Страница 52, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

7.54. Найдите область значений функции $y = f(x)$:

a) $f(x) = \frac{x^2 + 8}{x}$;

б) $f(x) = \frac{x^2 + 8}{x + 1}$;

в) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x}$;

г) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 1}$.

а) Найдем область значений функции $f(x) = \frac{x^2 + 8}{x}$. Область определения функции: $x \neq 0$.
Пусть $y$ — некоторое значение из области значений функции. Тогда уравнение $y = \frac{x^2 + 8}{x}$ должно иметь хотя бы одно действительное решение относительно $x$.
Преобразуем уравнение:
$yx = x^2 + 8$
$x^2 - yx + 8 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $x$. Оно имеет действительные корни, если его дискриминант $D$ неотрицателен.
$D = (-y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = y^2 - 32$
Решим неравенство $D \ge 0$:
$y^2 - 32 \ge 0$
$y^2 \ge 32$
$|y| \ge \sqrt{32}$
$|y| \ge 4\sqrt{2}$
Это неравенство выполняется при $y \in (-\infty; -4\sqrt{2}] \cup [4\sqrt{2}; \infty)$.

Ответ: $(-\infty; -4\sqrt{2}] \cup [4\sqrt{2}; \infty)$.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x^2 + 8}{x + 1}$. Область определения функции: $x \neq -1$.
Найдем все значения $y$, для которых уравнение $y = \frac{x^2 + 8}{x + 1}$ имеет решение.
$y(x+1) = x^2 + 8$
$yx + y = x^2 + 8$
$x^2 - yx + (8 - y) = 0$
Это квадратное уравнение относительно $x$. Заметим, что при $x=-1$ исходная функция не определена. Если подставить $x=-1$ в полученное уравнение, получим $1 + y + 8 - y = 0$, то есть $9=0$, что неверно. Значит, корень $x=-1$ появиться не может, и нам не нужно рассматривать этот случай отдельно.
Уравнение имеет действительные корни при неотрицательном дискриминанте $D$:
$D = (-y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8 - y) = y^2 + 4y - 32$
Решим неравенство $y^2 + 4y - 32 \ge 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $y^2 + 4y - 32 = 0$: $y_1 = -8$, $y_2 = 4$.
Поскольку ветви параболы $g(y) = y^2 + 4y - 32$ направлены вверх, неравенство выполняется при $y \le -8$ или $y \ge 4$.

Ответ: $(-\infty; -8] \cup [4; \infty)$.

в) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x}$. Область определения: $x \neq 0$.
Пусть $y = f(x)$. Найдем все возможные значения $y$, для которых уравнение $y = \frac{x^2-4}{x}$ имеет решение.
$yx = x^2 - 4$
$x^2 - yx - 4 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $x$. Оно имеет действительные решения, если дискриминант $D \ge 0$.
$D = (-y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = y^2 + 16$
Неравенство $y^2 + 16 \ge 0$ выполняется для любого действительного числа $y$, так как $y^2 \ge 0$ и, следовательно, $y^2 + 16 \ge 16$.
Таким образом, для любого значения $y$ существует соответствующее значение $x$, а значит, область значений — все действительные числа.

Ответ: $(-\infty; \infty)$.

г) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 1}$. Область определения: $x \neq 1$.
Пусть $y = f(x)$. Найдем все значения $y$, для которых уравнение $y = \frac{x^2 - 4}{x - 1}$ имеет решение.
$y(x-1) = x^2 - 4$
$x^2 - yx + (y - 4) = 0$
Это квадратное уравнение относительно $x$. При $x=1$ оно превращается в $1-y+y-4=0 \implies -3=0$, что неверно. Следовательно, корень $x=1$ невозможен.
Уравнение имеет действительные корни, если его дискриминант $D$ неотрицателен.
$D = (-y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (y - 4) = y^2 - 4y + 16$
Рассмотрим квадратный трехчлен $g(y) = y^2 - 4y + 16$. Его дискриминант $\Delta_y = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 - 64 = -48$.
Поскольку $\Delta_y < 0$ и старший коэффициент трехчлена положителен ($1>0$), $g(y)$ принимает только положительные значения при всех $y$.
Следовательно, неравенство $D \ge 0$ выполняется для любого действительного $y$. Область значений — все действительные числа.

Ответ: $(-\infty; \infty)$.

7.55. Найдите наименьшее целое число, принадлежащее области значений функции:

а) $y = \sqrt{x^2 - 7x - 3}$;

б) $y = \sqrt{x^2 - 7x + 24}$.

а) $y = \sqrt{x^2 - 7x - 3}$

Чтобы найти область значений функции, сначала найдем область значений подкоренного выражения $f(x) = x^2 - 7x - 3$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1). Следовательно, функция $f(x)$ имеет наименьшее значение в вершине параболы.

Координата $x$ вершины параболы находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{-7}{2 \cdot 1} = \frac{7}{2} = 3.5$

Наименьшее значение подкоренного выражения равно значению функции в вершине:
$f_{min} = (3.5)^2 - 7 \cdot (3.5) - 3 = 12.25 - 24.5 - 3 = -15.25$

Однако, функция $y$ определена только при условии, что подкоренное выражение неотрицательно, то есть $x^2 - 7x - 3 \ge 0$. Это означает, что наименьшее возможное значение, которое может принимать подкоренное выражение, равно 0.

Функция $y = \sqrt{z}$ является возрастающей. Ее наименьшее значение достигается при наименьшем возможном значении ее аргумента. В данном случае наименьшее допустимое значение для $x^2 - 7x - 3$ равно 0.
Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно $\sqrt{0} = 0$.

Область значений функции $E(y) = [0, \infty)$. Наименьшее целое число, принадлежащее этой области, — это 0.

Ответ: 0

б) $y = \sqrt{x^2 - 7x + 24}$

Рассмотрим подкоренное выражение $f(x) = x^2 - 7x + 24$. Это также парабола с ветвями вверх. Найдем ее наименьшее значение в вершине.

Абсцисса вершины такая же:
$x_0 = -\frac{-7}{2 \cdot 1} = \frac{7}{2} = 3.5$

Наименьшее значение подкоренного выражения:
$f_{min} = (3.5)^2 - 7 \cdot (3.5) + 24 = 12.25 - 24.5 + 24 = 11.75$

Наименьшее значение подкоренного выражения равно $11.75$. Так как $11.75 > 0$, подкоренное выражение всегда положительно.
Следовательно, область значений для $f(x) = x^2 - 7x + 24$ есть промежуток $[11.75, \infty)$.

Поскольку функция $y = \sqrt{z}$ возрастающая, ее наименьшее значение будет равно корню из наименьшего значения подкоренного выражения:
$y_{min} = \sqrt{11.75}$

Область значений исходной функции $E(y) = [\sqrt{11.75}, \infty)$. Нам нужно найти наименьшее целое число, которое принадлежит этому промежутку.

Оценим значение $\sqrt{11.75}$. Мы знаем, что:
$3^2 = 9$ и $4^2 = 16$.
Поскольку $9 < 11.75 < 16$, то $3 < \sqrt{11.75} < 4$.

Таким образом, наименьшее значение функции $y$ находится между 3 и 4. Наименьшее целое число, которое больше или равно этому значению, — это 4.

Ответ: 4

Пусть $|x - 1| = 5$. Найдите все возможные значения выражения $\sqrt{\frac{2|x + 4|}{x^2 - x - 10}}$.

б) Пусть $|x - 1| < 5$. Найдите все возможные значения выражения $\sqrt{\frac{x^2 - 2x + 5}{29}}$.

а)

Сначала решим уравнение $|x - 1| = 5$. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x - 1 = 5$ или $x - 1 = -5$

Из первого уравнения получаем $x = 5 + 1 = 6$.

Из второго уравнения получаем $x = -5 + 1 = -4$.

Таким образом, у нас есть два возможных значения для $x$: 6 и -4. Теперь подставим каждое из этих значений в данное выражение $\sqrt{\frac{2|x+4|}{x^2 - x - 10}}$ и найдем его значения.

1. При $x = 6$:

$\sqrt{\frac{2|6+4|}{6^2 - 6 - 10}} = \sqrt{\frac{2|10|}{36 - 6 - 10}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 10}{20}} = \sqrt{\frac{20}{20}} = \sqrt{1} = 1$.

2. При $x = -4$:

$\sqrt{\frac{2|-4+4|}{(-4)^2 - (-4) - 10}} = \sqrt{\frac{2|0|}{16 + 4 - 10}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0}{10}} = \sqrt{\frac{0}{10}} = \sqrt{0} = 0$.

Таким образом, возможные значения выражения - это 1 и 0.

Ответ: 0; 1.

б)

Сначала решим неравенство $|x - 1| < 5$. Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-5 < x - 1 < 5$

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-5 + 1 < x < 5 + 1$

$-4 < x < 6$

Итак, $x$ принадлежит интервалу $(-4, 6)$. Нам нужно найти все возможные значения выражения $\sqrt{\frac{x^2 - 2x + 5}{29}}$ на этом интервале.

Рассмотрим подкоренное выражение $f(x) = x^2 - 2x + 5$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх. Найдем ее наименьшее значение, выделив полный квадрат:

$x^2 - 2x + 5 = (x^2 - 2x + 1) + 4 = (x-1)^2 + 4$.

Наименьшее значение этой функции достигается в вершине параболы при $x = 1$. Это значение равно $f(1) = (1-1)^2 + 4 = 4$. Так как точка $x = 1$ принадлежит интервалу $(-4, 6)$, то наименьшее значение числителя на этом интервале равно 4.

Найдем наибольшее значение числителя на интервале $(-4, 6)$. Так как вершина параболы находится в точке $x=1$, наибольшее значение будет достигаться на том конце интервала, который дальше отстоит от вершины. Расстояния от вершины до концов интервала равны:

$|1 - (-4)| = 5$

$|6 - 1| = 5$

Расстояния одинаковы, поэтому значения на концах интервала будут равны:
$f(-4) = (-4-1)^2 + 4 = (-5)^2 + 4 = 25 + 4 = 29$.
$f(6) = (6-1)^2 + 4 = 5^2 + 4 = 25 + 4 = 29$.

Поскольку интервал $(-4, 6)$ является открытым, функция $f(x)$ не достигает значения 29, а только стремится к нему. Таким образом, для $x \in (-4, 6)$ значения числителя $x^2 - 2x + 5$ находятся в полуинтервале $[4, 29)$.

$4 \le x^2 - 2x + 5 < 29$

Теперь найдем значения всего выражения $\sqrt{\frac{x^2 - 2x + 5}{29}}$:

$\frac{4}{29} \le \frac{x^2 - 2x + 5}{29} < \frac{29}{29}$

$\frac{4}{29} \le \frac{x^2 - 2x + 5}{29} < 1$

Так как функция квадратного корня является возрастающей, мы можем извлечь корень из всех частей неравенства:

$\sqrt{\frac{4}{29}} \le \sqrt{\frac{x^2 - 2x + 5}{29}} < \sqrt{1}$

$\frac{2}{\sqrt{29}} \le \sqrt{\frac{x^2 - 2x + 5}{29}} < 1$

Следовательно, все возможные значения выражения принадлежат полуинтервалу $[\frac{2}{\sqrt{29}}, 1)$.

Ответ: $[\frac{2}{\sqrt{29}}, 1)$.

Постройте график функции. Для каждой функции укажите область определения, множество значений, промежутки монотонности, нули функции:

7.57. a) $y = |x - 5|$;

б) $y = |x + 3| + |1 - x|$;

в) $y = 2 - |1 - x|$;

г) $y = |x + 3| - |1 - x|$.

а) $y = |x - 5|$

Для построения графика функции $y = |x - 5|$ можно использовать преобразование графика функции $y = |x|$. График $y = |x - 5|$ получается сдвигом графика $y = |x|$ на 5 единиц вправо вдоль оси Ox. График представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(5, 0)$.

Также можно раскрыть модуль. Функция является кусочно-линейной:
1. Если $x - 5 \ge 0$, то есть $x \ge 5$, то $y = x - 5$.
2. Если $x - 5 < 0$, то есть $x < 5$, то $y = -(x - 5) = 5 - x$.

Итак, $y = \begin{cases} 5 - x, & \text{если } x < 5 \\ x - 5, & \text{если } x \ge 5 \end{cases}$

Область определения: Выражение $|x - 5|$ определено для любых действительных значений $x$.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: Модуль любого числа — неотрицательная величина, поэтому $|x - 5| \ge 0$. Минимальное значение достигается при $x=5$ и равно 0.
$E(y) = [0; +\infty)$.

Промежутки монотонности:
- На промежутке $(-\infty; 5]$ функция имеет вид $y = 5 - x$. Это убывающая линейная функция.
- На промежутке $[5; +\infty)$ функция имеет вид $y = x - 5$. Это возрастающая линейная функция.
Функция убывает при $x \in (-\infty; 5]$.
Функция возрастает при $x \in [5; +\infty)$.

Нули функции: Решим уравнение $y = 0$.
$|x - 5| = 0$
$x - 5 = 0$
$x = 5$

Ответ:
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Множество значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
Промежутки монотонности: убывает на $(-\infty; 5]$, возрастает на $[5; +\infty)$.
Нули функции: $x = 5$.

б) $y = |x + 3| + |1 - x|$

Для построения графика раскроем модули. Найдем точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $x + 3 = 0 \implies x = -3$ и $1 - x = 0 \implies x = 1$. Эти точки делят числовую ось на три интервала.

1. При $x < -3$: $|x + 3| = -(x+3)$ и $|1 - x| = 1 - x$.
$y = -(x+3) + (1-x) = -x - 3 + 1 - x = -2x - 2$.

2. При $-3 \le x < 1$: $|x + 3| = x+3$ и $|1 - x| = 1 - x$.
$y = (x+3) + (1-x) = x + 3 + 1 - x = 4$.

3. При $x \ge 1$: $|x + 3| = x+3$ и $|1 - x| = -(1-x) = x-1$.
$y = (x+3) + (x-1) = x + 3 + x - 1 = 2x + 2$.

Итак, функция является кусочно-линейной: $y = \begin{cases} -2x - 2, & \text{если } x < -3 \\ 4, & \text{если } -3 \le x < 1 \\ 2x + 2, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$
График состоит из трех частей: луча, отрезка горизонтальной прямой и еще одного луча. Он имеет форму "корыта".

Область определения: Функция определена для любых действительных значений $x$.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: На интервале $(-\infty; -3)$ функция убывает до $y(-3) = -2(-3) - 2 = 4$. На интервале $[-3; 1)$ функция постоянна и равна 4. На интервале $[1; +\infty)$ функция возрастает от $y(1) = 2(1) + 2 = 4$. Таким образом, минимальное значение функции равно 4.
$E(y) = [4; +\infty)$.

Промежутки монотонности:
- На промежутке $(-\infty; -3]$ функция убывает ($y = -2x-2$).
- На промежутке $[-3; 1]$ функция постоянна ($y=4$).
- На промежутке $[1; +\infty)$ функция возрастает ($y = 2x+2$).

Нули функции: Так как минимальное значение функции равно 4, то $y$ никогда не обращается в ноль.
Нулей нет.

Ответ:
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Множество значений: $E(y) = [4; +\infty)$.
Промежутки монотонности: убывает на $(-\infty; -3]$, постоянна на $[-3; 1]$, возрастает на $[1; +\infty)$.
Нули функции: нет.

в) $y = 2 - |1 - x|$

Для построения графика используем преобразования. Заметим, что $|1 - x| = |x - 1|$.
1. Строим график $y = |x|$.
2. Сдвигаем его на 1 единицу вправо: $y = |x - 1|$.
3. Отражаем симметрично относительно оси Ox: $y = -|x - 1|$.
4. Сдвигаем на 2 единицы вверх: $y = 2 - |x - 1|$.
График представляет собой перевернутую "галочку" с вершиной в точке $(1, 2)$.

Раскроем модуль: $y = \begin{cases} 2 - (1 - x), & \text{если } 1 - x \ge 0 \implies x \le 1 \\ 2 - (-(1 - x)), & \text{если } 1 - x < 0 \implies x > 1 \end{cases} = \begin{cases} x + 1, & \text{если } x \le 1 \\ 3 - x, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Область определения: Функция определена для любых действительных значений $x$.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: Вершина графика находится в точке $(1, 2)$, и ветви направлены вниз. Следовательно, максимальное значение функции равно 2.
$E(y) = (-\infty; 2]$.

Промежутки монотонности:
- На промежутке $(-\infty; 1]$ функция имеет вид $y = x + 1$, она возрастает.
- На промежутке $[1; +\infty)$ функция имеет вид $y = 3 - x$, она убывает.
Функция возрастает при $x \in (-\infty; 1]$.
Функция убывает при $x \in [1; +\infty)$.

Нули функции: Решим уравнение $y = 0$.
$2 - |1 - x| = 0$
$|1 - x| = 2$
$1 - x = 2$ или $1 - x = -2$
$x = -1$ или $x = 3$

Ответ:
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Множество значений: $E(y) = (-\infty; 2]$.
Промежутки монотонности: возрастает на $(-\infty; 1]$, убывает на $[1; +\infty)$.
Нули функции: $x = -1, x = 3$.

г) $y = |x + 3| - |1 - x|$

Для построения графика раскроем модули. Точки смены знака подмодульных выражений: $x = -3$ и $x = 1$.

1. При $x < -3$: $|x + 3| = -(x+3)$ и $|1 - x| = 1 - x$.
$y = -(x+3) - (1-x) = -x - 3 - 1 + x = -4$.

2. При $-3 \le x < 1$: $|x + 3| = x+3$ и $|1 - x| = 1 - x$.
$y = (x+3) - (1-x) = x + 3 - 1 + x = 2x + 2$.

3. При $x \ge 1$: $|x + 3| = x+3$ и $|1 - x| = -(1-x) = x-1$.
$y = (x+3) - (x-1) = x + 3 - x + 1 = 4$.

Итак, функция является кусочно-линейной: $y = \begin{cases} -4, & \text{если } x < -3 \\ 2x + 2, & \text{если } -3 \le x < 1 \\ 4, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$
График состоит из горизонтального луча, наклонного отрезка и еще одного горизонтального луча.

Область определения: Функция определена для любых действительных значений $x$.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: На интервале $(-\infty; -3)$ функция равна -4. На отрезке $[-3; 1]$ функция $y = 2x+2$ возрастает от $y(-3) = 2(-3)+2 = -4$ до $y(1) = 2(1)+2 = 4$. На интервале $[1; +\infty)$ функция равна 4. Объединяя значения, получаем отрезок.
$E(y) = [-4; 4]$.

Промежутки монотонности:
- На промежутке $(-\infty; -3]$ функция постоянна ($y = -4$).
- На промежутке $[-3; 1]$ функция возрастает ($y = 2x+2$).
- На промежутке $[1; +\infty)$ функция постоянна ($y = 4$).

Нули функции: Решим уравнение $y = 0$. Это возможно только на промежутке возрастания.
$2x + 2 = 0$
$2x = -2$
$x = -1$
Значение $x = -1$ принадлежит отрезку $[-3; 1]$, значит, это корень.

Ответ:
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Множество значений: $E(y) = [-4; 4]$.
Промежутки монотонности: постоянна на $(-\infty; -3]$, возрастает на $[-3; 1]$, постоянна на $[1; +\infty)$.
Нули функции: $x = -1$.

7.58. a) $y = |x - 5| \cdot (x + 3)$;

б) $y = |x + 3| \cdot |1 - x|.$

а) $y = |x - 5| \cdot (x + 3)$

Для решения этой задачи необходимо раскрыть модуль $|x - 5|$. По определению абсолютного значения:
$|a| = a$, если $a \ge 0$.
$|a| = -a$, если $a < 0$.

Применим это определение к $|x - 5|$. Рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения под модулем:

1. При $x - 5 \ge 0$ (то есть, при $x \ge 5$), модуль $|x - 5|$ раскрывается как $x - 5$.
Функция принимает вид:
$y = (x - 5)(x + 3) = x^2 + 3x - 5x - 15 = x^2 - 2x - 15$.

2. При $x - 5 < 0$ (то есть, при $x < 5$), модуль $|x - 5|$ раскрывается как $-(x - 5) = 5 - x$.
Функция принимает вид:
$y = -(x - 5)(x + 3) = (5 - x)(x + 3) = 5x + 15 - x^2 - 3x = -x^2 + 2x + 15$.

Объединив оба случая, мы получаем кусочно-заданную функцию.

Ответ: $y = \begin{cases} x^2 - 2x - 15, & \text{при } x \ge 5 \\ -x^2 + 2x + 15, & \text{при } x < 5 \end{cases}$

б) $y = |x + 3| \cdot |1 - x|$

Воспользуемся свойством модуля $|a| \cdot |b| = |a \cdot b|$, чтобы упростить данное выражение:
$y = |(x + 3)(1 - x)|$

Теперь раскроем скобки внутри знака модуля:
$(x + 3)(1 - x) = x - x^2 + 3 - 3x = -x^2 - 2x + 3$.
Таким образом, функция принимает вид: $y = |-x^2 - 2x + 3|$.

Чтобы раскрыть оставшийся модуль, необходимо определить, на каких интервалах подмодульное выражение $-x^2 - 2x + 3$ является неотрицательным, а на каких — отрицательным. Для этого найдем его корни, решив уравнение:
$-x^2 - 2x + 3 = 0$
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.

График функции $f(x) = -x^2 - 2x + 3$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, выражение неотрицательно ($f(x) \ge 0$) на отрезке между корнями и отрицательно ($f(x) < 0$) за его пределами.
1. При $-3 \le x \le 1$, выражение $-x^2 - 2x + 3 \ge 0$, и модуль раскрывается со знаком «плюс»:
$y = -x^2 - 2x + 3$.
2. При $x < -3$ или $x > 1$, выражение $-x^2 - 2x + 3 < 0$, и модуль раскрывается со знаком «минус»:
$y = -(-x^2 - 2x + 3) = x^2 + 2x - 3$.

Объединив оба случая, мы получаем кусочно-заданную функцию.

Ответ: $y = \begin{cases} -x^2 - 2x + 3, & \text{при } -3 \le x \le 1 \\ x^2 + 2x - 3, & \text{при } x < -3 \text{ или } x > 1 \end{cases}$

7.59. а) $y = |2 - \sqrt{5 - x}|;$

б) $y = 2 - \sqrt{5 - |x|};$

в) $y = |2 - \sqrt{5 + x}|;$

г) $y = |2 - \sqrt{5 + |x|}||.$

а) $y = |2 - \sqrt{5 - x}|$
Сначала найдем область определения функции. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $5 - x \ge 0$, что означает $x \le 5$.
Далее, раскроем модуль, для чего необходимо определить знак выражения $2 - \sqrt{5 - x}$.
Рассмотрим два случая:
1. Выражение под модулем неотрицательно: $2 - \sqrt{5 - x} \ge 0$.
Это неравенство эквивалентно $2 \ge \sqrt{5 - x}$. Так как обе части неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат: $4 \ge 5 - x$.
Отсюда получаем $x \ge 5 - 4$, то есть $x \ge 1$.
С учетом области определения ($x \le 5$), этот случай имеет место при $1 \le x \le 5$. В этом интервале $|2 - \sqrt{5 - x}| = 2 - \sqrt{5 - x}$.
2. Выражение под модулем отрицательно: $2 - \sqrt{5 - x} < 0$.
Это неравенство эквивалентно $2 < \sqrt{5 - x}$. Возводя в квадрат, получаем $4 < 5 - x$.
Отсюда $x < 5 - 4$, то есть $x < 1$.
В этом интервале $|2 - \sqrt{5 - x}| = -(2 - \sqrt{5 - x}) = \sqrt{5 - x} - 2$.
Таким образом, функцию можно представить в виде:
Ответ: $y = \begin{cases} \sqrt{5 - x} - 2, & \text{при } x < 1 \\ 2 - \sqrt{5 - x}, & \text{при } 1 \le x \le 5 \end{cases}$

б) $y = 2 - \sqrt{5 - |x|}$
Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $5 - |x| \ge 0$.
Это означает $|x| \le 5$, что эквивалентно $-5 \le x \le 5$.
В данном выражении нет внешнего модуля, который можно было бы упростить для всех $x$ сразу, но есть $|x|$. Чтобы раскрыть его, рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид $y = 2 - \sqrt{5 - x}$. Этот случай рассматривается на промежутке $0 \le x \le 5$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = 2 - \sqrt{5 - (-x)} = 2 - \sqrt{5 + x}$. Этот случай рассматривается на промежутке $-5 \le x < 0$.
Таким образом, функцию можно представить в кусочном виде:
Ответ: $y = \begin{cases} 2 - \sqrt{5 + x}, & \text{при } -5 \le x < 0 \\ 2 - \sqrt{5 - x}, & \text{при } 0 \le x \le 5 \end{cases}$

в) $y = |2 - \sqrt{5 + x}|$
Найдем область определения функции: выражение под корнем $5 + x$ должно быть неотрицательным, то есть $5 + x \ge 0$, откуда $x \ge -5$.
Раскроем модуль, определив знак выражения $2 - \sqrt{5 + x}$.
1. Рассмотрим случай, когда $2 - \sqrt{5 + x} \ge 0$.
Это эквивалентно $2 \ge \sqrt{5 + x}$. Возводим в квадрат обе части: $4 \ge 5 + x$.
Отсюда $x \le -1$. С учетом области определения ($x \ge -5$), это верно при $-5 \le x \le -1$.
В этом диапазоне $y = 2 - \sqrt{5 + x}$.
2. Рассмотрим случай, когда $2 - \sqrt{5 + x} < 0$.
Это эквивалентно $2 < \sqrt{5 + x}$. Возводим в квадрат: $4 < 5 + x$.
Отсюда $x > -1$. С учетом области определения, это верно при $x > -1$.
В этом диапазоне $y = -(2 - \sqrt{5 + x}) = \sqrt{5 + x} - 2$.
Запишем функцию в кусочном виде:
Ответ: $y = \begin{cases} 2 - \sqrt{5 + x}, & \text{при } -5 \le x \le -1 \\ \sqrt{5 + x} - 2, & \text{при } x > -1 \end{cases}$

г) $y = |2 - \sqrt{5 + |x|}|$
Найдем область определения. Выражение под корнем $5 + |x|$ должно быть неотрицательным. Поскольку $|x| \ge 0$ для любого действительного $x$, то $5 + |x| \ge 5$. Выражение под корнем всегда положительно, следовательно, область определения функции — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.
Теперь упростим выражение, раскрыв внешний модуль. Для этого определим знак подмодульного выражения $2 - \sqrt{5 + |x|}$.
Сравним $2$ и $\sqrt{5 + |x|}$. Так как оба числа положительны, сравним их квадраты: $2^2 = 4$ и $(\sqrt{5 + |x|})^2 = 5 + |x|$.
Поскольку $|x| \ge 0$, то $5 + |x| \ge 5$. Отсюда следует, что $5 + |x| > 4$ для всех $x$.
Это означает, что $\sqrt{5 + |x|} > \sqrt{4} = 2$ для всех $x$.
Следовательно, разность $2 - \sqrt{5 + |x|}$ всегда отрицательна.
По определению модуля, $|a| = -a$ если $a < 0$. Применяя это правило, получаем:
$y = -(2 - \sqrt{5 + |x|}) = \sqrt{5 + |x|} - 2$.
Ответ: $y = \sqrt{5 + |x|} - 2$

7.60. Найдите наименьшее значение функции:

а) $y = 2 + |x + 5|$;

б) $y = |x - 2| + |x + 5|$;

в) $y = |x - 2| - |x + 5|$;

г) $y = |x - 2| \cdot |x + 5|$.

а) Для функции $y = 2 + |x + 5|$.

Выражение с модулем $|x + 5|$ всегда неотрицательно, то есть $|x + 5| \ge 0$ для любого значения $x$. Наименьшее значение модуля равно 0. Это значение достигается, когда выражение под модулем равно нулю: $x + 5 = 0$, что означает $x = -5$.

Чтобы найти наименьшее значение функции $y$, подставим наименьшее значение модуля в исходное уравнение: $y_{min} = 2 + 0 = 2$.

Ответ: 2

б) Для функции $y = |x - 2| + |x + 5|$.

Эту функцию можно интерпретировать как сумму расстояний от точки $x$ на числовой прямой до точек 2 и -5. Сумма расстояний до двух фиксированных точек минимальна, когда точка $x$ находится между ними. В этом случае сумма расстояний равна расстоянию между этими двумя точками.

Расстояние между точками 2 и -5 равно $|2 - (-5)| = |2 + 5| = 7$. Таким образом, при $-5 \le x \le 2$ значение функции постоянно и равно 7. Если $x$ находится вне этого отрезка, сумма расстояний будет больше 7. Следовательно, наименьшее значение функции равно 7.

Можно также решить задачу, раскрыв модули. Точки, в которых выражения под модулями обращаются в ноль: $x=2$ и $x=-5$. Рассматриваем три интервала:

• При $x < -5$: $y = -(x-2) - (x+5) = -2x-3$. Функция убывает.
• При $-5 \le x \le 2$: $y = -(x-2) + (x+5) = -x+2+x+5 = 7$. Функция постоянна.
• При $x > 2$: $y = (x-2) + (x+5) = 2x+3$. Функция возрастает.

Из анализа интервалов видно, что наименьшее значение функции достигается на отрезке $[-5, 2]$ и равно 7.

Ответ: 7

в) Для функции $y = |x - 2| - |x + 5|$.

Раскроем модули, рассмотрев те же интервалы, что и в предыдущем пункте:

• При $x < -5$: $y = -(x-2) - (-(x+5)) = -x+2+x+5 = 7$.
• При $-5 \le x \le 2$: $y = -(x-2) - (x+5) = -x+2-x-5 = -2x-3$. На этом отрезке функция линейно убывает. При $x=-5$, $y = -2(-5)-3=7$. При $x=2$, $y = -2(2)-3=-7$.
• При $x > 2$: $y = (x-2) - (x+5) = x-2-x-5 = -7$.

Таким образом, функция сначала постоянна и равна 7, затем убывает от 7 до -7, и после этого снова становится постоянной, равной -7. Наименьшее значение, которое принимает функция, равно -7.

Ответ: -7

г) Для функции $y = |x - 2| \cdot |x + 5|$.

Используя свойство модуля $|a| \cdot |b| = |a \cdot b|$, мы можем переписать функцию в виде: $y = |(x-2)(x+5)| = |x^2 + 3x - 10|$.

Значение модуля всегда неотрицательно, то есть $y \ge 0$. Наименьшее возможное значение для $y$ — это 0. Это значение будет достигнуто, если выражение внутри модуля равно нулю: $x^2 + 3x - 10 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Его корни можно найти, разложив на множители: $(x-2)(x+5) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -5$. При этих значениях $x$ функция $y$ обращается в ноль. Поскольку $y$ не может быть отрицательной, 0 является её наименьшим значением.

Ответ: 0

7.61. На рисунке 10 изображён график функции $y = f(x)$. Постройте график уравнения:

а) $y = |f(x)|$;

б) $y = f(|x|)$;

в) $|y| = f(x)$;

г) $|y| = f(|x|)$.

Выполните аналогичные задания для функций $y = g(x)$ (рис. 11), $y = h(x)$ (рис. 12) и $y = \varphi(x)$ (рис. 13).

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

Решения для функции $y = f(x)$ (рис. 10)

а) $y = |f(x)|$

Чтобы построить график уравнения $y = |f(x)|$, необходимо ту часть графика $y = f(x)$, которая находится ниже оси $Ox$ (где $f(x) < 0$), отразить симметрично относительно этой оси. Часть графика, которая находится выше или на оси $Ox$ (где $f(x) \ge 0$), остается без изменений.

Применительно к графику на рис. 10:
- Участки графика, где $f(x) \ge 0$ (на промежутках $[-4, 0]$ и $[4, 8]$), остаются на месте.
- Участки графика, где $f(x) < 0$ (на промежутках, примерно, $[-5.5, -4)$, $(0, 4)$ и $(8, 9.5]$), отражаются симметрично относительно оси $Ox$.
- Точки локальных минимумов $(2, -1)$ и $(9, -2)$ становятся точками излома (остриями) в точках $(2, 1)$ и $(9, 2)$ соответственно.

Ответ: График $y = |f(x)|$ получается из исходного графика путем симметричного отражения всех его отрицательных частей (находящихся под осью $x$) относительно оси $x$. Положительные части остаются без изменений.

б) $y = f(|x|)$

График функции $y = f(|x|)$ является четной функцией, то есть он симметричен относительно оси $Oy$. Для его построения необходимо:
1. Стереть часть графика $y = f(x)$, расположенную слева от оси $Oy$ (для $x < 0$).
2. Оставить без изменений часть графика $y = f(x)$, расположенную справа от оси $Oy$ и на самой оси (для $x \ge 0$).
3. Отразить оставшуюся часть графика симметрично относительно оси $Oy$.

Применительно к графику на рис. 10:
- Часть графика для $x \ge 0$ (которая проходит через точки $(0,0), (2,-1), (4,0), (6,3), (8,0), (9,-2)$) сохраняется.
- Часть графика для $x < 0$ удаляется.
- Сохраненная правая часть отражается влево. Например, точка $(2, -1)$ будет иметь симметричную точку $(-2, -1)$, точка $(6, 3)$ — точку $(-6, 3)$, и так далее.

Ответ: Итоговый график симметричен относительно оси $y$. Для $x \ge 0$ он совпадает с графиком $y=f(x)$, а для $x < 0$ является зеркальным отражением его правой части.

в) $|y| = f(x)$

Это уравнение задает не функцию, а кривую. Чтобы построить ее график, нужно учесть, что $|y| \ge 0$, следовательно, $f(x)$ также должно быть неотрицательным. Правило построения:
1. Стереть часть графика $y = f(x)$, где $f(x) < 0$.
2. Оставить часть графика, где $f(x) \ge 0$.
3. Добавить к оставшейся части ее симметричное отражение относительно оси $Ox$.

Применительно к графику на рис. 10:
- Сохраняются участки графика на промежутках $[-4, 0]$ и $[4, 8]$, где $f(x) \ge 0$.
- Все остальные части графика, где $f(x) < 0$, удаляются.
- Сохраненные "холмы" над осью $Ox$ отражаются симметрично вниз относительно этой оси.

Ответ: График состоит из двух замкнутых кривых, симметричных относительно оси $Ox$. Первая кривая расположена на отрезке $x \in [-4, 0]$, вторая — на отрезке $x \in [4, 8]$.

г) $|y| = f(|x|)$

Этот график является результатом последовательного применения преобразований из пунктов б) и в). Он будет симметричен как относительно оси $Ox$, так и относительно оси $Oy$. Алгоритм построения:
1. Взять часть исходного графика $y=f(x)$ в первой четверти (где $x \ge 0$ и $y \ge 0$).
2. Отразить эту часть симметрично относительно оси $Oy$ во вторую четверть.
3. Отразить все получившееся в верхней полуплоскости симметрично относительно оси $Ox$ в нижнюю полуплоскость.

Применительно к графику на рис. 10:
- Берем участок графика на отрезке $[4, 8]$.
- Отражаем его симметрично относительно оси $Oy$, получая такой же участок на отрезке $[-8, -4]$.
- Отражаем оба этих "холма" симметрично относительно оси $Ox$.

Ответ: Итоговый график состоит из двух замкнутых кривых, аналогичных тем, что в пункте в), но расположенных симметрично относительно оси $Oy$: одна на отрезке $x \in [4, 8]$ и ее отражение внизу, вторая на отрезке $x \in [-8, -4]$ и ее отражение внизу.

Решения для функции $y = g(x)$ (рис. 11)

а) $y = |g(x)|$

Отражаем части графика $y = g(x)$, находящиеся под осью $Ox$, симметрично относительно этой оси. Части над осью $Ox$ оставляем без изменений.

Применительно к графику на рис. 11:
- Участки на интервалах (примерно) $[-3, 1.5]$ и $[4.5, 5]$ остаются без изменений.
- Участки на интервалах $[-4.5, -3)$ и $(1.5, 4.5)$ отражаются вверх. Локальный минимум в точке $(3, -2)$ становится точкой излома в $(3, 2)$.

Ответ: График $y = |g(x)|$ получается из исходного отражением его отрицательных частей (под осью $x$) относительно оси $x$.

б) $y = g(|x|)$

Сохраняем часть графика $y=g(x)$ для $x \ge 0$ и отражаем ее симметрично относительно оси $Oy$. Левую часть ($x < 0$) исходного графика удаляем.

Применительно к графику на рис. 11:
- Правая часть графика, начинающаяся в точке $(0, 2)$, идущая вниз через корень $x \approx 1.5$ к минимуму $(3, -2)$, затем вверх через корень $x \approx 4.5$ и имеющая разрыв в $x=5$ (значение $g(5) \approx 2$), сохраняется.
- Эта часть отражается влево. Появляется симметричный минимум в $(-3, -2)$, корень в $x \approx -1.5$ и разрыв в $x=-5$ со значением $y \approx 2$.

Ответ: График симметричен относительно оси $y$. Для $x \ge 0$ он совпадает с графиком $y=g(x)$, для $x<0$ является его зеркальным отражением.

в) $|y| = g(x)$

Сохраняем только те части графика $y=g(x)$, где $g(x) \ge 0$, и добавляем их симметричное отражение относительно оси $Ox$.

Применительно к графику на рис. 11:
- Сохраняются участки на интервалах (примерно) $[-3, 1.5]$ и $[4.5, 5]$.
- Эти участки отражаются симметрично относительно оси $Ox$.

Ответ: График состоит из двух частей, каждая из которых симметрична относительно оси $Ox$. Одна часть представляет собой замкнутую кривую на отрезке $x \in [-3, 1.5]$, другая — кривую на отрезке $x \in [4.5, 5]$.

г) $|y| = g(|x|)$

Комбинируем преобразования б) и в). Берем часть графика $y=g(x)$ для $x \ge 0$ и $y \ge 0$, а затем отражаем ее симметрично относительно обеих осей.

Применительно к графику на рис. 11:
- Берем участки правой части графика ($x \ge 0$), где $g(x) \ge 0$. Это интервал (примерно) $[0, 1.5]$ и отрезок $[4.5, 5]$.
- Отражаем их относительно оси $Oy$, получая симметричные участки на $[-1.5, 0]$ и $[-5, -4.5]$.
- Все полученные четыре участка отражаем симметрично относительно оси $Ox$.

Ответ: График симметричен относительно обеих координатных осей. Он состоит из замкнутой кривой на $x \in [-1.5, 1.5]$ и двух отдельных кривых на $x \in [-5, -4.5]$ и $x \in [4.5, 5]$.

Решения для функции $y = h(x)$ (рис. 12)

а) $y = |h(x)|$

Части графика $y = h(x)$, находящиеся под осью $Ox$, отражаются симметрично относительно этой оси.

Применительно к графику на рис. 12:
- Участки на интервалах $(-4, 0)$ и $(2.5, 4)$ остаются на месте.
- Участки на интервалах $[-5.5, -4)$ и $(0, 2.5)$ отражаются вверх. Точки минимумов $(-5, -2)$ и $(1, -1)$ становятся точками излома $(-5, 2)$ и $(1, 1)$.

Ответ: График $y = |h(x)|$ получается из исходного отражением его отрицательных частей (под осью $x$) относительно оси $x$.

б) $y = h(|x|)$

Сохраняем часть графика $y=h(x)$ для $x \ge 0$ и отражаем ее симметрично относительно оси $Oy$.

Применительно к графику на рис. 12:
- Правая часть графика (от $x=0$ до $x=4$) сохраняется. Она проходит через $(0,0)$, минимум в $(1, -1)$, корень в $x=2.5$ и уходит вверх к асимптоте $x=4$.
- Эта часть отражается влево. Появляется симметричный минимум в $(-1, -1)$, корень в $x=-2.5$ и вертикальная асимптота $x=-4$. В точке $(0,0)$ образуется излом (острие).

Ответ: График симметричен относительно оси $y$, имеет точку излома в начале координат и вертикальные асимптоты $x=4$ и $x=-4$.

в) $|y| = h(x)$

Сохраняем только те части графика $y=h(x)$, где $h(x) \ge 0$, и добавляем их симметричное отражение относительно оси $Ox$.

Применительно к графику на рис. 12:
- Сохраняются участки на интервалах $[-4, 0]$ и $[2.5, 4)$.
- Эти участки отражаются симметрично относительно оси $Ox$.

Ответ: График состоит из замкнутой кривой на отрезке $x \in [-4, 0]$ и двух ветвей, начинающихся в точках $(2.5, 0)$ и асимптотически приближающихся к прямой $x=4$ (одна вверх, другая вниз).

г) $|y| = h(|x|)$

Берем часть графика $y=h(x)$ для $x \ge 0$ и $y \ge 0$, а затем отражаем ее симметрично относительно обеих осей.

Применительно к графику на рис. 12:
- Берем участок правой части графика ($x \ge 0$), где $h(x) \ge 0$. Это точка $(0,0)$ и интервал $[2.5, 4)$.
- Отражаем участок $[2.5, 4)$ относительно оси $Oy$, получая симметричный участок на $(-4, -2.5]$.
- Все полученные части (две ветви и точка в начале координат) отражаем симметрично относительно оси $Ox$.

Ответ: График симметричен относительно обеих осей. Он состоит из четырех ветвей, исходящих из точек $(2.5, 0), (-2.5, 0)$ и асимптотически приближающихся к прямым $x=4$ и $x=-4$. Также в состав графика входит точка $(0,0)$.

Решения для функции $y = \phi(x)$ (рис. 13)

а) $y = |\phi(x)|$

Отражаем части графика $y = \phi(x)$, находящиеся под осью $Ox$, симметрично относительно этой оси.

Применительно к графику на рис. 13:
- Участки на интервалах $[-6, -4.5)$ и $(-1, 2.5)$ остаются без изменений.
- Участки на интервалах $(-4.5, -1)$ и $(2.5, 5]$ отражаются вверх. Локальный минимум в точке $(-3, -3)$ становится точкой излома в $(-3, 3)$. Конечная точка $(5, -3)$ переходит в $(5, 3)$.

Ответ: График $y = |\phi(x)|$ получается из исходного отражением его отрицательных частей (под осью $x$) относительно оси $x$.

б) $y = \phi(|x|)$

Сохраняем часть графика $y=\phi(x)$ для $x \ge 0$ и отражаем ее симметрично относительно оси $Oy$.

Применительно к графику на рис. 13:
- Правая часть графика (от $x=0$ до $x=5$) сохраняется. Она проходит через $(0,1)$, максимум в $(1, 2)$, корень в $x \approx 2.5$ и минимум в $(5, -3)$.
- Эта часть отражается влево. Появляется симметричный максимум в $(-1, 2)$, корень в $x \approx -2.5$ и минимум в $(-5, -3)$. График будет гладким в точке $(0,1)$.

Ответ: График симметричен относительно оси $y$. Для $x \ge 0$ он совпадает с графиком $y=\phi(x)$, для $x<0$ является его зеркальным отражением.

в) $|y| = \phi(x)$

Сохраняем только те части графика $y=\phi(x)$, где $\phi(x) \ge 0$, и добавляем их симметричное отражение относительно оси $Ox$.

Применительно к графику на рис. 13:
- Сохраняются участки на интервалах $[-6, -4.5]$ и $[-1, 2.5]$.
- Эти участки отражаются симметрично относительно оси $Ox$.

Ответ: График состоит из двух частей, симметричных относительно оси $Ox$. Одна часть — кривая на отрезке $x \in [-6, -4.5]$, другая — замкнутая кривая на отрезке $x \in [-1, 2.5]$.

г) $|y| = \phi(|x|)$

Берем часть графика $y=\phi(x)$ для $x \ge 0$ и $y \ge 0$, а затем отражаем ее симметрично относительно обеих осей.

Применительно к графику на рис. 13:
- Берем участок правой части графика ($x \ge 0$), где $\phi(x) \ge 0$. Это интервал $[0, 2.5]$.
- Отражаем его относительно оси $Oy$, получая симметричный участок на $[-2.5, 0]$.
- Получившуюся "шапку" на отрезке $[-2.5, 2.5]$ отражаем симметрично относительно оси $Ox$.

Ответ: Итоговый график представляет собой одну замкнутую кривую, расположенную на отрезке $x \in [-2.5, 2.5]$, симметричную относительно обеих координатных осей.