Страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

9.7. Является ли функция $y = f(x)$ периодической:

а) $f(x) = 2;$

б) $f(x) = \frac{1 - x^4}{1 - x^2} - \sqrt{x^4};$

в) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3} - 3;$

г) $f(x) = \frac{1 - x^4}{1 + x^2} + \sqrt{x^4}?$

а)
Функция $f(x) = 2$ является константой. Область определения этой функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
По определению, функция $f(x)$ является периодической, если существует такое число $T \ne 0$, называемое периодом функции, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
Для функции $f(x) = 2$ имеем:
$f(x) = 2$
$f(x+T) = 2$
Следовательно, равенство $f(x+T) = f(x)$ выполняется для любого $x \in R$ и для любого числа $T$. Это означает, что любое число $T > 0$ является периодом данной функции. Таким образом, функция является периодической.
Ответ: да, является.

б)
Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1 - x^4}{1 - x^2} - \sqrt{x^4}$.
Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $1 - x^2 \ne 0$, что означает $x \ne 1$ и $x \ne -1$. Выражение под корнем $x^4 \ge 0$ для всех $x$. Таким образом, область определения функции: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.
Упростим выражение для функции. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{1 - x^4}{1 - x^2} = \frac{(1 - x^2)(1 + x^2)}{1 - x^2} = 1 + x^2$ при $x \ne \pm 1$.
Также, $\sqrt{x^4} = \sqrt{(x^2)^2} = |x^2| = x^2$.
Подставляя упрощенные части обратно в функцию, получаем:
$f(x) = (1 + x^2) - x^2 = 1$ для всех $x$ из области определения.
Таким образом, мы имеем функцию $f(x) = 1$ с областью определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.
Для того чтобы функция была периодической с периодом $T$, ее область определения также должна быть периодической. Это означает, что если $x \in D(f)$, то и $x+T \in D(f)$ и $x-T \in D(f)$.
Предположим, что функция является периодической с некоторым периодом $T > 0$. Возьмем точку $x = -1 - T$. Эта точка принадлежит $D(f)$ для любого $T>0$. Однако, $x+T = (-1-T)+T = -1$, а точка $-1$ не принадлежит области определения $D(f)$.
Так как область определения функции не является периодической ни для какого $T>0$, то и сама функция не может быть периодической.
Ответ: нет, не является.

в)
Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3} - 3$.
Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x - 3 \ne 0$, что означает $x \ne 3$. Область определения: $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
Упростим выражение для функции, используя формулу разности квадратов:
$\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3$ при $x \ne 3$.
Подставляя упрощенное выражение, получаем:
$f(x) = (x + 3) - 3 = x$ для всех $x$ из области определения.
Итак, мы имеем функцию $f(x) = x$ с "выколотой" точкой при $x=3$.
Проверим, является ли эта функция периодической. Предположим, что она периодическая с периодом $T > 0$. Тогда для любого $x \in D(f)$ должно выполняться равенство $f(x+T) = f(x)$.
Это означает, что $x+T = x$, что приводит к $T=0$. Но период должен быть строго больше нуля ($T > 0$). Получили противоречие.
Кроме того, как и в предыдущем пункте, область определения $D(f)$ не является периодической. Например, для любого $T>0$ точка $x = 3 - T$ принадлежит $D(f)$, но точка $x+T = 3$ не принадлежит $D(f)$.
Следовательно, функция не является периодической.
Ответ: нет, не является.

г)
Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1 - x^4}{1 + x^2} + \sqrt{x^4}$.
Найдем область определения функции. Знаменатель $1 + x^2$ всегда положителен ($1 + x^2 \ge 1$), так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$. Таким образом, знаменатель никогда не равен нулю. Выражение под корнем $x^4 \ge 0$ для всех $x$. Следовательно, область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
Упростим выражение для функции. Используем формулу разности квадратов:
$\frac{1 - x^4}{1 + x^2} = \frac{(1 - x^2)(1 + x^2)}{1 + x^2} = 1 - x^2$.
Также, $\sqrt{x^4} = |x^2| = x^2$.
Подставляя упрощенные части, получаем:
$f(x) = (1 - x^2) + x^2 = 1$.
Таким образом, функция $f(x) = 1$ для всех $x \in R$. Это константная функция, определенная на всей числовой оси.
Как и в пункте а), для любой константной функции, определенной на всей числовой прямой, равенство $f(x+T) = f(x)$ ($1 = 1$) выполняется для любого $x$ и любого $T$. Следовательно, любое число $T > 0$ является периодом, и функция является периодической.
Ответ: да, является.

9.8. Докажите:

а) если 3 — период функции $y = f(x)$, то 6 — также период данной функции;

б) если 9 — период функции $y = f(x)$, то 9 — период функции $y = 5f(x + 2) - 1$;

в) если 2 — период функции $y = f(x)$, то 8 — также период данной функции;

г) если 5 — период функции $y = f(x)$, то 5 — период функции $y = -3f(2 - x) + 25$.

а) По определению, если число $T$ является периодом функции $f(x)$, то для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Нам дано, что 3 — период функции $y=f(x)$, то есть для любого $x$ из области определения верно $f(x+3) = f(x)$.

Нужно доказать, что 6 также является периодом, то есть что $f(x+6) = f(x)$.

Рассмотрим $f(x+6)$. Мы можем представить аргумент $x+6$ как $(x+3)+3$.

Тогда $f(x+6) = f((x+3)+3)$.

Так как 3 является периодом, то $f(z+3) = f(z)$ для любого аргумента $z$. Если мы возьмем в качестве $z$ выражение $x+3$, то получим $f((x+3)+3) = f(x+3)$.

Из условия мы знаем, что $f(x+3)=f(x)$.

Таким образом, мы построили цепочку равенств: $f(x+6) = f(x+3) = f(x)$.

Это доказывает, что 6 также является периодом функции $y=f(x)$. В общем случае, если $T$ — период функции, то и любое число вида $nT$, где $n$ — целое и не равное нулю число, также является периодом.

Ответ: доказано, что если 3 — период функции $y = f(x)$, то 6 — также период данной функции.

б) По условию, 9 — период функции $y=f(x)$, значит, для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x+9) = f(x)$.

Рассмотрим функцию $g(x) = 5f(x+2) - 1$. Чтобы доказать, что 9 является периодом этой функции, нам нужно показать, что $g(x+9) = g(x)$.

Найдем значение функции $g(x)$ в точке $x+9$:

$g(x+9) = 5f((x+9)+2) - 1$

Перегруппируем слагаемые в аргументе функции $f$:

$g(x+9) = 5f((x+2)+9) - 1$

Поскольку 9 является периодом для функции $f$, то для любого аргумента $z$ выполняется $f(z+9) = f(z)$. Пусть $z = x+2$. Тогда $f((x+2)+9) = f(x+2)$.

Подставим это обратно в выражение для $g(x+9)$:

$g(x+9) = 5f(x+2) - 1$

Мы видим, что правая часть этого равенства в точности совпадает с определением функции $g(x)$.

Таким образом, мы доказали, что $g(x+9) = g(x)$, а значит, 9 является периодом функции $y = 5f(x+2) - 1$.

Ответ: доказано, что если 9 — период функции $y = f(x)$, то 9 — период функции $y = 5f(x+2) - 1$.

в) Данное утверждение аналогично пункту а).

Дано, что 2 — период функции $y=f(x)$, то есть $f(x+2) = f(x)$ для любого $x$ из области определения.

Нужно доказать, что 8 также является периодом, то есть что $f(x+8) = f(x)$.

Используя последовательно определение периода, получаем:

$f(x+8) = f((x+6)+2) = f(x+6) = f((x+4)+2) = f(x+4) = f((x+2)+2) = f(x+2) = f(x)$.

Цепочка равенств показывает, что $f(x+8)=f(x)$, следовательно, 8 также является периодом функции $y=f(x)$.

Ответ: доказано, что если 2 — период функции $y = f(x)$, то 8 — также период данной функции.

г) По условию, 5 — период функции $y=f(x)$, что означает $f(z+5) = f(z)$ для любого $z$ из области определения. Отсюда также следует, что $f(z-5) = f(z)$, так как $f(z-5) = f((z-5)+5) = f(z)$.

Рассмотрим функцию $h(x) = -3f(2-x) + 25$. Нам нужно доказать, что 5 является периодом этой функции, то есть что $h(x+5) = h(x)$.

Найдем значение функции $h(x)$ в точке $x+5$:

$h(x+5) = -3f(2-(x+5)) + 25$

Упростим выражение в аргументе функции $f$:

$h(x+5) = -3f(2-x-5) + 25 = -3f((2-x)-5) + 25$

Поскольку 5 является периодом для функции $f$, то для любого аргумента $z$ выполняется $f(z-5) = f(z)$. Пусть $z = 2-x$. Тогда $f((2-x)-5) = f(2-x)$.

Подставим полученное выражение обратно:

$h(x+5) = -3f(2-x) + 25$

Правая часть этого равенства совпадает с определением функции $h(x)$.

Таким образом, $h(x+5) = h(x)$, что и доказывает, что 5 является периодом функции $y = -3f(2-x) + 25$.

Ответ: доказано, что если 5 — период функции $y = f(x)$, то 5 — период функции $y = -3f(2-x) + 25$.

9.9. Докажите:

а) если 3 — период функции $y = f(x)$, то 6 — период функции $y = 5f(0,5x + 2) - 1$;

б) если 9 — период функции $y = f(x)$, то 3 — период функции $y = 3 - 1,4f(3x - 7)$;

в) если 2 — период функции $y = f(x)$, то 3 — период функции $y = 100f\left(\frac{2x - 11}{3}\right) + 7$;

г) если 5 — период функции $y = f(x)$, то 1 — период функции $y = 81 - 3f(0,7 - 5x)$.

а)

По определению, если число $T$ является периодом функции $y=f(x)$, то для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

По условию, 3 — период функции $y=f(x)$. Это означает, что для любого допустимого значения $z$ выполняется равенство $f(z+3) = f(z)$.

Рассмотрим функцию $g(x) = 5f(0,5x + 2) - 1$. Чтобы доказать, что 6 является её периодом, необходимо показать, что $g(x+6) = g(x)$.

Найдем значение $g(x+6)$, подставив $x+6$ вместо $x$ в выражение для функции:

$g(x+6) = 5f(0,5(x+6) + 2) - 1$

Раскроем скобки в аргументе функции $f$:

$g(x+6) = 5f(0,5x + 0,5 \cdot 6 + 2) - 1 = 5f(0,5x + 3 + 2) - 1$

Сгруппируем слагаемые в аргументе, чтобы выделить исходный аргумент и период:

$g(x+6) = 5f((0,5x + 2) + 3) - 1$

Пусть $z = 0,5x + 2$. Тогда выражение примет вид $5f(z+3) - 1$.

Так как 3 — период функции $f$, то $f(z+3) = f(z)$. Следовательно:

$5f(z+3) - 1 = 5f(z) - 1$

Теперь вернемся к переменной $x$, подставив обратно $z = 0,5x + 2$:

$5f(0,5x + 2) - 1$

Это выражение в точности совпадает с исходной функцией $g(x)$.

Таким образом, мы доказали, что $g(x+6) = g(x)$, а значит, 6 — период функции $y = 5f(0,5x + 2) - 1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

По условию, 9 — период функции $y=f(x)$. Это означает, что для любого допустимого значения $z$ выполняется равенство $f(z+9) = f(z)$.

Рассмотрим функцию $g(x) = 3 - 1,4f(3x - 7)$. Чтобы доказать, что 3 является её периодом, необходимо показать, что $g(x+3) = g(x)$.

Найдем значение $g(x+3)$, подставив $x+3$ вместо $x$:

$g(x+3) = 3 - 1,4f(3(x+3) - 7)$

Раскроем скобки в аргументе функции $f$:

$g(x+3) = 3 - 1,4f(3x + 3 \cdot 3 - 7) = 3 - 1,4f(3x + 9 - 7)$

Сгруппируем слагаемые:

$g(x+3) = 3 - 1,4f((3x - 7) + 9)$

Пусть $z = 3x - 7$. Тогда выражение примет вид $3 - 1,4f(z+9)$.

Так как 9 — период функции $f$, то $f(z+9) = f(z)$. Следовательно:

$3 - 1,4f(z+9) = 3 - 1,4f(z)$

Вернемся к переменной $x$, подставив обратно $z = 3x - 7$:

$3 - 1,4f(3x - 7)$

Это выражение совпадает с исходной функцией $g(x)$.

Таким образом, мы доказали, что $g(x+3) = g(x)$, а значит, 3 — период функции $y = 3 - 1,4f(3x - 7)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в)

По условию, 2 — период функции $y=f(x)$. Это означает, что для любого допустимого значения $z$ выполняется равенство $f(z+2) = f(z)$.

Рассмотрим функцию $g(x) = 100f\left(\frac{2x - 11}{3}\right) + 7$. Чтобы доказать, что 3 является её периодом, необходимо показать, что $g(x+3) = g(x)$.

Найдем значение $g(x+3)$:

$g(x+3) = 100f\left(\frac{2(x+3) - 11}{3}\right) + 7$

Преобразуем аргумент функции $f$:

$g(x+3) = 100f\left(\frac{2x + 6 - 11}{3}\right) + 7 = 100f\left(\frac{2x - 11 + 6}{3}\right) + 7$

Разделим дробь на два слагаемых:

$g(x+3) = 100f\left(\frac{2x - 11}{3} + \frac{6}{3}\right) + 7 = 100f\left(\left(\frac{2x - 11}{3}\right) + 2\right) + 7$

Пусть $z = \frac{2x - 11}{3}$. Тогда выражение примет вид $100f(z+2) + 7$.

Так как 2 — период функции $f$, то $f(z+2) = f(z)$. Следовательно:

$100f(z+2) + 7 = 100f(z) + 7$

Вернемся к переменной $x$:

$100f\left(\frac{2x - 11}{3}\right) + 7$

Это выражение совпадает с исходной функцией $g(x)$.

Таким образом, мы доказали, что $g(x+3) = g(x)$, а значит, 3 — период функции $y = 100f\left(\frac{2x - 11}{3}\right) + 7$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

г)

По условию, 5 — период функции $y=f(x)$. Это означает, что для любого допустимого значения $z$ выполняется равенство $f(z+5) = f(z)$. Из этого также следует, что $f(z-5) = f(z)$, так как $f(z-5) = f((z-5)+5) = f(z)$.

Рассмотрим функцию $g(x) = 81 - 3f(0,7 - 5x)$. Чтобы доказать, что 1 является её периодом, необходимо показать, что $g(x+1) = g(x)$.

Найдем значение $g(x+1)$:

$g(x+1) = 81 - 3f(0,7 - 5(x+1))$

Раскроем скобки в аргументе функции $f$:

$g(x+1) = 81 - 3f(0,7 - 5x - 5)$

Сгруппируем слагаемые:

$g(x+1) = 81 - 3f((0,7 - 5x) - 5)$

Пусть $z = 0,7 - 5x$. Тогда выражение примет вид $81 - 3f(z-5)$.

Так как 5 — период функции $f$, то $f(z-5) = f(z)$. Следовательно:

$81 - 3f(z-5) = 81 - 3f(z)$

Вернемся к переменной $x$:

$81 - 3f(0,7 - 5x)$

Это выражение совпадает с исходной функцией $g(x)$.

Таким образом, мы доказали, что $g(x+1) = g(x)$, а значит, 1 — период функции $y = 81 - 3f(0,7 - 5x)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

9.10. Докажите, что если период функции $y = f(x)$ равен $T$, то

а) период функции $y = k \cdot f(x + a) + b$ $(k \neq 0)$ равен $T$;

б) период функции $y = kf(px + a) + b$ $(pk \neq 0)$ равен $\frac{T}{|p|}$.

Пусть дана функция $g(x) = k \cdot f(x+a) + b$, где $k \ne 0$. По условию, функция $y = f(x)$ является периодической с основным (наименьшим положительным) периодом $T$. Это означает, что для любого $z$ из области определения функции $f$ выполняется равенство $f(z+T) = f(z)$, и $T$ — наименьшее положительное число с таким свойством.

Рассмотрим значение функции $g(x)$ в точке $x+T$:$g(x+T) = k \cdot f((x+T)+a) + b$.

Перегруппируем слагаемые в аргументе функции $f$:$g(x+T) = k \cdot f((x+a)+T) + b$.

Обозначим $z = x+a$. Тогда выражение принимает вид $k \cdot f(z+T) + b$. Так как $T$ — период функции $f$, то $f(z+T) = f(z)$. Следовательно:$k \cdot f(z+T) + b = k \cdot f(z) + b$.

Подставив обратно $z = x+a$, получаем:$k \cdot f(x+a) + b$, что равно $g(x)$.

Таким образом, мы показали, что $g(x+T) = g(x)$, то есть $T$ является периодом функции $g(x)$.

Теперь докажем, что $T$ — это наименьший положительный период. Предположим, что существует период $T_1$ функции $g(x)$ такой, что $0 < T_1 < T$.Тогда по определению периода должно выполняться равенство $g(x+T_1) = g(x)$ для всех $x$:$k \cdot f(x+T_1+a) + b = k \cdot f(x+a) + b$.

Вычтем $b$ из обеих частей и, так как $k \ne 0$, разделим на $k$:$f(x+T_1+a) = f(x+a)$, или $f((x+a)+T_1) = f(x+a)$.

Пусть снова $z = x+a$. Тогда для любого $z$ из области определения $f$ выполняется $f(z+T_1) = f(z)$. Это означает, что $T_1$ является периодом функции $f(x)$.Это противоречит условию, что $T$ — наименьший положительный период функции $f(x)$, так как мы предположили, что $0 < T_1 < T$.Следовательно, наше предположение неверно, и не существует периода, меньшего чем $T$.Значит, $T$ — наименьший положительный период функции $y = k \cdot f(x+a) + b$.

Ответ: Период функции $y = k \cdot f(x + a) + b$ равен $T$.

Пусть дана функция $h(x) = k \cdot f(px+a) + b$, где $pk \ne 0$. По условию, функция $y = f(x)$ является периодической с основным периодом $T$, то есть $f(z+T) = f(z)$ для любого $z$ из области определения.

Мы хотим доказать, что периодом функции $h(x)$ является число $T_h = \frac{T}{|p|}$.Проверим выполнение равенства $h(x+T_h) = h(x)$.$h(x+T_h) = k \cdot f(p(x+T_h) + a) + b$.

Подставим значение $T_h = \frac{T}{|p|}$:$h(x+\frac{T}{|p|}) = k \cdot f(p(x+\frac{T}{|p|}) + a) + b = k \cdot f(px + p\frac{T}{|p|} + a) + b$.

Рассмотрим выражение $p\frac{T}{|p|}$.Если $p > 0$, то $|p|=p$, и $p\frac{T}{p} = T$.Если $p < 0$, то $|p|=-p$, и $p\frac{T}{-p} = -T$.В обоих случаях $p\frac{T}{|p|} = T \cdot \text{sgn}(p)$, где $\text{sgn}(p)$ — функция знака числа $p$, равная $1$ или $-1$.

Тогда выражение для $h(x+T_h)$ принимает вид:$k \cdot f(px + a + T \cdot \text{sgn}(p)) + b$.

Обозначим $z = px+a$. Так как $T$ — период функции $f$, то $f(z+T) = f(z)$ и $f(z-T) = f(z)$. В общем виде, $f(z+nT)=f(z)$ для любого целого $n$.Поскольку $\text{sgn}(p)$ равно либо $1$, либо $-1$, то $f(z + T \cdot \text{sgn}(p)) = f(z)$.

Следовательно:$k \cdot f(px + a + T \cdot \text{sgn}(p)) + b = k \cdot f(px+a) + b = h(x)$.

Мы показали, что $h(x+\frac{T}{|p|}) = h(x)$, значит $\frac{T}{|p|}$ является периодом функции $h(x)$.

Теперь докажем, что это наименьший положительный период. Предположим, что существует период $T_1$ функции $h(x)$ такой, что $0 < T_1 < \frac{T}{|p|}$.Тогда $h(x+T_1) = h(x)$ для всех $x$:$k \cdot f(p(x+T_1)+a) + b = k \cdot f(px+a) + b$.

Упростим, учитывая, что $k \ne 0$:$f(px + pT_1 + a) = f(px+a)$, или $f((px+a) + pT_1) = f(px+a)$.

Пусть $z = px+a$. Тогда для любого $z$ из области определения $f$ имеем $f(z+pT_1) = f(z)$. Это означает, что число $pT_1$ является периодом функции $f(x)$.

Так как $T$ — основной (наименьший положительный) период функции $f(x)$, то любой ее период должен быть кратен $T$. То есть, $pT_1 = nT$ для некоторого целого числа $n \ne 0$. Отсюда $T_1 = \frac{nT}{p}$.

Поскольку $T_1$ — положительный период, $T_1 > 0$. Возьмем модуль от обеих частей равенства:$T_1 = |\frac{nT}{p}| = \frac{|n|T}{|p|}$.

Наименьшее положительное значение $T_1$ будет при наименьшем натуральном значении $|n|$, то есть при $|n|=1$. Значит, наименьший положительный период функции $h(x)$ равен $\frac{1 \cdot T}{|p|} = \frac{T}{|p|}$.

Это противоречит нашему предположению, что $0 < T_1 < \frac{T}{|p|}$. Следовательно, предположение неверно.Наименьший положительный период функции $y = k \cdot f(px+a) + b$ равен $\frac{T}{|p|}$.

Ответ: Период функции $y = kf(px + a) + b$ равен $\frac{T}{|p|}$.

9.11. Пусть период функции $y = f(x)$ равен $T_1$, а период функции $y = g(x)$ равен $T_2$. Докажите, что период функции $y = h(x)$ равен $T_3$:

а) $T_1 = 2, T_2 = 7, h(x) = 5f(x) - 3g(x), T_3 = 14;$

б) $T_1 = 15, T_2 = 10, h(x) = 8f(x) + 5g(x), T_3 = 30;$

в) $T_1 = 3, T_2 = 13, h(x) = 0.2f(x - 3) - g(x + 11), T_3 = 39;$

г) $T_1 = \frac{\sqrt{13}}{15}, T_2 = \frac{\sqrt{13}}{10}, h(x) = 5f(x) - 3g(x), T_3 = \frac{\sqrt{13}}{5}.$

а) Дано: период функции $y=f(x)$ равен $T_1 = 2$, период функции $y=g(x)$ равен $T_2 = 7$. Функция $h(x) = 5f(x) - 3g(x)$. Требуется доказать, что период функции $h(x)$ равен $T_3=14$.

Доказательство:

1. Проверим, является ли $T_3 = 14$ периодом для функции $h(x)$. Для этого нужно убедиться, что $h(x + T_3) = h(x)$ для любого $x$ из области определения.

$h(x + 14) = 5f(x + 14) - 3g(x + 14)$.

Так как период функции $f(x)$ равен $T_1=2$, то $f(x + 14) = f(x + 7 \cdot 2) = f(x + 7T_1) = f(x)$.

Так как период функции $g(x)$ равен $T_2=7$, то $g(x + 14) = g(x + 2 \cdot 7) = g(x + 2T_2) = g(x)$.

Подставляя эти результаты в выражение для $h(x + 14)$, получаем:

$h(x + 14) = 5f(x) - 3g(x) = h(x)$.

Следовательно, $T_3=14$ является периодом функции $h(x)$.

2. Теперь докажем, что $T_3=14$ является наименьшим положительным периодом. Период линейной комбинации функций является наименьшим общим кратным (НОК) периодов этих функций. Период функции $5f(x)$ совпадает с периодом $f(x)$ и равен $T_1=2$. Период функции $3g(x)$ совпадает с периодом $g(x)$ и равен $T_2=7$.

Найдем НОК($T_1, T_2$):

$T = \text{НОК}(2, 7) = 14$.

Поскольку НОК(2, 7) = 14, наименьший положительный период функции $h(x)$ равен 14. Это совпадает с заданным значением $T_3$.

Ответ: Доказано, что период функции $h(x)$ равен $T_3 = 14$.

б) Дано: период функции $y=f(x)$ равен $T_1 = 15$, период функции $y=g(x)$ равен $T_2 = 10$. Функция $h(x) = 8f(x) + 5g(x)$. Требуется доказать, что период функции $h(x)$ равен $T_3=30$.

Доказательство:

1. Проверим, является ли $T_3 = 30$ периодом для функции $h(x)$.

$h(x + 30) = 8f(x + 30) + 5g(x + 30)$.

Так как $T_1=15$, то $f(x + 30) = f(x + 2 \cdot 15) = f(x + 2T_1) = f(x)$.

Так как $T_2=10$, то $g(x + 30) = g(x + 3 \cdot 10) = g(x + 3T_2) = g(x)$.

Следовательно, $h(x + 30) = 8f(x) + 5g(x) = h(x)$.

Таким образом, $T_3=30$ является периодом функции $h(x)$.

2. Докажем, что это наименьший положительный период. Период $h(x)$ равен НОК периодов функций $8f(x)$ и $5g(x)$. Период $8f(x)$ равен $T_1=15$, а период $5g(x)$ равен $T_2=10$.

Найдем НОК($T_1, T_2$):

$T = \text{НОК}(15, 10)$.

Разложим числа на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$, $10 = 2 \cdot 5$.

$\text{НОК}(15, 10) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

Наименьший положительный период функции $h(x)$ равен 30, что совпадает с $T_3$.

Ответ: Доказано, что период функции $h(x)$ равен $T_3 = 30$.

в) Дано: период функции $y=f(x)$ равен $T_1 = 3$, период функции $y=g(x)$ равен $T_2 = 13$. Функция $h(x) = 0,2f(x - 3) - g(x + 11)$. Требуется доказать, что период функции $h(x)$ равен $T_3=39$.

Доказательство:

Сначала определим периоды слагаемых функции $h(x)$. Период функции $f_1(x) = 0,2f(x-3)$ равен периоду функции $f(x)$, так как умножение на константу и сдвиг аргумента не меняют период. Таким образом, период $f_1(x)$ равен $T_1=3$. Аналогично, период функции $g_1(x) = g(x+11)$ равен периоду функции $g(x)$, то есть $T_2=13$.

1. Проверим, является ли $T_3 = 39$ периодом для функции $h(x)$.

$h(x + 39) = 0,2f((x + 39) - 3) - g((x + 39) + 11) = 0,2f((x - 3) + 39) - g((x + 11) + 39)$.

Для первого слагаемого: $39 = 13 \cdot 3 = 13T_1$. Значит, $f((x - 3) + 39) = f((x-3) + 13T_1) = f(x-3)$.

Для второго слагаемого: $39 = 3 \cdot 13 = 3T_2$. Значит, $g((x + 11) + 39) = g((x+11) + 3T_2) = g(x+11)$.

Следовательно, $h(x + 39) = 0,2f(x-3) - g(x+11) = h(x)$.

Таким образом, $T_3=39$ является периодом функции $h(x)$.

2. Докажем, что это наименьший положительный период. Период $h(x)$ равен НОК периодов ее слагаемых, то есть НОК(3, 13).

$T = \text{НОК}(3, 13) = 3 \cdot 13 = 39$, так как 3 и 13 — взаимно простые числа.

Наименьший положительный период функции $h(x)$ равен 39, что совпадает с $T_3$.

Ответ: Доказано, что период функции $h(x)$ равен $T_3 = 39$.

г) Дано: период функции $y=f(x)$ равен $T_1 = \frac{\sqrt{13}}{15}$, период функции $y=g(x)$ равен $T_2 = \frac{\sqrt{13}}{10}$. Функция $h(x) = 5f(x) - 3g(x)$. Требуется доказать, что период функции $h(x)$ равен $T_3 = \frac{\sqrt{13}}{5}$.

Доказательство:

1. Проверим, является ли $T_3 = \frac{\sqrt{13}}{5}$ периодом для функции $h(x)$. Для этого нужно показать, что $T_3$ является целым кратным для $T_1$ и $T_2$.

Найдем отношение $T_3$ к $T_1$: $\frac{T_3}{T_1} = \frac{\sqrt{13}/5}{\sqrt{13}/15} = \frac{\sqrt{13}}{5} \cdot \frac{15}{\sqrt{13}} = \frac{15}{5} = 3$.

Следовательно, $T_3 = 3T_1$. Поэтому $f(x + T_3) = f(x + 3T_1) = f(x)$.

Найдем отношение $T_3$ к $T_2$: $\frac{T_3}{T_2} = \frac{\sqrt{13}/5}{\sqrt{13}/10} = \frac{\sqrt{13}}{5} \cdot \frac{10}{\sqrt{13}} = \frac{10}{5} = 2$.

Следовательно, $T_3 = 2T_2$. Поэтому $g(x + T_3) = g(x + 2T_2) = g(x)$.

Теперь проверим функцию $h(x)$:

$h(x + T_3) = 5f(x + T_3) - 3g(x + T_3) = 5f(x) - 3g(x) = h(x)$.

Таким образом, $T_3$ является периодом функции $h(x)$.

2. Докажем, что это наименьший положительный период. Период $T$ функции $h(x)$ должен быть наименьшим положительным числом, для которого существуют целые числа $k$ и $m$ такие, что $T = k \cdot T_1 = m \cdot T_2$.

$k \cdot \frac{\sqrt{13}}{15} = m \cdot \frac{\sqrt{13}}{10}$.

Разделив обе части на $\sqrt{13}$, получаем: $\frac{k}{15} = \frac{m}{10}$, или $10k = 15m$, что эквивалентно $2k = 3m$.

Наименьшие натуральные числа $k$ и $m$, удовлетворяющие этому равенству, это $k=3$ и $m=2$.

Подставим $k=3$ в выражение для периода: $T = 3 \cdot T_1 = 3 \cdot \frac{\sqrt{13}}{15} = \frac{\sqrt{13}}{5}$.

Подставим $m=2$ в выражение для периода: $T = 2 \cdot T_2 = 2 \cdot \frac{\sqrt{13}}{10} = \frac{\sqrt{13}}{5}$.

Оба вычисления дают один и тот же результат, который является наименьшим общим кратным для $T_1$ и $T_2$. Этот результат совпадает с $T_3$.

Ответ: Доказано, что период функции $h(x)$ равен $T_3 = \frac{\sqrt{13}}{5}$.

9.12. Пусть для любого $x$ из области определения функции $y = f(x)$ выполняется равенство $f(x - 0,1) = f(x + 0,1) = f(x)$.

Докажите, что тогда для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x - 2) = f(x + 2) = f(x)$.

По условию задачи, для любого $x$ из области определения функции $y = f(x)$ выполняется равенство $f(x - 0,1) = f(x + 0,1) = f(x)$. Это означает, что одновременно верны два равенства:

1. $f(x + 0,1) = f(x)$

2. $f(x - 0,1) = f(x)$

Наша цель — доказать, что $f(x - 2) = f(x + 2) = f(x)$. Докажем по отдельности равенства $f(x+2)=f(x)$ и $f(x-2)=f(x)$.

Сначала докажем, что $f(x+2) = f(x)$. Для этого покажем, что для любого натурального числа $n$ выполняется равенство $f(x + n \cdot 0,1) = f(x)$. Воспользуемся методом математической индукции.

База индукции: При $n=1$ равенство $f(x + 1 \cdot 0,1) = f(x)$ верно по условию задачи.

Шаг индукции: Предположим, что для некоторого натурального числа $k$ верно равенство $f(x + k \cdot 0,1) = f(x)$. Докажем, что оно верно и для $k+1$.

Рассмотрим $f(x + (k+1) \cdot 0,1) = f((x + k \cdot 0,1) + 0,1)$. Обозначим $z = x + k \cdot 0,1$. Тогда выражение примет вид $f(z + 0,1)$. По условию, $f(z + 0,1) = f(z)$. Возвращаясь к переменной $x$, получаем $f(x + k \cdot 0,1)$. По нашему индукционному предположению, $f(x + k \cdot 0,1) = f(x)$. Следовательно, $f(x + (k+1) \cdot 0,1) = f(x)$.

Таким образом, мы доказали, что $f(x + n \cdot 0,1) = f(x)$ для любого натурального $n$.

Поскольку $2 = 20 \cdot 0,1$, мы можем применить доказанное утверждение при $n=20$:

$f(x+2) = f(x + 20 \cdot 0,1) = f(x)$.

Теперь докажем, что $f(x-2) = f(x)$. Аналогично, докажем методом математической индукции, что для любого натурального числа $n$ выполняется $f(x - n \cdot 0,1) = f(x)$.

База индукции: При $n=1$ равенство $f(x - 1 \cdot 0,1) = f(x)$ верно по условию задачи.

Шаг индукции: Предположим, что для некоторого натурального $k$ верно $f(x - k \cdot 0,1) = f(x)$. Докажем его для $k+1$.

Рассмотрим $f(x - (k+1) \cdot 0,1) = f((x - k \cdot 0,1) - 0,1)$. Обозначим $z = x - k \cdot 0,1$. Выражение примет вид $f(z - 0,1)$. По условию, $f(z - 0,1) = f(z)$. Возвращаясь к $x$, получаем $f(x - k \cdot 0,1)$, что по предположению индукции равно $f(x)$. Следовательно, $f(x - (k+1) \cdot 0,1) = f(x)$.

Таким образом, мы доказали, что $f(x - n \cdot 0,1) = f(x)$ для любого натурального $n$.

Так как $2 = 20 \cdot 0,1$, выберем $n=20$ в доказанном равенстве:

$f(x-2) = f(x - 20 \cdot 0,1) = f(x)$.

Итак, мы показали, что $f(x+2) = f(x)$ и $f(x-2) = f(x)$. Из этих двух равенств следует, что $f(x-2) = f(x+2) = f(x)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.