Страница 77, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Рассмотрите данную функцию на каждом из указанных промежутков; если она на этом промежутке имеет обратную функцию, то задайте обратную функцию аналитически, укажите её область определения и область значений, постройте её график:

10.19. $y = x^2$:

а) на $\mathbb{R}$;

б) на $[1; +\infty)$;

в) на $(-1; 5];$

г) на $(-\infty; 0].$

а) на R;

Функция имеет обратную на данном промежутке тогда и только тогда, когда она на нем строго монотонна (строго возрастает или строго убывает). Функция $y = x^2$ убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$, следовательно, на всей числовой прямой $\mathbb{R}$ она не является монотонной. Например, для $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$ значения функции совпадают: $y(-2) = 4$ и $y(2) = 4$. Так как разным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, функция не является взаимно однозначной, и обратной для нее не существует.

Ответ: на промежутке $\mathbb{R}$ функция $y=x^2$ обратной не имеет.

б) на [1; +?);

На промежутке $[1, +\infty)$ функция $y = x^2$ является строго возрастающей, так как ее производная $y' = 2x$ положительна для всех $x \in [1, +\infty)$. Следовательно, на этом промежутке существует обратная функция.

Для нахождения обратной функции выразим $x$ из уравнения $y = x^2$. Получаем $x = \pm\sqrt{y}$. Так как по условию $x$ принадлежит промежутку $[1, +\infty)$, то есть $x \ge 1$, мы выбираем положительное значение корня: $x = \sqrt{y}$. Затем, поменяв местами переменные $x$ и $y$, получаем аналитическое выражение для обратной функции: $y = \sqrt{x}$.

Область определения исходной функции $D(f) = [1, +\infty)$. Область значений исходной функции на этом промежутке $E(f) = [1^2, +\infty) = [1, +\infty)$.

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной, а область значений обратной — с областью определения исходной. Таким образом, для обратной функции $y = \sqrt{x}$:

• Область определения: $D(f^{-1}) = [1, +\infty)$.
• Область значений: $E(f^{-1}) = [1, +\infty)$.

График обратной функции $y = \sqrt{x}$ (красный) симметричен графику исходной функции $y=x^2$ на промежутке $[1, +\infty)$ (синий) относительно прямой $y=x$ (серая пунктирная линия).

Ответ: обратная функция $y = \sqrt{x}$, её область определения $D(y) = [1, +\infty)$, область значений $E(y) = [1, +\infty)$.

в) на (–1; 5];

На промежутке $(-1, 5]$ функция $y = x^2$ не является монотонной. Она убывает на промежутке $(-1, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, 5]$. Например, $y(-0.5) = 0.25$ и $y(0.5) = 0.25$. Поскольку функция не является взаимно однозначной на данном промежутке, обратной для нее не существует.

Ответ: на промежутке $(-1, 5]$ функция $y=x^2$ обратной не имеет.

г) на (–?; 0].

На промежутке $(-\infty, 0]$ функция $y = x^2$ является строго убывающей, так как ее производная $y' = 2x$ неположительна для всех $x \in (-\infty, 0]$. Следовательно, на этом промежутке существует обратная функция.

Выразим $x$ из уравнения $y = x^2$: $x = \pm\sqrt{y}$. Так как по условию $x \in (-\infty, 0]$, то есть $x \le 0$, мы выбираем отрицательное значение корня: $x = -\sqrt{y}$. Поменяв местами $x$ и $y$, получаем обратную функцию: $y = -\sqrt{x}$.

Область определения исходной функции $D(f) = (-\infty, 0]$. Область значений исходной функции на этом промежутке $E(f) = [0, +\infty)$.

Для обратной функции $y = -\sqrt{x}$:

• Область определения: $D(f^{-1}) = [0, +\infty)$.
• Область значений: $E(f^{-1}) = (-\infty, 0]$.

График обратной функции $y = -\sqrt{x}$ (красный) симметричен графику исходной функции $y=x^2$ на промежутке $(-\infty, 0]$ (синий) относительно прямой $y=x$ (серая пунктирная линия).

Ответ: обратная функция $y = -\sqrt{x}$, её область определения $D(y) = [0, +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty, 0]$.

10.20. $y = x^2 - 2$:

a) на $\mathbb{R}$;

б) на $ [1; 2) $;

в) на $ (-1; 5] $;

г) на $ [-2; 0] $.

Для решения задачи найдем наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^2 - 2$ на заданных промежутках.

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола с ветвями, направленными вверх. Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ определяют точку глобального минимума функции.

Найдем координаты вершины. Для параболы вида $y = ax^2 + bx + c$ абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $y = 1 \cdot x^2 + 0 \cdot x - 2$, поэтому $a=1$, $b=0$.

$x_v = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.

Ордината вершины (минимальное значение функции): $y_v = y(x_v) = y(0) = 0^2 - 2 = -2$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0, -2)$.

а) на R;

Промежуток — вся числовая прямая $\mathbb{R}$. Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в своей вершине, но не имеет наибольшего значения (не ограничена сверху).

Наименьшее значение функции: $y_{min} = y_v = -2$ (достигается при $x=0$).

Наибольшего значения функция не имеет.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -2$, наибольшего значения не существует.

б) на [1; 2];

Рассматривается отрезок $[1; 2]$. Абсцисса вершины $x_v = 0$ не принадлежит этому отрезку.

На промежутке $[0; +\infty)$ функция $y = x^2 - 2$ является строго возрастающей. Поскольку отрезок $[1; 2]$ является частью этого промежутка, функция на нем также возрастает.

Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Наименьшее значение: $y_{min} = y(1) = 1^2 - 2 = 1 - 2 = -1$.

Наибольшее значение: $y_{max} = y(2) = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -1$, наибольшее значение $y_{max} = 2$.

в) на (-1; 5];

Рассматривается полуинтервал $(-1; 5]$. Абсцисса вершины $x_v = 0$ принадлежит этому промежутку.

Поскольку вершина параболы — это точка глобального минимума, то наименьшее значение на данном промежутке будет достигаться именно в этой точке.

Наименьшее значение: $y_{min} = y(0) = 0^2 - 2 = -2$.

Для нахождения наибольшего значения необходимо сравнить значения функции на концах промежутка, так как функция возрастает при удалении от вершины.

Сравним значения функции в точках, наиболее удаленных от вершины $x=0$: $x \to -1$ и $x = 5$.

Значение на правом конце: $y(5) = 5^2 - 2 = 25 - 2 = 23$.

Значение на левом конце (предел, так как точка не включена): $y(-1) = (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$.

Сравнивая значения $23$ и $-1$, видим, что наибольшее значение достигается в точке $x=5$, которая принадлежит данному промежутку.

Наибольшее значение: $y_{max} = 23$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -2$, наибольшее значение $y_{max} = 23$.

г) на [-2; 0].

Рассматривается отрезок $[-2; 0]$. Абсцисса вершины $x_v = 0$ является правым концом этого отрезка.

На промежутке $(-\infty; 0]$ функция $y = x^2 - 2$ является строго убывающей. Поскольку отрезок $[-2; 0]$ является частью этого промежутка, функция на нем также убывает.

Следовательно, наибольшее значение достигается на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Наибольшее значение: $y_{max} = y(-2) = (-2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$.

Наименьшее значение: $y_{min} = y(0) = 0^2 - 2 = -2$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -2$, наибольшее значение $y_{max} = 2$.

10.21. $y = (x + 3)^2 - 2$:

а) на $R$;

б) на $[-3; +\infty)$;

в) на $(-\infty; -3]$;

г) на $[-4; 4]$.

Данная функция $y = (x + 3)^2 - 2$ является квадратичной. Ее график — парабола.Общий вид уравнения параболы с вершиной в точке $(h; k)$ — это $y = a(x - h)^2 + k$.В нашем случае $a=1$, $h=-3$, $k=-2$.Следовательно, вершина параболы находится в точке $(-3; -2)$.Поскольку коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.Это означает, что в точке $x = -3$ функция достигает своего наименьшего значения, равного $-2$.В задаче требуется найти область значений функции на различных промежутках.

а) на R

Рассмотрим функцию на всей числовой прямой $\mathbb{R}$.Как мы установили, функция имеет глобальное наименьшее значение в вершине параболы.$y_{min} = y(-3) = -2$.Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция неограниченно возрастает при $x \to +\infty$ и при $x \to -\infty$.Следовательно, область значений функции (множество всех принимаемых функцией значений) на множестве всех действительных чисел — это все числа, большие или равные $-2$.
Ответ: $[-2; +\infty)$.

б) на [-3; +?)

На этом промежутке абсцисса вершины $x = -3$ является левой границей.Начиная с этой точки, функция является монотонно возрастающей, так как мы движемся от вершины вправо по параболе, ветви которой направлены вверх.Наименьшее значение на этом промежутке достигается в точке $x = -3$ и равно $y(-3) = -2$.Поскольку промежуток неограничен справа, функция будет принимать сколь угодно большие значения.Таким образом, область значений функции на промежутке $[-3; +\infty)$ начинается с $-2$ и уходит в бесконечность.
Ответ: $[-2; +\infty)$.

в) на (-?; -3]

На этом промежутке абсцисса вершины $x = -3$ является правой границей.На этом промежутке функция является монотонно убывающей, так как мы движемся к вершине слева по параболе.Наименьшее значение на этом промежутке также достигается в точке $x = -3$ и равно $y(-3) = -2$.Поскольку промежуток неограничен слева ($x \to -\infty$), значения функции неограниченно возрастают ($(x+3)^2 \to +\infty$).Следовательно, область значений функции на промежутке $(-\infty; -3]$ также начинается с $-2$ и уходит в бесконечность.
Ответ: $[-2; +\infty)$.

г) на [-4; 4]

Это замкнутый промежуток (отрезок). Чтобы найти область значений непрерывной функции на отрезке, нужно найти значения функции на его концах и в точке вершины, если она принадлежит отрезку.Абсцисса вершины $x = -3$ принадлежит отрезку $[-4; 4]$. Значение функции в этой точке является наименьшим для всей функции, а значит и для этого отрезка:$y_{min} = y(-3) = (-3 + 3)^2 - 2 = 0^2 - 2 = -2$.Теперь найдем значения функции на концах отрезка:При $x = -4$: $y(-4) = (-4 + 3)^2 - 2 = (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$.При $x = 4$: $y(4) = (4 + 3)^2 - 2 = 7^2 - 2 = 49 - 2 = 47$.Сравнивая полученные значения ($-2$, $-1$ и $47$), видим, что наименьшее значение на отрезке равно $-2$, а наибольшее равно $47$.Следовательно, область значений функции на отрезке $[-4; 4]$ — это все числа между $-2$ и $47$, включая концы.
Ответ: $[-2; 47]$.

10.22. $y = x^2 - 4x + 18$:

а) на $\mathbf{R}$;

б) на $[2; +\infty)$;

в) на $(-\infty; 0];$

г) на $(-\infty; 3)$.

Для нахождения множества значений функции $y = x^2 - 4x + 18$ на различных промежутках, сначала проанализируем саму функцию. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет точку минимума.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$, которая и является точкой минимума.

Абсцисса вершины находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

Ордината вершины (наименьшее значение функции) находится подстановкой $x_v$ в уравнение функции:

$y_v = y(2) = 2^2 - 4(2) + 18 = 4 - 8 + 18 = 14$

Итак, вершина параболы находится в точке $(2; 14)$. Функция убывает на промежутке $(-\infty; 2]$ и возрастает на промежутке $[2; +\infty)$.

а) на R;

Требуется найти множество значений функции на всей области определения (на множестве всех действительных чисел $\mathbf{R}$). Поскольку ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функции достигается в ее вершине и равно $y_{min} = 14$. Верхней границы у значений функции нет, так как при $x \to \pm\infty$, $y \to +\infty$. Таким образом, множество значений функции — это все числа от 14, включая 14, до плюс бесконечности.

Ответ: $[14; +\infty)$.

б) на $[2; +\infty)$;

Данный промежуток $[2; +\infty)$ начинается в точке $x=2$, которая является абсциссой вершины параболы. На этом промежутке функция монотонно возрастает. Следовательно, наименьшее значение на этом промежутке функция принимает в его начальной точке $x=2$, и оно равно $y(2)=14$. Так как промежуток не ограничен справа, функция также не ограничена сверху. Множество значений совпадает с множеством значений на всей прямой $\mathbf{R}$.

Ответ: $[14; +\infty)$.

в) на $(-\infty; 0]$;

Промежуток $(-\infty; 0]$ полностью находится левее вершины параболы, абсцисса которой $x_v=2$. На всем промежутке $(-\infty; 2]$ функция монотонно убывает, значит, она убывает и на промежутке $(-\infty; 0]$. Наименьшее значение на этом отрезке будет достигаться на его правом конце, в точке $x=0$.

$y(0) = 0^2 - 4(0) + 18 = 18$.

Поскольку промежуток неограничен слева, при $x \to -\infty$, $y \to +\infty$. Таким образом, множество значений функции на данном промежутке начинается от $18$ и уходит в бесконечность.

Ответ: $[18; +\infty)$.

г) на $(-\infty; 3)$;

Данный промежуток $(-\infty; 3)$ содержит точку минимума функции $x_v=2$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом промежутке будет равно ординате вершины, то есть $y_{min} = 14$. Поскольку промежуток уходит в минус бесконечность, функция не ограничена сверху (при $x \to -\infty$, $y \to +\infty$). Значение функции в правой граничной точке $x=3$ равно $y(3) = 3^2 - 4(3) + 18 = 9 - 12 + 18 = 15$. Но так как функция уже принимает все значения от 14 до бесконечности на части промежутка $(-\infty; 2]$, то множество значений на всем промежутке $(-\infty; 3)$ будет от минимума до плюс бесконечности.

Ответ: $[14; +\infty)$.