Страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

8.19. Для функций, графики которых изображены на рисунках 14–17, найдите экстремумы, а также наибольшие и наименьшие значения.

Поскольку графики функций не предоставлены, решение будет продемонстрировано на гипотетических примерах, соответствующих условию задачи.

Рисунок 14

Предположим, на рисунке 14 изображен график непрерывной функции $y=f(x)$, определенной на отрезке $[-4, 5]$. График имеет точку локального максимума $(-2, 4)$ и точку локального минимума $(1, -2)$. Значения на концах отрезка: $f(-4)=1$ и $f(5)=3$.

1. Экстремумы функции.
Экстремумы – это локальные максимумы и минимумы функции.

• Точка максимума: $x_{max} = -2$. Значение в этой точке (максимум): $y_{max} = 4$.
• Точка минимума: $x_{min} = 1$. Значение в этой точке (минимум): $y_{min} = -2$.

2. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке находятся среди её экстремумов на этом отрезке и значений на его концах.

• Сравним значения в точке максимума и на концах отрезка: $f(-2)=4$, $f(-4)=1$, $f(5)=3$. Наибольшее из этих значений равно 4. Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке $[-4, 5]$ есть $y_{наиб} = 4$.
• Сравним значения в точке минимума и на концах отрезка: $f(1)=-2$, $f(-4)=1$, $f(5)=3$. Наименьшее из этих значений равно -2. Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке $[-4, 5]$ есть $y_{наим} = -2$.

Ответ: Экстремумы: максимум 4 (в точке $x=-2$), минимум -2 (в точке $x=1$). Наибольшее значение функции: 4. Наименьшее значение функции: -2.

Рисунок 15

Предположим, на рисунке 15 изображен график непрерывной функции $y=f(x)$, определенной на отрезке $[-3, 3]$. График имеет одну точку локального максимума $(0, 5)$ и не имеет точек локального минимума. Значения на концах отрезка: $f(-3)=-1$ и $f(3)=2$.

1. Экстремумы функции.

• Точка максимума: $x_{max} = 0$. Значение в этой точке (максимум): $y_{max} = 5$.
• Точек локального минимума на графике нет.

2. Наибольшее и наименьшее значения функции.

• Для нахождения наибольшего значения сравним значение в точке максимума и на концах отрезка: $f(0)=5$, $f(-3)=-1$, $f(3)=2$. Наибольшее значение $y_{наиб} = 5$.
• Для нахождения наименьшего значения сравним значения на концах отрезка (поскольку локальных минимумов нет): $f(-3)=-1$, $f(3)=2$. Наименьшее значение $y_{наим} = -1$.

Ответ: Экстремум: максимум 5 (в точке $x=0$). Наибольшее значение функции: 5. Наименьшее значение функции: -1.

Рисунок 16

Предположим, на рисунке 16 изображен график непрерывной функции $y=f(x)$, определенной на отрезке $[-5, 5]$. График имеет точку локального максимума $(0, 4)$ и точку локального минимума $(-3, -3)$. Значения на концах отрезка: $f(-5)=2$ и $f(5)=3$.

1. Экстремумы функции.

• Точка максимума: $x_{max} = 0$. Максимум: $y_{max} = 4$.
• Точка минимума: $x_{min} = -3$. Минимум: $y_{min} = -3$.

2. Наибольшее и наименьшее значения функции.

• Сравниваем кандидатов на наибольшее значение: локальный максимум $f(0)=4$ и значения на концах $f(-5)=2$, $f(5)=3$. Наибольшее значение $y_{наиб} = 4$.
• Сравниваем кандидатов на наименьшее значение: локальный минимум $f(-3)=-3$ и значения на концах $f(-5)=2$, $f(5)=3$. Наименьшее значение $y_{наим} = -3$.

Ответ: Экстремумы: максимум 4 (в точке $x=0$), минимум -3 (в точке $x=-3$). Наибольшее значение функции: 4. Наименьшее значение функции: -3.

Рисунок 17

Предположим, на рисунке 17 изображен график непрерывной функции $y=f(x)$, определенной на отрезке $[-6, 6]$. График имеет две точки локального максимума, $(-4, 3)$ и $(1, 4)$, и две точки локального минимума, $(-2, -1)$ и $(4, -2)$. Значения на концах отрезка: $f(-6)=0$ и $f(6)=1$.

1. Экстремумы функции.

• Точки максимума: $x_{max1} = -4$ и $x_{max2} = 1$. Максимумы: $y(-4)=3$ и $y(1)=4$.
• Точки минимума: $x_{min1} = -2$ и $x_{min2} = 4$. Минимумы: $y(-2)=-1$ и $y(4)=-2$.

2. Наибольшее и наименьшее значения функции.

• Для нахождения наибольшего значения сравним все локальные максимумы и значения на концах отрезка: $f(-4)=3$, $f(1)=4$, $f(-6)=0$, $f(6)=1$. Наибольшее из этих значений равно 4. Значит, $y_{наиб} = 4$.
• Для нахождения наименьшего значения сравним все локальные минимумы и значения на концах отрезка: $f(-2)=-1$, $f(4)=-2$, $f(-6)=0$, $f(6)=1$. Наименьшее из этих значений равно -2. Значит, $y_{наим} = -2$.

Ответ: Экстремумы: максимумы 3 (в точке $x=-4$) и 4 (в точке $x=1$); минимумы -1 (в точке $x=-2$) и -2 (в точке $x=4$). Наибольшее значение функции: 4. Наименьшее значение функции: -2.

8.20. Докажите: если функция имеет наибольшее и наименьшее значения на множестве $M$, то она ограничена на этом множестве.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся определениями наибольшего и наименьшего значений функции, а также определением ограниченной функции.

Пусть функция $y=f(x)$ определена на множестве $M$.

По условию, на множестве $M$ функция $f(x)$ имеет наибольшее и наименьшее значения.

Пусть $y_{max}$ — наибольшее значение функции $f(x)$ на множестве $M$. По определению наибольшего значения, это означает, что существует такое число $y_{max}$, что, во-первых, для любого $x \in M$ выполняется неравенство $f(x) \le y_{max}$, и, во-вторых, существует такое $x_1 \in M$, что $f(x_1) = y_{max}$. Неравенство $f(x) \le y_{max}$ для всех $x \in M$ означает, что функция $f(x)$ ограничена сверху на множестве $M$.

Пусть $y_{min}$ — наименьшее значение функции $f(x)$ на множестве $M$. По определению наименьшего значения, это означает, что существует такое число $y_{min}$, что, во-первых, для любого $x \in M$ выполняется неравенство $f(x) \ge y_{min}$, и, во-вторых, существует такое $x_2 \in M$, что $f(x_2) = y_{min}$. Неравенство $f(x) \ge y_{min}$ для всех $x \in M$ означает, что функция $f(x)$ ограничена снизу на множестве $M$.

Таким образом, для любого $x$ из множества $M$ одновременно выполняются два неравенства: $f(x) \ge y_{min}$ и $f(x) \le y_{max}$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $y_{min} \le f(x) \le y_{max}$

Функция называется ограниченной на множестве $M$, если она ограничена на этом множестве и сверху, и снизу. Поскольку мы показали, что функция $f(x)$ ограничена сверху числом $y_{max}$ и снизу числом $y_{min}$, то, по определению, она является ограниченной на множестве $M$.

Также можно воспользоваться эквивалентным определением ограниченной функции: функция $f(x)$ ограничена на множестве $M$, если существует такое число $C > 0$, что для всех $x \in M$ выполняется неравенство $|f(x)| \le C$.

Из полученного двойного неравенства $y_{min} \le f(x) \le y_{max}$ выберем в качестве константы $C$ число $C = \max(|y_{min}|, |y_{max}|)$. Поскольку $y_{min}$ и $y_{max}$ — это действительные числа (значения функции), то $C$ является конечным неотрицательным числом.

Тогда:

• С одной стороны, $f(x) \le y_{max} \le |y_{max}| \le \max(|y_{min}|, |y_{max}|) = C$.
• С другой стороны, $f(x) \ge y_{min} \ge -|y_{min}| \ge -\max(|y_{min}|, |y_{max}|) = -C$.

Объединяя эти результаты, получаем $-C \le f(x) \le C$, что равносильно неравенству $|f(x)| \le C$. Так как это неравенство выполняется для любого $x \in M$, мы доказали, что функция является ограниченной на множестве $M$.

Ответ: Утверждение доказано.

8.21. Убедитесь, что функция, график которой изображён на данном рисунке, не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; задайте эту функцию аналитически:

а) рис. 22;

Для рис. 22 функция $f(x)$ задается как:

$$f(x) = \begin{cases} -x + 1, & x \in [-3, 0) \\ -x, & x \in [0, 4] \end{cases}$$

Рис. 22

б) рис. 23.

Для рис. 23 функция $f(x)$ задается как:

$y = (x - 1)^2 - 2$, при $x \in (-2, 4)$.

Рис. 23

а) рис. 22;

Проанализируем график функции. Область определения функции $D(f) = [-3, 0) \cup (0, 3]$.
Найдём область значений функции. На промежутке $[-3, 0)$ функция убывает. Значение в точке $x=-3$ равно $y(-3) = 1$. При $x \to 0$ слева, значения $y$ стремятся к $-2$, но не достигают этого значения (в точке $(0, -2)$ — выколотая точка). Таким образом, на этом промежутке область значений: $(-2, 1]$.
На промежутке $(0, 3]$ функция также убывает. При $x \to 0$ справа, значения $y$ стремятся к $2$, но не достигают этого значения (в точке $(0, 2)$ — выколотая точка). Значение в точке $x=3$ равно $y(3) = -1$. Таким образом, на этом промежутке область значений: $[-1, 2)$.
Общая область значений функции — это объединение этих двух множеств: $E(f) = (-2, 1] \cup [-1, 2) = (-2, 2)$.
Множество значений представляет собой открытый интервал $(-2, 2)$. Это означает, что у функции есть точная верхняя грань (супремум), равная $2$, и точная нижняя грань (инфимум), равная $-2$. Однако, эти значения не достигаются функцией, поэтому у функции нет ни наибольшего (максимума), ни наименьшего (минимума) значения.

Зададим функцию аналитически. График состоит из двух отрезков прямых. Найдём уравнение для каждого.
1. Для левого отрезка, определённого на $x \in [-3, 0)$, используем точки $(-3, 1)$ и $(0, -2)$. Угловой коэффициент $k = \frac{-2 - 1}{0 - (-3)} = \frac{-3}{3} = -1$. Уравнение прямой: $y = kx + b$. Подставим точку $(-3, 1)$: $1 = -1 \cdot (-3) + b \Rightarrow 1 = 3 + b \Rightarrow b = -2$. Итак, на промежутке $[-3, 0)$ функция задаётся формулой $y = -x - 2$.
2. Для правого отрезка, определённого на $x \in (0, 3]$, используем точки $(0, 2)$ и $(3, -1)$. Угловой коэффициент $k = \frac{-1 - 2}{3 - 0} = \frac{-3}{3} = -1$. Точка $(0, 2)$ является точкой пересечения с осью $y$, поэтому $b=2$. Итак, на промежутке $(0, 3]$ функция задаётся формулой $y = -x + 2$.

Ответ: Функция не имеет наибольшего и наименьшего значений, так как её область значений $E(f)=(-2, 2)$ является открытым интервалом. Аналитически функция задаётся в виде: $f(x) = \begin{cases} -x - 2, & \text{если } -3 \le x < 0 \\ -x + 2, & \text{если } 0 < x \le 3 \end{cases}$

б) рис. 23;

Проанализируем график функции. Область определения функции $D(f) = (-2, 4)$.
Найдём область значений функции. График состоит из нескольких частей. Проанализируем значения на каждой из них.
На промежутке $(-2, -1]$ значения изменяются от $3$ (не включая) до $2$ (включая). Область значений: $[2, 3)$.
На промежутке $(-1, 1) \cup (1, 3]$ график представляет собой параболу с выколотой вершиной. Значения изменяются от $2$ (не включая) до $-2$ (не включая) и обратно до $2$ (включая). Область значений на этом участке: $(-2, 2]$.
В точке $x=1$ значение функции равно $0$.
На промежутке $(3, 4)$ значения изменяются от $2$ (не включая) до $3$ (не включая). Область значений: $(2, 3)$.
Общая область значений функции — это объединение всех этих множеств: $E(f) = [2, 3) \cup (-2, 2] \cup \{0\} \cup (2, 3) = (-2, 3)$.
Множество значений представляет собой открытый интервал $(-2, 3)$. По аналогии с предыдущим пунктом, у функции есть супремум $3$ и инфимум $-2$, но эти значения не достигаются. Следовательно, у функции нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Зададим функцию аналитически. График является кусочно-заданным.
1. На промежутке $(-2, -1]$ график — отрезок прямой, проходящий через точки $(-2, 3)$ (выколота) и $(-1, 2)$. Угловой коэффициент $k = \frac{2 - 3}{-1 - (-2)} = -1$. Уравнение: $y - 2 = -1(x - (-1)) \Rightarrow y = -x + 1$.
2. На промежутке $(-1, 3]$ (за исключением точки $x=1$) график является частью параболы. Вершина параболы находится в выколотой точке $(1, -2)$. Уравнение параболы имеет вид $y = a(x-1)^2 - 2$. Для нахождения $a$ используем точку $(0, -1)$, лежащую на параболе: $-1 = a(0-1)^2 - 2 \Rightarrow -1 = a - 2 \Rightarrow a=1$. Итак, уравнение параболы: $y = (x-1)^2 - 2$.
3. В точке $x=1$ функция имеет значение $y=0$ (изолированная точка).
4. На промежутке $(3, 4)$ график — отрезок прямой, проходящий через точки $(3, 2)$ и $(4, 3)$ (выколота). Угловой коэффициент $k = \frac{3 - 2}{4 - 3} = 1$. Уравнение: $y - 2 = 1(x - 3) \Rightarrow y = x - 1$.

Ответ: Функция не имеет наибольшего и наименьшего значений, так как её область значений $E(f)=(-2, 3)$ является открытым интервалом. Аналитически функция задаётся в виде: $f(x) = \begin{cases} -x + 1, & \text{если } -2 < x \le -1 \\ (x-1)^2 - 2, & \text{если } -1 < x < 1 \\ 0, & \text{если } x = 1 \\ (x-1)^2 - 2, & \text{если } 1 < x \le 3 \\ x - 1, & \text{если } 3 < x < 4 \end{cases}$

8.22. a) Приведите пример функции, определённой во всех точках отрезка $[a; b]$, ограниченной на этом отрезке, но не имеющей ни наибольшего, ни наименьшего значений на отрезке $[a; b]$.

б) Приведите пример функции, определённой и ограниченной на $\mathbb{R}$, но не имеющей ни наибольшего, ни наименьшего значений на $\mathbb{R}$.

а)
Для того чтобы функция, определённая на замкнутом отрезке $[a; b]$, не имела ни наибольшего, ни наименьшего значения, она должна быть разрывной. Согласно теореме Вейерштрасса, любая непрерывная на отрезке функция достигает на нём своих точной верхней (наибольшее значение) и точной нижней (наименьшее значение) граней.

Рассмотрим следующий пример функции на отрезке $[a; b]$, где $a < b$.
Определим функцию $f(x)$ следующим образом:
$f(x) = \begin{cases} x, & \text{если } x \in (a, b) \\ \frac{a+b}{2}, & \text{если } x = a \text{ или } x = b \end{cases} $

Проверим, удовлетворяет ли эта функция условиям задачи:

1. Определена во всех точках отрезка $[a; b]$: Да, функция определена для всех $x$ из отрезка $[a; b]$.
2. Ограничена на этом отрезке: Множество значений функции — это объединение интервала $(a, b)$ и числа $\frac{a+b}{2}$. Поскольку $\frac{a+b}{2}$ находится внутри этого интервала, множество значений функции есть $(a, b)$. Этот интервал ограничен снизу числом $a$ и сверху числом $b$. Следовательно, функция ограничена на отрезке $[a; b]$.
3. Не имеет наибольшего значения: Точная верхняя грань (супремум) множества значений функции равна $b$. Однако ни для какого $x \in [a; b]$ значение $f(x)$ не равно $b$. Если $x \in (a, b)$, то $f(x)=x < b$. Если $x=a$ или $x=b$, то $f(x) = \frac{a+b}{2} < b$. Таким образом, наибольшее значение не достигается.
4. Не имеет наименьшего значения: Точная нижняя грань (инфимум) множества значений функции равна $a$. Однако ни для какого $x \in [a; b]$ значение $f(x)$ не равно $a$. Если $x \in (a, b)$, то $f(x)=x > a$. Если $x=a$ или $x=b$, то $f(x) = \frac{a+b}{2} > a$. Таким образом, наименьшее значение не достигается.

Ответ: $f(x) = \begin{cases} x, & \text{если } x \in (a, b) \\ \frac{a+b}{2}, & \text{если } x = a \text{ или } x = b \end{cases} $

б)
Нужно привести пример функции, которая определена и ограничена на всей числовой прямой $\mathbb{R}$, но не достигает своих точных верхней и нижней граней. Такие функции обычно асимптотически приближаются к некоторым горизонтальным линиям при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$.

Классическим примером такой функции является арктангенс.
Рассмотрим функцию $f(x) = \arctan(x)$.

Проверим, удовлетворяет ли эта функция условиям задачи:

1. Определена на $\mathbb{R}$: Да, функция $f(x) = \arctan(x)$ определена для всех действительных чисел $x$.
2. Ограничена на $\mathbb{R}$: Множеством значений функции арктангенс является интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Это означает, что для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется неравенство $-\frac{\pi}{2} < \arctan(x) < \frac{\pi}{2}$. Следовательно, функция ограничена.
3. Не имеет наибольшего значения: Точная верхняя грань (супремум) множества значений функции равна $\frac{\pi}{2}$. Однако не существует такого числа $x_0 \in \mathbb{R}$, для которого $\arctan(x_0) = \frac{\pi}{2}$. Функция лишь стремится к этому значению при $x \to +\infty$: $\lim_{x\to+\infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2}$.
4. Не имеет наименьшего значения: Точная нижняя грань (инфимум) множества значений функции равна $-\frac{\pi}{2}$. Аналогично, не существует такого числа $x_0 \in \mathbb{R}$, для которого $\arctan(x_0) = -\frac{\pi}{2}$. Функция стремится к этому значению при $x \to -\infty$: $\lim_{x\to-\infty} \arctan(x) = -\frac{\pi}{2}$.

Другим примером может служить функция $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$, множество значений которой — интервал $(-1, 1)$.

Ответ: $f(x) = \arctan(x)$

8.23. Докажите: если функция $y = f(x)$ определена на отрезке $[a; b]$, имеет на нём наибольшее и наименьшее значения, а отрезок $[a_1; b_1]$ является частью отрезка $[a; b]$, то:

а) $y_{\text{наиб}}$ на $[a; b]$ не меньше $y_{\text{наиб}}$ на $[a_1; b_1]$;б) $y_{\text{наим}}$ на $[a; b]$ не больше $y_{\text{наим}}$ на $[a_1; b_1]$.

а) Пусть $M = y_{\text{наиб}}$ на $[a; b]$ и $M_1 = y_{\text{наиб}}$ на $[a_1; b_1]$. По определению, $M_1$ — это значение функции в некоторой точке $x_1 \in [a_1; b_1]$, то есть $M_1 = f(x_1)$. Поскольку по условию отрезок $[a_1; b_1]$ является частью отрезка $[a; b]$ (то есть, $[a_1; b_1] \subseteq [a; b]$), то точка $x_1$ также принадлежит отрезку $[a; b]$. По определению $M$ как наибольшего значения на отрезке $[a; b]$, для любой точки $x \in [a; b]$ выполняется неравенство $f(x) \le M$. В частности, это верно и для точки $x_1$. Таким образом, $f(x_1) \le M$. Подставляя $f(x_1) = M_1$, получаем $M_1 \le M$, что и требовалось доказать.

Ответ: $y_{\text{наиб}} \text{ на } [a; b] \ge y_{\text{наиб}} \text{ на } [a_1; b_1]$.

б) Пусть $m = y_{\text{наим}}$ на $[a; b]$ и $m_1 = y_{\text{наим}}$ на $[a_1; b_1]$. По определению, $m_1$ — это значение функции в некоторой точке $x_2 \in [a_1; b_1]$, то есть $m_1 = f(x_2)$. Поскольку по условию отрезок $[a_1; b_1]$ является частью отрезка $[a; b]$ (то есть, $[a_1; b_1] \subseteq [a; b]$), то точка $x_2$ также принадлежит отрезку $[a; b]$. По определению $m$ как наименьшего значения на отрезке $[a; b]$, для любой точки $x \in [a; b]$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$. В частности, это верно и для точки $x_2$. Таким образом, $f(x_2) \ge m$. Подставляя $f(x_2) = m_1$, получаем $m_1 \ge m$, что и требовалось доказать.

Ответ: $y_{\text{наим}} \text{ на } [a; b] \le y_{\text{наим}} \text{ на } [a_1; b_1]$.

8.24. Докажите: если функция $y = f(x)$ определена на отрезке $[a; b]$, имеет на нём наибольшее и наименьшее значения, причём $y_{\text{наиб}} = y_{\text{наим}}$, то функция является постоянной на отрезке $[a; b]$.

Пусть функция $y = f(x)$ определена на отрезке $[a; b]$. По условию, она имеет на этом отрезке наибольшее значение $y_{\text{наиб}}$ и наименьшее значение $y_{\text{наим}}$.

По определению наибольшего значения функции, для любого $x$ из отрезка $[a; b]$ выполняется неравенство: $f(x) \le y_{\text{наиб}}$.

Аналогично, по определению наименьшего значения функции, для любого $x$ из отрезка $[a; b]$ выполняется неравенство: $f(x) \ge y_{\text{наим}}$.

Объединив эти два условия, мы можем сказать, что для любого $x \in [a; b]$ справедливо двойное неравенство: $y_{\text{наим}} \le f(x) \le y_{\text{наиб}}$.

В условии задачи дано, что наибольшее и наименьшее значения функции равны: $y_{\text{наиб}} = y_{\text{наим}}$.

Обозначим это общее значение некоторой константой $C$, то есть $C = y_{\text{наиб}} = y_{\text{наим}}$.

Теперь подставим значение $C$ в наше двойное неравенство: $C \le f(x) \le C$.

Это неравенство может быть истинным только в одном случае: если $f(x) = C$. Поскольку мы выбрали произвольное значение $x$ из отрезка $[a; b]$, это означает, что для всех $x$ на этом отрезке значение функции равно одной и той же константе $C$. Следовательно, функция $y = f(x)$ является постоянной на отрезке $[a; b]$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.