Страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

8. Что такое целая часть числа? Найдите $[2,73]$, $[-8,04]$, $[\sqrt{5}]$, $[-2\pi]$.

Что такое целая часть числа?
Целой частью действительного числа $x$, также известной как функция «антье» или «пол» (floor), называется наибольшее целое число, которое не превосходит $x$. Целая часть числа $x$ обозначается как $[x]$ или $\lfloor x \rfloor$.
Формально, для любого действительного числа $x$, его целая часть $[x]$ является единственным целым числом, удовлетворяющим двойному неравенству:
$ [x] \le x < [x] + 1 $

[2,73]
Требуется найти наибольшее целое число, не превосходящее 2,73. На числовой прямой это число находится между 2 и 3. Наибольшее целое число, которое меньше или равно 2,73, — это 2.
Проверка по определению: $2 \le 2,73 < 2 + 1$, то есть $2 \le 2,73 < 3$. Неравенство верное.
Ответ: $[2,73] = 2$

[-8,04]
Требуется найти наибольшее целое число, не превосходящее -8,04. Важно помнить, что для отрицательных чисел округление происходит в меньшую сторону (влево по числовой оси). Число -8,04 находится между -9 и -8. Наибольшее целое число, которое не превосходит -8,04, это -9, так как $-9 < -8,04$, а $-8 > -8,04$.
Проверка по определению: $-9 \le -8,04 < -9 + 1$, то есть $-9 \le -8,04 < -8$. Неравенство верное.
Ответ: $[-8,04] = -9$

[v5]
Сначала необходимо оценить значение $\sqrt{5}$. Мы знаем, что $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$. Так как $4 < 5 < 9$, то, извлекая квадратный корень из всех частей неравенства, получаем $2 < \sqrt{5} < 3$. Таким образом, значение $\sqrt{5}$ находится между 2 и 3 (приблизительно 2,236).
Наибольшее целое число, не превосходящее $\sqrt{5}$, — это 2.
Проверка по определению: $2 \le \sqrt{5} < 2 + 1$, то есть $2 \le \sqrt{5} < 3$. Неравенство верное.
Ответ: $[\sqrt{5}] = 2$

[-2?]
Сначала необходимо оценить значение $-2\pi$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14159$, получаем:
$-2\pi \approx -2 \times 3,14159 = -6,28318$
Требуется найти наибольшее целое число, не превосходящее $-2\pi$ (приблизительно -6,28318). Это число находится на числовой прямой между -7 и -6. Наибольшее целое число, которое не превосходит $-2\pi$, — это -7.
Проверка по определению: $-7 \le -2\pi < -7 + 1$, то есть $-7 \le -2\pi < -6$. Неравенство верное, так как $-2\pi \approx -6,28318$.
Ответ: $[-2\pi] = -7$

9. Что такое дробная часть числа? Найдите ${2,9}$, ${-3\frac{1}{7}}$, ${10}$.

Что такое дробная часть числа?

Дробной частью действительного числа $x$, обозначаемой как $\{x\}$, называется разность между самим числом $x$ и его целой частью $\lfloor x \rfloor$. Целая часть числа $\lfloor x \rfloor$ (также известная как функция «антье» или «пол») — это наибольшее целое число, которое не превосходит $x$. Формула для нахождения дробной части выглядит так: $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$. Важным свойством дробной части является то, что её значение всегда находится в полуинтервале $[0, 1)$, то есть $0 \le \{x\} < 1$.

$\{2,9\}$

Сначала найдём целую часть числа $2,9$. Целая часть $\lfloor 2,9 \rfloor$ — это наибольшее целое число, не превосходящее $2,9$, то есть $2$.
Теперь вычислим дробную часть по формуле:
$\{2,9\} = 2,9 - \lfloor 2,9 \rfloor = 2,9 - 2 = 0,9$.
Ответ: $0,9$

$\{-3\frac{1}{7}\}$

Найдём целую часть числа $-3\frac{1}{7}$. Это число расположено на числовой оси между $-4$ и $-3$. Наибольшее целое число, которое не больше $-3\frac{1}{7}$, — это $-4$. Таким образом, $\lfloor -3\frac{1}{7} \rfloor = -4$.
Вычислим дробную часть:
$\{-3\frac{1}{7}\} = -3\frac{1}{7} - (-4) = 4 - 3\frac{1}{7} = 4 - (3 + \frac{1}{7}) = 4 - 3 - \frac{1}{7} = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$.
Ответ: $\frac{6}{7}$

$\{10\}$

Поскольку $10$ является целым числом, его целая часть $\lfloor 10 \rfloor$ равна самому числу $10$.
Вычислим дробную часть:
$\{10\} = 10 - \lfloor 10 \rfloor = 10 - 10 = 0$.
Дробная часть любого целого числа всегда равна нулю.
Ответ: $0$

10. Как по графику функции найти область её значений? Приведите пример.

Область значений функции (обозначается как $E(f)$ или $E(y)$) — это множество всех значений, которые принимает зависимая переменная $y$ для всех $x$ из области определения. Чтобы найти область значений функции по её графику, необходимо определить, какой диапазон значений на оси ординат (оси $OY$) "покрывает" график функции.

Это делается путем мысленной проекции всех точек графика на ось $OY$. Иными словами, нужно определить самую низкую и самую высокую точки, которых достигает график. Множество всех значений $y$ между этими двумя крайними точками (включительно) и будет являться областью значений.

Алгоритм нахождения области значений по графику:

1. Определить самую нижнюю точку графика. Ордината (координата по оси $y$) этой точки является минимальным значением функции, $y_{min}$. Если график уходит вниз в бесконечность, то минимального значения у функции нет.
2. Определить самую верхнюю точку графика. Ордината этой точки является максимальным значением функции, $y_{max}$. Если график уходит вверх в бесконечность, то максимального значения у функции нет.
3. Записать полученное множество значений $y$ в виде числового промежутка.

• Если существуют и $y_{min}$, и $y_{max}$, то область значений — это отрезок $[y_{min}; y_{max}]$.
• Если существует только $y_{min}$, а вверх график уходит в бесконечность, то область значений — это луч $[y_{min}; +\infty)$.
• Если существует только $y_{max}$, а вниз график уходит в бесконечность, то область значений — это луч $(-\infty; y_{max}]$.
• Если график уходит и в плюс, и в минус бесконечность, то область значений — вся числовая прямая $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: Чтобы найти область значений функции по графику, необходимо спроецировать его на ось ординат ($OY$) и определить интервал, который эта проекция занимает. Этот интервал, который включает все значения $y$ от минимального до максимального (если они существуют), и является областью значений функции.

Пример

Рассмотрим график функции $y = -x^2 + 2x + 3$.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -1 < 0$). Это означает, что функция имеет максимальное значение, но не имеет минимального (её ветви уходят в $-\infty$).

Максимальное значение функции достигается в её вершине. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

Абсцисса (координата $x$) вершины вычисляется по формуле: $x_v = - \frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=-1, b=2$, следовательно:
$x_v = - \frac{2}{2 \cdot (-1)} = - \frac{2}{-2} = 1$.

Теперь найдем ординату (координату $y$) вершины, подставив $x_v = 1$ в уравнение функции. Это и будет максимальное значение функции:

$y_v = y_{max} = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.

Итак, самая верхняя точка графика имеет координаты $(1, 4)$. Максимальное значение функции равно 4. Поскольку ветви параболы уходят вниз в бесконечность, минимального значения не существует. Проекция графика на ось $OY$ представляет собой луч, идущий из точки $y=4$ вниз в бесконечность.

Ответ: Область значений данной функции — промежуток $(-\infty; 4]$, то есть $E(y) = (-\infty; 4]$.

ведите пример.

Построение графиков функций вида $y = f(x) + c$ основано на преобразовании исходного графика $y = f(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (оси $Oy$). Направление и величина сдвига зависят от знака и значения константы $c$.

$y = f(x) + 3$
Чтобы построить график функции $y = f(x) + 3$, необходимо рассмотреть, как изменяются координаты точек. Для любого значения аргумента $x$ значение новой функции на 3 больше, чем значение исходной функции $f(x)$. Это означает, что каждая точка $(x, f(x))$ на графике $y = f(x)$ переместится в точку $(x, f(x) + 3)$. Такое преобразование соответствует сдвигу всего графика вверх на 3 единицы.
Ответ: для построения графика функции $y = f(x) + 3$, необходимо график функции $y = f(x)$ сдвинуть на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

$y = f(x) - 2$
Аналогично, чтобы построить график функции $y = f(x) - 2$, нужно учесть, что для любого значения $x$ значение новой функции на 2 меньше, чем значение исходной. Каждая точка $(x, f(x))$ на графике $y = f(x)$ переместится в точку $(x, f(x) - 2)$. Геометрически это означает, что весь график сдвигается вниз на 2 единицы.
Ответ: для построения графика функции $y = f(x) - 2$, необходимо график функции $y = f(x)$ сдвинуть на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

12. Как, зная график функции $y = f(x)$, построить график функции $y = f(x + 3)$; $y = f(x - 2)$?

Построение графиков функций вида $y = f(x+a)$ и $y = f(x-a)$ основано на правиле горизонтального сдвига (параллельного переноса) графика исходной функции $y = f(x)$ вдоль оси абсцисс (оси Ox).

Общее правило гласит: чтобы построить график функции $y = f(x+a)$, нужно сдвинуть график функции $y = f(x)$ на $|a|$ единиц вдоль оси Ox. Направление сдвига зависит от знака числа $a$:

• Если $a > 0$, сдвиг происходит влево на $a$ единиц.
• Если $a < 0$, сдвиг происходит вправо на $|a|$ единиц. Это также можно записать как $y = f(x - |a|)$.

y = f(x + 3)

В данном случае мы имеем дело с преобразованием вида $y = f(x+a)$, где $a = 3$.

Поскольку $a = 3 > 0$, для построения графика функции $y = f(x + 3)$ необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) графика исходной функции $y = f(x)$ на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс.

Это означает, что каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y=f(x)$ перейдет в точку $(x_0 - 3, y_0)$ на графике $y = f(x+3)$. Например, если точка $(5, 10)$ принадлежит графику $y=f(x)$, то точка $(5-3, 10) = (2, 10)$ будет принадлежать графику $y = f(x+3)$, так как $f(2+3) = f(5) = 10$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = f(x+3)$, нужно сдвинуть график функции $y = f(x)$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox.

y = f(x - 2)

Это преобразование можно рассматривать двумя способами:

1. Как частный случай $y = f(x+a)$, где $a = -2$. Поскольку $a < 0$, сдвиг происходит вправо на $|-2|=2$ единицы.
2. Как частный случай $y = f(x-b)$, где $b = 2$. Поскольку $b > 0$, сдвиг происходит вправо на $b=2$ единицы.

Оба подхода дают одинаковый результат. Для построения графика функции $y = f(x - 2)$ необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) графика исходной функции $y = f(x)$ на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс.

Это означает, что каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y=f(x)$ перейдет в точку $(x_0 + 2, y_0)$ на графике $y = f(x-2)$. Например, если точка $(5, 10)$ принадлежит графику $y=f(x)$, то точка $(5+2, 10) = (7, 10)$ будет принадлежать графику $y = f(x-2)$, так как $f(7-2) = f(5) = 10$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = f(x-2)$, нужно сдвинуть график функции $y = f(x)$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

13. Сколько преобразований над графиком функции $y = f(x)$ надо осуществить, чтобы построить график функции $y = -f(x - 1) - 3$? Назовите эти преобразования и укажите последовательность их применения.

Для построения графика функции $y = -f(x - 1) - 3$ из графика функции $y = f(x)$ необходимо последовательно выполнить три геометрических преобразования. Порядок выполнения этих преобразований важен. Ниже приведена одна из возможных корректных последовательностей.

1. Сдвиг по горизонтали. Сначала необходимо сдвинуть график исходной функции $y = f(x)$ на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс (Ox). Это преобразование соответствует замене аргумента $x$ на $x-1$. В результате мы получаем график функции $y_1 = f(x-1)$.
2. Симметричное отражение относительно оси абсцисс. Затем, график, полученный на первом шаге, $y_1 = f(x-1)$, необходимо отразить симметрично относительно оси Ox. Это преобразование соответствует умножению всей функции на $-1$. В результате мы получаем график функции $y_2 = -f(x-1)$.
3. Сдвиг по вертикали. На последнем шаге, график, полученный после отражения, $y_2 = -f(x-1)$, необходимо сдвинуть на 3 единицы вниз вдоль оси ординат (Oy). Это преобразование соответствует вычитанию константы 3 из всей функции. В результате мы получаем искомый график $y = -f(x-1) - 3$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = -f(x-1) - 3$ из графика $y = f(x)$, надо осуществить 3 преобразования. Возможная последовательность их применения:
1. Сдвиг графика на 1 единицу вправо.
2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси абсцисс (оси Ox).
3. Сдвиг полученного графика на 3 единицы вниз.

14. Как, зная график функции $y = f(x)$, построить график функции $y = |f(x)|$?

Чтобы построить график функции $y = |f(x)|$ на основе известного графика функции $y = f(x)$, необходимо применить преобразование модуля к значениям функции (ординатам).

Рассмотрим определение модуля применительно к функции:$|f(x)| =\begin{cases} f(x), & \text{если } f(x) \ge 0 \\ -f(x), & \text{если } f(x) < 0\end{cases}$

Из этого определения следуют два правила для построения графика:

1. Части графика $y = f(x)$, для которых $f(x) \ge 0$, остаются без изменений.
Это те участки, где график исходной функции расположен на оси абсцисс ($Ox$) или выше нее. Для этих точек $y = f(x)$, и поскольку $y \ge 0$, то $|y| = y$. Таким образом, график $y = |f(x)|$ в этих областях совпадает с графиком $y = f(x)$.

2. Части графика $y = f(x)$, для которых $f(x) < 0$, отражаются симметрично относительно оси абсцисс ($Ox$).
Это те участки, где график исходной функции расположен ниже оси $Ox$. Для этих точек $y = f(x)$, и поскольку $y < 0$, то $|y| = -y$. Преобразование точки с координатами $(x, y)$ в точку с координатами $(x, -y)$ является симметрией относительно оси $Ox$. Следовательно, эти части графика нужно "перевернуть" в верхнюю полуплоскость.

Итоговый график $y = |f(x)|$ состоит из неизменных частей из первого пункта и отраженных частей из второго. Весь полученный график будет лежать в верхней полуплоскости, то есть все его точки будут иметь неотрицательные ординаты ($y \ge 0$).

Ответ: Чтобы построить график функции $y = |f(x)|$ по известному графику $y = f(x)$, необходимо части графика, расположенные выше оси $Ox$ и на самой оси, оставить без изменений, а части графика, расположенные ниже оси $Ox$, симметрично отразить относительно оси $Ox$.

15. Придумайте кусочно заданную непрерывную функцию, областью определения которой является отрезок $ [-2; 4] $ и график которой состоит из части параболы и отрезка прямой. Задайте эту функцию аналитически.

Для решения задачи необходимо определить кусочно-заданную функцию на отрезке $[-2; 4]$, которая будет непрерывной и будет состоять из части параболы и отрезка прямой. Для этого разделим область определения на два интервала в точке «сшивки». Выберем в качестве такой точки $x_0 = 1$.

Пусть на отрезке $[-2; 1]$ функция задается уравнением простой параболы $y = x^2$. Чтобы обеспечить непрерывность, нам нужно знать значение этой функции в точке $x_0 = 1$. Вычисляем: $y(1) = 1^2 = 1$. Таким образом, точка соединения двух частей графика имеет координаты $(1; 1)$.

Теперь на интервале $(1; 4]$ определим линейную функцию $y = kx + b$. Условие непрерывности требует, чтобы значение этой функции при $x$, стремящемся к $1$, было равно $1$. То есть, график прямой должен «приходить» в точку $(1; 1)$. Подставим координаты этой точки в уравнение прямой: $1 = k \cdot 1 + b$, что дает нам соотношение $k + b = 1$. Существует бесконечно много пар $(k, b)$, удовлетворяющих этому условию. Выберем для простоты $k = 2$. Тогда $2 + b = 1$, откуда находим $b = -1$. Следовательно, уравнение прямой $y = 2x - 1$.

Собирая все вместе, мы получаем искомую кусочно-заданную функцию. Она состоит из части параболы $y=x^2$ на отрезке $[-2; 1]$ и отрезка прямой $y=2x-1$ на интервале $(1; 4]$. Функция непрерывна в точке $x=1$, так как значения обеих частей в этой точке совпадают. Аналитически эта функция записывается так:

$$ f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } -2 \le x \le 1 \\ 2x - 1, & \text{если } 1 < x \le 4 \end{cases} $$

Ответ: Одним из возможных примеров функции, удовлетворяющей условиям, является:$$ f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } -2 \le x \le 1 \\ 2x - 1, & \text{если } 1 < x \le 4 \end{cases} $$

16. Придумайте кусочно заданную непрерывную функцию с одной точкой разрыва, областью определения которой является полуинтервал $(0; 9]$ и график которой состоит из части гиперболы и части графика функции $y = \sqrt{x}$. Задайте эту функцию аналитически.

Для того чтобы сконструировать функцию, удовлетворяющую заданным условиям, необходимо выполнить следующие шаги.

1. Выбор точки разрыва

Функция должна иметь одну точку разрыва на своей области определения, которая является полуинтервалом $(0; 9]$. Выберем любую точку внутри этого интервала в качестве точки разрыва. Пусть это будет точка $x_0 = 4$. Эта точка разделит область определения на два промежутка: $(0; 4)$ и $[4; 9]$.

2. Определение частей функции

По условию, график функции должен состоять из части гиперболы и части графика функции $y = \sqrt{x}$. Мы можем распределить эти две части по двум полученным промежуткам. Возьмем следующий вариант:

• На промежутке $(0; 4)$ функция будет задана уравнением гиперболы.
• На промежутке $[4; 9]$ функция будет задана уравнением $y = \sqrt{x}$.

В качестве гиперболы выберем простейший ее вид: $y = \frac{k}{x}$. Вертикальная асимптота этой гиперболы находится в точке $x=0$, которая не принадлежит промежутку $(0; 4)$, поэтому функция $y = \frac{k}{x}$ будет непрерывна на всем этом промежутке.

Таким образом, наша кусочно-заданная функция имеет вид:

$f(x) = \begin{cases} \frac{k}{x}, & \text{если } 0 < x < 4 \\ \sqrt{x}, & \text{если } 4 \le x \le 9 \end{cases}$

3. Создание разрыва

Чтобы в точке $x = 4$ существовал разрыв, значение функции в этой точке не должно быть равно одностороннему пределу (в данном случае левостороннему). Такой тип разрыва называется разрывом первого рода (скачок).

Найдем значение функции в точке $x = 4$. Согласно нашему определению, $f(x) = \sqrt{x}$ при $x=4$.

$f(4) = \sqrt{4} = 2$

Теперь найдем левосторонний предел функции в точке $x = 4$. При $x \to 4^-$, значения $x$ находятся в интервале $(0; 4)$, где $f(x) = \frac{k}{x}$.

$\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^-} \frac{k}{x} = \frac{k}{4}$

Условие разрыва в точке $x=4$ выглядит как $\lim_{x \to 4^-} f(x) \neq f(4)$. Подставим найденные значения:

$\frac{k}{4} \neq 2$

Это неравенство выполняется для любого $k$, кроме $k = 8$.

4. Итоговая функция

Мы можем выбрать любое значение коэффициента $k$, удовлетворяющее условию $k \neq 8$. Для простоты выберем $k = 1$.

При $k=1$ левосторонний предел равен $\frac{1}{4}$, а значение функции в точке равно $2$. Поскольку $\frac{1}{4} \neq 2$, в точке $x=4$ имеется разрыв. На интервалах $(0; 4)$ и $(4; 9]$ функция непрерывна. Таким образом, все условия задачи выполнены.

Запишем итоговую функцию аналитически.

Ответ: $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } 0 < x < 4 \\ \sqrt{x}, & \text{если } 4 \le x \le 9 \end{cases}$

Постройте график функции и определите, является ли функция периодической:

9.29. а) $y = [x];$

б) $y = [x - 2,5];$

в) $y = [2x];$

г) $y = [|x|].$

В задаче используется функция "целая часть числа" (антье), обозначаемая как $y=[x]$. Эта функция для любого действительного числа $x$ находит наибольшее целое число, которое не превосходит $x$. Например, $[3.14]=3$, $[5]=5$, $[-1.5]=-2$.

а) $y = [x]$

Построение графика:

График этой функции является ступенчатым. Он состоит из горизонтальных отрезков единичной длины.

• Если $0 \le x < 1$, то $[x] = 0$, следовательно, $y = 0$.
• Если $1 \le x < 2$, то $[x] = 1$, следовательно, $y = 1$.
• Если $2 \le x < 3$, то $[x] = 2$, следовательно, $y = 2$.
• Если $-1 \le x < 0$, то $[x] = -1$, следовательно, $y = -1$.

В общем виде, для любого целого числа $n$, если $n \le x < n+1$, то значение функции $y=n$. На графике это выглядит как серия горизонтальных отрезков ("ступенек"). Каждая ступенька начинается с закрашенной точки (значение в целой точке) и заканчивается выколотой точкой.

Периодичность:

Функция не является периодической. Определение периодической функции требует, чтобы $f(x+T) = f(x)$ для некоторого периода $T > 0$ и для всех $x$. Для функции $y = [x]$ это условие не выполняется. Например, при $x=0.9$ и любом $T \ge 0.1$, значение $[x+T]$ будет не меньше 1, в то время как $[x]=0$. Поскольку функция является монотонно неубывающей и её значения постоянно растут с ростом $x$, она не может быть периодической.

Ответ: функция не является периодической.

б) $y = [x - 2,5]$

Построение графика:

График функции $y = [x - 2,5]$ можно получить из графика функции $y = [x]$ путем его сдвига вправо вдоль оси абсцисс (Ox) на 2,5 единицы. Это преобразование вида $f(x) \to f(x-a)$.

Скачки функции (переход на новую "ступеньку") происходят, когда аргумент $x - 2,5$ становится целым числом, то есть $x - 2,5 = n$, где $n$ — целое. Отсюда $x = n + 2,5$.

• Если $2,5 \le x < 3,5$, то $0 \le x-2,5 < 1$, и $y = 0$.
• Если $3,5 \le x < 4,5$, то $1 \le x-2,5 < 2$, и $y = 1$.
• Если $1,5 \le x < 2,5$, то $-1 \le x-2,5 < 0$, и $y = -1$.

График также представляет собой "лесенку", ступеньки которой сдвинуты вправо на 2,5 единицы по сравнению с графиком $y=[x]$.

Периодичность:

Функция не является периодической. Горизонтальный сдвиг непериодической функции $y = [x]$ не делает ее периодической. Рассуждения полностью аналогичны пункту а). Функция монотонно неубывающая и неограниченная.

Ответ: функция не является периодической.

в) $y = [2x]$

Построение графика:

График функции $y = [2x]$ получается из графика функции $y = [x]$ путем его сжатия по горизонтали (вдоль оси Ox) в 2 раза. Это преобразование вида $f(x) \to f(kx)$ при $k>1$.

Скачки функции происходят, когда $2x = n$ (где $n$ — целое), то есть при $x = n/2$. Это означает, что ширина каждой "ступеньки" сократилась вдвое и стала равна $1/2$.

• Если $0 \le x < 0,5$, то $0 \le 2x < 1$, и $y = 0$.
• Если $0,5 \le x < 1$, то $1 \le 2x < 2$, и $y = 1$.
• Если $-0,5 \le x < 0$, то $-1 \le 2x < 0$, и $y = -1$.

График — "лесенка", у которой ступеньки стали в два раза уже, чем у графика $y=[x]$.

Периодичность:

Функция не является периодической. Она, как и $y=[x]$, монотонно неубывающая и неограниченная. Горизонтальное сжатие не может сделать такую функцию периодической.

Ответ: функция не является периодической.

г) $y = [|x|]$

Построение графика:

Данная функция является чётной, так как $y(-x) = [|-x|] = [|x|] = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (Oy).

Сначала построим график для $x \ge 0$. На этом промежутке $|x| = x$, и функция совпадает с $y = [x]$. Таким образом, для $x \ge 0$ график представляет собой часть "лесенки" из пункта а).

Затем, используя свойство чётности, отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график для $x < 0$.

• При $0 \le x < 1$, $y=0$. Из-за симметрии, при $-1 < x < 0$ также $y=0$. Таким образом, $y=0$ для всех $x$ из интервала $(-1, 1)$.
• При $1 \le x < 2$, $y=1$. Из-за симметрии, при $-2 < x \le -1$ также $y=1$.
• При $2 \le x < 3$, $y=2$. Из-за симметрии, при $-3 < x \le -2$ также $y=2$.

График имеет вид симметричной "чаши", сложенной из горизонтальных ступенек, поднимающихся от центра в обе стороны.

Периодичность:

Функция не является периодической. Хотя она и не является монотонной на всей числовой оси, её значения неограниченно возрастают при $x \to +\infty$ и при $x \to -\infty$. Любая периодическая функция, определённая на всей числовой оси, является ограниченной. Поскольку данная функция не ограничена сверху, она не может быть периодической.

Ответ: функция не является периодической.

9.30. a) $y = |[x]|$;

б) $y = x + [x]$;

В) $y = \{x\} + [x]$;

Г) $y = [\{x\}]$.

а) $y = |[x]|$

Для решения этой задачи необходимо разобраться в функциях, из которых состоит данное выражение: целая часть числа $[x]$ и модуль числа $|a|$.
Функция "целая часть числа" $y = [x]$ (или "антье", "пол") сопоставляет каждому действительному числу $x$ наибольшее целое число, которое не превосходит $x$. Эта функция является кусочно-постоянной, её значениями являются целые числа.
Например: $[3.14] = 3$, $[5] = 5$, $[-2.7] = -3$.
Функция "модуль числа" $y = |a|$ возвращает абсолютное значение числа, то есть само число, если оно неотрицательное, и число с противоположным знаком, если оно отрицательное. В результате модуль всегда неотрицателен.
Рассмотрим поведение функции $y = |[x]|$ на различных интервалах. Пусть $n$ — любое целое число.
Если $x$ принадлежит интервалу $[n, n+1)$, то $[x] = n$. Тогда $y = |n|$.
1. Если $x \in [0, 1)$, то $[x] = 0$, и $y = |0| = 0$.
2. Если $x \in [1, 2)$, то $[x] = 1$, и $y = |1| = 1$.
3. Если $x \in [2, 3)$, то $[x] = 2$, и $y = |2| = 2$.
...
Для неотрицательных $x$, где $x \in [n, n+1)$ и $n \geq 0$, имеем $y = n$.
Теперь рассмотрим отрицательные значения $x$:
1. Если $x \in [-1, 0)$, то $[x] = -1$, и $y = |-1| = 1$.
2. Если $x \in [-2, -1)$, то $[x] = -2$, и $y = |-2| = 2$.
3. Если $x \in [-3, -2)$, то $[x] = -3$, и $y = |-3| = 3$.
...
Для отрицательных $x$, где $x \in [n, n+1)$ и $n < 0$, имеем $y = |n| = -n$.
Таким образом, график функции представляет собой "лесенку", состоящую из горизонтальных полуинтервалов. Все значения функции — неотрицательные целые числа.
Ответ: График функции $y = |[x]|$ — это совокупность горизонтальных отрезков (полуинтервалов). На каждом интервале $[n, n+1)$, где $n$ — целое число, функция постоянна и равна $y=|n|$. При $x \ge 0$ график совпадает с графиком $y=[x]$. При $x<0$ график функции $y=[x]$ (который находится ниже оси абсцисс) зеркально отражается относительно этой оси.

б) $y = x + [x]$

Данная функция является суммой линейной функции $f(x)=x$ и функции "целая часть" $g(x)=[x]$. Для построения и анализа графика разобьем числовую ось на полуинтервалы вида $[n, n+1)$, где $n$ — целое число.
На каждом таком полуинтервале значение $[x]$ постоянно и равно $n$.
Следовательно, на полуинтервале $[n, n+1)$ формула функции упрощается до $y = x + n$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом, равным 1.
Рассмотрим несколько примеров:
1. При $x \in [0, 1)$, $[x]=0$, и функция принимает вид $y = x+0 = x$. Графиком является отрезок прямой $y=x$, начинающийся в точке $(0,0)$ и заканчивающийся в точке $(1,1)$, причем точка $(0,0)$ принадлежит графику, а $(1,1)$ — нет.
2. При $x \in [1, 2)$, $[x]=1$, и функция принимает вид $y = x+1$. Графиком является отрезок прямой $y=x+1$, начинающийся в точке $(1, 1+1)=(1,2)$ (включительно) и заканчивающийся в точке $(2, 2+1)=(2,3)$ (не включительно).
3. При $x \in [-1, 0)$, $[x]=-1$, и функция принимает вид $y = x-1$. Графиком является отрезок прямой $y=x-1$, начинающийся в точке $(-1, -1-1)=(-1,-2)$ (включительно) и заканчивающийся в точке $(0, 0-1)=(0,-1)$ (не включительно).
Функция имеет разрывы в каждой целой точке $x=n$. В этих точках значение функции равно $y(n) = n + [n] = 2n$. Предел слева $\lim_{x \to n^-} (x+[x]) = n+(n-1) = 2n-1$. Так как значение в точке не равно пределу слева, в каждой целой точке $x=n$ происходит скачок на величину $(2n) - (2n-1) = 1$.
Ответ: График функции $y = x + [x]$ представляет собой совокупность параллельных отрезков прямых с угловым коэффициентом 1. На каждом полуинтервале $[n, n+1)$ (где $n \in \mathbb{Z}$) график является частью прямой $y=x+n$. В целых точках $x=n$ функция имеет разрывы первого рода (скачки).

в) $y = \{x\} + [x]$

В этой задаче используются понятия "дробная часть числа" $\{x\}$ и "целая часть числа" $[x]$.
По определению, дробная часть числа $x$ вычисляется по формуле $\{x\} = x - [x]$. Это фундаментальное свойство, связывающее число с его целой и дробной частями.
Подставим это определение в исходное уравнение функции:
$y = \{x\} + [x] = (x - [x]) + [x]$
Упрощая выражение, мы видим, что члены $[x]$ и $-[x]$ взаимно уничтожаются:
$y = x$
Таким образом, исходная функция является просто тождественной функцией $y=x$.
Ответ: График функции $y = \{x\} + [x]$ — это прямая линия $y=x$, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

г) $y = [\{x\}]$

Данная функция является композицией двух функций: сначала вычисляется дробная часть числа $x$, а затем от полученного результата берется целая часть.
Рассмотрим область значений функции "дробная часть" $z = \{x\}$. По определению, дробная часть любого действительного числа $x$ удовлетворяет неравенству:
$0 \le \{x\} < 1$
Это означает, что результат вычисления $\{x\}$ всегда находится в полуинтервале $[0, 1)$.
Теперь нам нужно применить к этому результату функцию "целая часть": $y = [z]$, где $z = \{x\}$ и $z \in [0, 1)$.
По определению целой части, $[z]$ — это наибольшее целое число, не превосходящее $z$.
Поскольку $0 \le z < 1$, единственным целым числом, удовлетворяющим этому условию, является 0.
Рассмотрим два возможных случая:
1. Если $x$ — целое число ($x \in \mathbb{Z}$), то $\{x\} = 0$. Тогда $y = [0] = 0$.
2. Если $x$ — не целое число ($x \notin \mathbb{Z}$), то $0 < \{x\} < 1$. Тогда $y = [\{x\}] = 0$.
В обоих случаях значение функции равно нулю. Следовательно, для любого действительного $x$, $y=0$.
Ответ: График функции $y = [\{x\}]$ — это прямая линия $y=0$, которая совпадает с осью абсцисс ($Ox$).

9.31. a) $y = \{x\};$

б) $y = \{x - 2,5\};$

В) $y = \{2x\};$

Г) $y = \{|x|\}.$

а) $y = \{x\}$

Функция $y = \{x\}$ — это дробная часть числа $x$. По определению, дробная часть числа равна разности самого числа и его целой части (антье): $y = x - [x]$, где $[x]$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$.

Основные свойства функции:

• Область определения: все действительные числа, $x \in (-\infty, +\infty)$.
• Область значений: полуинтервал $[0, 1)$.
• Периодичность: функция является периодической с основным периодом $T=1$, так как $\{x+1\} = (x+1) - [x+1] = x+1 - ([x]+1) = x - [x] = \{x\}$.

Для построения графика достаточно построить его на любом промежутке длиной 1, например на $[0, 1)$, а затем продолжить периодически.

На промежутке $[0, 1)$ имеем $[x] = 0$, поэтому функция принимает вид $y = x - 0 = x$. Графиком является отрезок прямой $y=x$, начинающийся в точке $(0, 0)$ (включая) и заканчивающийся в точке $(1, 1)$ (исключая).

В силу периодичности, на каждом промежутке вида $[n, n+1)$, где $n$ — целое число, график будет представлять собой отрезок прямой $y = x - n$, параллельный отрезку $y=x$. Эти отрезки начинаются в точках $(n, 0)$ и заканчиваются в выколотых точках $(n+1, 1)$.

Ответ: График функции $y = \{x\}$ представляет собой "пилообразную" волну, состоящую из бесконечного множества параллельных друг другу отрезков с угловым коэффициентом 1. Каждый отрезок определен на полуинтервале $[n, n+1)$ (где $n \in \mathbb{Z}$), соединяя точку $(n, 0)$ с точкой $(n+1, 1)$, при этом левый конец отрезка принадлежит графику, а правый — нет.

б) $y = \{x - 2,5\}$

График функции $y = \{x - 2,5\}$ можно получить из графика функции $y = \{x\}$ с помощью преобразования. Это преобразование вида $f(x-a)$, которое соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика функции $y=f(x)$ вдоль оси абсцисс на $a$ единиц вправо. В данном случае $a = 2,5$.

Следовательно, мы должны сдвинуть график функции $y = \{x\}$ на 2,5 единицы вправо.

Рассмотрим построение графика аналитически. Функция периодична с периодом $T=1$. Разрывы (скачки) функции происходят в точках, где выражение под знаком дробной части становится целым числом. То есть, $x - 2,5 = n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Отсюда $x = n + 2,5$. Это точки $...; -1,5; -0,5; 0,5; 1,5; 2,5; ...$

Возьмем промежуток $[2,5; 3,5)$. Для $x$ из этого промежутка имеем $0 \le x - 2,5 < 1$. Тогда $[x - 2,5] = 0$, и функция принимает вид $y = (x - 2,5) - 0 = x - 2,5$. Графиком является отрезок прямой, соединяющий точку $(2,5; 0)$ (включительно) с точкой $(3,5; 1)$ (исключая).

Вследствие периодичности этот отрезок повторяется на каждом промежутке вида $[n+2,5; n+3,5)$.

Ответ: График функции $y = \{x - 2,5\}$ — это "пилообразная" волна, аналогичная графику $y = \{x\}$, но сдвинутая на 2,5 единицы вправо по оси Ох. Отрезки графика имеют угловой коэффициент 1 и соединяют точки $(n+2,5; 0)$ и $(n+3,5; 1)$ для всех целых $n$, при этом левые концы отрезков принадлежат графику, а правые — нет.

в) $y = \{2x\}$

График функции $y = \{2x\}$ можно получить из графика функции $y = \{x\}$ с помощью преобразования вида $f(kx)$. Это преобразование соответствует сжатию графика функции $y=f(x)$ к оси ординат в $k$ раз. В данном случае $k=2$, поэтому происходит сжатие в 2 раза.

Период функции изменяется. Если период $\{x\}$ равен 1, то период $\{kx\}$ равен $T = 1/|k|$. Для нашей функции $T = 1/2 = 0,5$. Область значений остается прежней: $[0, 1)$.

Построим график на промежутке длиной в один новый период, например на $[0; 0,5)$.

Для $x \in [0; 0,5)$, имеем $0 \le 2x < 1$. Тогда $[2x] = 0$, и функция принимает вид $y = 2x - 0 = 2x$. Графиком является отрезок прямой $y=2x$, соединяющий точку $(0, 0)$ (включительно) с точкой $(0,5; 1)$ (исключая). Угловой коэффициент этого отрезка равен 2.

Так как период функции равен 0,5, этот отрезок будет повторяться на каждом промежутке вида $[0,5n; 0,5(n+1))$, где $n \in \mathbb{Z}$. Например, на $[0,5; 1)$ имеем $1 \le 2x < 2$, поэтому $[2x]=1$ и $y = 2x - 1$.

Ответ: График функции $y = \{2x\}$ — это "пилообразная" волна с периодом 0,5. Она состоит из отрезков с угловым коэффициентом 2. Каждый отрезок соединяет точку $(0,5n; 0)$ с точкой $(0,5(n+1); 1)$ для всех целых $n$, при этом левый конец отрезка принадлежит графику, а правый — нет.

г) $y = \{|x|\}$

Эта функция является четной, так как $y(-x) = \{|-x|\} = \{|x|\} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и затем отразить его симметрично относительно оси OY, чтобы получить часть графика для $x < 0$.

1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Функция принимает вид $y = \{x\}$. Таким образом, для всех неотрицательных значений $x$ график функции $y = \{|x|\}$ совпадает с графиком функции $y = \{x\}$. Это "пилообразная" волна, начинающаяся в точке $(0,0)$ и идущая вправо.

2. При $x < 0$, мы отражаем построенную в п.1 часть графика относительно оси OY. То есть, если точка $(x_0, y_0)$ с $x_0 > 0$ принадлежит графику, то и точка $(-x_0, y_0)$ тоже ему принадлежит.

Можно также рассмотреть случай $x < 0$ аналитически. В этом случае $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = \{-x\}$. На промежутке $(-1, 0]$ имеем $0 \le -x < 1$, так что $[-x] = 0$, и $y = -x - 0 = -x$. Это отрезок прямой $y=-x$ от точки $(-1, 1)$ (исключая) до точки $(0, 0)$ (включая). На промежутке $(-2, -1]$ имеем $1 \le -x < 2$, так что $[-x] = 1$, и $y = -x - 1$. Это отрезок от $(-2, 1)$ (исключая) до $(-1, 0)$ (включая).

Ответ: График функции $y = \{|x|\}$ симметричен относительно оси OY. Для $x \ge 0$ он совпадает с графиком $y = \{x\}$. Для $x < 0$ он является зеркальным отражением части графика для $x > 0$. График представляет собой симметричную "пилообразную" или "палаточную" конструкцию, сходящуюся к точке $(0,0)$. На промежутках $[n, n+1)$ для $n \ge 0$ это отрезки $y=x-n$, а на промежутках $(-(n+1), -n]$ для $n \ge 0$ это отрезки $y=-x-n$.

9.32. a) $y = \vert\{x\}\vert$;

б) $y = x + \{x\}$;

В) $y = x - \{x\}$;

Г) $y = \{[x]\}$.

а) Рассмотрим функцию $y = |\{x\}|$. Здесь $\{x\}$ обозначает дробную часть числа $x$, которая определяется как $\{x\} = x - [x]$, где $[x]$ — целая часть числа $x$ (антье). По определению, дробная часть числа всегда находится в промежутке $0 \le \{x\} < 1$. Так как $\{x\}$ всегда неотрицательна, модуль от $\{x\}$ равен самой величине $\{x\}$: $|\{x\}| = \{x\}$. Следовательно, исходная функция эквивалентна функции $y = \{x\}$. График функции $y = \{x\}$ представляет собой периодическую "пилообразную" волну с периодом 1. На каждом промежутке $[n, n+1)$, где $n$ — целое число, график совпадает с отрезком прямой $y = x - n$, начинающимся в точке $(n, 0)$ и заканчивающимся в точке $(n+1, 1)$ (точка $(n+1, 1)$ не включается).
Ответ: Функция эквивалентна $y = \{x\}$. График — периодическая "пилообразная" волна с периодом 1.

б) Рассмотрим функцию $y = x + \{x\}$. Используем определение дробной части: $\{x\} = x - [x]$. Подставим это в уравнение функции: $y = x + (x - [x]) = 2x - [x]$. Чтобы построить график, проанализируем поведение функции на промежутках вида $[n, n+1)$, где $n$ — целое число ($n \in \mathbb{Z}$). На таком промежутке целая часть $[x]$ постоянна и равна $n$. Тогда функция принимает вид $y = 2x - n$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом 2. Найдем значения на концах промежутка:

• При $x = n$ (левый конец, включается): $y = 2n - n = n$. Точка $(n, n)$.
• При $x \to n+1$ (правый конец, не включается): $y \to 2(n+1) - n = 2n + 2 - n = n + 2$. Точка $(n+1, n+2)$ является "выколотой".

Таким образом, график состоит из множества отрезков. Например:

• На $[0, 1)$, $y = 2x$. Отрезок от $(0, 0)$ до $(1, 2)$.
• На $[1, 2)$, $y = 2x - 1$. Отрезок от $(1, 1)$ до $(2, 3)$.
• На $[-1, 0)$, $y = 2x + 1$. Отрезок от $(-1, -1)$ до $(0, 1)$.

Ответ: График функции состоит из бесконечного набора отрезков. На каждом промежутке $[n, n+1)$ (где $n \in \mathbb{Z}$) график представляет собой отрезок прямой $y = 2x - n$, соединяющий точку $(n, n)$ (включительно) с точкой $(n+1, n+2)$ (исключительно).

в) Рассмотрим функцию $y = x - \{x\}$. Воспользуемся определением дробной части числа: $\{x\} = x - [x]$. Подставим его в исходное уравнение: $y = x - (x - [x]) = x - x + [x] = [x]$. Таким образом, данная функция является функцией "антье" или "целая часть числа". График этой функции — ступенчатая линия. На каждом промежутке вида $[n, n+1)$, где $n$ — целое число, функция постоянна и равна $n$. Например:

• При $x \in [0, 1)$, $y = [x] = 0$.
• При $x \in [1, 2)$, $y = [x] = 1$.
• При $x \in [-1, 0)$, $y = [x] = -1$.

Ответ: Функция тождественно равна функции "целая часть числа": $y = [x]$. Её график — ступенчатая функция.

г) Рассмотрим функцию $y = \{[x]\}$. Эта функция является композицией двух функций: внешней — "дробная часть" $\{ \cdot \}$, и внутренней — "целая часть" $[x]$. Проанализируем результат работы внутренней функции. Для любого действительного числа $x$ его целая часть $[x]$ по определению является целым числом. Обозначим $n = [x]$, где $n \in \mathbb{Z}$. Тогда исходная функция принимает вид $y = \{n\}$. Теперь найдем дробную часть от любого целого числа $n$. По определению, $\{n\} = n - [n]$. Поскольку $n$ — целое число, его целая часть $[n]$ равна самому $n$. Следовательно, $\{n\} = n - n = 0$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ значение функции будет равно нулю. $y = \{[x]\} = 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Ответ: Функция тождественно равна нулю для всех действительных значений $x$. Ее график — прямая линия, совпадающая с осью абсцисс (осью Ox).

Найдите основной период функции:

9.33. a) $y = \{x + 2\}$; $y = \{x - 3.7\}$; $y = 2\{x + 1.1\} - 14$;
$y = 13 - 5\{x - 0.\overline{3}\}$;

б) $y = \{2x\}$; $y = 3\{2x - 2.5\}$; $y = \{2x - 2.5\}$;
$y = 4 - 0.5\{2x - 2.5\}$;

в) $y = \{0.5x\}$; $y = 3\{0.5x\}$; $y = 7\{0.5x\} + 6$; $y = 9 - 1.1\{0.5x\}$;

г) $y = \lfloor \frac{3x}{4} \rfloor$; $y = \lfloor \frac{3x + 2}{4} \rfloor$; $y = \lfloor \frac{3x}{4} + 0.3 \rfloor$; $y = \lfloor \frac{3x + 2}{4} + x \rfloor$.

Основной (наименьший положительный) период функции $y = \{x\}$, где $\{x\}$ – дробная часть числа $x$, равен $T_0 = 1$. Для функции общего вида $y = A \cdot \{kx + b\} + C$, основной период $T$ зависит только от коэффициента $k$ при $x$ и находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{1}{|k|}$. Горизонтальный сдвиг (определяемый $b$), вертикальное растяжение (определяемое $A$) и вертикальный сдвиг (определяемый $C$) не влияют на величину периода.

а)

Для функции $y = \{x + 2\}$: коэффициент при $x$ равен $k=1$. Период $T = \frac{1}{|1|} = 1$.
Ответ: 1

Для функции $y = \{x - 3,7\}$: коэффициент при $x$ равен $k=1$. Период $T = \frac{1}{|1|} = 1$.
Ответ: 1

Для функции $y = 2\{x + 1,1\} - 14$: коэффициент при $x$ равен $k=1$. Период $T = \frac{1}{|1|} = 1$.
Ответ: 1

Для функции $y = 13 - 5\{x - 0,(3)\}$: коэффициент при $x$ равен $k=1$. Период $T = \frac{1}{|1|} = 1$.
Ответ: 1

б)

Для функции $y = \{2x\}$: коэффициент при $x$ равен $k=2$. Период $T = \frac{1}{|2|} = 0,5$.
Ответ: 0,5

Для функции $y = 3\{2x - 2,5\}$: коэффициент при $x$ равен $k=2$. Период $T = \frac{1}{|2|} = 0,5$.
Ответ: 0,5

Для функции $y = \{2x - 2,5\}$: коэффициент при $x$ равен $k=2$. Период $T = \frac{1}{|2|} = 0,5$.
Ответ: 0,5

Для функции $y = 4 - 0,5\{2x - 2,5\}$: коэффициент при $x$ равен $k=2$. Период $T = \frac{1}{|2|} = 0,5$.
Ответ: 0,5

в)

Для функции $y = \{0,5x\}$: коэффициент при $x$ равен $k=0,5$. Период $T = \frac{1}{|0,5|} = 2$.
Ответ: 2

Для функции $y = 3\{0,5x\}$: коэффициент при $x$ равен $k=0,5$. Период $T = \frac{1}{|0,5|} = 2$.
Ответ: 2

Для функции $y = 7\{0,5x\} + 6$: коэффициент при $x$ равен $k=0,5$. Период $T = \frac{1}{|0,5|} = 2$.
Ответ: 2

Для функции $y = 9 - 1,1\{0,5x\}$: коэффициент при $x$ равен $k=0,5$. Период $T = \frac{1}{|0,5|} = 2$.
Ответ: 2

г)

Для функции $y = \{\frac{3x}{4}\}$: коэффициент при $x$ равен $k=\frac{3}{4}$. Период $T = \frac{1}{|3/4|} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$

Для функции $y = \{\frac{3x + 2}{4}\}$: преобразуем выражение под знаком дробной части: $\frac{3x + 2}{4} = \frac{3}{4}x + \frac{1}{2}$. Коэффициент при $x$ равен $k=\frac{3}{4}$. Период $T = \frac{1}{|3/4|} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$

Для функции $y = \{\frac{3x}{4} + 0,3\}$: коэффициент при $x$ равен $k=\frac{3}{4}$. Период $T = \frac{1}{|3/4|} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$

Для функции $y = \{\frac{3x + 2}{4} + x\}$: преобразуем выражение под знаком дробной части: $\frac{3x + 2}{4} + x = \frac{3x}{4} + \frac{2}{4} + x = \frac{7x}{4} + \frac{1}{2}$. Таким образом, функция имеет вид $y = \{\frac{7}{4}x + \frac{1}{2}\}$. Коэффициент при $x$ равен $k=\frac{7}{4}$. Период $T = \frac{1}{|7/4|} = \frac{4}{7}$.
Ответ: $\frac{4}{7}$

9.34. a) $y = \{x - 3.7\} + 3\{2x - 2.5\}$; $y = \{\frac{3x}{4} + 0.3\} + 5\{x - 11\}$;

б) $y = \{2x\} + \{3x - 2.5\}$; $y = 4 - \{12x - 2.5\} + \{18x\}$;

в) $y = \{0.3x\} + 5\{0.25x\}$; $y = 7\{0.15x\} + 1.1\{0.25x\}$;

г) $y = \{\frac{3x}{4}\} - \{\frac{5x+2}{3}\}$; $y = \{6 - \frac{10x}{11}\} + 3 \cdot \{\frac{15x+2}{22}\}$.

Рассмотрим первую функцию: $y = \{x - 3,7\} + 3\{2x - 2,5\}$.
Эта функция является линейной комбинацией функций, содержащих дробную часть от линейного аргумента. Такие функции являются периодическими. Период функции вида $f(x)=\{ax+b\}$ равен $T = 1/|a|$.
Для слагаемого $\{x - 3,7\}$ коэффициент при $x$ равен $a_1=1$, поэтому его период $T_1 = 1/1 = 1$.
Для слагаемого $3\{2x - 2,5\}$ период определяется функцией $\{2x - 2,5\}$. Коэффициент при $x$ равен $a_2=2$, поэтому его период $T_2 = 1/2$.
Наименьший положительный период суммы двух периодических функций равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов.
$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(1, 1/2) = 1$.

Рассмотрим вторую функцию: $y = \{\frac{3x}{4} + 0,3\} + 5\{x - 11\}$.
Используем тот же подход.
Для слагаемого $\{\frac{3x}{4} + 0,3\}$ коэффициент при $x$ равен $a_1=3/4$, поэтому его период $T_1 = 1/(3/4) = 4/3$.
Для слагаемого $5\{x - 11\}$ период определяется функцией $\{x - 11\}$. Коэффициент при $x$ равен $a_2=1$, поэтому его период $T_2 = 1/1 = 1$.
Наименьший положительный период функции $y$ равен НОК периодов ее слагаемых.
$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(4/3, 1) = 4$.

Ответ: для $y = \{x - 3,7\} + 3\{2x - 2,5\}$ наименьший положительный период равен $1$. Для $y = \{\frac{3x}{4} + 0,3\} + 5\{x - 11\}$ наименьший положительный период равен $4$.

Рассмотрим первую функцию: $y = \{2x\} + \{3x - 2,5\}$.
Для слагаемого $\{2x\}$ коэффициент при $x$ равен $a_1=2$, период $T_1 = 1/2$.
Для слагаемого $\{3x - 2,5\}$ коэффициент при $x$ равен $a_2=3$, период $T_2 = 1/3$.
Наименьший положительный период функции $y$ равен $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(1/2, 1/3) = 1$.

Рассмотрим вторую функцию: $y = 4 - \{12x - 2,5\} + \{18x\}$.
Постоянное слагаемое $4$ не влияет на периодичность.
Для слагаемого $-\{12x - 2,5\}$ период определяется функцией $\{12x - 2,5\}$. Коэффициент при $x$ равен $a_1=12$, период $T_1 = 1/12$.
Для слагаемого $\{18x\}$ коэффициент при $x$ равен $a_2=18$, период $T_2 = 1/18$.
Наименьший положительный период функции $y$ равен $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(1/12, 1/18) = \frac{\text{НОК}(1,1)}{\text{НОД}(12,18)} = \frac{1}{6}$.

Ответ: для $y = \{2x\} + \{3x - 2,5\}$ наименьший положительный период равен $1$. Для $y = 4 - \{12x - 2,5\} + \{18x\}$ наименьший положительный период равен $1/6$.

Рассмотрим первую функцию: $y = \{0,3x\} + 5\{0,25x\}$.
Для слагаемого $\{0,3x\}$ коэффициент при $x$ равен $a_1=0,3=3/10$, период $T_1 = 1/(3/10) = 10/3$.
Для слагаемого $5\{0,25x\}$ период определяется функцией $\{0,25x\}$. Коэффициент при $x$ равен $a_2=0,25=1/4$, период $T_2 = 1/(1/4) = 4$.
Наименьший положительный период функции $y$ равен $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(10/3, 4) = \frac{\text{НОК}(10,4)}{\text{НОД}(3,1)} = \frac{20}{1} = 20$.

Рассмотрим вторую функцию: $y = 7\{0,15x\} + 1,1\{0,25x\}$.
Для слагаемого $7\{0,15x\}$ период определяется функцией $\{0,15x\}$. Коэффициент при $x$ равен $a_1=0,15=15/100=3/20$, период $T_1 = 1/(3/20) = 20/3$.
Для слагаемого $1,1\{0,25x\}$ период определяется функцией $\{0,25x\}$. Коэффициент при $x$ равен $a_2=0,25=1/4$, период $T_2 = 1/(1/4) = 4$.
Наименьший положительный период функции $y$ равен $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(20/3, 4) = \frac{\text{НОК}(20,4)}{\text{НОД}(3,1)} = \frac{20}{1} = 20$.

Ответ: для $y = \{0,3x\} + 5\{0,25x\}$ наименьший положительный период равен $20$. Для $y = 7\{0,15x\} + 1,1\{0,25x\}$ наименьший положительный период равен $20$.

Рассмотрим первую функцию: $y = [\frac{3x}{4}] - [\frac{5x+2}{3}]$.
Данная функция содержит целую часть от линейных выражений и не является периодической. Проанализируем ее структуру, представив целую часть через дробную, используя тождество $[z] = z - \{z\}$.
$y = \left(\frac{3x}{4} - \left\{\frac{3x}{4}\right\}\right) - \left(\frac{5x+2}{3} - \left\{\frac{5x+2}{3}\right\}\right)$
$y = \left(\frac{3x}{4} - \frac{5x+2}{3}\right) + \left(\left\{\frac{5x+2}{3}\right\} - \left\{\frac{3x}{4}\right\}\right)$
$y = \frac{9x - 4(5x+2)}{12} + \left(\left\{\frac{5x+2}{3}\right\} - \left\{\frac{3x}{4}\right\}\right)$
$y = \frac{-11x - 8}{12} + \left(\left\{\frac{5x+2}{3}\right\} - \left\{\frac{3x}{4}\right\}\right) = -\frac{11}{12}x - \frac{2}{3} + P(x)$
Здесь $P(x) = \{\frac{5x+2}{3}\} - \{\frac{3x}{4}\}$ является периодической функцией. Ее период $T$ равен НОК периодов слагаемых: $T_1 = 1/(5/3) = 3/5$ и $T_2 = 1/(3/4) = 4/3$.
$T = \text{НОК}(3/5, 4/3) = \frac{\text{НОК}(3,4)}{\text{НОД}(5,3)} = 12$.
Таким образом, функция $y(x)$ является суммой линейной функции $L(x) = -\frac{11}{12}x - \frac{2}{3}$ и периодической функции $P(x)$ с периодом $12$.

Рассмотрим вторую функцию: $y = [6 - \frac{10x}{11}] + 3[\frac{15x+2}{22}]$.
Используя свойство $[n+z]=n+[z]$ для целого $n$, получаем $y = 6 + [-\frac{10x}{11}] + 3[\frac{15x+2}{22}]$.
Применим тождество $[z]=z-\{z\}$:
$y = 6 + \left(-\frac{10x}{11} - \left\{-\frac{10x}{11}\right\}\right) + 3\left(\frac{15x+2}{22} - \left\{\frac{15x+2}{22}\right\}\right)$
$y = \left(6 - \frac{10x}{11} + \frac{3(15x+2)}{22}\right) - \left(\left\{-\frac{10x}{11}\right\} + 3\left\{\frac{15x+2}{22}\right\}\right)$
$y = \left(6 - \frac{20x}{22} + \frac{45x+6}{22}\right) - \left(\left\{-\frac{10x}{11}\right\} + 3\left\{\frac{15x+2}{22}\right\}\right)$
$y = \left(\frac{132+6}{22} + \frac{25x}{22}\right) - \left(\left\{-\frac{10x}{11}\right\} + 3\left\{\frac{15x+2}{22}\right\}\right) = \frac{25}{22}x + \frac{69}{11} + P(x)$
Здесь $P(x) = -\{-\frac{10x}{11}\} - 3\{\frac{15x+2}{22}\}$ — периодическая функция. Ее период $T$ равен НОК периодов слагаемых: $T_1 = 1/|-10/11| = 11/10$ и $T_2 = 1/(15/22) = 22/15$.
$T = \text{НОК}(11/10, 22/15) = \frac{\text{НОК}(11,22)}{\text{НОД}(10,15)} = \frac{22}{5} = 4,4$.
Таким образом, функция $y(x)$ является суммой линейной функции $L(x) = \frac{25}{22}x + \frac{69}{11}$ и периодической функции $P(x)$ с периодом $4,4$.

Ответ: для $y = [\frac{3x}{4}] - [\frac{5x+2}{3}]$ функция является суммой линейной функции $L(x) = -\frac{11}{12}x - \frac{2}{3}$ и периодической функции с периодом $12$. Для $y = [6 - \frac{10x}{11}] + 3[\frac{15x+2}{22}]$ функция является суммой линейной функции $L(x) = \frac{25}{22}x + \frac{69}{11}$ и периодической функции с периодом $4,4$.

9.35. Постройте график функции:

а) $y = (\{x\})^2$;

б) $y = \frac{1}{\{x\}}$;

в) $y = \sqrt{\{x\}}$;

г) $y = \frac{\{x\} - 1}{1 - 2\{x\}}$.

Для построения графиков данных функций воспользуемся определением и свойствами функции "дробная часть числа" $y = \{x\}$.

Дробная часть числа $x$ определяется как $\{x\} = x - [x]$, где $[x]$ — целая часть числа $x$ (наибольшее целое число, не превосходящее $x$).

Ключевое свойство функции $\{x\}$ — её периодичность с периодом 1. Это означает, что $f(\{x\})$ также будет периодической функцией с периодом 1. Поэтому достаточно построить график на любом промежутке длиной 1, например на $[0, 1)$, и затем повторить этот фрагмент вдоль всей оси $Ox$. На промежутке $[0, 1)$ справедливо равенство $\{x\} = x$.

а) $y = (\{x\})^2$

Данная функция периодична с периодом 1. Рассмотрим её на промежутке $[0, 1)$. На этом промежутке $\{x\} = x$, поэтому функция принимает вид $y = x^2$. Это график параболы, ветви которой направлены вверх.

На промежутке $[0, 1)$ строим часть параболы $y = x^2$:

• При $x=0$, $y = 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику.

• При $x \to 1^-$, $y \to (1)^2 = 1$. Так как $x < 1$, то точка $(1, 1)$ не принадлежит графику (она "выколотая").

Итак, на $[0, 1)$ график — это дуга параболы от точки $(0, 0)$ (включительно) до точки $(1, 1)$ (не включительно).

Поскольку функция периодична, мы повторяем этот фрагмент на каждом промежутке $[n, n+1)$ для любого целого $n$. Это эквивалентно построению графика функции $y = (x-n)^2$ на каждом таком промежутке. В целых точках $x=n$, значение функции всегда $y = (\{n\})^2 = 0^2 = 0$.

Ответ: График функции представляет собой бесконечную последовательность одинаковых дуг параболы. На каждом промежутке $[n, n+1)$ (где $n \in \mathbb{Z}$) это дуга параболы $y=(x-n)^2$, начинающаяся в точке $(n, 0)$ (включительно) и заканчивающаяся в "выколотой" точке $(n+1, 1)$.

б) $y = \frac{1}{\{x\}}$

Область определения функции задаётся условием $\{x\} \neq 0$, что означает $x$ не может быть целым числом ($x \notin \mathbb{Z}$). Функция периодична с периодом 1. Рассмотрим её на промежутке $(0, 1)$.

На этом промежутке $\{x\} = x$, поэтому функция принимает вид $y = \frac{1}{x}$. Это график гиперболы.

На промежутке $(0, 1)$ строим ветвь гиперболы $y = \frac{1}{x}$:

• При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$. Прямая $x=0$ (ось $Oy$) является вертикальной асимптотой.

• При $x \to 1^-$, $y \to \frac{1}{1} = 1$. Точка $(1, 1)$ не принадлежит графику (она "выколотая").

Повторяя этот фрагмент с периодом 1, получаем, что на каждом промежутке $(n, n+1)$ для целого $n$ график будет иметь такой же вид. Прямые $x=n$ для всех $n \in \mathbb{Z}$ будут вертикальными асимптотами.

Ответ: График функции состоит из бесконечного числа одинаковых ветвей. На каждом промежутке $(n, n+1)$ (где $n \in \mathbb{Z}$) это часть гиперболы $y = \frac{1}{x-n}$. Каждая ветвь начинается от вертикальной асимптоты $x=n$ (где $y \to +\infty$) и заканчивается в "выколотой" точке $(n+1, 1)$.

в) $y = \sqrt{\{x\}}$

Область определения: $\{x\} \ge 0$, что верно для всех $x \in \mathbb{R}$. Функция периодична с периодом 1. Рассмотрим её на промежутке $[0, 1)$.

На этом промежутке $\{x\} = x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{x}$. Это график верхней ветви параболы $x=y^2$.

На промежутке $[0, 1)$ строим часть кривой $y = \sqrt{x}$:

• При $x=0$, $y = \sqrt{0} = 0$. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику.

• При $x \to 1^-$, $y \to \sqrt{1} = 1$. Точка $(1, 1)$ не принадлежит графику ("выколотая").

Повторяем этот фрагмент периодически. На каждом промежутке $[n, n+1)$ график будет совпадать с графиком функции $y = \sqrt{x-n}$. В целых точках $x=n$, имеем $y = \sqrt{\{n\}} = 0$.

Ответ: График функции состоит из бесконечной последовательности одинаковых дуг. На каждом промежутке $[n, n+1)$ (где $n \in \mathbb{Z}$) это дуга кривой $y = \sqrt{x-n}$, начинающаяся в точке $(n, 0)$ (включительно) и заканчивающаяся в "выколотой" точке $(n+1, 1)$.

г) $y = \frac{\{x\} - 1}{1 - 2\{x\}}$

Область определения: знаменатель не равен нулю, $1 - 2\{x\} \neq 0$, то есть $\{x\} \neq 1/2$. Это значит, что $x \neq n + 1/2$ для любого $n \in \mathbb{Z}$.

Функция периодична с периодом 1. Рассмотрим её на промежутке $[0, 1)$, исключив точку $x=1/2$. На этом промежутке $\{x\} = x$, и функция имеет вид $y = \frac{x-1}{1-2x}$. Это дробно-линейная функция, её график — гипербола.

Исследуем поведение функции на $[0, 1)$:

• Вертикальная асимптота находится в точке, где знаменатель равен нулю: $1-2x = 0 \Rightarrow x=1/2$.

• При $x=0$, $y = \frac{0-1}{1-0} = -1$. Точка $(0, -1)$ принадлежит графику.

• При $x \to (1/2)^-$, числитель стремится к $-1/2$, а знаменатель $1-2x \to 0^+$. Следовательно, $y \to -\infty$.

• При $x \to (1/2)^+$, числитель стремится к $-1/2$, а знаменатель $1-2x \to 0^-$. Следовательно, $y \to +\infty$.

• При $x \to 1^-$, $y \to \frac{1-1}{1-2} = \frac{0}{-1} = 0$. Точка $(1, 0)$ не принадлежит графику ("выколотая").

Повторяем этот узор на каждом промежутке $[n, n+1)$. Вертикальные асимптоты будут в точках $x=n+1/2$. В целых точках $x=n$, имеем $\{x\}=0$, поэтому $y=\frac{0-1}{1-0}=-1$.

Ответ: График функции имеет вертикальные асимптоты $x=n+1/2$ для всех $n \in \mathbb{Z}$. На каждом промежутке $[n, n+1)$ он состоит из двух ветвей гиперболы. Первая ветвь на $[n, n+1/2)$ начинается в точке $(n, -1)$ (включительно) и уходит на $-\infty$ при $x \to (n+1/2)^-$. Вторая ветвь на $(n+1/2, n+1)$ уходит от $+\infty$ при $x \to (n+1/2)^+$ и заканчивается в "выколотой" точке $(n+1, 0)$.

9.36. Известно, что $y = f(x)$ — чётная, периодическая функция с основным периодом, равным 8, и что на отрезке $[0; 4]$ она задаётся формулой $y = \sqrt{x} + 1$.

а) Решите уравнение $f(x) = 0$;

б) Решите уравнение $f(x) = 1$;

в) Решите неравенство $f(x) \geq 0,97$;

г) Решите систему неравенств $\begin{cases} f(x) \geq 2, \\ -4 \leq x \leq 8. \end{cases}$

а) Решите уравнение $f(x) = 0$;
Сначала проанализируем свойства функции. На отрезке $[0; 4]$ функция задана как $f(x) = \sqrt{x} + 1$. Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, наименьшее значение функции на этом отрезке достигается при $x=0$ и равно $f(0) = \sqrt{0} + 1 = 1$. Наибольшее значение достигается при $x=4$ и равно $f(4) = \sqrt{4} + 1 = 3$. Таким образом, на отрезке $[0; 4]$ множество значений функции есть $[1; 3]$.
Так как функция $f(x)$ чётная, то есть $f(-x) = f(x)$, её график симметричен относительно оси ординат. На отрезке $[-4; 0]$ она принимает те же значения, что и на $[0; 4]$. Значит, на отрезке $[-4; 4]$ (один полный период) множество значений функции также есть $[1; 3]$.
Функция является периодической с периодом 8, поэтому её множество значений на всей числовой прямой совпадает с множеством значений на отрезке $[-4; 4]$. Следовательно, для любого $x$ из области определения выполняется неравенство $f(x) \ge 1$.
Уравнение $f(x) = 0$ не может иметь решений, так как $f(x)$ никогда не принимает значение 0.
Ответ: нет решений.

б) решите уравнение $f(x) = 1$;
Как было установлено в пункте а), наименьшее значение функции $f(x)$ равно 1. Найдём, при каких значениях $x$ оно достигается.
Сначала рассмотрим основной промежуток $[-4; 4]$.
1. На отрезке $[0; 4]$ решаем уравнение $f(x) = 1$:
$\sqrt{x} + 1 = 1$
$\sqrt{x} = 0$
$x = 0$.
2. На отрезке $[-4; 0)$ функция определяется из условия чётности: $f(x) = f(-x) = \sqrt{-x} + 1$. Уравнение $f(x)=1$ приводит к $\sqrt{-x}=0$, что даёт $x=0$. Этот корень не входит в промежуток $[-4; 0)$, но мы его уже учли в пункте 1.
Таким образом, на промежутке длины одного периода, например $[-4; 4]$, единственное решение — $x=0$.
Так как функция периодическая с периодом $T=8$, все решения уравнения можно найти по формуле $x = x_0 + nT$, где $x_0$ — решение на одном из периодов, а $n$ — любое целое число.
В нашем случае $x_0 = 0$ и $T=8$.
Следовательно, все решения имеют вид $x = 0 + 8n = 8n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = 8n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в) решите неравенство $f(x) \ge 0,97$;
Из анализа, проведённого в пункте а), мы знаем, что множество значений функции $f(x)$ есть отрезок $[1; 3]$.
Это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge 1$.
Поскольку $1 > 0,97$, то неравенство $f(x) \ge 0,97$ выполняется для всех $x$, для которых функция $f(x)$ определена.
На отрезке $[0; 4]$ функция $f(x) = \sqrt{x} + 1$ определена. В силу чётности, она определена и на $[-4; 0]$. В силу периодичности, функция определена для всех действительных чисел.
Следовательно, решением неравенства является вся числовая прямая.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) решите систему неравенств $\begin{cases} f(x) \ge 2, \\ -4 \le x \le 8. \end{cases}$
Нам нужно найти решения неравенства $f(x) \ge 2$ на отрезке $[-4; 8]$. Разобьём этот отрезок на две части: $[-4; 4]$ и $(4; 8]$.
1. Решим неравенство на отрезке $[-4; 4]$.
- При $x \in [0; 4]$:
$f(x) = \sqrt{x} + 1 \ge 2$
$\sqrt{x} \ge 1$
Возводя в квадрат обе части (они неотрицательны), получаем $x \ge 1$.
С учётом $x \in [0; 4]$, решение на этом промежутке: $x \in [1; 4]$.
- При $x \in [-4; 0)$:
$f(x) = \sqrt{-x} + 1 \ge 2$
$\sqrt{-x} \ge 1$
$-x \ge 1$, то есть $x \le -1$.
С учётом $x \in [-4; 0)$, решение на этом промежутке: $x \in [-4; -1]$.
Объединяя решения на отрезке $[-4; 4]$, получаем $x \in [-4; -1] \cup [1; 4]$.
2. Решим неравенство на промежутке $(4; 8]$.
Используем периодичность функции: $f(x) = f(x-8)$. Пусть $t = x-8$.
Если $x \in (4; 8]$, то $t \in (4-8; 8-8]$, то есть $t \in (-4; 0]$.
Нам нужно решить неравенство $f(t) \ge 2$ для $t \in (-4; 0]$.
Из пункта 1 мы знаем, что для $t \in [-4; 0)$ решение есть $t \in [-4; -1]$. Учитывая, что $t \in (-4; 0]$, получаем $t \in (-4; -1]$.
Теперь вернёмся к $x$:
$-4 < t \le -1$
$-4 < x-8 \le -1$
Прибавляя 8 ко всем частям, получаем $4 < x \le 7$.
3. Объединим решения, полученные для отрезка $[-4; 4]$ и промежутка $(4; 8]$:
$([-4; -1] \cup [1; 4]) \cup (4; 7] = [-4; -1] \cup [1; 7]$.
Это и есть решение исходной системы, так как мы искали решения на отрезке $[-4; 8]$.
Ответ: $x \in [-4; -1] \cup [1; 7]$.