Страница 51, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

7.49. Пусть область значений функции $y = f(x - 5)$ есть отрезок $[-3; 5]$. Найдите множество значений функции:

а) $y = f(x);$

б) $y = 5 - f(x + 5);$

в) $y = 5 - f(x);$

г) $y = a - f(x + b).$

Пусть $E(g)$ обозначает область значений (множество значений) функции $g(x)$. По условию, для функции $y = f(x - 5)$ область значений есть отрезок $E(f(x-5)) = [-3; 5]$.

График функции $y = f(x-5)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем сдвига на 5 единиц вправо вдоль оси абсцисс. Такой горизонтальный сдвиг не изменяет множество значений, которые принимает функция. Следовательно, область значений функции $y = f(x)$ также является отрезком $[-3; 5]$.

Таким образом, мы знаем, что $E(f(x)) = [-3; 5]$. Это означает, что для любого аргумента $z$ из области определения функции $f$ выполняется двойное неравенство: $-3 \le f(z) \le 5$. Это ключевое свойство мы будем использовать для решения всех подпунктов.

а) $y = f(x)$

Как было показано во вступлении, область значений функции $y = f(x)$ совпадает с областью значений функции $y = f(x-5)$, так как преобразование аргумента $x \rightarrow x-5$ является горизонтальным сдвигом, который не влияет на множество принимаемых функцией значений.

Ответ: $[-3; 5]$.

б) $y = 5 - f(x + 5)$

Сначала определим область значений для $f(x+5)$. Преобразование $x \rightarrow x+5$ также является горизонтальным сдвигом (на 5 единиц влево), поэтому область значений не меняется: $E(f(x+5)) = [-3; 5]$.

Мы имеем двойное неравенство:

$-3 \le f(x+5) \le 5$.

Чтобы найти область значений для $y = 5 - f(x+5)$, выполним преобразования с этим неравенством.

1. Умножим все части неравенства на $-1$. При этом знаки неравенства меняются на противоположные:

$3 \ge -f(x+5) \ge -5$, что эквивалентно $-5 \le -f(x+5) \le 3$.

2. Прибавим ко всем частям число 5:

$5 - 5 \le 5 - f(x+5) \le 5 + 3$.

В результате получаем:

$0 \le y \le 8$.

Следовательно, множество значений функции — это отрезок $[0; 8]$.

Ответ: $[0; 8]$.

в) $y = 5 - f(x)$

Мы знаем, что область значений для $f(x)$ есть $[-3; 5]$, то есть $-3 \le f(x) \le 5$.

Выполним преобразования, чтобы найти область значений для $y = 5 - f(x)$.

1. Умножим неравенство на $-1$:

$-5 \le -f(x) \le 3$.

2. Прибавим 5 ко всем частям:

$5 - 5 \le 5 - f(x) \le 5 + 3$.

Получаем:

$0 \le y \le 8$.

Таким образом, искомое множество значений — это отрезок $[0; 8]$.

Ответ: $[0; 8]$.

г) $y = a - f(x + b)$

Здесь $a$ и $b$ — некоторые параметры (константы).

Область значений функции $f(x+b)$ совпадает с областью значений $f(x)$ и равна $[-3; 5]$, так как сдвиг по оси $x$ на $b$ (горизонтальный сдвиг) не меняет множество значений.

Итак, мы исходим из неравенства: $-3 \le f(x+b) \le 5$.

Теперь найдем область значений для $y = a - f(x+b)$:

1. Умножим неравенство на $-1$:

$-5 \le -f(x+b) \le 3$.

2. Прибавим ко всем частям константу $a$:

$a - 5 \le a - f(x+b) \le a + 3$.

Таким образом, $a - 5 \le y \le a + 3$.

Искомое множество значений — это отрезок $[a - 5; a + 3]$.

Ответ: $[a - 5; a + 3]$.

7.50. Пусть область значений функции $y = f(x)$ есть отрезок $[-3; 5]$. Найдите все целочисленные значения функции:

a) $y = \frac{7}{5 + f(x)}$;

б) $y = \frac{8 + f(x)}{7 + f(x)}$;

в) $y = \frac{15}{7 - f(x)}$;

г) $y = \frac{f(x)}{6 - f(x)}$.

По условию задачи, область значений функции $y = f(x)$ — это отрезок $[-3; 5]$. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется двойное неравенство: $-3 \le f(x) \le 5$.

Для каждой из предложенных функций мы найдем ее область значений, а затем определим все целые числа, входящие в эту область.

а) $y = \frac{7}{5 + f(x)}$

Сначала найдем, в каких пределах изменяется знаменатель дроби. Для этого ко всем частям исходного неравенства $-3 \le f(x) \le 5$ прибавим 5:

$5 + (-3) \le 5 + f(x) \le 5 + 5$

$2 \le 5 + f(x) \le 10$

Знаменатель $5 + f(x)$ принимает значения из отрезка $[2; 10]$.

Функция $g(t) = \frac{7}{t}$ является убывающей для положительных $t$. Поскольку знаменатель всегда положителен, наименьшее значение функции $y$ будет достигаться при наибольшем значении знаменателя, а наибольшее — при наименьшем.

Наименьшее значение $y_{min} = \frac{7}{10} = 0,7$.

Наибольшее значение $y_{max} = \frac{7}{2} = 3,5$.

Таким образом, область значений функции $y$ есть отрезок $[0,7; 3,5]$.

Целочисленные значения, которые принадлежат этому отрезку: 1, 2, 3.

Ответ: 1, 2, 3.

б) $y = \frac{8 + f(x)}{7 + f(x)}$

Преобразуем выражение, выделив целую часть:

$y = \frac{7 + f(x) + 1}{7 + f(x)} = \frac{7 + f(x)}{7 + f(x)} + \frac{1}{7 + f(x)} = 1 + \frac{1}{7 + f(x)}$

Найдем область значений выражения $7 + f(x)$:

$7 + (-3) \le 7 + f(x) \le 7 + 5$

$4 \le 7 + f(x) \le 12$

Так как функция $g(t) = \frac{1}{t}$ убывающая, то для выражения $\frac{1}{7 + f(x)}$ получаем:

$\frac{1}{12} \le \frac{1}{7 + f(x)} \le \frac{1}{4}$

Теперь найдем область значений для $y$, прибавив 1 ко всем частям:

$1 + \frac{1}{12} \le 1 + \frac{1}{7 + f(x)} \le 1 + \frac{1}{4}$

$\frac{13}{12} \le y \le \frac{5}{4}$

В десятичном виде это выглядит как $1,08(3) \le y \le 1,25$. В этом интервале нет ни одного целого числа.

Ответ: нет целых значений.

в) $y = \frac{15}{7 - f(x)}$

Найдем область значений знаменателя $7 - f(x)$. Сначала умножим неравенство $-3 \le f(x) \le 5$ на -1 (знаки неравенства изменятся на противоположные):

$-5 \le -f(x) \le 3$

Теперь прибавим 7 ко всем частям:

$7 - 5 \le 7 - f(x) \le 7 + 3$

$2 \le 7 - f(x) \le 10$

Знаменатель принимает значения из отрезка $[2; 10]$. Функция $g(t) = \frac{15}{t}$ является убывающей, поэтому:

$y_{min} = \frac{15}{10} = 1,5$

$y_{max} = \frac{15}{2} = 7,5$

Область значений функции $y$ — это отрезок $[1,5; 7,5]$.

Целочисленные значения, принадлежащие этому отрезку: 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Ответ: 2, 3, 4, 5, 6, 7.

г) $y = \frac{f(x)}{6 - f(x)}$

Преобразуем выражение:

$y = \frac{f(x)}{6 - f(x)} = \frac{-(6 - f(x)) + 6}{6 - f(x)} = \frac{-(6 - f(x))}{6 - f(x)} + \frac{6}{6 - f(x)} = -1 + \frac{6}{6 - f(x)}$

Найдем область значений для $6 - f(x)$:

$-5 \le -f(x) \le 3$

$6 - 5 \le 6 - f(x) \le 6 + 3$

$1 \le 6 - f(x) \le 9$

Найдем область значений для дроби $\frac{6}{6 - f(x)}$. Так как $g(t)=\frac{6}{t}$ убывающая функция:

$\frac{6}{9} \le \frac{6}{6 - f(x)} \le \frac{6}{1}$

$\frac{2}{3} \le \frac{6}{6 - f(x)} \le 6$

Теперь найдем область значений для $y$, отняв 1 от всех частей:

$\frac{2}{3} - 1 \le -1 + \frac{6}{6 - f(x)} \le 6 - 1$

$-\frac{1}{3} \le y \le 5$

Область значений функции $y$ — это отрезок $[-\frac{1}{3}; 5]$.

Целочисленные значения, принадлежащие этому отрезку: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

7.51. Найдите область значений функции:

a) $y = |x| \cdot (x - 6) - 2$;

б) $y = x \cdot |x - 6| - 2$.

а) $y = |x| \cdot (x - 6) - 2$

Для нахождения области значений данной функции необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $x$.

1. Пусть $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$, и функция принимает вид:

$y = x(x - 6) - 2 = x^2 - 6x - 2$.

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх. Наименьшее значение такой функции достигается в её вершине. Найдем координаты вершины. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -b/(2a)$:$x_v = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = 3$.

Поскольку значение $x_v = 3$ принадлежит рассматриваемому промежутку $[0, \infty)$, то наименьшее значение функции на этом промежутке равно ординате вершины:

$y_v = y(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 - 2 = 9 - 18 - 2 = -11$.

Так как ветви параболы уходят в бесконечность, то на промежутке $x \ge 0$ функция принимает все значения из промежутка $[-11, +\infty)$.

2. Пусть $x < 0$. В этом случае $|x| = -x$, и функция принимает вид:

$y = -x(x - 6) - 2 = -x^2 + 6x - 2$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз. Найдем абсциссу её вершины:

$x_v = \frac{-6}{2 \cdot (-1)} = 3$.

Вершина параболы находится в точке $x=3$, которая не входит в рассматриваемый промежуток $(-\infty, 0)$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, на промежутке $(-\infty, 3)$ функция возрастает. Следовательно, на промежутке $(-\infty, 0)$ она также возрастает.

При $x \to -\infty$ значение $y \to -\infty$. Верхней границей значений на этом промежутке будет значение функции при $x \to 0$ (слева):

$\lim_{x \to 0^-} (-x^2 + 6x - 2) = -2$.

Таким образом, на промежутке $x < 0$ функция принимает все значения из промежутка $(-\infty, -2)$.

Область значений исходной функции является объединением областей значений, найденных в обоих случаях:

$E(y) = (-\infty, -2) \cup [-11, +\infty)$.

Объединение этих двух множеств покрывает всю числовую прямую.

Ответ: $(-\infty, +\infty)$.

б) $y = x \cdot |x - 6| - 2$

Для нахождения области значений этой функции раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения $(x - 6)$.

1. Пусть $x - 6 \ge 0$, то есть $x \ge 6$. В этом случае $|x - 6| = x - 6$, и функция принимает вид:

$y = x(x - 6) - 2 = x^2 - 6x - 2$.

Это парабола с ветвями вверх. Абсцисса её вершины $x_v = 3$. Это значение не принадлежит рассматриваемому промежутку $[6, +\infty)$. Поскольку $x_v < 6$, на всем промежутке $[6, +\infty)$ функция является возрастающей. Её наименьшее значение на этом промежутке достигается в его начальной точке $x = 6$.

$y(6) = 6^2 - 6 \cdot 6 - 2 = 36 - 36 - 2 = -2$.

При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$. Таким образом, на промежутке $x \ge 6$ функция принимает все значения из промежутка $[-2, +\infty)$.

2. Пусть $x - 6 < 0$, то есть $x < 6$. В этом случае $|x - 6| = -(x - 6) = 6 - x$, и функция принимает вид:

$y = x(6 - x) - 2 = -x^2 + 6x - 2$.

Это парабола с ветвями вниз. Абсцисса её вершины $x_v = 3$. Это значение принадлежит рассматриваемому промежутку $(-\infty, 6)$. Следовательно, наибольшее значение функции на этом промежутке достигается в вершине.

$y_v = y(3) = -(3^2) + 6 \cdot 3 - 2 = -9 + 18 - 2 = 7$.

Так как ветви параболы направлены вниз, на промежутке $x < 6$ функция принимает все значения от $-\infty$ до своего максимума $7$. Область значений на этом промежутке: $(-\infty, 7]$.

Общая область значений исходной функции является объединением областей значений, найденных в обоих случаях:

$E(y) = (-\infty, 7] \cup [-2, +\infty)$.

Объединение этих двух множеств покрывает всю числовую прямую.

Ответ: $(-\infty, +\infty)$.

7.52. Выполните в указанном порядке задания а) и б) и, обобщив их результаты, предложите алгоритм нахождения множества $E(f)$ значений функции $y = f(x)$, исследуя вопрос существования корней уравнения $f(x) = a$, а также предложите алгоритм исследования существования корней уравнения $f(x) = a$, если известно $E(f)$.

а) Найдите область значений функции $y = x^2 - 4x - 1$ и определите, при каких значениях параметра $b$ уравнение $b = x^2 - 4x - 1$ имеет хотя бы один корень.

б) Определите, при каких значениях параметра $a$ уравнение $x^2 + 4x - 3 = a$ имеет хотя бы один корень, и найдите область значений функции $y = x^2 + 4x - 3$.

а)

Сначала найдем область значений функции $y = x^2 - 4x - 1$.Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$). Своё наименьшее значение функция достигает в вершине параболы.

Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

Ордината вершины (наименьшее значение функции) находится подстановкой $x_0$ в уравнение функции:$y_0 = y(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 - 1 = 4 - 8 - 1 = -5$.

Таким образом, область значений функции, обозначаемая $E(y)$, есть промежуток от наименьшего значения до плюс бесконечности: $E(y) = [-5; +\infty)$.

Теперь определим, при каких значениях параметра $b$ уравнение $b = x^2 - 4x - 1$ имеет хотя бы один корень.Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения относительно $x$:$x^2 - 4x - 1 - b = 0$, или $x^2 - 4x - (1 + b) = 0$.

Квадратное уравнение имеет хотя бы один действительный корень, если его дискриминант $D$ больше или равен нулю ($D \ge 0$).Для уравнения $ax^2+bx+c=0$ дискриминант $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты: $a=1$, $b=-4$, $c=-(1+b)$.$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(1+b)) = 16 + 4(1+b) = 16 + 4 + 4b = 20 + 4b$.

Решим неравенство $D \ge 0$:$20 + 4b \ge 0$$4b \ge -20$$b \ge -5$.

Следовательно, уравнение имеет хотя бы один корень при $b \in [-5; +\infty)$.

Ответ: Область значений функции $E(y) = [-5; +\infty)$. Уравнение $b = x^2 - 4x - 1$ имеет хотя бы один корень при $b \ge -5$.

б)

Сначала определим, при каких значениях параметра $a$ уравнение $x^2 + 4x - 3 = a$ имеет хотя бы один корень.Перенесем $a$ в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$x^2 + 4x - 3 - a = 0$, или $x^2 + 4x - (3 + a) = 0$.

Уравнение имеет хотя бы один корень при условии, что его дискриминант $D \ge 0$.Коэффициенты: $a=1$, $b=4$, $c=-(3+a)$.$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(3+a)) = 16 + 4(3+a) = 16 + 12 + 4a = 28 + 4a$.

Решим неравенство $D \ge 0$:$28 + 4a \ge 0$$4a \ge -28$$a \ge -7$.

Уравнение имеет хотя бы один корень при $a \in [-7; +\infty)$.

Теперь найдем область значений функции $y = x^2 + 4x - 3$.Это парабола с ветвями вверх. Найдем координаты её вершины.Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.

Ордината вершины (наименьшее значение функции):$y_0 = y(-2) = (-2)^2 + 4(-2) - 3 = 4 - 8 - 3 = -7$.

Следовательно, область значений функции $E(y) = [-7; +\infty)$.

Ответ: Уравнение $x^2 + 4x - 3 = a$ имеет хотя бы один корень при $a \ge -7$. Область значений функции $E(y) = [-7; +\infty)$.

Обобщив результаты, полученные в пунктах а) и б), можно заметить, что множество значений параметра, при которых уравнение $f(x) = \text{параметр}$ имеет решение, совпадает с областью значений функции $y=f(x)$. На основе этого можно предложить следующие алгоритмы.

Алгоритм нахождения множества значений $E(f)$ функции $y = f(x)$, исследуя вопрос существования корней уравнения $f(x) = a$:

1. Составить уравнение $f(x) = a$, где $a$ является параметром.
2. Решить это уравнение относительно $x$. Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение имеет хотя бы одно действительное решение.
3. Множество найденных значений параметра $a$ является областью значений $E(f)$ функции $y = f(x)$.

Алгоритм исследования существования корней уравнения $f(x) = a$, если известно множество значений функции $E(f)$:

1. Рассмотреть уравнение $f(x) = a$ и известную область значений функции $E(f)$.
2. Уравнение $f(x) = a$ имеет хотя бы один действительный корень тогда и только тогда, когда значение $a$ принадлежит области значений функции $f(x)$.
3. Проверить условие $a \in E(f)$. Если условие выполняется, уравнение имеет корни. Если не выполняется, уравнение не имеет действительных корней.

7.53. a) Определите, при каких значениях параметра a уравнение $x^2 - ax + 3 = 0$ имеет корни, и найдите область $E(f)$ значений функции $y = \frac{x^2 + 3}{x}$;

б) определите, при каких значениях параметра a уравнение $ax^2 - 4x + a = 0$ имеет корни, и найдите область $E(f)$ значений функции $y = \frac{4x}{x^2 + 1}$.

Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 - ax + 3 = 0$. Квадратное уравнение имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

Дискриминант для данного уравнения равен: $D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = a^2 - 12$.

Решим неравенство $a^2 - 12 \ge 0$, что равносильно $a^2 \ge 12$.

Отсюда $a \le -\sqrt{12}$ или $a \ge \sqrt{12}$. Так как $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$, получаем, что уравнение имеет корни при $a \in (-\infty, -2\sqrt{3}] \cup [2\sqrt{3}, \infty)$.

Теперь найдем область значений $E(f)$ функции $y = \frac{x^2 + 3}{x}$.

Область значений функции — это множество всех значений $y$, для которых существует хотя бы одно значение $x$ из области определения функции ($x \ne 0$) такое, что $y = \frac{x^2 + 3}{x}$. Преобразуем это уравнение: $yx = x^2 + 3$, что эквивалентно квадратному уравнению относительно $x$: $x^2 - yx + 3 = 0$.

Это уравнение имеет действительные решения для $x$ тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен. Заметим, что это то же самое уравнение, что и в первой части задания, где параметр $a$ заменен на $y$.

Следовательно, условие существования корней для $x$ такое же: $y^2 - 12 \ge 0$. Решением этого неравенства является $y \in (-\infty, -2\sqrt{3}] \cup [2\sqrt{3}, \infty)$. Это и есть область значений функции.

Ответ: уравнение $x^2 - ax + 3 = 0$ имеет корни при $a \in (-\infty, -2\sqrt{3}] \cup [2\sqrt{3}, \infty)$; область значений функции $E(f) = (-\infty, -2\sqrt{3}] \cup [2\sqrt{3}, \infty)$.

Рассмотрим уравнение $ax^2 - 4x + a = 0$. Необходимо рассмотреть два случая для параметра $a$.

1. Если $a = 0$, уравнение становится линейным: $-4x = 0$. Оно имеет единственный корень $x=0$. Следовательно, $a=0$ является решением.

2. Если $a \ne 0$, уравнение является квадратным. Оно имеет действительные корни, если его дискриминант $D \ge 0$. $D = (-4)^2 - 4 \cdot a \cdot a = 16 - 4a^2$.

Решим неравенство $16 - 4a^2 \ge 0$. $16 \ge 4a^2 \implies 4 \ge a^2 \implies a^2 \le 4$. Это неравенство выполняется при $-2 \le a \le 2$.

Объединяя результаты обоих случаев ($a=0$ и $a \in [-2, 2], a \ne 0$), получаем, что уравнение имеет корни при $a \in [-2, 2]$.

Теперь найдем область значений $E(f)$ функции $y = \frac{4x}{x^2 + 1}$.

Область значений — это множество всех $y$, для которых уравнение $y = \frac{4x}{x^2 + 1}$ имеет хотя бы одно действительное решение $x$. Преобразуем уравнение (знаменатель $x^2+1$ всегда положителен): $y(x^2 + 1) = 4x \implies yx^2 + y = 4x \implies yx^2 - 4x + y = 0$.

Это уравнение относительно $x$ с параметром $y$. Оно имеет действительные решения для $x$, если выполняются условия, которые мы нашли для параметра $a$ в первой части этого пункта. Таким образом, параметр $y$ должен удовлетворять условию $y \in [-2, 2]$. Это и есть область значений функции.

Ответ: уравнение $ax^2 - 4x + a = 0$ имеет корни при $a \in [-2, 2]$; область значений функции $E(f) = [-2, 2]$.