Страница 84, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

11.30. a) $t = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, t = \frac{\pi n}{3};$

б) $t = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n;$

В) $t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, t = 2\pi n;$

Г) $t = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n.$

а)

Даны две серии решений для $t$: $t = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ и $t = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$. Задача состоит в том, чтобы найти объединенное множество этих решений и представить его в виде одной формулы.

Первая серия решений $t = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$ задает на единичной окружности четыре точки. Для подсерии $t = \frac{\pi}{3} + \pi n$ это точки $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{4\pi}{3}$. Для подсерии $t = -\frac{\pi}{3} + \pi n$ это точки $-\frac{\pi}{3}$ (или $\frac{5\pi}{3}$) и $\frac{2\pi}{3}$. Итоговый набор точек: $\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$.

Вторая серия решений $t = \frac{\pi n}{3}$ при различных целых $n$ задает на единичной окружности следующие точки: при $n=0, t=0$; при $n=1, t=\frac{\pi}{3}$; при $n=2, t=\frac{2\pi}{3}$; при $n=3, t=\pi$; при $n=4, t=\frac{4\pi}{3}$; при $n=5, t=\frac{5\pi}{3}$. При $n=6$ точка $t=2\pi$ совпадает с $t=0$. Таким образом, вторая серия задает шесть точек: $0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$.

Сравнивая множества точек, мы видим, что все точки из первой серии содержатся во второй серии. Следовательно, объединением этих двух серий решений является вторая, более общая серия.

Ответ: $t = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Даны две серии решений: $t = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ и $t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Объединим эти два множества решений.

Первая серия $t = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$ является общей формулой для решения уравнения $\sin(t) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. На единичной окружности это соответствует точкам $\frac{\pi}{4}$ и $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Вторая серия $t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$ является общей формулой для решения уравнения $\sin(t) = \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. На единичной окружности это соответствует точкам $-\frac{\pi}{4}$ (или $\frac{7\pi}{4}$) и $\pi - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{5\pi}{4}$.

Объединение этих двух серий включает в себя все решения уравнений $\sin(t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(t) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это можно записать как одно уравнение $\sin^2(t) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{2}$.

Решим это уравнение, используя формулу понижения степени $\sin^2(t) = \frac{1 - \cos(2t)}{2}$:

$\frac{1 - \cos(2t)}{2} = \frac{1}{2}$

$1 - \cos(2t) = 1$

$\cos(2t) = 0$

Решения этого уравнения: $2t = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Разделив обе части на 2, получаем общую формулу для объединенного множества решений: $t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Даны две серии решений: $t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ и $t = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Найдем их объединение.

Первая серия $t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ является общей формулой для решения уравнения $\cos(t) = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$. На единичной окружности это соответствует точкам $\frac{2\pi}{3}$ и $-\frac{2\pi}{3}$ (или $\frac{4\pi}{3}$).

Вторая серия $t = 2\pi n$ является общей формулой для решения уравнения $\cos(t) = \cos(0) = 1$. На единичной окружности это соответствует одной точке $0$.

Объединение этих серий представляет собой множество точек $\{0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\}$ на единичной окружности. Эти три точки расположены на окружности равномерно, с шагом $\frac{2\pi}{3}$. Мы можем записать это объединенное множество одной формулой, начав с точки $t=0$ и добавляя кратные $\frac{2\pi}{3}$: $t = \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

Проверим: при $n=0$ получаем $t=0$; при $n=1$ получаем $t=\frac{2\pi}{3}$; при $n=2$ получаем $t=\frac{4\pi}{3}$. Эти точки соответствуют всем решениям из исходных серий.

Ответ: $t = \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Даны две серии решений: $t = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ и $t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Объединим эти два множества решений.

Первая серия $t = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$ является общей формулой для решения уравнения $\sin(t) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. На единичной окружности это соответствует точкам $\frac{\pi}{6}$ и $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Вторая серия $t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$ является общей формулой для решения уравнения $\sin(t) = \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$. На единичной окружности это соответствует точкам $-\frac{\pi}{6}$ (или $\frac{11\pi}{6}$) и $\pi - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{7\pi}{6}$.

Объединение этих двух серий включает в себя все решения уравнений $\sin(t) = \frac{1}{2}$ и $\sin(t) = -\frac{1}{2}$. Это можно записать как одно уравнение $\sin^2(t) = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Решим это уравнение, используя формулу понижения степени $\sin^2(t) = \frac{1 - \cos(2t)}{2}$:

$\frac{1 - \cos(2t)}{2} = \frac{1}{4}$

$1 - \cos(2t) = \frac{1}{2}$

$\cos(2t) = \frac{1}{2}$

Решения этого уравнения: $2t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Разделив обе части на 2, получаем общую формулу для объединенного множества решений: $t = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

11.31. a) $t = -\frac{\pi}{6} + \pi(2n + 1)$, $t = \frac{\pi}{30} + \frac{2\pi n}{5}$;

б) $t = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$, $t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n$, $t = \pi n$;

в) $t = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, $t = \frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$;

г) $t = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$, $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $t = \pi n$.

а) Даны две серии решений: $t = -\frac{\pi}{6} + \pi(2n + 1)$ и $t = \frac{\pi}{30} + \frac{2\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим первую серию решений: $t_1 = -\frac{\pi}{6} + \pi(2n + 1)$. Преобразуем выражение: $t_1 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n + \pi = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$. Эта серия задает на тригонометрической окружности одну точку: $\frac{5\pi}{6}$.

Рассмотрим вторую серию решений: $t_2 = \frac{\pi}{30} + \frac{2\pi n}{5}$. Эта серия задает на тригонометрической окружности 5 точек, так как период $\frac{2\pi}{5}$ укладывается в полный круг $2\pi$ ровно 5 раз. Найдем эти точки, подставляя $n = 0, 1, 2, 3, 4$:

• при $n=0: t = \frac{\pi}{30}$
• при $n=1: t = \frac{\pi}{30} + \frac{2\pi}{5} = \frac{\pi+12\pi}{30} = \frac{13\pi}{30}$
• при $n=2: t = \frac{\pi}{30} + \frac{4\pi}{5} = \frac{\pi+24\pi}{30} = \frac{25\pi}{30} = \frac{5\pi}{6}$
• при $n=3: t = \frac{\pi}{30} + \frac{6\pi}{5} = \frac{\pi+36\pi}{30} = \frac{37\pi}{30}$
• при $n=4: t = \frac{\pi}{30} + \frac{8\pi}{5} = \frac{\pi+48\pi}{30} = \frac{49\pi}{30}$

Сравнивая множества решений, мы видим, что точка $\frac{5\pi}{6}$ из первой серии содержится во второй серии (при $n=2$). Следовательно, первая серия является подмножеством второй. Объединением двух серий является вторая, более общая серия.

Ответ: $t = \frac{\pi}{30} + \frac{2\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) Даны три серии решений: $t = (-1)^n\frac{\pi}{3} + \pi n$, $t = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{3} + \pi n$ и $t = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем все уникальные точки, которые задают эти серии на тригонометрической окружности в интервале $[0, 2\pi)$.

• Первая серия, $t = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$, задает точки $\frac{\pi}{3}$ (при четном $n$) и $-\frac{\pi}{3}+\pi = \frac{2\pi}{3}$ (при нечетном $n$).
• Вторая серия, $t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n = -((-1)^n \frac{\pi}{3}) + \pi n$, задает точки $-\frac{\pi}{3}$ (или $\frac{5\pi}{3}$) (при четном $n$) и $\frac{\pi}{3}+\pi = \frac{4\pi}{3}$ (при нечетном $n$).
• Третья серия, $t = \pi n$, задает точки $0$ (при четном $n$) и $\pi$ (при нечетном $n$).

Таким образом, мы получаем 6 точек на окружности: $0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$.

Эти точки расположены на окружности равномерно с шагом $\frac{\pi}{3}$. Их можно описать одной формулой, взяв за начальную точку $t=0$ и добавляя кратные шага $\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $t = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в) Даны две серии решений: $t = -\frac{\pi}{4} + \pi n$ и $t = \frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем все уникальные точки на тригонометрической окружности, которые задают данные серии.

• Первая серия $t = -\frac{\pi}{4} + \pi n$ дает точки $-\frac{\pi}{4}$ (или $\frac{7\pi}{4}$) и $-\frac{\pi}{4}+\pi = \frac{3\pi}{4}$.
• Вторая серия $t = \frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$ распадается на две подсерии:
  • $t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{3\pi+2\pi}{12} + \pi n = \frac{5\pi}{12} + \pi n$, что дает точки $\frac{5\pi}{12}$ и $\frac{5\pi}{12}+\pi = \frac{17\pi}{12}$.
  • $t = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{3\pi-2\pi}{12} + \pi n = \frac{\pi}{12} + \pi n$, что дает точки $\frac{\pi}{12}$ и $\frac{\pi}{12}+\pi = \frac{13\pi}{12}$.

Приведем все точки к общему знаменателю 12 и упорядочим их в интервале $[0, 2\pi)$: $\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{9\pi}{12} (=\frac{3\pi}{4}), \frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}, \frac{21\pi}{12} (=\frac{7\pi}{4})$.

Всего мы имеем 6 точек. Заметим, что разница между соседними точками постоянна и равна $\frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$. Это значит, что все решения можно объединить в одну серию с начальной точкой $\frac{\pi}{12}$ и шагом $\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $t = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

г) Даны три серии решений: $t = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$, $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$ и $t = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Определим все точки на тригонометрической окружности, соответствующие данным сериям решений.

• Первая серия $t = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$ задает четыре точки: $\frac{\pi}{4}$, $\frac{3\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{4}$ и $\frac{7\pi}{4}$. Эту серию можно записать как $t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.
• Вторая серия $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$ задает две точки: $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$.
• Третья серия $t = \pi n$ задает две точки: $0$ и $\pi$.

Объединив все точки, получим 8 точек на окружности: $0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \pi, \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}$.

Эти точки расположены на окружности равномерно. Шаг между соседними точками равен $\frac{\pi}{4}$. Следовательно, все решения можно объединить в одну общую серию, начиная с $t=0$ и с шагом $\frac{\pi}{4}$.

Ответ: $t = \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

11.32. На числовой прямой и числовой окружности отметьте все точки $M(t)$, заданные формулой и принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$:

a) $t=(-1)^n \frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{3}$;

б) $t=\pm \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$;

в) $t=(-1)^{n+1} \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$;

г) $t=\pm \frac{3\pi}{7} + \frac{\pi n}{3}$.

а) Для нахождения точек $M(t)$, заданных формулой $t = (-1)^n \frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$, и принадлежащих отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, решим двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{2} \le (-1)^n \frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{3} \le \frac{\pi}{2}$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-\frac{1}{2} \le (-1)^n \frac{1}{15} + \frac{n}{3} \le \frac{1}{2}$

Умножим все части на 30, чтобы избавиться от дробей:

$-15 \le 2(-1)^n + 10n \le 15$

Рассмотрим два случая:

1. $n$ — четное число. Пусть $n = 2k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Тогда $(-1)^n = 1$.

$-15 \le 2 + 10(2k) \le 15$

$-17 \le 20k \le 13$

$-\frac{17}{20} \le k \le \frac{13}{20}$

Единственное целое значение $k$ в этом промежутке — это $k=0$. Следовательно, $n = 2 \cdot 0 = 0$.

При $n=0$: $t = (-1)^0 \frac{\pi}{15} + \frac{\pi \cdot 0}{3} = \frac{\pi}{15}$.

2. $n$ — нечетное число. Пусть $n = 2k+1$, где $k \in \mathbb{Z}$. Тогда $(-1)^n = -1$.

$-15 \le -2 + 10(2k+1) \le 15$

$-15 \le -2 + 20k + 10 \le 15$

$-15 \le 8 + 20k \le 15$

$-23 \le 20k \le 7$

$-\frac{23}{20} \le k \le \frac{7}{20}$

Целые значения $k$ в этом промежутке: $k=-1$ и $k=0$.

При $k=-1$, $n = 2(-1)+1 = -1$. Тогда $t = (-1)^{-1} \frac{\pi}{15} + \frac{\pi(-1)}{3} = -\frac{\pi}{15} - \frac{5\pi}{15} = -\frac{6\pi}{15} = -\frac{2\pi}{5}$.

При $k=0$, $n = 2(0)+1 = 1$. Тогда $t = (-1)^{1} \frac{\pi}{15} + \frac{\pi(1)}{3} = -\frac{\pi}{15} + \frac{5\pi}{15} = \frac{4\pi}{15}$.

Таким образом, мы нашли три точки: $\frac{\pi}{15}$, $-\frac{2\pi}{5}$, $\frac{4\pi}{15}$.

На числовой прямой эти точки отмечаются в соответствии с их значениями в интервале $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

На числовой окружности отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ соответствует правой полуокружности. Точка $M(\frac{\pi}{15})$ и $M(\frac{4\pi}{15})$ находятся в первой четверти, а точка $M(-\frac{2\pi}{5})$ — в четвертой.

Ответ: $t_1 = -\frac{2\pi}{5}$, $t_2 = \frac{\pi}{15}$, $t_3 = \frac{4\pi}{15}$.

б) Для формулы $t = \pm \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$ можно заметить, что она задает все точки вида $\frac{k\pi}{8}$, где $k$ — нечетное целое число.

Решим неравенство для $t$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$:

$-\frac{\pi}{2} \le \frac{k\pi}{8} \le \frac{\pi}{2}$

Разделим на $\pi$ и умножим на 8:

$-4 \le k \le 4$

Выберем все нечетные целые значения $k$ из этого промежутка: $k = -3, -1, 1, 3$.

Найдем соответствующие значения $t$:

При $k=-3$: $t = -\frac{3\pi}{8}$.

При $k=-1$: $t = -\frac{\pi}{8}$.

При $k=1$: $t = \frac{\pi}{8}$.

При $k=3$: $t = \frac{3\pi}{8}$.

На числовой прямой отмечаем эти четыре точки.

На числовой окружности все четыре точки лежат на правой полуокружности: $M(\frac{\pi}{8})$ и $M(\frac{3\pi}{8})$ в первой четверти, $M(-\frac{\pi}{8})$ и $M(-\frac{3\pi}{8})$ в четвертой.

Ответ: $t = \pm\frac{\pi}{8}, \pm\frac{3\pi}{8}$.

в) Для формулы $t = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$ решим неравенство:

$-\frac{\pi}{2} \le (-1)^{n+1}\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} \le \frac{\pi}{2}$

Разделив на $\pi$ и умножив на 8, получим:

$-4 \le (-1)^{n+1} + 2n \le 4$

1. $n$ — четное, $n=2k$. Тогда $n+1$ — нечетное, и $(-1)^{n+1} = -1$.

$-4 \le -1 + 2(2k) \le 4 \implies -3 \le 4k \le 5 \implies -0.75 \le k \le 1.25$.

Целые $k$: $0, 1$. Это дает $n=0$ и $n=2$.

При $n=0$: $t = (-1)^1 \frac{\pi}{8} = -\frac{\pi}{8}$.

При $n=2$: $t = (-1)^3 \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{8}$.

2. $n$ — нечетное, $n=2k+1$. Тогда $n+1$ — четное, и $(-1)^{n+1} = 1$.

$-4 \le 1 + 2(2k+1) \le 4 \implies -4 \le 3 + 4k \le 4 \implies -7 \le 4k \le 1 \implies -1.75 \le k \le 0.25$.

Целые $k$: $-1, 0$. Это дает $n=-1$ и $n=1$.

При $n=-1$: $t = (-1)^0 \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8} - \frac{2\pi}{8} = -\frac{\pi}{8}$.

При $n=1$: $t = (-1)^2 \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi}{8} = \frac{3\pi}{8}$.

Получаем две уникальные точки.

На числовой прямой отмечаем точки $-\frac{\pi}{8}$ и $\frac{3\pi}{8}$.

На числовой окружности точка $M(-\frac{\pi}{8})$ находится в четвертой четверти, а $M(\frac{3\pi}{8})$ — в первой.

Ответ: $t_1 = -\frac{\pi}{8}$, $t_2 = \frac{3\pi}{8}$.

г) Рассмотрим две серии точек $t = \pm\frac{3\pi}{7} + \frac{\pi n}{3}$.

1. Для $t = \frac{3\pi}{7} + \frac{\pi n}{3}$:

$-\frac{\pi}{2} \le \frac{3\pi}{7} + \frac{\pi n}{3} \le \frac{\pi}{2} \implies -\frac{1}{2} \le \frac{3}{7} + \frac{n}{3} \le \frac{1}{2}$

$-\frac{13}{14} \le \frac{n}{3} \le \frac{1}{14} \implies -\frac{39}{14} \le n \le \frac{3}{14}$.

Целые значения $n$: $-2, -1, 0$.

При $n=-2$: $t = \frac{3\pi}{7} - \frac{2\pi}{3} = \frac{9\pi - 14\pi}{21} = -\frac{5\pi}{21}$.

При $n=-1$: $t = \frac{3\pi}{7} - \frac{\pi}{3} = \frac{9\pi - 7\pi}{21} = \frac{2\pi}{21}$.

При $n=0$: $t = \frac{3\pi}{7}$.

2. Для $t = -\frac{3\pi}{7} + \frac{\pi n}{3}$:

$-\frac{\pi}{2} \le -\frac{3\pi}{7} + \frac{\pi n}{3} \le \frac{\pi}{2} \implies -\frac{1}{2} \le -\frac{3}{7} + \frac{n}{3} \le \frac{1}{2}$

$-\frac{1}{14} \le \frac{n}{3} \le \frac{13}{14} \implies -\frac{3}{14} \le n \le \frac{39}{14}$.

Целые значения $n$: $0, 1, 2$.

При $n=0$: $t = -\frac{3\pi}{7}$.

При $n=1$: $t = -\frac{3\pi}{7} + \frac{\pi}{3} = \frac{-9\pi + 7\pi}{21} = -\frac{2\pi}{21}$.

При $n=2$: $t = -\frac{3\pi}{7} + \frac{2\pi}{3} = \frac{-9\pi + 14\pi}{21} = \frac{5\pi}{21}$.

Объединяя решения из обеих серий, получаем шесть точек.

На числовой прямой отмечаем точки $\pm \frac{2\pi}{21}$, $\pm \frac{5\pi}{21}$, $\pm \frac{3\pi}{7}$.

На числовой окружности три точки лежат в первой четверти и три — в четвертой, все на правой полуокружности.

Ответ: $t = \pm \frac{2\pi}{21}, \pm \frac{5\pi}{21}, \pm \frac{3\pi}{7}$.

11.33. На числовой прямой и числовой окружности отметьте все точки $M(t)$, заданные формулой и принадлежащие отрезку $[-2; 4]$:

а) $t = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$;

б) $t = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$;

в) $t = \pm \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$;

г) $t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{4}$.

а) $t = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Необходимо найти все значения $t$, удовлетворяющие формуле и принадлежащие отрезку $[-2; 4]$. Для этого решим двойное неравенство $-2 \le t \le 4$. Разобьем решение на две серии.

1) Для серии $t = \frac{\pi}{6} + \pi n$:
$-2 \le \frac{\pi}{6} + \pi n \le 4$
Разделим все части на $\pi$:
$-\frac{2}{\pi} \le \frac{1}{6} + n \le \frac{4}{\pi}$
Вычтем $\frac{1}{6}$:
$-\frac{2}{\pi} - \frac{1}{6} \le n \le \frac{4}{\pi} - \frac{1}{6}$
Используя приближение $\pi \approx 3.14$, получим:
$-0.637 - 0.167 \le n \le 1.274 - 0.167$
$-0.804 \le n \le 1.107$
Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n=0$ и $n=1$.
При $n=0$, $t = \frac{\pi}{6}$.
При $n=1$, $t = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$.

2) Для серии $t = -\frac{\pi}{6} + \pi n$:
$-2 \le -\frac{\pi}{6} + \pi n \le 4$
$-\frac{2}{\pi} \le -\frac{1}{6} + n \le \frac{4}{\pi}$
$-\frac{2}{\pi} + \frac{1}{6} \le n \le \frac{4}{\pi} + \frac{1}{6}$
$-0.637 + 0.167 \le n \le 1.274 + 0.167$
$-0.47 \le n \le 1.441$
Целочисленные значения $n$: $n=0$ и $n=1$.
При $n=0$, $t = -\frac{\pi}{6}$.
При $n=1$, $t = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$.

Таким образом, на отрезке $[-2; 4]$ лежат четыре точки: $t = -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$.

На числовой прямой это точки с координатами (приблизительно): $-0.52, 0.52, 2.62, 3.67$.

На числовой окружности этим значениям $t$ соответствуют четыре различные точки: $M(-\frac{\pi}{6})$, $M(\frac{\pi}{6})$, $M(\frac{5\pi}{6})$, $M(\frac{7\pi}{6})$.

Ответ: На числовой прямой отмечены точки $-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$. На числовой окружности отмечены точки $M(-\frac{\pi}{6}), M(\frac{\pi}{6}), M(\frac{5\pi}{6}), M(\frac{7\pi}{6})$.

б) $t = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим случаи для четных и нечетных $n$.

1) Если $n$ четное, $n=2k$ для $k \in \mathbb{Z}$:
$t = (-1)^{2k} \frac{\pi}{4} + \frac{\pi (2k)}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi k$.
Решим неравенство $-2 \le \frac{\pi}{4} + \pi k \le 4$:
$-\frac{2}{\pi} \le \frac{1}{4} + k \le \frac{4}{\pi}$
$-\frac{2}{\pi} - \frac{1}{4} \le k \le \frac{4}{\pi} - \frac{1}{4}$
$-0.637 - 0.25 \le k \le 1.274 - 0.25$
$-0.887 \le k \le 1.024$
Целочисленные значения $k$: $k=0$ и $k=1$.
При $k=0$ ($n=0$), $t = \frac{\pi}{4}$.
При $k=1$ ($n=2$), $t = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$.

2) Если $n$ нечетное, $n=2k+1$ для $k \in \mathbb{Z}$:
$t = (-1)^{2k+1} \frac{\pi}{4} + \frac{\pi (2k+1)}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi k + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi k$.
Это та же формула, что и для четных $n$. Соответственно, мы получим те же значения $t$. При $k=0$ ($n=1$), $t = \frac{\pi}{4}$.
При $k=1$ ($n=3$), $t = \frac{5\pi}{4}$.

Таким образом, на отрезке $[-2; 4]$ лежат две точки: $t = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$.

На числовой прямой это точки с координатами (приблизительно): $0.785, 3.925$.

На числовой окружности этим значениям $t$ соответствуют две диаметрально противоположные точки: $M(\frac{\pi}{4})$ и $M(\frac{5\pi}{4})$.

Ответ: На числовой прямой отмечены точки $\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$. На числовой окружности отмечены точки $M(\frac{\pi}{4}), M(\frac{5\pi}{4})$.

в) $t = \pm \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим две серии решений.

1) Для серии $t = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$:
$-2 \le \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \le 4$
$-\frac{2}{\pi} \le \frac{3}{4} + \frac{n}{2} \le \frac{4}{\pi}$
$-\frac{4}{\pi} - \frac{3}{2} \le n \le \frac{8}{\pi} - \frac{3}{2}$
$-1.274 - 1.5 \le n \le 2.548 - 1.5$
$-2.774 \le n \le 1.048$
Целочисленные значения $n$: $-2, -1, 0, 1$.
При $n=-2$, $t = \frac{3\pi}{4} - \pi = -\frac{\pi}{4}$.
При $n=-1$, $t = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$.
При $n=0$, $t = \frac{3\pi}{4}$.
При $n=1$, $t = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{4}$.

2) Для серии $t = -\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$:
$-2 \le -\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \le 4$
$-\frac{4}{\pi} + \frac{3}{2} \le n \le \frac{8}{\pi} + \frac{3}{2}$
$-1.274 + 1.5 \le n \le 2.548 + 1.5$
$0.226 \le n \le 4.048$
Целочисленные значения $n$: $1, 2, 3, 4$.
При $n=1$, $t = -\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4}$.
При $n=2$, $t = -\frac{3\pi}{4} + \pi = \frac{\pi}{4}$.
При $n=3$, $t = -\frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$.
При $n=4$, $t = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4}$.
Все полученные значения совпадают со значениями из первой серии.

Таким образом, на отрезке $[-2; 4]$ лежат четыре точки: $t = -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$.

На числовой прямой это точки с координатами (приблизительно): $-0.785, 0.785, 2.356, 3.925$.

На числовой окружности этим значениям $t$ соответствуют четыре точки, являющиеся вершинами вписанного квадрата: $M(-\frac{\pi}{4})$, $M(\frac{\pi}{4})$, $M(\frac{3\pi}{4})$, $M(\frac{5\pi}{4})$.

Ответ: На числовой прямой отмечены точки $-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$. На числовой окружности отмечены точки $M(-\frac{\pi}{4}), M(\frac{\pi}{4}), M(\frac{3\pi}{4}), M(\frac{5\pi}{4})$.

г) $t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Поскольку решение неравенства аналитически затруднено, подставим целочисленные значения $n$ и проверим, попадает ли $t$ в отрезок $[-2; 4]$. Используем $\pi \approx 3.14$.

$n=-4: t = (-1)^{-3}\frac{\pi}{3} - \frac{4\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{4\pi}{3} \approx -4.19 < -2$. (не подходит)
$n=-3: t = (-1)^{-2}\frac{\pi}{3} - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{3} - \frac{3\pi}{4} = -\frac{5\pi}{12} \approx -1.31$. (подходит)
$n=-2: t = (-1)^{-1}\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = -\frac{5\pi}{6} \approx -2.62 < -2$. (не подходит)
$n=-1: t = (-1)^{0}\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12} \approx 0.26$. (подходит)
$n=0: t = (-1)^{1}\frac{\pi}{3} + 0 = -\frac{\pi}{3} \approx -1.05$. (подходит)
$n=1: t = (-1)^{2}\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{12} \approx 1.83$. (подходит)
$n=2: t = (-1)^{3}\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6} \approx 0.52$. (подходит)
$n=3: t = (-1)^{4}\frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{4} = \frac{13\pi}{12} \approx 3.40$. (подходит)
$n=4: t = (-1)^{5}\frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3} \approx 2.09$. (подходит)
$n=5: t = (-1)^{6}\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{4} = \frac{19\pi}{12} \approx 4.97 > 4$. (не подходит)
$n=6: t = (-1)^{7}\frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{2} = \frac{7\pi}{6} \approx 3.67$. (подходит)
$n=7: t = (-1)^{8}\frac{\pi}{3} + \frac{7\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + \frac{7\pi}{4} = \frac{25\pi}{12} \approx 6.54 > 4$. (не подходит)

Таким образом, на отрезке $[-2; 4]$ лежат восемь точек. Расположим их в порядке возрастания: $-\frac{5\pi}{12}, -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{12}, \frac{2\pi}{3}, \frac{13\pi}{12}, \frac{7\pi}{6}$.

На числовой прямой это точки с координатами (приблизительно): $-1.31, -1.05, 0.26, 0.52, 1.83, 2.09, 3.40, 3.67$.

На числовой окружности этим значениям $t$ соответствуют восемь различных точек: $M(-\frac{5\pi}{12})$, $M(-\frac{\pi}{3})$, $M(\frac{\pi}{12})$, $M(\frac{\pi}{6})$, $M(\frac{7\pi}{12})$, $M(\frac{2\pi}{3})$, $M(\frac{13\pi}{12})$, $M(\frac{7\pi}{6})$.

Ответ: На числовой прямой отмечены точки $-\frac{5\pi}{12}, -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{12}, \frac{2\pi}{3}, \frac{13\pi}{12}, \frac{7\pi}{6}$. На числовой окружности отмечены соответствующие им 8 точек.

11.34. На числовой прямой и числовой окружности отметьте все точки M(t), заданные формулой и принадлежащие отрезку $[-\\pi; 2\\pi]$:

а) $t = n$;

б) $t = \frac{1}{2} + 2n$;

в) $t = 2n + 1$;

г) $t = \frac{1}{3} + \frac{3n}{2}$.

В данной задаче мы ищем значения $t$, которые удовлетворяют заданной формуле для целых чисел $n$ (т.е. $n \in \mathbb{Z}$) и попадают в отрезок $[-\pi; 2\pi]$. Для этого мы решаем двойное неравенство $-\pi \le t \le 2\pi$ для каждой формулы. При расчетах будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3.14$.

Нам нужно найти все целые числа $n$, для которых выполняется неравенство:
$-\pi \le n \le 2\pi$
Подставим приближенные значения:
$-3.14 \le n \le 6.28$
Целые числа $n$, которые удовлетворяют этому условию: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Таким образом, мы получаем 10 значений для $t$.
На числовой прямой это точки с координатами -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Все они лежат внутри отрезка $[-\pi; 2\pi]$.
На числовой окружности это 10 различных точек, соответствующих углам в -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6 радиан. Никакие две точки не совпадают, так как разность между любыми двумя значениями не кратна $2\pi$.

Ответ: На числовой прямой и числовой окружности отмечены точки, соответствующие значениям $t \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Ищем целые числа $n$, для которых выполняется неравенство:
$-\pi \le \frac{1}{2} + 2n \le 2\pi$
Вычтем $\frac{1}{2}$ из всех частей неравенства:
$-\pi - \frac{1}{2} \le 2n \le 2\pi - \frac{1}{2}$
Разделим все части на 2:
$\frac{-\pi - 0.5}{2} \le n \le \frac{2\pi - 0.5}{2}$
Подставим приближенные значения:
$\frac{-3.14 - 0.5}{2} \le n \le \frac{2 \cdot 3.14 - 0.5}{2}$
$\frac{-3.64}{2} \le n \le \frac{5.78}{2}$
$-1.82 \le n \le 2.89$
Целые числа $n$, которые удовлетворяют этому условию: -1, 0, 1, 2.
Найдем соответствующие значения $t$:
При $n=-1: t = \frac{1}{2} + 2(-1) = -1.5$
При $n=0: t = \frac{1}{2} + 2(0) = 0.5$
При $n=1: t = \frac{1}{2} + 2(1) = 2.5$
При $n=2: t = \frac{1}{2} + 2(2) = 4.5$
На числовой прямой это точки с координатами -1.5, 0.5, 2.5, 4.5.
На числовой окружности это 4 различные точки, соответствующие углам в -1.5, 0.5, 2.5 и 4.5 радиан.

Ответ: На числовой прямой и числовой окружности отмечены точки, соответствующие значениям $t \in \{-1.5; 0.5; 2.5; 4.5\}$.

Формула $t=2n+1$ задает все нечетные целые числа. Ищем те из них, которые лежат в отрезке $[-\pi; 2\pi]$.
$-\pi \le 2n + 1 \le 2\pi$
Вычтем 1 из всех частей:
$-\pi - 1 \le 2n \le 2\pi - 1$
Разделим все части на 2:
$\frac{-\pi - 1}{2} \le n \le \frac{2\pi - 1}{2}$
Подставим приближенные значения:
$\frac{-3.14 - 1}{2} \le n \le \frac{2 \cdot 3.14 - 1}{2}$
$\frac{-4.14}{2} \le n \le \frac{5.28}{2}$
$-2.07 \le n \le 2.64$
Целые числа $n$, которые удовлетворяют этому условию: -2, -1, 0, 1, 2.
Найдем соответствующие значения $t$:
При $n=-2: t = 2(-2) + 1 = -3$
При $n=-1: t = 2(-1) + 1 = -1$
При $n=0: t = 2(0) + 1 = 1$
При $n=1: t = 2(1) + 1 = 3$
При $n=2: t = 2(2) + 1 = 5$
На числовой прямой это точки с координатами -3, -1, 1, 3, 5.
На числовой окружности это 5 различных точек, соответствующие углам в -3, -1, 1, 3 и 5 радиан.

Ответ: На числовой прямой и числовой окружности отмечены точки, соответствующие значениям $t \in \{-3, -1, 1, 3, 5\}$.

Ищем целые числа $n$, для которых выполняется неравенство:
$-\pi \le \frac{1}{3} + \frac{3n}{2} \le 2\pi$
Вычтем $\frac{1}{3}$ из всех частей:
$-\pi - \frac{1}{3} \le \frac{3n}{2} \le 2\pi - \frac{1}{3}$
Умножим все части на $\frac{2}{3}$:
$\frac{2}{3}(-\pi - \frac{1}{3}) \le n \le \frac{2}{3}(2\pi - \frac{1}{3})$
Подставим приближенные значения:
$\frac{2}{3}(-3.14 - 0.33) \le n \le \frac{2}{3}(2 \cdot 3.14 - 0.33)$
$\frac{2}{3}(-3.47) \le n \le \frac{2}{3}(5.95)$
$-2.31 \le n \le 3.97$
Целые числа $n$, которые удовлетворяют этому условию: -2, -1, 0, 1, 2, 3.
Найдем соответствующие значения $t$:
При $n=-2: t = \frac{1}{3} + \frac{3(-2)}{2} = \frac{1}{3} - 3 = -\frac{8}{3}$
При $n=-1: t = \frac{1}{3} + \frac{3(-1)}{2} = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} = \frac{2-9}{6} = -\frac{7}{6}$
При $n=0: t = \frac{1}{3} + \frac{3(0)}{2} = \frac{1}{3}$
При $n=1: t = \frac{1}{3} + \frac{3(1)}{2} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{2+9}{6} = \frac{11}{6}$
При $n=2: t = \frac{1}{3} + \frac{3(2)}{2} = \frac{1}{3} + 3 = \frac{10}{3}$
При $n=3: t = \frac{1}{3} + \frac{3(3)}{2} = \frac{1}{3} + \frac{9}{2} = \frac{2+27}{6} = \frac{29}{6}$
На числовой прямой это точки с координатами $-\frac{8}{3} \approx -2.67$, $-\frac{7}{6} \approx -1.17$, $\frac{1}{3} \approx 0.33$, $\frac{11}{6} \approx 1.83$, $\frac{10}{3} \approx 3.33$, $\frac{29}{6} \approx 4.83$.
На числовой окружности это 6 различных точек, соответствующие этим значениям $t$.

Ответ: На числовой прямой и числовой окружности отмечены точки, соответствующие значениям $t \in \{-\frac{8}{3}, -\frac{7}{6}, \frac{1}{3}, \frac{11}{6}, \frac{10}{3}, \frac{29}{6}\}$.