Страница 49, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

7.36. Пусть $D(f) = [-2; 9]$. Найдите область определения функции:

а) $y = 4f(x - 1)$;

б) $y = -4f(x + 11)$;

в) $y = 4 \cdot f(x) - 1$;

г) $y = -4 \cdot f(x) + 11$.

Исходная область определения функции $f$, обозначаемая как $D(f)$, — это отрезок $[-2; 9]$. Это означает, что функция $f(t)$ определена тогда и только тогда, когда ее аргумент $t$ удовлетворяет двойному неравенству $-2 \le t \le 9$. Для нахождения областей определения заданных функций необходимо убедиться, что выражение, стоящее в качестве аргумента у функции $f$, находится в указанных пределах.

а) $y = 4f(x - 1)$
Область определения этой функции находится из условия, что аргумент функции $f$, то есть выражение $(x - 1)$, должен принадлежать области определения $D(f) = [-2; 9]$.
Составим и решим двойное неравенство:
$-2 \le x - 1 \le 9$
Прибавим 1 ко всем частям неравенства, чтобы выразить $x$:
$-2 + 1 \le x - 1 + 1 \le 9 + 1$
$-1 \le x \le 10$
Таким образом, областью определения для данной функции является отрезок $[-1; 10]$. Коэффициент 4 перед функцией влияет на ее область значений (растяжение вдоль оси Y), но не на область определения.
Ответ: $D(y) = [-1; 10]$.

б) $y = -4f(x + 11)$
Аналогично предыдущему пункту, аргумент функции $f$, равный $(x + 11)$, должен находиться в пределах области определения $D(f)$.
Запишем соответствующее неравенство:
$-2 \le x + 11 \le 9$
Вычтем 11 из всех частей неравенства, чтобы найти $x$:
$-2 - 11 \le x + 11 - 11 \le 9 - 11$
$-13 \le x \le -2$
Следовательно, областью определения для данной функции является отрезок $[-13; -2]$.
Ответ: $D(y) = [-13; -2]$.

в) $y = 4 \cdot f(x) - 1$
В данном случае аргументом функции $f$ является сама переменная $x$. Функция $y$ определена тогда, когда определена функция $f(x)$.
По условию, область определения $f(x)$ — это $D(f) = [-2; 9]$.
Преобразования, выполняемые над значением функции $f(x)$ (умножение на 4 и вычитание 1), являются вертикальным растяжением и сдвигом. Эти преобразования изменяют область значений функции (множество всех возможных значений $y$), но не ее область определения (множество всех допустимых значений $x$).
Таким образом, область определения функции $y = 4 \cdot f(x) - 1$ совпадает с областью определения функции $f(x)$.
Ответ: $D(y) = [-2; 9]$.

г) $y = -4 \cdot f(x) + 11$
Как и в пункте в), аргументом функции $f$ является переменная $x$. Область определения функции $y$ полностью определяется областью определения $f(x)$.
Поскольку $D(f) = [-2; 9]$, то и для функции $y$ переменная $x$ должна принадлежать этому же отрезку.
Умножение на -4 и прибавление 11 являются преобразованиями, которые не влияют на область определения. Они вызывают растяжение, отражение относительно оси абсцисс и сдвиг графика функции вдоль оси ординат, изменяя тем самым область значений, но не область определения.
Следовательно, область определения функции $y = -4 \cdot f(x) + 11$ также совпадает с $D(f)$.
Ответ: $D(y) = [-2; 9]$.

7.37. a) При каких значениях параметра $a$ функция $y = 3 - \sqrt{x - a}$ определена во всех точках отрезка $[-11; 7]$?

б) При каких значениях параметра $a$ функция $y = 3 - \sqrt{x - 3}$ определена во всех точках отрезка $[a - 1; a + 1]$?

а)

Область определения функции $y = 3 - \sqrt{x - a}$ задается условием неотрицательности подкоренного выражения: $x - a \ge 0$. Решая это неравенство относительно $x$, получаем: $x \ge a$. Таким образом, область определения функции (ОДЗ) — это промежуток $[a; +\infty)$.

По условию, функция должна быть определена во всех точках отрезка $[-11; 7]$. Это означает, что данный отрезок должен полностью содержаться в области определения функции. Математически это можно записать как: $[-11; 7] \subseteq [a; +\infty)$.

Чтобы отрезок $[-11; 7]$ входил в луч $[a; +\infty)$, необходимо, чтобы левая граница отрезка, то есть наименьшее значение $x$ на нем, была не меньше, чем $a$. Следовательно, должно выполняться неравенство: $-11 \ge a$, или $a \le -11$.

При выполнении этого условия любая точка $x$ из отрезка $[-11; 7]$ будет удовлетворять неравенству $x \ge -11 \ge a$, а значит, будет входить в область определения функции.

Ответ: $a \in (-\infty; -11]$.

б)

Область определения функции $y = 3 - \sqrt{x - 3}$ задается условием неотрицательности подкоренного выражения: $x - 3 \ge 0$. Решая это неравенство относительно $x$, получаем: $x \ge 3$. Таким образом, область определения функции (ОДЗ) — это промежуток $[3; +\infty)$.

По условию, функция должна быть определена во всех точках отрезка $[a - 1; a + 1]$. Это означает, что данный отрезок должен полностью содержаться в области определения функции. Математически это можно записать как: $[a - 1; a + 1] \subseteq [3; +\infty)$.

Чтобы отрезок $[a - 1; a + 1]$ входил в луч $[3; +\infty)$, необходимо, чтобы левая граница отрезка, то есть наименьшее значение $x$ на нем, была не меньше, чем $3$. Следовательно, должно выполняться неравенство: $a - 1 \ge 3$.

Решим полученное неравенство относительно параметра $a$: $a \ge 3 + 1$ $a \ge 4$.

При выполнении этого условия любая точка $x$ из отрезка $[a - 1; a + 1]$ будет удовлетворять неравенству $x \ge a - 1 \ge 3$, а значит, будет входить в область определения функции.

Ответ: $a \in [4; +\infty)$.

7.38. Найдите все значения параметра $a$, при которых областью определения функции $y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{ax + 4}$ будет:

а) луч;

б) отрезок;

в) единственное число (единственная точка);

г) пустое множество.

Область определения функции $y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{ax + 4}$ находится из системы неравенств, при которой подкоренные выражения неотрицательны:

$$\begin{cases}x - 3 \ge 0 \\ax + 4 \ge 0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x \ge 3 \\ax \ge -4\end{cases}$$

Решение этой системы зависит от знака параметра $a$. Рассмотрим все возможные случаи.

Случай 1: $a > 0$

Разделим второе неравенство на $a > 0$, знак неравенства при этом не изменится: $x \ge -4/a$. Система примет вид:

$$\begin{cases}x \ge 3 \\x \ge -4/a\end{cases}$$

Так как $a > 0$, то $-4/a < 0$, а значит $-4/a < 3$. Решением системы является пересечение двух лучей $[3, +\infty)$ и $[-4/a, +\infty)$, что дает луч $[3, +\infty)$.

Случай 2: $a = 0$

Второе неравенство системы примет вид $0 \cdot x \ge -4$, то есть $0 \ge -4$. Это неравенство является верным для любого значения $x$. Следовательно, область определения функции совпадает с решением первого неравенства системы, то есть является лучом $[3, +\infty)$.

Случай 3: $a < 0$

Разделим второе неравенство на $a < 0$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $x \le -4/a$. Система примет вид:

$$\begin{cases}x \ge 3 \\x \le -4/a\end{cases}$$

Решением этой системы является пересечение множеств $[3, +\infty)$ и $(-\infty, -4/a]$. Результат пересечения зависит от взаимного расположения точек $3$ и $-4/a$.

1. Если $3 < -4/a$, решением будет отрезок $[3, -4/a]$. Умножим неравенство на $a < 0$ (меняя знак неравенства): $3a > -4$, откуда $a > -4/3$. Учитывая условие $a < 0$, получаем, что область определения является отрезком при $-4/3 < a < 0$.

2. Если $3 = -4/a$, решением будет единственное число $x = 3$. Это равенство равносильно $3a = -4$, то есть $a = -4/3$.

3. Если $3 > -4/a$, система не имеет решений, и область определения — пустое множество. Умножим неравенство на $a < 0$ (меняя знак неравенства): $3a < -4$, откуда $a < -4/3$.

На основе этого анализа найдем значения параметра $a$ для каждого пункта.

а) луч

Область определения является лучом в случаях 1 ($a > 0$) и 2 ($a = 0$). Объединяя эти условия, получаем, что область определения является лучом при $a \ge 0$.

Ответ: $a \ge 0$.

б) отрезок

Область определения является отрезком, как показано в разборе случая 3, когда левая граница $3$ строго меньше правой $-4/a$. Это выполняется при $-4/3 < a < 0$.

Ответ: $a \in (-4/3; 0)$.

в) единственное число (единственная точка)

Область определения состоит из одного числа, когда в случае 3 границы совпадают: $3 = -4/a$. Это происходит при $a = -4/3$.

Ответ: $a = -4/3$.

г) пустое множество

Область определения является пустым множеством, когда в случае 3 система не имеет решений. Это происходит, когда $3 > -4/a$, что равносильно $a < -4/3$.

Ответ: $a \in (-\infty; -4/3)$.

7.39. а) Докажите, что если число $b$ принадлежит области определения функции $y = \sqrt{x^4 - 7x + 3} - \sqrt{x^4 + 7x + 3}$, то и число $(-b)$ принадлежит этой области.

б) Докажите, что если число $b$ не принадлежит области определения функции $y = \sqrt{x^5 - x + 3} + \sqrt{-x^5 + x + 3}$, то и число $(-b)$ не принадлежит этой области.

а)

Область определения функции $y = \sqrt{x^4 - 7x + 3} - \sqrt{x^4 + 7x + 3}$ задается системой неравенств, так как подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$ \begin{cases} x^4 - 7x + 3 \ge 0 \\ x^4 + 7x + 3 \ge 0 \end{cases} $

Пусть число $b$ принадлежит области определения функции. Это означает, что при подстановке $x = b$ оба неравенства системы выполняются:

$ \begin{cases} b^4 - 7b + 3 \ge 0 & (1) \\ b^4 + 7b + 3 \ge 0 & (2) \end{cases} $

Теперь проверим, принадлежит ли число $(-b)$ области определения. Для этого подставим $x = -b$ в систему неравенств, определяющую область определения:

$ \begin{cases} (-b)^4 - 7(-b) + 3 \ge 0 \\ (-b)^4 + 7(-b) + 3 \ge 0 \end{cases} $

Упростим полученные выражения, учитывая, что $(-b)^4 = b^4$:

$ \begin{cases} b^4 + 7b + 3 \ge 0 \\ b^4 - 7b + 3 \ge 0 \end{cases} $

Первое неравенство этой системы, $b^4 + 7b + 3 \ge 0$, совпадает с неравенством (2), которое является верным по нашему предположению. Второе неравенство, $b^4 - 7b + 3 \ge 0$, совпадает с неравенством (1), которое также является верным.

Поскольку оба условия для $x = -b$ выполняются, то число $(-b)$ также принадлежит области определения функции. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если число $b$ принадлежит области определения, то и число $(-b)$ принадлежит этой области.

б)

Область определения функции $y = \sqrt{x^5 - x + 3} + 3\sqrt{-x^5 + x + 3}$ задается системой неравенств:

$ \begin{cases} x^5 - x + 3 \ge 0 \\ -x^5 + x + 3 \ge 0 \end{cases} $

По условию, число $b$ не принадлежит области определения. Это означает, что при подстановке $x = b$ хотя бы одно из этих неравенств не выполняется. То есть, верно хотя бы одно из следующих строгих неравенств:

$b^5 - b + 3 < 0$ или $-b^5 + b + 3 < 0$.

Теперь проверим, при каких условиях число $(-b)$ не принадлежит области определения. Число $(-b)$ не будет принадлежать области определения, если при подстановке $x = -b$ не выполнится хотя бы одно из неравенств исходной системы. Подставим $x = -b$:

$ \begin{cases} (-b)^5 - (-b) + 3 \ge 0 \\ -((-b)^5) + (-b) + 3 \ge 0 \end{cases} $

Упростим систему, учитывая, что $(-b)^5 = -b^5$:

$ \begin{cases} -b^5 + b + 3 \ge 0 \\ -(-b^5) - b + 3 \ge 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} -b^5 + b + 3 \ge 0 \\ b^5 - b + 3 \ge 0 \end{cases} $

Число $(-b)$ не принадлежит области определения, если не выполняется хотя бы одно из этих двух неравенств, то есть:

$-b^5 + b + 3 < 0$ или $b^5 - b + 3 < 0$.

Сравнивая условие, при котором $b$ не принадлежит области определения ( $b^5 - b + 3 < 0$ или $-b^5 + b + 3 < 0$ ), с условием, при котором $(-b)$ не принадлежит области определения ( $-b^5 + b + 3 < 0$ или $b^5 - b + 3 < 0$ ), мы видим, что эти условия абсолютно идентичны.

Следовательно, если число $b$ не удовлетворяет условиям области определения, то и число $(-b)$ им не удовлетворяет. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если число $b$ не принадлежит области определения, то и число $(-b)$ не принадлежит этой области.

7.40. Найдите все такие числа $b$, принадлежащие области определения $D(f)$ функции $y = \frac{1 - \sqrt{2x^2 - 7x - 22}}{x + 30}$, для которых:

а) число $b + 1$ не принадлежит $D(f)$;

б) число $b - 1$ не принадлежит $D(f)$;

в) оба числа $b + 1$ и $b - 1$ принадлежат $D(f)$;

г) отрезок $[b + 1; b + 2]$ принадлежит $D(f)$.

Сначала найдем область определения $D(f)$ функции $y = \frac{1 - \sqrt{2x^2 - 7x - 22}}{x + 30}$. Область определения задается двумя условиями:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2x^2 - 7x - 22 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x + 30 \ne 0$.

1. Решим квадратное неравенство $2x^2 - 7x - 22 \ge 0$. Найдем корни соответствующего уравнения $2x^2 - 7x - 22 = 0$. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-22) = 49 + 176 = 225 = 15^2$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{7 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$. $x_2 = \frac{7 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{22}{4} = 5.5$. Так как ветви параболы $y = 2x^2 - 7x - 22$ направлены вверх, неравенство $2x^2 - 7x - 22 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -2] \cup [5.5, +\infty)$.

2. Решим условие $x + 30 \ne 0$. $x \ne -30$.

Объединяя оба условия, получаем область определения функции $D(f)$: $D(f) = (-\infty, -30) \cup (-30, -2] \cup [5.5, +\infty)$. Множество чисел, которые не принадлежат $D(f)$, это $\mathbb{R} \setminus D(f) = \{-30\} \cup (-2, 5.5)$.

По условию задачи, число $b$ принадлежит области определения $D(f)$, то есть $b \in (-\infty, -30) \cup (-30, -2] \cup [5.5, +\infty)$.

а) число b + 1 не принадлежит D(f);

Это означает, что $b + 1$ принадлежит множеству $\{-30\} \cup (-2, 5.5)$. Рассмотрим два случая:

1) $b + 1 = -30$, откуда $b = -31$. Проверяем, принадлежит ли это значение $b$ области определения $D(f)$. Так как $-31 < -30$, то $-31 \in D(f)$. Следовательно, $b = -31$ является решением.

2) $b + 1 \in (-2, 5.5)$. Это двойное неравенство: $-2 < b + 1 < 5.5$. Вычитая 1 из всех частей, получаем $-3 < b < 4.5$. Теперь найдем пересечение этого интервала с областью определения $b \in D(f)$: $(-3, 4.5) \cap D(f) = (-3, 4.5) \cap ((- \infty, -30) \cup (-30, -2] \cup [5.5, +\infty)) = (-3, -2]$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $b \in \{-31\} \cup (-3, -2]$.

б) число b - 1 не принадлежит D(f);

Это означает, что $b - 1$ принадлежит множеству $\{-30\} \cup (-2, 5.5)$. Рассмотрим два случая:

1) $b - 1 = -30$, откуда $b = -29$. Проверяем, принадлежит ли это значение $b$ области определения $D(f)$. Так как $-30 < -29 < -2$, то $-29 \in D(f)$. Следовательно, $b = -29$ является решением.

2) $b - 1 \in (-2, 5.5)$. Это двойное неравенство: $-2 < b - 1 < 5.5$. Прибавляя 1 ко всем частям, получаем $-1 < b < 6.5$. Теперь найдем пересечение этого интервала с областью определения $b \in D(f)$: $(-1, 6.5) \cap D(f) = (-1, 6.5) \cap ((- \infty, -30) \cup (-30, -2] \cup [5.5, +\infty)) = [5.5, 6.5)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $b \in \{-29\} \cup [5.5, 6.5)$.

в) оба числа b + 1 и b - 1 принадлежат D(f);

Мы должны найти такие $b \in D(f)$, для которых также выполняются условия $b - 1 \in D(f)$ и $b + 1 \in D(f)$. Это означает, что ни одно из чисел $b-1, b, b+1$ не должно попасть в множество $\{-30\} \cup (-2, 5.5)$. Рассмотрим, каким может быть $b$ в каждом из интервалов $D(f)$.

1) Пусть $b \in (-\infty, -30)$. Числа $b-1, b, b+1$ должны быть в $D(f)$. Для этого $b-1 \ne -30$, $b \ne -30$, $b+1 \ne -30$. Условие $b \ne -30$ уже выполнено. Условие $b-1 \ne -30$ означает $b \ne -29$, что также выполнено, так как $b < -30$. Условие $b+1 \ne -30$ означает $b \ne -31$. Таким образом, из интервала $(-\infty, -30)$ нужно исключить точку $b = -31$. Получаем $b \in (-\infty, -31)$.

2) Пусть $b \in (-30, -2]$. Условие $b-1 \in D(f)$ означает, что $b-1 \ne -30$ (т.е. $b \ne -29$) и $b-1 \notin (-2, 5.5)$ (что всегда верно для $b \le -2$). Условие $b+1 \in D(f)$ означает, что $b+1 \ne -30$ (что всегда верно для $b > -30$) и $b+1 \notin (-2, 5.5)$. Условие $b+1 \notin (-2, 5.5)$ для $b \in (-30, -2]$ означает, что $b+1 \le -2$, то есть $b \le -3$. Итак, для $b \in (-30, -2]$ мы должны удовлетворять условиям $b \ne -29$ и $b \le -3$. Это дает нам $b \in (-30, -29) \cup (-29, -3]$.

3) Пусть $b \in [5.5, +\infty)$. Условие $b-1 \in D(f)$ означает, что $b-1 \ge 5.5$, то есть $b \ge 6.5$. Условие $b+1 \in D(f)$ означает, что $b+1 \ge 5.5$, то есть $b \ge 4.5$. Оба условия должны выполняться, поэтому выбираем более сильное: $b \ge 6.5$. Получаем $b \in [6.5, +\infty)$.

Объединяя все найденные множества, получаем итоговый ответ.
Ответ: $b \in (-\infty, -31) \cup (-30, -29) \cup (-29, -3] \cup [6.5, +\infty)$.

г) отрезок [b + 1; b + 2] принадлежит D(f).

Мы должны найти такие $b \in D(f)$, для которых весь отрезок $[b+1, b+2]$ содержится в $D(f)$. Это означает, что отрезок $[b+1, b+2]$ не должен содержать точку $-30$ и не должен пересекаться с интервалом $(-2, 5.5)$. Это возможно, если отрезок целиком лежит в одном из трех непрерывных участков $D(f)$.

1) Отрезок $[b+1, b+2]$ лежит в $(-\infty, -30)$. Для этого его правый конец должен быть меньше $-30$: $b+2 < -30$, что дает $b < -32$. Любое такое $b$ принадлежит $D(f)$, так как $(-\infty, -32) \subset (-\infty, -30)$. Решение: $b \in (-\infty, -32)$.

2) Отрезок $[b+1, b+2]$ лежит в $(-30, -2]$. Для этого его левый конец должен быть больше $-30$, а правый — меньше или равен $-2$: $b+1 > -30 \implies b > -31$. $b+2 \le -2 \implies b \le -4$. Получаем $b \in (-31, -4]$. Теперь нужно пересечь это множество с $D(f)$. Поскольку $(-31, -4] \subset (-31, -2]$, нам нужно только убедиться, что $b \ne -30$. Решение: $b \in (-31, -30) \cup (-30, -4]$.

3) Отрезок $[b+1, b+2]$ лежит в $[5.5, +\infty)$. Для этого его левый конец должен быть не меньше $5.5$: $b+1 \ge 5.5$, что дает $b \ge 4.5$. Теперь нужно пересечь это множество с $D(f) = (-\infty, -30) \cup (-30, -2] \cup [5.5, +\infty)$. Пересечение $[4.5, +\infty) \cap D(f)$ дает $[5.5, +\infty)$. Решение: $b \in [5.5, +\infty)$.

Объединяя все найденные множества, получаем итоговый ответ.
Ответ: $b \in (-\infty, -32) \cup (-31, -30) \cup (-30, -4] \cup [5.5, +\infty)$.

Найдите область значений функции:

7.41. a) $y = 1 - 2x$;

б) $y = 1 - 2x^2$;

в) $y = 3x^2 - 12x + 1$;

г) $y = -3x^2 - 12x + 1, x \in [-6, 1)$.

а) $y = 1 - 2x$

Данная функция является линейной. Графиком линейной функции является прямая линия. Область определения ($D(y)$) и область значений ($E(y)$) для любой неконстантной линейной функции — это множество всех действительных чисел. В данном случае, когда $x$ может принимать любое действительное значение, $y$ также может принимать любое действительное значение.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) $y = 1 - 2x^2$

Данная функция является квадратичной. Ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-2$, он отрицательный, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет наибольшее значение в своей вершине и не имеет наименьшего значения.
Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a = -2$, $b = 0$.
$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-2)} = 0$.
Найдем ординату вершины $y_0$, подставив $x_0$ в уравнение функции. Это и будет максимальное значение функции.
$y_0 = y(0) = 1 - 2(0)^2 = 1$.
Поскольку ветви параболы направлены вниз, область значений функции — это все числа, меньшие или равные значению в вершине.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 1]$.

в) $y = 3x^2 - 12x + 1$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $3$, он положительный, значит, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция имеет наименьшее значение в своей вершине и не имеет наибольшего значения.
Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Здесь $a = 3$, $b = -12$.
$x_0 = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.
Найдем ординату вершины $y_0$, которая является наименьшим значением функции:
$y_0 = y(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 1 = 3 \cdot 4 - 24 + 1 = 12 - 24 + 1 = -11$.
Так как ветви параболы направлены вверх, область значений функции — это все числа, большие или равные значению в вершине.

Ответ: $E(y) = [-11; +\infty)$.

г) $y = -3x^2 - 12x + 1, x \in [-6, 1]$

Это квадратичная функция, область определения которой ограничена отрезком $[-6, 1]$. График — парабола с ветвями, направленными вниз (так как $a = -3 < 0$).
Чтобы найти область значений на отрезке, нужно найти значения функции на концах отрезка и в вершине параболы, если абсцисса вершины принадлежит этому отрезку. Наибольшее из полученных значений будет верхней границей области значений, а наименьшее — нижней.
1. Найдем абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot (-3)} = \frac{12}{-6} = -2$.
2. Абсцисса вершины $x_0 = -2$ принадлежит отрезку $[-6, 1]$. Так как ветви параболы направлены вниз, в этой точке функция достигает своего наибольшего значения.
$y_{наиб} = y(-2) = -3(-2)^2 - 12(-2) + 1 = -3(4) + 24 + 1 = -12 + 24 + 1 = 13$.
3. Найдем значения функции на концах отрезка:
$y(-6) = -3(-6)^2 - 12(-6) + 1 = -3(36) + 72 + 1 = -108 + 72 + 1 = -35$.
$y(1) = -3(1)^2 - 12(1) + 1 = -3 - 12 + 1 = -14$.
4. Сравниваем полученные значения: $y(-2)=13$, $y(-6)=-35$, $y(1)=-14$. Наибольшее значение равно $13$, а наименьшее равно $-35$.
Следовательно, область значений функции на данном отрезке — от $-35$ до $13$ включительно.

Ответ: $E(y) = [-35; 13]$.