Страница 62, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

8.33. а) Функция $y = \frac{15x^2 + 60}{x^4 - 16}$ определена только для допустимых целых значений $x$; найдите её наибольшее значение.

б) Функция $y = \frac{14x^2 + 126}{81 - x^4}$ определена только для допустимых целых значений $x$; найдите её наименьшее значение.

а) Дана функция $y = \frac{15x^2 + 60}{x^4 - 16}$.

Сначала найдём область определения функции для допустимых целых значений $x$. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$x^4 - 16 \neq 0$

Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов:

$(x^2 - 4)(x^2 + 4) \neq 0$

Выражение $x^2 + 4$ всегда положительно для любого действительного $x$ (и, следовательно, для любого целого $x$), поэтому оно никогда не равно нулю. Условие сводится к:

$x^2 - 4 \neq 0$

$x^2 \neq 4$, что означает $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Таким образом, допустимыми целыми значениями $x$ являются все целые числа, кроме $2$ и $-2$.

Теперь упростим выражение для функции. Вынесем общий множитель в числителе:

$y = \frac{15(x^2 + 4)}{(x^2 - 4)(x^2 + 4)}$

Поскольку $x \neq \pm 2$, выражение $x^2+4$ не равно нулю, и мы можем сократить на него дробь:

$y = \frac{15}{x^2 - 4}$

Чтобы найти наибольшее значение функции $y$, нужно проанализировать знаменатель $x^2 - 4$. Числитель $15$ — это положительная константа. Дробь будет принимать наибольшее значение, когда её знаменатель положителен и принимает наименьшее возможное значение.

Рассмотрим значения знаменателя для различных допустимых целых $x$. Так как значение функции зависит от $x^2$, то $y(x)=y(-x)$, поэтому достаточно проверить значения для неотрицательных целых $x$.

• При $x=0$: знаменатель $x^2-4 = 0-4 = -4$. Значение функции $y = \frac{15}{-4} = -3.75$.
• При $x=1$ (и $x=-1$): знаменатель $x^2-4 = 1-4 = -3$. Значение функции $y = \frac{15}{-3} = -5$.
• При $x=2$ (и $x=-2$): функция не определена.
• При $x=3$ (и $x=-3$): знаменатель $x^2-4 = 9-4 = 5$. Значение функции $y = \frac{15}{5} = 3$.
• При $x=4$ (и $x=-4$): знаменатель $x^2-4 = 16-4 = 12$. Значение функции $y = \frac{15}{12} = 1.25$.

Для целых $|x| < 2$ знаменатель $x^2-4$ отрицателен. Для целых $|x| > 2$ знаменатель $x^2-4$ положителен. Наименьший положительный знаменатель достигается при наименьшем по модулю целом $x$, таком что $|x|>2$, то есть при $x = \pm 3$. В этом случае знаменатель равен $5$, а значение функции $y=3$. При увеличении $|x|$ (для $|x| \ge 3$), значение $x^2-4$ будет расти, а значение функции $y$ будет уменьшаться, оставаясь положительным.

Сравнивая все возможные значения функции, видим, что наибольшее из них равно $3$.

Ответ: 3.

б) Дана функция $y = \frac{14x^2 + 126}{81 - x^4}$.

Найдём область определения функции для допустимых целых значений $x$. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$81 - x^4 \neq 0$

$x^4 \neq 81$, что для действительных чисел означает $x^2 \neq 9$.

Следовательно, $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Допустимыми целыми значениями $x$ являются все целые числа, кроме $3$ и $-3$.

Упростим выражение для функции, разложив числитель и знаменатель на множители:

Числитель: $14x^2 + 126 = 14(x^2 + 9)$.

Знаменатель: $81 - x^4 = (9 - x^2)(9 + x^2)$.

Подставим в функцию:

$y = \frac{14(x^2 + 9)}{(9 - x^2)(9 + x^2)}$

Так как $x^2+9$ всегда больше нуля, мы можем сократить дробь на этот множитель:

$y = \frac{14}{9 - x^2}$

Чтобы найти наименьшее значение функции $y$, нужно проанализировать знаменатель $9 - x^2$. Числитель $14$ — это положительная константа. Наименьшее значение дроби будет достигнуто, когда её знаменатель отрицателен и имеет наименьшее значение (т.е. является отрицательным числом с наибольшим модулем), однако в данном случае мы ищем такое значение знаменателя, которое сделает всю дробь минимальной. Это произойдет, когда знаменатель будет отрицательным и иметь наименьшую абсолютную величину.

Рассмотрим значения функции для различных допустимых целых $x$:

• При $x=0$: знаменатель $9-x^2 = 9$. Значение функции $y = \frac{14}{9}$.
• При $x=\pm 1$: знаменатель $9-x^2 = 8$. Значение функции $y = \frac{14}{8} = 1.75$.
• При $x=\pm 2$: знаменатель $9-x^2 = 5$. Значение функции $y = \frac{14}{5} = 2.8$.
• При $x=\pm 3$: функция не определена.
• При $x=\pm 4$: знаменатель $9-x^2 = 9-16 = -7$. Значение функции $y = \frac{14}{-7} = -2$.
• При $x=\pm 5$: знаменатель $9-x^2 = 9-25 = -16$. Значение функции $y = \frac{14}{-16} = -0.875$.

При $|x| < 3$, знаменатель $9 - x^2$ положителен, и значения функции $y$ также положительны.

При $|x| > 3$, знаменатель $9 - x^2$ отрицателен, и значения функции $y$ отрицательны. Чтобы найти наименьшее значение $y$, нам нужен отрицательный знаменатель, который сделает дробь наиболее отрицательной. Это происходит, когда знаменатель является отрицательным числом с наименьшим модулем. Это условие выполняется для целого $x$, при котором $x^2$ является наименьшим квадратом целого числа, большего $9$. Таким $x^2$ является $16$, что соответствует $x = \pm 4$. При этих значениях знаменатель равен $9 - 16 = -7$, а $y = -2$.

При дальнейшем увеличении $|x|$ (например, $|x|=5$), знаменатель $9-x^2$ становится более отрицательным (например, $-16$), но значение $y$ ($-\frac{14}{16} = -0.875$) становится ближе к нулю, то есть увеличивается.

Сравнивая все полученные значения, наименьшим является $-2$.

Ответ: -2.

8.34. Докажите теорему: если функции $y = f(x)$, $y = g(x)$ определены на множестве $X$ и наибольшее значение одной из этих функций на $X$, равное $A$, совпадает с наименьшим значением другой функции на том же множестве, то уравнение $f(x) = g(x)$ равносильно на $X$ системе уравнений $\begin{cases} f(x) = A, \\ g(x) = A. \end{cases}$

Для доказательства равносильности (эквивалентности) уравнения $f(x) = g(x)$ и системы $\begin{cases} f(x) = A \\ g(x) = A \end{cases}$ на множестве $X$ необходимо показать, что любое решение уравнения является решением системы, и, наоборот, любое решение системы является решением уравнения.

По условию теоремы, наибольшее значение одной из функций на множестве $X$ равно $A$, а наименьшее значение другой функции на том же множестве также равно $A$. Существует два симметричных случая. Рассмотрим один из них, не умаляя общности.

Пусть наибольшее значение функции $y=f(x)$ на множестве $X$ равно $A$, а наименьшее значение функции $y=g(x)$ на том же множестве равно $A$. Математически это записывается так:
$\max_{x \in X} f(x) = A$
$\min_{x \in X} g(x) = A$

Из определения наибольшего и наименьшего значений функции следует, что для любого $x \in X$ выполняются неравенства:
$f(x) \le A$
$g(x) \ge A$

Объединив эти два неравенства, получаем, что для любого $x \in X$ справедливо двойное неравенство: $f(x) \le A \le g(x)$.

Теперь докажем равносильность.
Доказательство в одну сторону ($\Rightarrow$): Предположим, что $x_0 \in X$ является решением уравнения $f(x) = g(x)$, то есть $f(x_0) = g(x_0)$. Для этого $x_0$ также должно выполняться неравенство $f(x_0) \le A \le g(x_0)$. Подставив в него условие $f(x_0) = g(x_0)$, получим $f(x_0) \le A \le f(x_0)$. Данное неравенство верно только в случае равенства всех его частей: $f(x_0) = A$. Поскольку $f(x_0) = g(x_0)$, то и $g(x_0) = A$. Таким образом, $x_0$ является решением системы $\begin{cases} f(x) = A \\ g(x) = A \end{cases}$.

Доказательство в обратную сторону ($\Leftarrow$): Предположим, что $x_0 \in X$ является решением системы $\begin{cases} f(x) = A \\ g(x) = A \end{cases}$. Это по определению означает, что $f(x_0) = A$ и $g(x_0) = A$. Из этих двух равенств очевидно следует, что $f(x_0) = g(x_0)$. Следовательно, $x_0$ является решением уравнения $f(x) = g(x)$.

Таким образом, мы показали, что множества решений уравнения и системы полностью совпадают. Второй случай, когда $\max_{x \in X} g(x) = A$ и $\min_{x \in X} f(x) = A$, доказывается полностью аналогично, исходя из неравенства $g(x) \le A \le f(x)$, которое выполняется для всех $x \in X$. Теорема доказана.

Ответ: Доказательство теоремы основано на том факте, что из её условий (например, $\max_{x \in X} f(x) = A$ и $\min_{x \in X} g(x) = A$) следует, что для любого $x$ из множества $X$ выполняется неравенство $f(x) \le A \le g(x)$. Равенство $f(x) = g(x)$ возможно тогда и только тогда, когда обе части этого неравенства "схлопываются", то есть когда $f(x) = g(x) = A$. Это и доказывает равносильность исходного уравнения и системы.

8.35. Опираясь на теорему из упражнения 8.34, решите уравнение:

а) $\sqrt{x^{100} + 49} = 7 - x^4$;

б) $\sqrt{x^2 - 2x + 5} = 1 + 2x - x^2$;

в) $\sqrt{x^{22} + 64} = 8 - x^{12} - x^{14}$;

г) $\sqrt{-x^2 - 4x - 1} = x^2 + 4x + 7$.

а) $\sqrt{x^{100} + 49} = 7 - x^4$

Рассмотрим левую и правую части уравнения.Левая часть: $f(x) = \sqrt{x^{100} + 49}$. Поскольку $x^{100} \ge 0$ для любого действительного $x$, наименьшее значение подкоренного выражения $x^{100} + 49$ достигается при $x=0$ и равно $0+49=49$. Следовательно, наименьшее значение левой части равно $\sqrt{49} = 7$. Таким образом, $\sqrt{x^{100} + 49} \ge 7$.

Правая часть: $g(x) = 7 - x^4$. Поскольку $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$, наибольшее значение правой части достигается при $x=0$ и равно $7-0=7$. Таким образом, $7 - x^4 \le 7$.

Уравнение $\sqrt{x^{100} + 49} = 7 - x^4$ может иметь решение только в том случае, если обе его части равны 7. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{x^{100} + 49} = 7 \\ 7 - x^4 = 7 \end{cases}$

Из второго уравнения находим: $x^4 = 0$, откуда $x = 0$.

Подставим $x=0$ в первое уравнение для проверки: $\sqrt{0^{100} + 49} = \sqrt{49} = 7$. Равенство выполняется. Следовательно, $x=0$ является единственным решением уравнения.

Ответ: 0

б) $\sqrt{x^2 - 2x + 5} = 1 + 2x - x^2$

Преобразуем левую и правую части уравнения, выделив полные квадраты.

Левая часть: $f(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 5} = \sqrt{(x^2 - 2x + 1) + 4} = \sqrt{(x-1)^2 + 4}$. Так как $(x-1)^2 \ge 0$, наименьшее значение подкоренного выражения равно 4 (при $x=1$). Следовательно, наименьшее значение левой части равно $\sqrt{4} = 2$. Таким образом, $\sqrt{x^2 - 2x + 5} \ge 2$.

Правая часть: $g(x) = 1 + 2x - x^2 = -(x^2 - 2x - 1) = -(x^2 - 2x + 1 - 2) = -((x-1)^2 - 2) = 2 - (x-1)^2$. Так как $(x-1)^2 \ge 0$, наибольшее значение правой части равно 2 (при $x=1$). Таким образом, $1 + 2x - x^2 \le 2$.

Равенство $f(x)=g(x)$ возможно только тогда, когда обе части уравнения равны 2, что достигается одновременно при $x=1$.

Проверим: при $x=1$ левая часть равна $\sqrt{(1-1)^2 + 4} = 2$, правая часть равна $2 - (1-1)^2 = 2$. Равенство $2=2$ верное, значит $x=1$ является решением.

Ответ: 1

в) $\sqrt{x^{22} + 64} = 8 - x^{12} - x^{14}$

Оценим значения левой и правой частей уравнения.

Левая часть: $f(x) = \sqrt{x^{22} + 64}$. Поскольку $x^{22} \ge 0$ для любого $x$, наименьшее значение подкоренного выражения достигается при $x=0$ и равно $0+64=64$. Значит, наименьшее значение левой части равно $\sqrt{64} = 8$. Таким образом, $\sqrt{x^{22} + 64} \ge 8$.

Правая часть: $g(x) = 8 - x^{12} - x^{14}$. Поскольку $x^{12} \ge 0$ и $x^{14} \ge 0$, то $x^{12} + x^{14} \ge 0$, и равенство достигается только при $x=0$. Следовательно, наибольшее значение правой части $8 - (x^{12} + x^{14})$ равно 8 и достигается только при $x=0$. Таким образом, $8 - x^{12} - x^{14} \le 8$.

Равенство в исходном уравнении возможно только в случае, если обе части равны 8. Это происходит при $x=0$.

Проверим: при $x=0$ левая часть равна $\sqrt{0^{22} + 64} = \sqrt{64} = 8$, правая часть равна $8 - 0^{12} - 0^{14} = 8$. Равенство $8=8$ верное.

Ответ: 0

г) $\sqrt{-x^2 - 4x - 1} = x^2 + 4x + 7$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-x^2 - 4x - 1 \ge 0$, или $x^2 + 4x + 1 \le 0$. Корни уравнения $x^2 + 4x + 1 = 0$ равны $x = -2 \pm \sqrt{3}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [-2-\sqrt{3}, -2+\sqrt{3}]$.

Теперь оценим значения левой и правой частей. Преобразуем выражения, выделив полные квадраты.

Левая часть: $f(x) = \sqrt{-x^2 - 4x - 1} = \sqrt{-(x^2 + 4x + 1)} = \sqrt{-( (x^2+4x+4) - 3 )} = \sqrt{3 - (x+2)^2}$. Поскольку $(x+2)^2 \ge 0$, то $3 - (x+2)^2 \le 3$. Следовательно, максимальное значение левой части равно $\sqrt{3}$. Таким образом, $f(x) \le \sqrt{3}$.

Правая часть: $g(x) = x^2 + 4x + 7 = (x^2 + 4x + 4) + 3 = (x+2)^2 + 3$. Поскольку $(x+2)^2 \ge 0$, минимальное значение правой части равно 3. Таким образом, $g(x) \ge 3$.

Мы получили, что для любого $x$ из ОДЗ левая часть уравнения не превосходит $\sqrt{3}$, а правая часть не меньше 3. Так как $\sqrt{3} < 3$, то левая часть уравнения всегда строго меньше правой части. Равенство между ними невозможно.

Ответ: корней нет

8.36. Определите, какие из функций, графики которых приведены на рис. 24—29, являются чётными, нечётными или функциями общего вида.

Рис. 24 Функция общего вида.

Рис. 25 Нечётная функция.

Рис. 26 Функция общего вида.

Рис. 27 Чётная функция.

Рис. 28 Нечётная функция.

Рис. 29 Функция общего вида.

Для определения типа функции по её графику необходимо проверить его на наличие симметрии. Вспомним определения:

• Чётная функция: её график симметричен относительно оси ординат (оси $y$). Для любой точки $(x, y)$ на графике точка $(-x, y)$ также лежит на графике. Формально, для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
• Нечётная функция: её график симметричен относительно начала координат (точки $O(0,0)$). Для любой точки $(x, y)$ на графике точка $(-x, -y)$ также лежит на графике. Формально, для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
• Функция общего вида: это функция, которая не является ни чётной, ни нечётной. Её график не обладает ни симметрией относительно оси $y$, ни симметрией относительно начала координат.

Проанализируем каждый из представленных графиков.

Рис. 24

Рассмотрим график функции. Проверим его на симметрию.
1. Симметрия относительно оси $y$ (проверка на чётность). Возьмём на графике точку с абсциссой $x = 2$. Её ордината примерно равна $3$. Теперь посмотрим на значение функции при $x = -2$. Оно примерно равно $-1$. Так как $f(2) \neq f(-2)$, функция не является чётной.
2. Симметрия относительно начала координат (проверка на нечётность). Для точки $(2, 3)$ симметричной относительно начала координат является точка $(-2, -3)$. Однако на графике при $x = -2$ значение функции равно $y \approx -1$. Так как $f(-2) \neq -f(2)$, функция не является нечётной.
Поскольку у графика нет ни одного из видов симметрии, это функция общего вида.

Ответ: функция общего вида.

Рис. 25

Рассмотрим график функции. Проверим его на симметрию.
1. Симметрия относительно оси $y$. Возьмём точку с абсциссой $x = 4$, её ордината $y \approx 2.5$. Для $x = -4$ ордината $y \approx -2.5$. Так как $f(4) \neq f(-4)$, функция не является чётной.
2. Симметрия относительно начала координат. Для точки $(4, 2.5)$ симметричной является точка $(-4, -2.5)$. Видно, что эта точка лежит на графике. Проверим другую пару точек: для $x = 2$, $y \approx 1.5$, а для $x = -2$, $y \approx -1.5$. Таким образом, выполняется условие $f(-x) = -f(x)$. График симметричен относительно начала координат.
Следовательно, функция является нечётной.

Ответ: нечётная функция.

Рис. 26

Рассмотрим график функции. Проверим его на симметрию.
1. Симметрия относительно оси $y$. Возьмём на графике точку с абсциссой $x = 2$, её ордината $y = -2$. Для $x = -2$ ордината также равна $y = -2$. Возьмём другую пару: при $x=4$, $y=-1$ и при $x=-4$, $y=-1$. График симметричен относительно оси $y$. Выполняется условие $f(-x) = f(x)$.
2. Симметрия относительно начала координат. Для точки $(2, -2)$ симметричной является точка $(-2, 2)$. На графике же при $x = -2$ значение $y=-2$. Условие нечётности не выполняется.
Следовательно, функция является чётной.

Ответ: чётная функция.

Рис. 27

График является параболой, вершина которой находится на оси $y$ в точке $(0, 2)$. Парабола, ось симметрии которой совпадает с осью ординат, является графиком чётной функции. Мы видим, что для любого значения $x$ и противоположного ему $-x$ значения функции одинаковы. Например, $f(1) = f(-1) \approx 1$. Таким образом, выполняется условие $f(-x) = f(x)$.

Ответ: чётная функция.

Рис. 28

График является прямой линией, которая не проходит через начало координат и не параллельна оси $x$.
1. Симметрия относительно оси $y$. Возьмём точку $x = 2$, $y \approx -2$. Для $x = -2$, $y = 0$. Так как $f(2) \neq f(-2)$, функция не является чётной.
2. Симметрия относительно начала координат. Для точки $(2, -2)$ симметричной является точка $(-2, 2)$. На графике при $x = -2$ значение $y=0$. Так как $f(-2) \neq -f(2)$, функция не является нечётной.
Следовательно, это функция общего вида.

Ответ: функция общего вида.

Рис. 29

Рассмотрим график функции. Проверим его на симметрию.
1. Симметрия относительно оси $y$. Локальный максимум функции достигается при $x \approx -1$ и равен $y \approx 3$. Локальный минимум достигается при $x \approx 1$ и равен $y \approx -3$. Так как $f(-1) \neq f(1)$, функция не является чётной.
2. Симметрия относительно начала координат. Для точки локального максимума $(-1, 3)$ симметричной является точка $(1, -3)$, которая является точкой локального минимума и лежит на графике. Проверим другую пару точек: при $x=-2$, $y \approx -2$. Симметричная точка $(2, 2)$ также лежит на графике. График проходит через начало координат $O(0,0)$. Таким образом, выполняется условие $f(-x) = -f(x)$. График симметричен относительно начала координат.
Следовательно, функция является нечётной.

Ответ: нечётная функция.