) $\frac{\pi}{3}$;

в) $\frac{\pi}{4}$;

г) $\sqrt{17} - \sqrt{26}$?

Точка с координатами $(x; y)$ принадлежит числовой (единичной) окружности, если ее координаты удовлетворяют уравнению $x^2 + y^2 = 1$. Из этого уравнения следует, что для любой точки на окружности ее абсцисса $x$ и ордината $y$ должны удовлетворять условиям: $-1 \le x \le 1$ и $-1 \le y \le 1$. Таким образом, задача сводится к проверке, принадлежит ли заданное число отрезку $[-1; 1]$.

а) 0,7;

Проверим, может ли абсцисса или ордината быть равной 0,7. Для этого необходимо проверить, выполняется ли неравенство $-1 \le 0,7 \le 1$. Данное двойное неравенство является верным, так как число 0,7 находится между -1 и 1. Следовательно, на числовой окружности существует точка, у которой абсцисса или ордината равна 0,7. Например, если абсцисса $x = 0,7$, то ордината $y$ находится из уравнения $y^2 = 1 - (0,7)^2 = 1 - 0,49 = 0,51$, откуда $y = \pm\sqrt{0,51}$.

Ответ: да, имеется.

б) $\frac{\pi}{3}$;

Проверим, может ли абсцисса или ордината быть равной $\frac{\pi}{3}$. Для этого оценим значение этого числа. Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14159$, получаем: $\frac{\pi}{3} \approx \frac{3,14159}{3} \approx 1,047$. Так как $1,047 > 1$, число $\frac{\pi}{3}$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Следовательно, на числовой окружности не может существовать точка с абсциссой или ординатой, равной $\frac{\pi}{3}$.

Ответ: нет, не имеется.

в) $\frac{\pi}{4}$;

Проверим, может ли абсцисса или ордината быть равной $\frac{\pi}{4}$. Оценим значение этого числа. Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14159$, получаем: $\frac{\pi}{4} \approx \frac{3,14159}{4} \approx 0,785$. Проверяем неравенство $-1 \le 0,785 \le 1$. Неравенство является верным, так как число 0,785 находится между -1 и 1. Следовательно, на числовой окружности существует точка с такой абсциссой или ординатой.

Ответ: да, имеется.

г) $\sqrt{17} - \sqrt{26}$?

Проверим, может ли абсцисса или ордината быть равной $\sqrt{17} - \sqrt{26}$. Для этого оценим значение данного выражения и проверим, принадлежит ли оно отрезку $[-1; 1]$. Поскольку $17 < 26$, то $\sqrt{17} < \sqrt{26}$, и, следовательно, разность $\sqrt{17} - \sqrt{26}$ является отрицательным числом. Теперь сравним это число с -1. Проверим неравенство: $\sqrt{17} - \sqrt{26} \ge -1$. Перепишем его в виде $\sqrt{17} + 1 \ge \sqrt{26}$. Так как обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства: $(\sqrt{17} + 1)^2 \ge (\sqrt{26})^2$ $17 + 2\sqrt{17} + 1 \ge 26$ $18 + 2\sqrt{17} \ge 26$ $2\sqrt{17} \ge 8$ $\sqrt{17} \ge 4$ Возведем обе части в квадрат еще раз (обе части положительны): $17 \ge 16$. Это неравенство является верным. Значит, и исходное неравенство $\sqrt{17} - \sqrt{26} \ge -1$ тоже верно. Таким образом, мы показали, что $-1 \le \sqrt{17} - \sqrt{26} < 0$, то есть это число принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Следовательно, на числовой окружности существует точка с такой абсциссой или ординатой.

Ответ: да, имеется.

Укажите знаки абсциссы и ординаты заданной точки числовой окружности:

12.8. а) $E(2)$;

б) $K(-4)$;

в) $P(3,2)$;

г) $M(-4,8)$.

Для определения знаков абсциссы ($x$) и ординаты ($y$) точки на числовой окружности, заданной числом $t$, необходимо определить, в какой координатной четверти находится эта точка. Координаты точки, соответствующей числу $t$, равны $x = \cos(t)$ и $y = \sin(t)$. Для определения четверти будем использовать приближенное значение числа $\pi \approx 3,14$.
Границы четвертей на числовой окружности:
I четверть: $t \in (0; \pi/2)$, то есть $t \in (0; \approx 1,57)$. Знаки координат: $x > 0, y > 0$.
II четверть: $t \in (\pi/2; \pi)$, то есть $t \in (\approx 1,57; \approx 3,14)$. Знаки координат: $x < 0, y > 0$.
III четверть: $t \in (\pi; 3\pi/2)$, то есть $t \in (\approx 3,14; \approx 4,71)$. Знаки координат: $x < 0, y < 0$.
IV четверть: $t \in (3\pi/2; 2\pi)$, то есть $t \in (\approx 4,71; \approx 6,28)$. Знаки координат: $x > 0, y < 0$.

а) E(2)
Задано число $t = 2$. Сравниваем это значение с границами четвертей: $1,57 < 2 < 3,14$. Это соответствует неравенству $\pi/2 < 2 < \pi$. Таким образом, точка E(2) расположена во II координатной четверти. Во II четверти абсцисса ($x$) отрицательна, а ордината ($y$) положительна.
Ответ: абсцисса - отрицательная, ордината - положительная.

б) K(-4)
Задано число $t = -4$. Для удобства определения четверти можно найти соответствующее положительное значение угла, прибавив полный оборот $2\pi$. $t' = -4 + 2\pi \approx -4 + 2 \cdot 3,14 = -4 + 6,28 = 2,28$. Сравниваем значение $t' = 2,28$ с границами четвертей: $1,57 < 2,28 < 3,14$. Это соответствует неравенству $\pi/2 < 2,28 < \pi$. Таким образом, точка K(-4) расположена во II координатной четверти. Во II четверти абсцисса ($x$) отрицательна, а ордината ($y$) положительна.
Ответ: абсцисса - отрицательная, ордината - положительная.

в) P(3,2)
Предполагая, что запятая в записи (3,2) является десятичным разделителем, имеем $t = 3,2$. Сравниваем это значение с границами четвертей: $3,14 < 3,2 < 4,71$. Это соответствует неравенству $\pi < 3,2 < 3\pi/2$. Таким образом, точка P(3,2) расположена в III координатной четверти. В III четверти и абсцисса ($x$), и ордината ($y$) отрицательны.
Ответ: абсцисса - отрицательная, ордината - отрицательная.

г) M(-4,8)
Предполагая, что запятая в записи (-4,8) является десятичным разделителем, имеем $t = -4,8$. Найдем соответствующее положительное значение, прибавив $2\pi$. $t' = -4,8 + 2\pi \approx -4,8 + 2 \cdot 3,14 = -4,8 + 6,28 = 1,48$. Сравниваем значение $t' = 1,48$ с границами четвертей: $0 < 1,48 < 1,57$. Это соответствует неравенству $0 < 1,48 < \pi/2$. Таким образом, точка M(-4,8) расположена в I координатной четверти. В I четверти и абсцисса ($x$), и ордината ($y$) положительны.
Ответ: абсцисса - положительная, ордината - положительная.

12.9. a) $E(12);$

б) $K(-15);$

в) $P(49);$

г) $M(100).$

а) Запись $E(12)$ означает, что точка E на координатной прямой имеет координату 12. Расстояние от точки до начала отсчета (точки с координатой 0) равно модулю (абсолютной величине) ее координаты. Модуль положительного числа равен самому числу.
$|12| = 12$.
Таким образом, расстояние от начала отсчета до точки E равно 12.
Ответ: 12.

б) Запись $K(-15)$ означает, что точка K на координатной прямой имеет координату -15. Расстояние от точки до начала отсчета равно модулю ее координаты. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.
$|-15| = 15$.
Таким образом, расстояние от начала отсчета до точки K равно 15.
Ответ: 15.

в) Запись $P(49)$ означает, что точка P на координатной прямой имеет координату 49. Расстояние от точки до начала отсчета равно модулю ее координаты.
$|49| = 49$.
Таким образом, расстояние от начала отсчета до точки P равно 49.
Ответ: 49.

г) Запись $M(100)$ означает, что точка M на координатной прямой имеет координату 100. Расстояние от точки до начала отсчета равно модулю ее координаты.
$|100| = 100$.
Таким образом, расстояние от начала отсчета до точки M равно 100.
Ответ: 100.

•12.10. Что больше, абсцисса или ордината заданной точки числовой окружности:

а) $E(1)$;

б) $K(-2.5)$;

в) $P(7)$;

г) $M(-4)?$

Для решения задачи необходимо сравнить абсциссу $x = \cos(t)$ и ординату $y = \sin(t)$ точки, заданной на числовой окружности. Сравнение можно провести, определив, в какой части окружности находится точка относительно прямой $y=x$, которая соответствует углам $t = \pi/4 + k\pi$ (где $k$ - целое число).

Будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

а) E(1)
Необходимо сравнить абсциссу $x = \cos(1)$ и ординату $y = \sin(1)$.
Число $t=1$ (радиан) находится в интервале $0 < 1 < \pi/2 \approx 1,57$. Следовательно, точка E(1) лежит в первой координатной четверти, где и синус, и косинус положительны.
Сравним $t=1$ со значением $\pi/4 \approx 3,14 / 4 \approx 0,785$.
Поскольку $1 > \pi/4$, точка E(1) на числовой окружности находится выше прямой $y=x$. Это означает, что ее ордината больше абсциссы.
Таким образом, $\sin(1) > \cos(1)$.
Ответ: ордината больше абсциссы.

б) K(-2,5)
Сравниваем абсциссу $x = \cos(-2,5)$ и ординату $y = \sin(-2,5)$.
Определим положение точки на окружности. Используем приближения: $-\pi \approx -3,14$ и $-\pi/2 \approx -1,57$.
Так как $-\pi < -2,5 < -\pi/2$, точка K(-2,5) находится в третьей координатной четверти. В этой четверти и синус, и косинус отрицательны.
Сравним положение точки относительно прямой $y=x$. В третьей четверти эта прямая соответствует углу $t = 5\pi/4$ или $t = -3\pi/4 \approx -2,356$.
Поскольку $-2,5 < -3\pi/4$, точка K(-2,5) лежит на дуге между $-\pi$ и $-3\pi/4$. На этой дуге значение синуса (ордината) больше значения косинуса (абсцисса), так как синус "ближе" к нулю.
Следовательно, $\sin(-2,5) > \cos(-2,5)$.
Ответ: ордината больше абсциссы.

в) P(7)
Сравниваем абсциссу $x = \cos(7)$ и ординату $y = \sin(7)$.
Полный оборот по числовой окружности составляет $2\pi \approx 2 \cdot 3,14 = 6,28$.
Найдем положение точки, вычтя полный оборот: $t = 7 - 2\pi \approx 7 - 6,28 = 0,72$.
Этот угол находится в первой четверти ($0 < 0,72 < \pi/2 \approx 1,57$), где синус и косинус положительны.
Сравним $t \approx 0,72$ со значением $\pi/4 \approx 0,785$.
Поскольку $0,72 < \pi/4$, точка P(7) на числовой окружности находится ниже прямой $y=x$. Это означает, что ее абсцисса больше ординаты.
Таким образом, $\cos(7) > \sin(7)$.
Ответ: абсцисса больше ординаты.

г) M(-4)
Сравниваем абсциссу $x = \cos(-4)$ и ординату $y = \sin(-4)$.
Определим положение точки на окружности. Используем приближения: $-\pi \approx -3,14$ и $-3\pi/2 \approx -4,71$.
Так как $-3\pi/2 < -4 < -\pi$, точка M(-4) находится во второй координатной четверти.
Во второй четверти абсцисса (косинус) отрицательна, а ордината (синус) положительна. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа.
Следовательно, $\sin(-4) > \cos(-4)$.
Ответ: ордината больше абсциссы.

12.11. Что больше, модуль абсциссы или модуль ординаты заданной точки числовой окружности:

а) $F(2,8)$;

б) $L(-4,2)$;

в) $K(-0,5)$;

г) $M(4,5)$?

Чтобы определить, что больше, модуль абсциссы или модуль ординаты, нужно сравнить $|\cos(t)|$ и $|\sin(t)|$ для заданного числа $t$. Точка на числовой окружности, соответствующая числу $t$, имеет координаты $(x; y) = (\cos(t); \sin(t))$.

Сравнение модулей зависит от того, в какой части числовой окружности находится точка. Если точка расположена ближе к оси абсцисс (Ox), то $|\cos(t)| > |\sin(t)|$. Если точка ближе к оси ординат (Oy), то $|\sin(t)| > |\cos(t)|$. Границами между этими областями являются прямые $y=x$ и $y=-x$, которым соответствуют точки $t = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, где $k$ — любое целое число.

Для вычислений воспользуемся приближенными значениями: $\pi \approx 3,14$; $\frac{\pi}{4} \approx 0,785$; $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$; $\frac{3\pi}{4} \approx 2,356$; $\pi \approx 3,14$; $\frac{5\pi}{4} \approx 3,927$; $\frac{3\pi}{2} \approx 4,712$.

а) F(2,8)

Для точки $F$ имеем $t=2,8$. Определим ее положение на числовой окружности. Сравним $t=2,8$ с граничными значениями. Так как $\frac{3\pi}{4} \approx 2,356$ и $\pi \approx 3,14$, то выполняется неравенство $\frac{3\pi}{4} < 2,8 < \pi$. Это означает, что точка $F(2,8)$ находится во второй четверти, в области, где точки ближе к оси абсцисс. Следовательно, модуль абсциссы больше модуля ординаты: $|\cos(2,8)| > |\sin(2,8)|$.
Ответ: модуль абсциссы больше модуля ординаты.

б) L(-4,2)

Для точки $L$ имеем $t=-4,2$. Определим ее положение. Двигаясь в отрицательном направлении по окружности, сравним $t=-4,2$ с граничными значениями. Мы знаем, что $-\frac{5\pi}{4} \approx -3,927$ и $-\frac{3\pi}{2} \approx -4,712$. Выполняется неравенство $-\frac{3\pi}{2} < -4,2 < -\frac{5\pi}{4}$. Это означает, что точка $L(-4,2)$ находится во второй четверти, но в области, где точки ближе к оси ординат. Следовательно, модуль ординаты больше модуля абсциссы: $|\sin(-4,2)| > |\cos(-4,2)|$.
Ответ: модуль ординаты больше модуля абсциссы.

в) K(-0,5)

Для точки $K$ имеем $t=-0,5$. Определим ее положение. Мы знаем, что $-\frac{\pi}{4} \approx -0,785$. Выполняется неравенство $-\frac{\pi}{4} < -0,5 < 0$. Это означает, что точка $K(-0,5)$ находится в четвертой четверти, в области, где точки ближе к оси абсцисс. Следовательно, модуль абсциссы больше модуля ординаты: $|\cos(-0,5)| > |\sin(-0,5)|$.
Ответ: модуль абсциссы больше модуля ординаты.

г) M(4,5)

Для точки $M$ имеем $t=4,5$. Определим ее положение. Мы знаем, что $\frac{5\pi}{4} \approx 3,927$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4,712$. Выполняется неравенство $\frac{5\pi}{4} < 4,5 < \frac{3\pi}{2}$. Это означает, что точка $M(4,5)$ находится в третьей четверти, в области, где точки ближе к оси ординат. Следовательно, модуль ординаты больше модуля абсциссы: $|\sin(4,5)| > |\cos(4,5)|$.
Ответ: модуль ординаты больше модуля абсциссы.

12.12. Как связаны между собой абсциссы точек числовой окружности:

а) $t$ и $-t$;

б) $t$ и $t + \pi$;

в) $t$ и $\pi - t$;

г) $t$ и $2\pi - t$?

Абсцисса точки числовой окружности, соответствующей числу (углу) $t$, равна косинусу этого числа, то есть $x = \cos(t)$. Мы будем сравнивать значения косинусов для каждой пары чисел.

а) t и -t

Абсцисса точки $t$ равна $\cos(t)$. Абсцисса точки $-t$ равна $\cos(-t)$. Функция косинус является четной, что означает, что для любого $t$ выполняется равенство $\cos(-t) = \cos(t)$. Следовательно, абсциссы точек $t$ и $-t$ равны. Геометрически точки $t$ и $-t$ на числовой окружности симметричны относительно оси абсцисс (оси Ox), поэтому их абсциссы (координаты по оси x) совпадают.

Ответ: Абсциссы точек $t$ и $-t$ равны: $\cos(t) = \cos(-t)$.

б) t и t + ?

Абсцисса точки $t$ равна $\cos(t)$. Абсцисса точки $t + \pi$ равна $\cos(t + \pi)$. Используя формулу приведения, получаем: $\cos(t + \pi) = -\cos(t)$. Следовательно, абсциссы точек $t$ и $t + \pi$ являются противоположными числами. Геометрически точки $t$ и $t + \pi$ на числовой окружности диаметрально противоположны (симметричны относительно начала координат), поэтому их абсциссы имеют противоположные знаки.

Ответ: Абсциссы точек $t$ и $t + \pi$ противоположны: $\cos(t + \pi) = -\cos(t)$.

в) t и ? - t

Абсцисса точки $t$ равна $\cos(t)$. Абсцисса точки $\pi - t$ равна $\cos(\pi - t)$. Используя формулу приведения, получаем: $\cos(\pi - t) = -\cos(t)$. Следовательно, абсциссы точек $t$ и $\pi - t$ также являются противоположными числами. Геометрически точки $t$ и $\pi - t$ на числовой окружности симметричны относительно оси ординат (оси Oy), поэтому их абсциссы (координаты по оси x) имеют противоположные знаки.

Ответ: Абсциссы точек $t$ и $\pi - t$ противоположны: $\cos(\pi - t) = -\cos(t)$.

г) t и 2? - t

Абсцисса точки $t$ равна $\cos(t)$. Абсцисса точки $2\pi - t$ равна $\cos(2\pi - t)$. Функция косинус имеет период $2\pi$, поэтому $\cos(2\pi - t) = \cos(-t)$. Так как косинус — четная функция, $\cos(-t) = \cos(t)$. Следовательно, абсциссы точек $t$ и $2\pi - t$ равны. Геометрически точка $2\pi - t$ совпадает с точкой $-t$. Как и в пункте а), эти точки симметричны точке $t$ относительно оси абсцисс, поэтому их абсциссы равны.

Ответ: Абсциссы точек $t$ и $2\pi - t$ равны: $\cos(2\pi - t) = \cos(t)$.

12.13. Как связаны между собой ординаты точек числовой окружности:

a) $t$ и $-t$;

б) $t$ и $t + \pi$;

в) $t$ и $\pi - t$;

г) $t$ и $2\pi - t$?

Ордината точки на числовой окружности, соответствующей числу (углу) $t$, — это значение синуса этого числа, то есть $\sin(t)$. Задача состоит в том, чтобы сравнить значения $\sin(t)$ со значениями синуса для каждого из предложенных случаев.

а) $t$ и $-t$

Сравним ординату точки $t$, которая равна $\sin(t)$, с ординатой точки $-t$, которая равна $\sin(-t)$. Функция синуса является нечетной, что означает, что для любого $t$ выполняется свойство:

$ \sin(-t) = -\sin(t) $

Это значит, что ординаты точек $t$ и $-t$ на числовой окружности являются противоположными по знаку числами. Геометрически точки $M(t)$ и $M(-t)$ симметричны относительно оси абсцисс (оси Ox).

Ответ: Ординаты точек $t$ и $-t$ противоположны: $ \sin(-t) = -\sin(t) $.

б) $t$ и $t + \pi$

Сравним ординату точки $t$, равную $\sin(t)$, с ординатой точки $t + \pi$, равной $\sin(t + \pi)$. Используя формулы приведения (или формулу сложения углов), получаем:

$ \sin(t + \pi) = -\sin(t) $

Это можно показать так: $ \sin(t + \pi) = \sin(t)\cos(\pi) + \cos(t)\sin(\pi) = \sin(t) \cdot (-1) + \cos(t) \cdot 0 = -\sin(t) $. Следовательно, ординаты этих точек также противоположны. Геометрически точки $M(t)$ и $M(t + \pi)$ являются диаметрально противоположными, то есть симметричными относительно начала координат.

Ответ: Ординаты точек $t$ и $t + \pi$ противоположны: $ \sin(t + \pi) = -\sin(t) $.

в) $t$ и $\pi - t$

Сравним ординату точки $t$, равную $\sin(t)$, с ординатой точки $\pi - t$, равной $\sin(\pi - t)$. Согласно формулам приведения:

$ \sin(\pi - t) = \sin(t) $

Доказательство через формулу разности углов: $ \sin(\pi - t) = \sin(\pi)\cos(t) - \cos(\pi)\sin(t) = 0 \cdot \cos(t) - (-1) \cdot \sin(t) = \sin(t) $. Таким образом, ординаты этих точек равны. Геометрически точки $M(t)$ и $M(\pi - t)$ симметричны относительно оси ординат (оси Oy).

Ответ: Ординаты точек $t$ и $\pi - t$ равны: $ \sin(\pi - t) = \sin(t) $.

г) $t$ и $2\pi - t$

Сравним ординату точки $t$, равную $\sin(t)$, с ординатой точки $2\pi - t$, равной $\sin(2\pi - t)$. Функция синуса периодична с периодом $2\pi$, поэтому $ \sin(x) = \sin(x - 2\pi) $.

$ \sin(2\pi - t) = \sin(2\pi - t - 2\pi) = \sin(-t) $

Как было установлено в пункте а), $ \sin(-t) = -\sin(t) $. Следовательно, ординаты этих точек противоположны. Геометрически точка, соответствующая $2\pi - t$, совпадает с точкой, соответствующей $-t$, так как добавление или вычитание полного оборота ($2\pi$) не меняет положения точки на окружности.

Ответ: Ординаты точек $t$ и $2\pi - t$ противоположны: $ \sin(2\pi - t) = -\sin(t) $.

На числовой окружности укажите все точки, координаты которых удовлетворяют данным условиям, и составьте формулы для всех чисел, которым соответствуют эти точки:

12.14. a) $x = 0$;

б) $x = \frac{1}{2}$;

в) $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $x = 1$.

а) Условию $x=0$ на числовой окружности соответствуют точки, у которых абсцисса (координата $x$) равна нулю. Это точки пересечения окружности с осью ординат (осью $y$). Таких точек две: одна в верхней полуплоскости с координатами $(0, 1)$ и одна в нижней с координатами $(0, -1)$.

Точке $(0, 1)$ соответствуют углы (числа) вида $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Точке $(0, -1)$ соответствуют углы вида $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ (или $t = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$), где $k$ — любое целое число.

Эти две серии решений можно объединить в одну формулу, так как точки диаметрально противоположны и расстояние между ними по окружности равно $\pi$. Если взять в качестве начальной точки $t = \frac{\pi}{2}$, то следующая точка будет через пол-оборота, то есть через $\pi$. Таким образом, общая формула имеет вид $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Условию $x=\frac{1}{2}$ соответствуют точки на числовой окружности, у которых абсцисса равна $\frac{1}{2}$. Это означает, что мы ищем все числа $t$, для которых $\cos(t) = \frac{1}{2}$.

На единичной окружности есть две такие точки. Одна находится в первой четверти, ей соответствует основной угол $t = \arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$. Вторая точка симметрична первой относительно оси абсцисс и находится в четвертой четверти; ей соответствует угол $t = -\frac{\pi}{3}$.

Чтобы описать все числа, соответствующие этим точкам, нужно учесть периодичность. Формулы для всех таких чисел имеют вид: $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии можно объединить в одну запись.

Ответ: $t = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Условию $x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствуют точки на числовой окружности с абсциссой $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Мы ищем все числа $t$, для которых $\cos(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

На единичной окружности есть две такие точки. Одна находится во второй четверти, ей соответствует основной угол $t = \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}$. Вторая точка симметрична первой относительно оси абсцисс и находится в третьей четверти; ей соответствует угол $t = -\frac{5\pi}{6}$.

Учитывая периодичность, получаем две серии решений: $t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ и $t = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии можно объединить в одну общую формулу.

Ответ: $t = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Условию $x=1$ на числовой окружности соответствует одна точка, у которой абсцисса равна единице. Это самая правая точка окружности, точка пересечения с положительным направлением оси абсцисс. Ее координаты $(1, 0)$.

Этой точке соответствует угол $t = 0$ радиан.

Так как полный оборот по окружности составляет $2\pi$ радиан, то все числа, соответствующие этой точке, можно найти, прибавляя к нулю целое число полных оборотов. Формула для всех таких чисел имеет вид: $t = 0 + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

12.15. a) $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

г) $x = -1.$

а) Поскольку в условии не указано, какую именно тригонометрическую функцию от $x$ нужно найти, будем исходить из наиболее распространенного предположения для такого типа задач: найти все углы $t$, для которых $\cos(t) = x$. Для $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ необходимо решить уравнение:

$\cos(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $\cos(t) = a$ (где $|a| \le 1$) находится по формуле:

$t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (множество целых чисел).

В нашем случае $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Находим главное значение угла (арккосинус):

$\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$

Подставляем это значение в общую формулу и получаем все решения:

$t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Решаем уравнение $\cos(t) = x$ для $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\cos(t) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Используем общую формулу для решения $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Находим главное значение для $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}$

Следовательно, общее решение имеет вид:

$t = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Решаем уравнение $\cos(t) = x$ для $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\cos(t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Применяем ту же общую формулу $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Находим главное значение для $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$

Подставляя в формулу, получаем общее решение:

$t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Решаем уравнение $\cos(t) = x$ для $x = -1$:

$\cos(t) = -1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Значение косинуса равно $-1$ в точках вида $t = \pi$ на единичной окружности. Учитывая периодичность функции косинуса, которая равна $2\pi$, все решения можно записать формулой:

$t = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Этот же результат можно получить и из общей формулы: $t = \pm \arccos(-1) + 2\pi k$. Поскольку $\arccos(-1) = \pi$, то $t = \pm \pi + 2\pi k$. Заметим, что серии решений $t = \pi + 2\pi k$ и $t = -\pi + 2\pi k$ описывают одно и то же множество точек, поэтому их можно объединить в одну более простую запись.

Ответ: $t = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

12.16. a) $y = 0$;

б) $y = \frac{1}{2}$;

в) $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $y = 1$.

а) Требуется найти все значения $x$, для которых $y=0$. Предполагая, что $y = \cos(x)$, решаем уравнение $\cos(x) = 0$.
Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Косинус равен нулю в точках на единичной окружности с абсциссой 0, что соответствует углам $\frac{\pi}{2}$ и $-\frac{\pi}{2}$. Эти решения повторяются с периодом $2\pi$. Серии решений $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ и $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ можно объединить в одну общую формулу, так как расстояние между точками на окружности составляет $\pi$.
Таким образом, общее решение уравнения $\cos(x) = 0$ имеет вид:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Требуется найти все значения $x$, для которых $y=\frac{1}{2}$. Решаем уравнение $\cos(x) = \frac{1}{2}$.
Общее решение уравнения вида $\cos(x) = a$, где $|a| \le 1$, записывается по формуле:
$x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{1}{2}$. Значение арккосинуса этого числа является табличным: $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Подставляем это значение в общую формулу решения:
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Требуется найти все значения $x$, для которых $y=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Решаем уравнение $\cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Используем общую формулу для решения уравнения $\cos(x) = a$:
$x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Для нахождения арккосинуса отрицательного числа используем свойство $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$.
$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Поскольку $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$, получаем:
$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Подставляем найденное значение в общую формулу:
$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Требуется найти все значения $x$, для которых $y=1$. Решаем уравнение $\cos(x) = 1$.
Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Косинус равен единице в точках на единичной окружности, соответствующих углу $0$ радиан. Эта точка повторяется через каждый полный оборот, то есть с периодом $2\pi$.
Таким образом, общее решение уравнения $\cos(x) = 1$ имеет вид:
$x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Этот результат также можно получить из общей формулы: $x = \pm \arccos(1) + 2\pi n = \pm 0 + 2\pi n = 2\pi n$.
Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

12.17. a) $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

г) $y = -1$.

Поскольку в задании не указана конкретная тригонометрическая функция, будем предполагать, что требуется решить уравнение вида $sin(x) = y$ для каждого из заданных значений $y$. Общая формула для решения уравнения $sin(x) = a$, где $|a| \le 1$, имеет вид $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

а) $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решаем уравнение $sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Арксинус этого значения является табличным: $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем это значение в общую формулу для корней уравнения:

$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Эту совокупность решений можно также представить в виде двух серий:

$x_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x_2 = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решаем уравнение $sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Арксинус этого значения является табличным: $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем это значение в общую формулу:

$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

в) $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Решаем уравнение $sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используя свойство нечетности арксинуса, $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$, находим:

$\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.

Подставляем это значение в общую формулу:

$x = (-1)^n \cdot (-\frac{\pi}{4}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

г) $y = -1$

Решаем уравнение $sin(x) = -1$.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Синус равен $-1$ в точках вида $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Можно также использовать общую формулу. Арксинус этого значения: $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$.

Подставляем в общую формулу: $x = (-1)^n \cdot (-\frac{\pi}{2}) + \pi n$.

Рассмотрим два случая для $n$:

1. Если $n$ - четное, $n = 2k$: $x = (-1)^{2k} \cdot (-\frac{\pi}{2}) + 2\pi k = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Если $n$ - нечетное, $n = 2k+1$: $x = (-1)^{2k+1} \cdot (-\frac{\pi}{2}) + \pi(2k+1) = -1 \cdot (-\frac{\pi}{2}) + 2\pi k + \pi = \frac{\pi}{2} + \pi + 2\pi k = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$.

Заметим, что точки $\frac{3\pi}{2}$ и $-\frac{\pi}{2}$ на тригонометрической окружности совпадают ($\frac{3\pi}{2} - 2\pi = -\frac{\pi}{2}$). Таким образом, обе серии решений можно объединить в одну.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

12.18. a) $x = \frac{\sqrt{3}}{2}, y < 0;$

б) $x = \frac{\sqrt{2}}{2}, y > 0;$

В) $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}, y < 0;$

Г) $x = -\frac{1}{2}, y > 0.$

а) Для точки на единичной окружности с абсциссой $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и ординатой $y < 0$, найдем значение $y$. Координаты любой точки на единичной окружности связаны уравнением $x^2 + y^2 = 1$. Подставим известное значение $x$ в это уравнение:
$(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + y^2 = 1$
$\frac{3}{4} + y^2 = 1$
$y^2 = 1 - \frac{3}{4}$
$y^2 = \frac{1}{4}$
Из этого следует, что $y = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.
Поскольку по условию задачи $y < 0$, мы выбираем значение $y = -\frac{1}{2}$.
Таким образом, искомая точка имеет координаты $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$.
Ответ: $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$.

б) Для точки на единичной окружности с абсциссой $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и ординатой $y > 0$, найдем значение $y$. Используем уравнение единичной окружности $x^2 + y^2 = 1$.
$(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + y^2 = 1$
$\frac{2}{4} + y^2 = 1$
$\frac{1}{2} + y^2 = 1$
$y^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
Отсюда $y = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Согласно условию $y > 0$, мы выбираем значение $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, искомая точка имеет координаты $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

в) Для точки на единичной окружности с абсциссой $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и ординатой $y < 0$, найдем значение $y$. Используем уравнение единичной окружности $x^2 + y^2 = 1$.
$(-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + y^2 = 1$
$\frac{2}{4} + y^2 = 1$
$\frac{1}{2} + y^2 = 1$
$y^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
Отсюда $y = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Поскольку по условию $y < 0$, мы выбираем значение $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, искомая точка имеет координаты $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

г) Для точки на единичной окружности с абсциссой $x = -\frac{1}{2}$ и ординатой $y > 0$, найдем значение $y$. Используем уравнение единичной окружности $x^2 + y^2 = 1$.
$(-\frac{1}{2})^2 + y^2 = 1$
$\frac{1}{4} + y^2 = 1$
$y^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
Отсюда $y = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Согласно условию $y > 0$, мы выбираем значение $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, искомая точка имеет координаты $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
Ответ: $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.