Страница 58, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

8.10. Найдите промежутки монотонности функции:

а) $y = \frac{1}{x^4 + 1}$;

б) $y = \frac{1}{x^2 + 6x + 10}$;

в) $y = \frac{1}{x^2 - 1}$;

г) $y = \frac{1}{x^2 - 4x - 12}$.

а) $y = \frac{1}{x^4 + 1}$

Область определения функции — все действительные числа ($D(y) = \mathbb{R}$), так как знаменатель $x^4 + 1 \ge 1$ при любом значении $x$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования дроби:

$y' = \left(\frac{1}{x^4 + 1}\right)' = -\frac{(x^4 + 1)'}{(x^4 + 1)^2} = -\frac{4x^3}{(x^4 + 1)^2}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$. Это возможно только если числитель равен нулю: $-4x^3 = 0$, откуда $x = 0$.

Знаменатель производной $(x^4 + 1)^2$ всегда положителен. Следовательно, знак производной определяется знаком числителя $-4x^3$.

• При $x < 0$ (на промежутке $(-\infty, 0)$), $x^3 < 0$, поэтому $-4x^3 > 0$. Значит, $y' > 0$ и функция возрастает.
• При $x > 0$ (на промежутке $(0, +\infty)$), $x^3 > 0$, поэтому $-4x^3 < 0$. Значит, $y' < 0$ и функция убывает.

В точке $x=0$ функция непрерывна, поэтому эту точку можно включать в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

б) $y = \frac{1}{x^2 + 6x + 10}$

Найдем область определения. Знаменатель $x^2 + 6x + 10$ можно представить, выделив полный квадрат: $x^2 + 6x + 9 + 1 = (x+3)^2 + 1$. Так как $(x+3)^2 \ge 0$, знаменатель всегда положителен. Область определения $D(y) = \mathbb{R}$.

Найдем производную:

$y' = \left(\frac{1}{x^2 + 6x + 10}\right)' = -\frac{(x^2 + 6x + 10)'}{(x^2 + 6x + 10)^2} = -\frac{2x + 6}{(x^2 + 6x + 10)^2} = -\frac{2(x+3)}{((x+3)^2+1)^2}$.

Критическая точка находится из условия $y' = 0 \implies -2(x+3) = 0 \implies x = -3$.

Знак производной $y'$ противоположен знаку выражения $(x+3)$, так как знаменатель всегда положителен.

• При $x < -3$, $x+3 < 0$, поэтому $y' > 0$ и функция возрастает.
• При $x > -3$, $x+3 > 0$, поэтому $y' < 0$ и функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, -3]$ и убывает на промежутке $[-3, +\infty)$.

в) $y = \frac{1}{x^2 - 1}$

Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $x^2 - 1 \neq 0 \implies x \neq \pm 1$. Таким образом, $D(y) = (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$.

Найдем производную: $y' = \left(\frac{1}{x^2 - 1}\right)' = -\frac{(x^2 - 1)'}{(x^2 - 1)^2} = -\frac{2x}{(x^2 - 1)^2}$.

Критическая точка: $y' = 0 \implies -2x = 0 \implies x = 0$.

Точки разрыва $x=-1, x=1$ и критическая точка $x=0$ разбивают числовую прямую на интервалы. Знак производной $y'$ определяется знаком числителя $-2x$, так как знаменатель $(x^2-1)^2$ положителен в области определения.

• При $x \in (-\infty, -1)$ и $x \in (-1, 0)$, имеем $x < 0$, поэтому $-2x > 0$. Значит, $y' > 0$ и функция возрастает.
• При $x \in (0, 1)$ и $x \in (1, +\infty)$, имеем $x > 0$, поэтому $-2x < 0$. Значит, $y' < 0$ и функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1)$ и $(-1, 0]$, убывает на промежутках $[0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

г) $y = \frac{1}{x^2 - 4x - 12}$

Область определения: $x^2 - 4x - 12 \neq 0$. Решив квадратное уравнение, находим корни $x_1 = 6$ и $x_2 = -2$. Таким образом, $D(y) = (-\infty, -2) \cup (-2, 6) \cup (6, +\infty)$.

Найдем производную: $y' = \left(\frac{1}{x^2 - 4x - 12}\right)' = -\frac{(x^2 - 4x - 12)'}{(x^2 - 4x - 12)^2} = -\frac{2x - 4}{(x^2 - 4x - 12)^2} = -\frac{2(x-2)}{(x^2 - 4x - 12)^2}$.

Критическая точка: $y' = 0 \implies -2(x-2) = 0 \implies x = 2$.

Точки разрыва $x=-2, x=6$ и критическая точка $x=2$ разбивают числовую прямую. Знак производной $y'$ противоположен знаку выражения $(x-2)$.

• При $x \in (-\infty, -2)$ и $x \in (-2, 2)$, имеем $x-2 < 0$, поэтому $y' > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (2, 6)$ и $x \in (6, +\infty)$, имеем $x-2 > 0$, поэтому $y' < 0$. Функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2)$ и $(-2, 2]$, убывает на промежутках $[2, 6)$ и $(6, +\infty)$.

8.11. На рисунке изображён график функции $y = f(x)$. Найдите промежутки монотонности функции $y = \frac{1}{f(x)}$:

а) рис. 18;

б) рис. 19;

в) рис. 20;

г) рис. 21.

Puc. 18

Puc. 19

Puc. 20

Puc. 21

Для нахождения промежутков монотонности функции $y = \frac{1}{f(x)}$ необходимо проанализировать её производную. Производная сложной функции и частного даёт:$y' = \left(\frac{1}{f(x)}\right)' = -\frac{1}{(f(x))^2} \cdot f'(x)$.

Поскольку множитель $(f(x))^2$ всегда положителен в области определения функции $y = \frac{1}{f(x)}$ (то есть там, где $f(x) \neq 0$), знак производной $y'$ противоположен знаку производной $f'(x)$.

Это означает, что:
1. Если функция $f(x)$ возрастает (т.е. $f'(x) > 0$), то функция $y = \frac{1}{f(x)}$ убывает (т.е. $y' < 0$).
2. Если функция $f(x)$ убывает (т.е. $f'(x) < 0$), то функция $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает (т.е. $y' > 0$).
3. Если функция $f(x)$ постоянна (т.е. $f'(x) = 0$), то функция $y = \frac{1}{f(x)}$ также постоянна (т.е. $y' = 0$).
4. В точках, где $f(x) = 0$, функция $y = \frac{1}{f(x)}$ не определена и имеет вертикальные асимптоты. Эти точки разбивают область определения на несколько интервалов.

a) рис. 18;

Анализируем график функции $y=f(x)$ на рис. 18.
1. Функция $f(x)$ определена и положительна на всем показанном промежутке (приблизительно $[-3, 3]$). Точек, где $f(x)=0$, нет, поэтому функция $y = \frac{1}{f(x)}$ непрерывна на этом промежутке.
2. Функция $f(x)$ убывает на промежутках $[-3, -2]$ и $[0, 2]$. Следовательно, на этих промежутках функция $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает.
3. Функция $f(x)$ возрастает на промежутках $[-2, 0]$ и $[2, 3]$. Следовательно, на этих промежутках функция $y = \frac{1}{f(x)}$ убывает.

Ответ: функция $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает на промежутках $[-3, -2]$ и $[0, 2]$; убывает на промежутках $[-2, 0]$ и $[2, 3]$.

б) рис. 19;

Анализируем график функции $y=f(x)$ на рис. 19.
1. Функция $f(x)$ обращается в ноль в точках $x=0$ и $x=3$. В этих точках функция $y = \frac{1}{f(x)}$ имеет вертикальные асимптоты.
2. Функция $f(x)$ убывает на промежутках $[-2, -1]$ и $[2, 4]$. Следовательно, функция $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает на этих промежутках. Учитывая точку разрыва $x=3$, получаем промежутки возрастания: $[-2, -1]$, $[2, 3)$ и $(3, 4]$.
3. Функция $f(x)$ возрастает на промежутке $[-1, 2]$. Следовательно, функция $y = \frac{1}{f(x)}$ убывает на этом промежутке. Учитывая точку разрыва $x=0$, получаем промежутки убывания: $[-1, 0)$ и $(0, 2]$.

Ответ: функция $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает на промежутках $[-2, -1]$, $[2, 3)$ и $(3, 4]$; убывает на промежутках $[-1, 0)$ и $(0, 2]$.

в) рис. 20;

Анализируем график функции $y=f(x)$ на рис. 20.
1. Функция $f(x)$ обращается в ноль в точках $x=-1$ и $x=2$. В этих точках функция $y = \frac{1}{f(x)}$ имеет вертикальные асимптоты.
2. На промежутке $[-3, -2]$ функция $f(x)$ постоянна ($f(x)=2$). Следовательно, на этом промежутке функция $y = \frac{1}{f(x)}$ также постоянна ($y=\frac{1}{2}$).
3. Функция $f(x)$ убывает на промежутке $[-2, 1]$. Следовательно, функция $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает. Учитывая точку разрыва $x=-1$, получаем промежутки возрастания: $[-2, -1)$ и $(-1, 1]$.
4. Функция $f(x)$ возрастает на промежутке $[1, 3]$. Следовательно, функция $y = \frac{1}{f(x)}$ убывает. Учитывая точку разрыва $x=2$, получаем промежутки убывания: $[1, 2)$ и $(2, 3]$.

Ответ: функция $y = \frac{1}{f(x)}$ постоянна на промежутке $[-3, -2]$; возрастает на промежутках $[-2, -1)$ и $(-1, 1]$; убывает на промежутках $[1, 2)$ и $(2, 3]$.

г) рис. 21.

Анализируем график функции $y=f(x)$ на рис. 21.
1. Функция $f(x)$ обращается в ноль в точках $x=-2$, $x=0$ и $x=2$. В этих точках функция $y = \frac{1}{f(x)}$ имеет вертикальные асимптоты.
2. Функция $f(x)$ возрастает на промежутках $[-3, -1]$ и $[1, 3]$. Следовательно, функция $y = \frac{1}{f(x)}$ убывает. Учитывая точки разрыва $x=-2$ и $x=2$, получаем промежутки убывания: $[-3, -2)$, $(-2, -1]$, $[1, 2)$ и $(2, 3]$.
3. Функция $f(x)$ убывает на промежутке $[-1, 1]$. Следовательно, функция $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает. Учитывая точку разрыва $x=0$, получаем промежутки возрастания: $[-1, 0)$ и $(0, 1]$.

Ответ: функция $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает на промежутках $[-1, 0)$ и $(0, 1]$; убывает на промежутках $[-3, -2)$, $(-2, -1]$, $[1, 2)$ и $(2, 3]$.