Страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

9.13. Пусть для любого $x$ из области определения функции $y = f(x)$ выполняются равенства $f(x - 3) = f(x + 3) = f(x)$ и $f(x - 5) = f(x + 5) = f(x)$. Докажите, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x - 2) = f(x + 2) = f(x)$.

Выясните, может ли функция быть периодической, если она обладает указанным свойством; если может, то приведите пример, если не может — объясните почему:

Пусть для любого x из области определения функции y = f(x) выполняются равенства f(x ? 3) = f(x + 3) = f(x) и f(x ? 5) = f(x + 5) = f(x). Докажите, что для любого x из области определения функции выполняется равенство f(x ? 2) = f(x + 2) = f(x).

Из условия $f(x - 3) = f(x + 3) = f(x)$ следует, что функция $y=f(x)$ является периодической с периодом $T_1 = 3$, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x+3) = f(x)$.

Аналогично, из условия $f(x - 5) = f(x + 5) = f(x)$ следует, что $T_2 = 5$ также является периодом функции $f(x)$.

Нам нужно доказать, что $f(x - 2) = f(x + 2) = f(x)$, то есть что число $2$ также является периодом функции.

Докажем, что $f(x+2) = f(x)$. Так как $T_1 = 3$ — период функции, мы можем прибавить его к аргументу, не изменяя значения функции:$f(x+2) = f((x+2)+3) = f(x+5)$.

Теперь воспользуемся тем, что $T_2 = 5$ — период функции:$f(x+5) = f(x)$.

Таким образом, мы получили, что $f(x+2) = f(x)$.

Докажем, что $f(x-2) = f(x)$. Так как $T_2 = 5$ — период функции, мы можем прибавить его к аргументу:$f(x-2) = f((x-2)+5) = f(x+3)$.

Воспользуемся тем, что $T_1 = 3$ — период функции:$f(x+3) = f(x)$.

Таким образом, мы получили, что $f(x-2) = f(x)$.

Поскольку $f(x+2) = f(x)$ и $f(x-2) = f(x)$, то равенство $f(x - 2) = f(x + 2) = f(x)$ выполняется для любого $x$ из области определения функции, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Выясните, может ли функция быть периодической, если она обладает указанным свойством; если может, то приведите пример, если не может — объясните почему:

Да, функция, обладающая указанным свойством, не просто может быть, а является периодической по определению. Сами условия $f(x+3)=f(x)$ и $f(x+5)=f(x)$ означают, что функция является периодической с периодами $3$ и $5$.

Если функция имеет два соизмеримых периода $T_1$ и $T_2$, то их наибольший общий делитель (НОД) также является периодом функции. В данном случае периоды $T_1 = 3$ и $T_2 = 5$ — целые числа. Их наибольший общий делитель НОД$(3, 5) = 1$. Следовательно, число $1$ также является периодом данной функции.

Таким образом, в качестве примера подойдет любая функция, имеющая период $1$.

Пример 1: Непостоянная функция.
Пусть $f(x) = \cos(2\pi x)$. Эта функция имеет основной период $T=1$. Поскольку $3$ и $5$ являются целыми числами, они также являются периодами этой функции. Проверим выполнение исходных условий:

$f(x+3) = \cos(2\pi(x+3)) = \cos(2\pi x + 6\pi) = \cos(2\pi x) = f(x)$.

$f(x+5) = \cos(2\pi(x+5)) = \cos(2\pi x + 10\pi) = \cos(2\pi x) = f(x)$.

Равенства $f(x-3)=f(x)$ и $f(x-5)=f(x)$ также выполняются, так как для любого периода $T$ верно $f(x-T)=f(x)$. Все условия задачи выполнены.

Пример 2: Постоянная функция.
Пусть $f(x) = c$, где $c$ — любая константа. Для этой функции равенства $f(x-3)=f(x+3)=f(x)$ и $f(x-5)=f(x+5)=f(x)$ выполняются тривиально, так как все части равны $c$.

Ответ: Да, может. Например, $f(x) = \cos(2\pi x)$ или $f(x) = c$ (константа).

9.14. a) Областью определения функции является отрезок или луч;

б) областью определения функции является объединение бесконечного множества отрезков, но не прямая;

в) функция определена на всей числовой прямой, кроме одной точки;

г) функция определена на всей числовой прямой, кроме бесконечного числа точек.

а) Областью определения функции является отрезок или луч;
Для того чтобы областью определения функции был отрезок, можно взять функцию, содержащую квадратный корень из выражения, которое неотрицательно только на конечном интервале.
Пример: $y = \sqrt{9 - x^2}$. Область определения этой функции задается неравенством $9 - x^2 \ge 0$, что равносильно $x^2 \le 9$, или $-3 \le x \le 3$. Таким образом, область определения $D(y) = [-3, 3]$, что является отрезком.
Для того чтобы областью определения функции был луч, можно также использовать квадратный корень или логарифмическую функцию.
Пример: $y = \ln(x - 2)$. Область определения этой функции задается строгим неравенством $x - 2 > 0$, то есть $x > 2$. Таким образом, область определения $D(y) = (2, +\infty)$, что является лучом.
Ответ: Например, для отрезка: $y = \sqrt{9 - x^2}$, область определения $D(y) = [-3, 3]$. Для луча: $y = \ln(x - 2)$, область определения $D(y) = (2, +\infty)$.

б) областью определения функции является объединение бесконечного множества отрезков, но не прямая;
Рассмотрим функцию $y = \sqrt{\sin(x)}$. Область определения этой функции находится из условия неотрицательности подкоренного выражения: $\sin(x) \ge 0$.
Функция синус неотрицательна на промежутках вида $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Следовательно, область определения функции $y = \sqrt{\sin(x)}$ представляет собой объединение бесконечного множества отрезков: $D(y) = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [2\pi k, (2k+1)\pi]$.
Это множество не является всей числовой прямой, так как, например, интервал $(\pi, 2\pi)$ (где $\sin(x) < 0$) не входит в область определения.
Ответ: Например, функция $y = \sqrt{\sin(x)}$, область определения которой $D(y) = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [2\pi k, (2k+1)\pi]$.

в) функция определена на всей числовой прямой, кроме одной точки;
Такой областью определения обладают многие дробно-рациональные функции, знаменатель которых обращается в ноль в единственной точке.
Пример: $y = \frac{x+1}{x - 5}$.
Эта функция определена для всех действительных чисел $x$, при которых ее знаменатель не равен нулю. Условие $x - 5 \ne 0$ означает, что $x \ne 5$.
Таким образом, область определения функции – это вся числовая прямая, за исключением одной точки $x=5$. В виде множества: $D(y) = (-\infty, 5) \cup (5, +\infty)$ или $\mathbb{R} \setminus \{5\}$.
Ответ: Например, $y = \frac{1}{x-5}$.

г) функция определена на всей числовой прямой, кроме бесконечного числа точек.
Такую область определения можно получить, используя функцию, знаменатель которой обращается в ноль в бесконечном множестве точек. Часто для этого используют периодические функции.
Пример: $y = \tan(x)$, которую можно записать как $y = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.
Эта функция не определена в точках, где знаменатель $\cos(x)$ равен нулю. Уравнение $\cos(x) = 0$ имеет бесконечное множество решений: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Следовательно, область определения функции – это вся числовая прямая, кроме бесконечного множества точек $\dots, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots$
Ответ: Например, $y = \tan(x)$.

9.15. a) Функция имеет шесть нулей;

б) функция не имеет нулей;

в) функция положительна при $x > 3$ и отрицательна при $x \leq 3$;

г) при $x > 3$ функция принимает положительные значения.

а) Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $f(x)$ равно нулю. Чтобы функция имела шесть нулей, уравнение $f(x)=0$ должно иметь ровно шесть различных действительных корней.

Простейший способ построить такую функцию – использовать многочлен. Многочлен, имеющий шесть различных корней $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$, можно записать в виде $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)(x-x_5)(x-x_6)$, где $a$ – любое ненулевое число.

В качестве примера выберем нули $x = -3, -2, -1, 1, 2, 3$. Тогда функция может иметь вид:

$f(x) = (x+3)(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)$

Можно упростить это выражение, перемножив скобки попарно:

$f(x) = (x^2-1)(x^2-4)(x^2-9)$

Эта функция является многочленом шестой степени, и уравнение $f(x) = 0$ имеет ровно шесть корней: $x = \pm 1$, $x = \pm 2$, $x = \pm 3$.

Ответ: $f(x) = (x^2-1)(x^2-4)(x^2-9)$.

б) Утверждение, что функция не имеет нулей, означает, что уравнение $f(x)=0$ не имеет решений на всей области определения функции. График такой функции никогда не пересекает и не касается оси абсцисс ($Ox$). Это значит, что функция либо всегда положительна, либо всегда отрицательна.

Примером такой функции может служить квадратичная функция, график которой (парабола) полностью расположен выше или ниже оси $Ox$. Это происходит, когда соответствующее квадратное уравнение не имеет действительных корней (дискриминант отрицателен).

Рассмотрим функцию:

$f(x) = x^2 + 1$

Чтобы найти нули этой функции, нужно решить уравнение $x^2 + 1 = 0$. Это уравнение равносильно $x^2 = -1$, которое не имеет действительных корней. Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен, ветви параболы направлены вверх, а ее вершина находится в точке $(0, 1)$, то есть выше оси $Ox$. Таким образом, значения функции всегда строго положительны ($f(x) \ge 1$ для всех $x$), и она не имеет нулей.

Другими примерами могут быть постоянная функция $f(x) = c$ (где $c \neq 0$) или показательная функция $f(x) = 2^x$.

Ответ: $f(x) = x^2+1$.

в) Условие задачи означает, что $f(x) > 0$ для всех $x \in (3, \infty)$ и $f(x) < 0$ для всех $x \in (-\infty, 3]$. В частности, при $x=3$ значение функции должно быть отрицательным: $f(3) < 0$.

Функция меняет знак при переходе через точку $x=3$. Если бы функция была непрерывной, то по теореме о промежуточном значении она должна была бы где-то принять значение ноль. Однако, согласно условию, функция нигде не равна нулю (она либо строго положительна, либо строго отрицательна). Следовательно, функция должна иметь разрыв в точке $x=3$.

Простейший способ задать такую функцию — использовать кусочно-заданную функцию. Определим ее по-разному для $x > 3$ и для $x \le 3$. Рассмотрим функцию:

$f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 3 \\ -1, & \text{если } x \le 3 \end{cases}$

Проверим выполнение условий. Если $x > 3$, значение функции равно $1$, что является положительным числом. Если $x \le 3$, значение функции равно $-1$, что является отрицательным числом. Оба условия выполнены. Данная функция имеет разрыв (скачок) в точке $x=3$.

Ответ: $f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 3 \\ -1, & \text{если } x \le 3 \end{cases}$.

г) Условие задачи состоит в том, что $f(x) > 0$ для всех $x$ из интервала $(3, \infty)$. Поведение функции при $x \le 3$ никак не ограничено: она может быть положительной, отрицательной, равной нулю или не определена.

Существует множество функций, удовлетворяющих этому условию. В качестве примера можно привести линейную функцию:

$f(x) = x-3$

При $x > 3$ разность $x-3$ будет строго положительной. Таким образом, условие выполняется. При $x \le 3$ эта функция неположительна ($f(x) \le 0$), что не противоречит условию.

Другим примером может быть функция $f(x) = (x-3)^2+1$. Это парабола с вершиной в точке $(3, 1)$, ее значения всегда больше или равны 1, следовательно, она положительна при всех $x$, в том числе и при $x > 3$.

Ответ: $f(x) = x-3$.

9.16. a) Функция убывает на всей области своего определения;

б) функция имеет бесконечно много промежутков убывания;

в) функция имеет наименьшее значение, но не имеет наибольшего;

г) функция убывает на интервале $ (3; 11) $.

а) Функция убывает на всей области своего определения
Рассмотрим в качестве примера линейную функцию $y = -2x + 3$. Область определения этой функции — множество всех действительных чисел, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Функция $y=f(x)$ называется убывающей на некотором множестве, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Проверим это условие для нашей функции. Возьмем любые $x_1$ и $x_2$ из области определения, такие что $x_1 < x_2$. Умножим обе части неравенства на $-2$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $-2x_1 > -2x_2$. Теперь прибавим к обеим частям число 3: $-2x_1 + 3 > -2x_2 + 3$. Мы получили, что $f(x_1) > f(x_2)$. Так как это верно для любых $x_1 < x_2$, функция $y = -2x + 3$ убывает на всей своей области определения. Это также можно показать с помощью производной. Производная функции $f'(x) = (-2x+3)' = -2$. Поскольку $f'(x) < 0$ для всех значений $x$, функция является строго убывающей на всей числовой прямой.
Ответ: $y = -2x+3$.

б) функция имеет бесконечно много промежутков убывания
Рассмотрим в качестве примера тригонометрическую функцию $y = \cos(x)$. Область определения этой функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Промежутки убывания функции — это промежутки, на которых ее производная отрицательна. Найдем производную функции: $y' = (\cos(x))' = -\sin(x)$. Теперь найдем, где производная отрицательна, то есть решим неравенство $-\sin(x) < 0$, что эквивалентно $\sin(x) > 0$. Синус положителен в первой и второй координатных четвертях. Решением этого неравенства является объединение интервалов: $x \in (2\pi k; \pi + 2\pi k)$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Поскольку множество целых чисел $\mathbb{Z}$ бесконечно, существует бесконечное количество таких интервалов. Например: при $k=0$ получаем интервал $(0; \pi)$; при $k=1$ получаем интервал $(2\pi; 3\pi)$; при $k=-1$ получаем интервал $(-2\pi; -\pi)$; и так далее. Таким образом, функция $y = \cos(x)$ имеет бесконечно много промежутков убывания.
Ответ: $y = \cos(x)$.

в) функция имеет наименьшее значение, но не имеет наибольшего
Рассмотрим в качестве примера квадратичную функцию $y = x^2 + 5$. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0; 5)$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 5 \ge 5$. Следовательно, наименьшее значение функции достигается при $x=0$ и равно $y_{min} = 0^2 + 5 = 5$. Наибольшего значения у функции нет, так как при неограниченном увеличении $x$ (или уменьшении до $-\infty$), значение $y$ также неограниченно возрастает ($y \to +\infty$). Область значений функции: $E(y) = [5; +\infty)$. Таким образом, функция $y=x^2+5$ имеет наименьшее значение, равное 5, но не имеет наибольшего значения.
Ответ: $y = x^2 + 5$.

г) функция убывает на интервале (3; 11)
Рассмотрим квадратичную функцию $y = -(x-3)^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(3; 0)$. Для нахождения промежутков убывания воспользуемся производной. $y' = (-(x-3)^2)' = -2(x-3) \cdot (x-3)' = -2(x-3)$. Функция убывает там, где ее производная отрицательна: $y' < 0$. Решим неравенство: $-2(x-3) < 0$. Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства: $x-3 > 0$. $x > 3$. Следовательно, функция $y=-(x-3)^2$ убывает на всем промежутке $(3; +\infty)$. Интервал $(3; 11)$ является подмножеством промежутка $(3; +\infty)$. Если функция убывает на большем промежутке, она убывает и на любой его части. Значит, функция $y = -(x-3)^2$ убывает на интервале $(3; 11)$.
Ответ: $y = -(x-3)^2$.

В № 9.17–9.19 постройте график данной периодической функции $y = f(x)$ и укажите область её определения, область значений, промежутки монотонности, наибольшее и наименьшее значения, нули функции, промежутки знакопостоянства; исследуйте функцию на чётность-нечётность:

9.17. а) Период функции равен 2 и $f(x) = 3x$ на промежутке $(-1; 1];

б) период функции равен 4 и $f(x) = 4 - x^2$ на отрезке $[-2; 2];

в) период функции равен 3 и $f(x) = 2 - x$ на промежутке $[0; 3);

г) период функции равен 1 и $f(x) = 2x^2 - 1$ на промежутке $(0; 1).

а)

График функции: На основном промежутке $(-1; 1)$ график функции $y=3x$ представляет собой отрезок прямой, проходящий через начало координат, с выколотыми точками на концах: $(-1, -3)$ и $(1, 3)$. В силу периодичности с периодом $T=2$, этот фрагмент повторяется вдоль всей оси $Ox$. График представляет собой множество параллельных отрезков с разрывами в точках $x=2k+1, k \in \mathbb{Z}$.

Область определения: Функция задана на промежутке $(-1; 1)$ и имеет период $T=2$. Это означает, что она определена на всех интервалах вида $(-1+2k; 1+2k)$ для любого целого $k$. Точки $x = 1+2k$ (нечётные целые числа) не входят в область определения.
Ответ: $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{2k+1 \mid k \in \mathbb{Z}\}$.

Область значений: На промежутке $(-1; 1)$ значения функции $f(x)=3x$ заполняют интервал от $3 \cdot (-1)=-3$ до $3 \cdot 1=3$. Так как концы промежутка не включены, область значений на одном периоде, а значит и для всей функции, есть интервал $(-3; 3)$.
Ответ: $E(f) = (-3; 3)$.

Промежутки монотонности: Производная функции на $(-1; 1)$ равна $f'(x) = 3$. Так как $f'(x) > 0$, функция строго возрастает на этом промежутке. В силу периодичности, функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения.
Ответ: функция возрастает на каждом из промежутков $(-1+2k; 1+2k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Наибольшее и наименьшее значения: Так как область значений функции — открытый интервал $E(f) = (-3; 3)$, функция не достигает своих точных верхней и нижней граней. Следовательно, наибольшего и наименьшего значений не существует.
Ответ: наибольшего и наименьшего значений нет.

Нули функции: На промежутке $(-1; 1)$ решаем уравнение $f(x) = 3x = 0$, откуда $x=0$. Учитывая период $T=2$, все нули функции находятся по формуле $x_k = 0 + 2k$.
Ответ: $x = 2k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства: На $(-1; 1)$: $f(x) > 0$ при $3x > 0 \implies x \in (0; 1)$; $f(x) < 0$ при $3x < 0 \implies x \in (-1; 0)$. С учётом периодичности:
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (2k; 1+2k)$ для всех $k \in \mathbb{Z}$; $f(x) < 0$ при $x \in (-1+2k; 2k)$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

Исследование функции на чётность-нечётность: Область определения $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{2k+1 \mid k \in \mathbb{Z}\}$ симметрична относительно начала координат. Для $x \in (-1; 1)$ имеем $f(-x) = 3(-x) = -3x = -f(x)$. Можно показать, что это свойство сохраняется для всех $x$ из области определения. Следовательно, функция является нечётной.
Ответ: функция нечётная.

б)

График функции: На основном отрезке $[-2; 2]$ график функции $y=4-x^2$ представляет собой дугу параболы с ветвями вниз, вершиной в точке $(0, 4)$ и нулями в точках $x=-2$ и $x=2$. В силу периодичности с периодом $T=4$, эта дуга повторяется вдоль всей оси $Ox$. График является непрерывной кривой.

Область определения: Функция задана на отрезке $[-2; 2]$ длиной 4, что равно периоду. В силу периодичности, функция определена для всех действительных чисел, так как объединение отрезков $[-2+4k; 2+4k]$ покрывает всю числовую ось.
Ответ: $D(f) = \mathbb{R}$.

Область значений: На отрезке $[-2; 2]$ максимальное значение функции $f(x)=4-x^2$ равно $f(0)=4$, а минимальное $f(-2)=f(2)=0$. Так как это полный период, область значений всей функции совпадает с областью значений на этом отрезке.
Ответ: $E(f) = [0; 4]$.

Промежутки монотонности: Производная $f'(x)=-2x$. На $[-2; 2]$ функция возрастает при $f'(x)>0$, т.е. на $[-2; 0]$, и убывает при $f'(x)<0$, т.е. на $[0; 2]$. С учётом периодичности:
Ответ: функция возрастает на отрезках $[4k-2; 4k]$ и убывает на отрезках $[4k; 4k+2]$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

Наибольшее и наименьшее значения: Из области значений $E(f)=[0; 4]$ видно, что наибольшее значение равно 4, а наименьшее — 0. Максимум достигается при $x=0$ и в точках $x=4k$. Минимум — в точках $x=\pm 2$ и в точках $x=4k \pm 2$.
Ответ: $y_{наиб.} = 4$ при $x=4k, k \in \mathbb{Z}$; $y_{наим.} = 0$ при $x=4k \pm 2, k \in \mathbb{Z}$.

Нули функции: На $[-2; 2]$ решаем $4-x^2=0$, откуда $x=\pm 2$. С учётом периода $T=4$, все нули находятся по формулам $x = 2+4k$ и $x = -2+4k$.
Ответ: $x = 4k \pm 2$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства: На $[-2; 2]$ функция $f(x)=4-x^2 \ge 0$. Она равна нулю только в концах отрезка. Таким образом, $f(x)>0$ на $(-2; 2)$. Функция неотрицательна на всей области определения.
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (4k-2; 4k+2)$ для всех $k \in \mathbb{Z}$; $f(x)=0$ при $x=4k \pm 2$.

Исследование функции на чётность-нечётность: Область определения $D(f) = \mathbb{R}$ симметрична. Для любого $x$ из основного отрезка $[-2; 2]$ имеем $f(-x) = 4 - (-x)^2 = 4 - x^2 = f(x)$. Это свойство сохраняется для всех $x \in \mathbb{R}$.
Ответ: функция чётная.

в)

График функции: На промежутке $[0; 3)$ график функции $y=2-x$ представляет собой отрезок прямой, соединяющий точку $(0, 2)$ (включительно) с точкой $(3, -1)$ (исключительно). В силу периодичности с периодом $T=3$, этот фрагмент повторяется. В точках $x=3k$ происходят разрывы первого рода (скачки).

Область определения: Функция задана на $[0; 3)$. Периодическое продолжение на всю ось ($f(x)=f(x-3k)$, где $x-3k \in [0;3)$) определяет функцию для любого действительного $x$.
Ответ: $D(f) = \mathbb{R}$.

Область значений: На $[0; 3)$ функция $y=2-x$ убывает от $f(0)=2$ до значения, к которому она стремится при $x \to 3^-$, т.е. до $-1$. Так как $f(0)=2$ достигается, а $-1$ нет, то область значений есть полуинтервал.
Ответ: $E(f) = (-1; 2]$.

Промежутки монотонности: Производная $f'(x)=-1 < 0$ на основном промежутке. Функция убывает на каждом промежутке вида $[3k; 3k+3)$.
Ответ: функция убывает на каждом из промежутков $[3k; 3k+3)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Наибольшее и наименьшее значения: Из области значений $E(f)=(-1; 2]$ следует, что наибольшее значение равно 2. Оно достигается при $x=0$ и, в силу периодичности, при $x=3k$. Наименьшее значение не достигается.
Ответ: $y_{наиб.} = 2$ при $x=3k, k \in \mathbb{Z}$; наименьшего значения нет.

Нули функции: На $[0; 3)$ решаем $2-x=0$, откуда $x=2$. С учётом периода $T=3$, все нули находятся по формуле $x_k = 2+3k$.
Ответ: $x = 2 + 3k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства: На $[0; 3)$: $f(x)>0$ при $2-x>0 \implies x<2$, т.е. на $[0; 2)$. $f(x)<0$ при $2-x<0 \implies x>2$, т.е. на $(2; 3)$. С учётом периодичности:
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in [3k; 3k+2)$ для всех $k \in \mathbb{Z}$; $f(x) < 0$ при $x \in (3k+2; 3k+3)$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

Исследование функции на чётность-нечётность: Область определения $D(f) = \mathbb{R}$ симметрична. Проверим свойство: $f(1)=2-1=1$, а $f(-1)=f(-1+3)=f(2)=2-2=0$. Так как $f(-1) \ne f(1)$ и $f(-1) \ne -f(1)$, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: функция общего вида (ни чётная, ни нечётная).

г)

График функции: На интервале $(0; 1)$ график $y=2x^2-1$ является частью параболы с вершиной в $(0, -1)$ и ветвями вверх. График на $(0; 1)$ — это дуга от точки $(0, -1)$ до $(1, 1)$, обе точки выколоты. Этот фрагмент повторяется с периодом $T=1$. В целых точках $x=k$ функция имеет разрывы.

Область определения: Функция задана на $(0; 1)$. Периодическое продолжение определяет её на всех интервалах $(k; k+1)$ для $k \in \mathbb{Z}$. Целые числа не входят в область определения.
Ответ: $D(f) = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$.

Область значений: На $(0; 1)$ функция $f(x)=2x^2-1$ возрастает от значения, к которому она стремится при $x \to 0^+$, т.е. $-1$, до значения при $x \to 1^-$, т.е. $1$. Концевые значения не достигаются.
Ответ: $E(f) = (-1; 1)$.

Промежутки монотонности: Производная $f'(x)=4x > 0$ для $x \in (0; 1)$. Функция строго возрастает на основном интервале, а значит, и на всех интервалах вида $(k; k+1)$.
Ответ: функция возрастает на каждом из промежутков $(k; k+1)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Наибольшее и наименьшее значения: Область значений $E(f)=(-1; 1)$ — открытый интервал. Следовательно, функция не достигает своих точных верхней и нижней граней.
Ответ: наибольшего и наименьшего значений нет.

Нули функции: На $(0; 1)$ решаем $2x^2-1=0 \implies x^2=1/2$. Учитывая, что $x>0$, получаем $x=1/\sqrt{2}$. С учётом периода $T=1$, все нули находятся по формуле $x_k = k + 1/\sqrt{2}$.
Ответ: $x = k + \frac{\sqrt{2}}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства: На $(0; 1)$: $f(x)>0$ при $2x^2-1>0 \implies x>1/\sqrt{2}$, т.е. на $(1/\sqrt{2}; 1)$. $f(x)<0$ при $x<1/\sqrt{2}$, т.е. на $(0; 1/\sqrt{2})$. С учётом периодичности:
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (k+\frac{\sqrt{2}}{2}; k+1)$ для всех $k \in \mathbb{Z}$; $f(x) < 0$ при $x \in (k; k+\frac{\sqrt{2}}{2})$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

Исследование функции на чётность-нечётность: Область определения $D(f) = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$ симметрична. Возьмём $x=0.25 \in (0;1)$. $f(0.25)=2(0.25)^2-1 = -0.875$. Теперь рассмотрим $-x=-0.25$. $f(-0.25)=f(-0.25+1)=f(0.75)=2(0.75)^2-1=0.125$. Так как $f(-0.25) \ne f(0.25)$ и $f(-0.25) \ne -f(0.25)$, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: функция общего вида (ни чётная, ни нечётная).