Страница 74, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

10.4. Для функции, заданной табличным способом, укажите её область определения и выясните, имеет эта функция в своей области определения обратную функцию или нет; в случае положительного ответа постройте график обратной функции:

a) x: 1, 2, 5, 7

y: 3, 4, 7, 3

б) x: $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{8}$, 5, 7

y: $\frac{1}{5}$, $\frac{2}{3}$, $0.\overline{6}$, $1.\overline{4}$

в) x: 1, 2, 3, 7

y: 5, 8, 9, 1

г) x: -1, 1, 2, 5

y: 4, $1.\overline{7}$, $1\frac{2}{3}$, 1

а)

Функция задана следующей таблицей:

1. Область определения функции — это множество всех значений аргумента (x). Для данной функции область определения: $D(y) = \{1, 2, 5, 7\}$.

2. Существование обратной функции. Функция имеет обратную, если она является взаимно однозначной, то есть каждому значению аргумента $x$ соответствует уникальное значение функции $y$. В данной таблице мы видим, что значению $y=3$ соответствуют два разных значения аргумента: $x=1$ и $x=7$. Поскольку функция не является взаимно однозначной, она не имеет обратной функции.

Ответ: Область определения: $D(y) = \{1, 2, 5, 7\}$. Обратной функции не существует, так как разным значениям аргумента ($x=1$ и $x=7$) соответствует одно и то же значение функции ($y=3$).

б)

Функция задана следующей таблицей:

1. Область определения функции: $D(y) = \{\frac{1}{3}, \frac{1}{8}, 5, 7\}$.

2. Существование обратной функции. Сначала преобразуем периодические десятичные дроби в обыкновенные: $0,(6) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ и $1,(4) = 1 + 0,(4) = 1 + \frac{4}{9} = \frac{13}{9}$. Теперь значения $y$: $\{\frac{1}{5}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{13}{9}\}$. Мы видим, что значению $y=\frac{2}{3}$ соответствуют два разных значения аргумента: $x=\frac{1}{8}$ и $x=5$. Следовательно, функция не является взаимно однозначной и не имеет обратной функции.

Ответ: Область определения: $D(y) = \{\frac{1}{3}, \frac{1}{8}, 5, 7\}$. Обратной функции не существует, так как разным значениям аргумента ($x=\frac{1}{8}$ и $x=5$) соответствует одно и то же значение функции ($y=\frac{2}{3}$).

в)

Функция задана следующей таблицей:

1. Область определения функции: $D(y) = \{1, 2, 3, 7\}$.

2. Существование обратной функции. Значения функции: $\{5, 8, 9, 1\}$. Все значения $y$ различны. Следовательно, функция является взаимно однозначной и имеет обратную функцию.

3. Построение графика обратной функции. Для нахождения обратной функции нужно поменять местами значения $x$ и $y$.

Таблица значений для обратной функции:

График обратной функции состоит из набора точек, которые нужно отметить и соединить на координатной плоскости: $(5, 1)$, $(8, 2)$, $(9, 3)$, $(1, 7)$.

Ответ: Область определения: $D(y) = \{1, 2, 3, 7\}$. Обратная функция существует. График обратной функции состоит из точек с координатами $(5, 1), (8, 2), (9, 3), (1, 7)$.

г)

Функция задана следующей таблицей:

1. Область определения функции: $D(y) = \{-1, 1, 2, 5\}$.

2. Существование обратной функции. Преобразуем значения $y$: $1,(7) = 1 + \frac{7}{9} = \frac{16}{9}$ и $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$. Значения функции: $\{4, \frac{16}{9}, \frac{5}{3}, 1\}$. Чтобы сравнить эти значения, приведем их к общему знаменателю 9: $\{ \frac{36}{9}, \frac{16}{9}, \frac{15}{9}, \frac{9}{9} \}$. Все значения $y$ различны. Следовательно, функция является взаимно однозначной и имеет обратную функцию.

3. Построение графика обратной функции. Меняем местами значения $x$ и $y$.

Таблица значений для обратной функции:

График обратной функции состоит из набора точек: $(4, -1)$, $(\frac{16}{9}, 1)$, $(\frac{5}{3}, 2)$, $(1, 5)$.

Ответ: Область определения: $D(y) = \{-1, 1, 2, 5\}$. Обратная функция существует. График обратной функции состоит из точек с координатами $(4, -1)$, $(\frac{16}{9}, 1)$, $(\frac{5}{3}, 2)$, $(1, 5)$.