Страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Сформулируйте определение числовой функции одной переменной.

Числовой функцией одной переменной называется правило (или закон соответствия) $f$, согласно которому каждому числу $x$ из некоторого числового множества $X$ ставится в соответствие единственное число $y$. Такая зависимость записывается в виде $y = f(x)$.

В этой записи $x$ называют независимой переменной или аргументом функции, а $y$ — зависимой переменной или значением функции в точке $x$.

Множество $X$ всех допустимых значений аргумента $x$, для которых выражение $f(x)$ имеет смысл, называется областью определения функции и обозначается как $D(f)$ или $D(y)$.

Множество всех значений, которые принимает переменная $y$, когда $x$ пробегает всю область определения, называется областью значений функции (или множеством значений) и обозначается как $E(f)$ или $E(y)$.

Таким образом, функция представляет собой отображение $f: X \to Y$, где $X=D(f)$ — область определения, а $Y$ — множество, содержащее область значений $E(f)$. Для числовой функции одной переменной предполагается, что $X$ и $Y$ являются подмножествами множества действительных чисел $\mathbb{R}$, то есть $D(f) \subseteq \mathbb{R}$ и $E(f) \subseteq \mathbb{R}$.

Ответ: Числовая функция одной переменной — это правило, по которому каждому числу $x$ из множества $D(f) \subseteq \mathbb{R}$ (область определения) ставится в соответствие единственное число $y$ из множества $E(f) \subseteq \mathbb{R}$ (область значений).

2. Что такое график функции одной переменной?

2. Графиком функции одной переменной $y = f(x)$ называется множество всех точек $(x, y)$ на координатной плоскости, абсциссы которых ($x$) принадлежат области определения функции, а ординаты ($y$) являются соответствующими значениями этой функции.

Иными словами, график функции — это геометрическое представление зависимости между независимой переменной $x$ (аргументом) и зависимой переменной $y$ (значением функции).

Чтобы построить график, мы последовательно выполняем следующие шаги:

1. Выбираем значение аргумента $x$ из области определения функции $D(f)$.
2. Вычисляем соответствующее ему значение функции $y = f(x)$.
3. Полученная пара чисел $(x, y)$ является координатами точки на декартовой координатной плоскости.
4. Повторяя эти действия для множества значений $x$, мы получаем совокупность точек. Соединив эти точки (если функция непрерывна), мы получаем линию, которая и является графиком функции.

Формально, график функции $f$ можно определить как множество $G$:

$G = \{ (x, f(x)) \mid x \in D(f) \}$

Пример:

Рассмотрим линейную функцию $y = 2x - 1$. Область ее определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Найдем координаты нескольких точек:

• Если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.
• Если $x = 1$, то $y = 2 \cdot 1 - 1 = 1$. Точка $(1, 1)$.
• Если $x = 2$, то $y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$. Точка $(2, 3)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их, мы получим прямую линию, которая является графиком функции $y = 2x - 1$. Эта линия наглядно показывает, как изменяется $y$ при изменении $x$.

Ответ: График функции одной переменной $y = f(x)$ — это множество всех точек на координатной плоскости, имеющих координаты $(x, y)$, где $x$ — любое значение из области определения функции, а $y$ — соответствующее ему значение функции. Это визуальное представление функциональной зависимости в виде линии или кривой.

3. Приведите пример аналитического задания функции (с помощью одной формулы).

Аналитический способ задания функции заключается в том, что зависимость между аргументом (независимой переменной, обычно обозначаемой как $x$) и значением функции (зависимой переменной, обычно $y$ или $f(x)$) выражается с помощью математической формулы. Если функция задана одной формулой, это означает, что для всех значений $x$ из области определения функции применяется единое правило для вычисления соответствующего значения $y$.

Примером такого задания может служить любая элементарная функция. Возьмем, для наглядности, квадратичную функцию, которая задается следующей формулой:
$y = x^2 - 4x + 3$

Эта формула является аналитическим заданием функции, так как она однозначно определяет значение $y$ для каждого заданного значения $x$. С помощью этой формулы мы можем вычислить значение функции в любой точке ее области определения. Например:
- если мы возьмем $x = 5$, то, подставив это значение в формулу, получим: $y = 5^2 - 4 \cdot 5 + 3 = 25 - 20 + 3 = 8$.
- если $x = 2$, то $y = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$), так как выражение в правой части формулы имеет смысл при любом $x$.

Другие простые примеры аналитического задания функции одной формулой:
- Линейная функция: $y = 7x - 2$
- Степенная функция: $y = x^3$
- Тригонометрическая функция: $y = \sin(x)$
- Функция обратной пропорциональности: $y = \frac{1}{x}$

Любая из приведенных выше формул является корректным примером аналитического задания функции.
Ответ: $y = x^2 - 4x + 3$

4. Приведите пример аналитического задания кусочной функции.

Кусочная функция (или кусочно-заданная функция) — это функция, которая определяется разными формулами на разных участках (интервалах) своей области определения. Аналитическое задание такой функции представляет собой запись этих формул с указанием соответствующих им интервалов для аргумента.

Это делается с помощью фигурной скобки, которая объединяет несколько строк. В каждой строке записывается формула (ветвь функции) и условие, при котором эта формула применяется.

Пример 1: Функция модуля (абсолютной величины)

Один из самых известных примеров кусочной функции — это модуль числа $x$. Функция $y = |x|$ определяется по-разному для неотрицательных и отрицательных значений $x$.

Ее аналитическое задание выглядит так:

$y = |x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Здесь область определения $(-\infty; +\infty)$ разделена на два интервала: $[0; +\infty)$ и $(-\infty; 0)$. На первом интервале функция совпадает с прямой $y=x$, а на втором — с прямой $y=-x$.

Пример 2: Функция, состоящая из трех частей

Можно задать функцию, состоящую из большего количества "кусочков". Рассмотрим функцию, которая на разных участках числовой оси задается параболой, константой и прямой линией.

Пусть функция $f(x)$ определена следующим образом:

• На интервале $(-\infty; 0)$ она задается формулой $x^2 + 1$ (часть параболы).
• В точке $x=0$ ее значение равно $0$.
• На интервале $(0; +\infty)$ она задается формулой $-2x+1$ (прямая линия).

Аналитическое задание этой функции будет иметь вид:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & \text{если } x < 0 \\ 0, & \text{если } x = 0 \\ -2x + 1, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Чтобы найти значение функции для конкретного аргумента, нужно сначала определить, какому интервалу он принадлежит, а затем использовать соответствующую формулу. Например, $f(-3) = (-3)^2 + 1 = 10$, а $f(2) = -2(2) + 1 = -3$.

Ответ: $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 1 \\ 5, & \text{если } x = 1 \\ x+1, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

5. Приведите пример графического задания функции.

Графический способ задания функции — это представление функции с помощью ее графика на координатной плоскости. Графиком функции $y = f(x)$ называется множество всех точек $(x, y)$ координатной плоскости, где $x$ — любое число из области определения функции, а $y$ — соответствующее ему значение функции.

По оси абсцисс (горизонтальная ось, ось $Ox$) откладываются значения независимой переменной (аргумента $x$), а по оси ординат (вертикальная ось, ось $Oy$) — значения зависимой переменной (функции $y$).

Для того чтобы кривая на плоскости была графиком функции, необходимо и достаточно, чтобы любая вертикальная прямая, параллельная оси $Oy$, пересекала эту кривую не более чем в одной точке. Это свойство гарантирует, что каждому значению аргумента $x$ из области определения соответствует единственное значение функции $y$.

Пример:

Рассмотрим функцию, заданную графически в виде параболы. Классическим примером является график функции $y = x^2$.

Этот график представляет собой кривую, которая называется параболой, с вершиной в начале координат $(0, 0)$, симметричную относительно оси $Oy$ и с ветвями, направленными вверх. Каждая точка на этой параболе имеет координаты вида $(x, x^2)$.

Используя этот график, можно для любого значения аргумента $x$ из области определения (в данном случае, для любого действительного числа) найти соответствующее значение функции $y$. Например:
– Чтобы найти значение функции при $x = 2$, нужно найти на оси $Ox$ точку с координатой 2, мысленно провести из нее вертикальную линию до пересечения с параболой, а затем из точки пересечения провести горизонтальную линию до пересечения с осью $Oy$. Эта линия пересечет ось $Oy$ в точке с координатой 4. Таким образом, $f(2) = 4$.
– Аналогично, для $x = -1$, найдя соответствующую точку на графике, мы определим, что $y = (-1)^2 = 1$. Таким образом, $f(-1) = 1$.
– При $x = 0$, точка $(0,0)$ лежит на графике, следовательно $f(0) = 0$.

Таким образом, парабола, изображенная на координатной плоскости, однозначно задает функцию $y = x^2$ для всех $x$, которым принадлежат точки на этой кривой. Это и есть пример графического задания функции.

(Для наглядности можно представить или начертить стандартную параболу $y=x^2$ в системе координат $xOy$, отметив на ней точки, например, $(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)$.)

Ответ: Примером графического задания функции является любая кривая на координатной плоскости, которая удовлетворяет правилу вертикальной линии (любая вертикальная прямая пересекает кривую не более чем в одной точке). Например, парабола, изображенная на координатной плоскости $xOy$, является графиком квадратичной функции $y=x^2$. С помощью этого графика можно определить значение $y$ для любого заданного $x$.

6. Приведите пример графика на координатной плоскости, который нельзя считать графическим заданием некоторой функции. Объясните почему.

Согласно определению, функция — это такое правило или зависимость, при котором каждому значению независимой переменной (аргумента $x$) из некоторого множества соответствует одно и только одно значение зависимой переменной (функции $y$).

Для того чтобы некоторая кривая на координатной плоскости являлась графиком функции, она должна удовлетворять так называемому "тесту с вертикальной прямой": любая вертикальная прямая вида $x = a$ должна пересекать график не более чем в одной точке. Если найдется хотя бы одна вертикальная прямая, которая пересекает график в двух или более точках, то этот график не является графиком функции, так как одному значению $x$ будет соответствовать несколько значений $y$.

В качестве примера графика, который не является графиком функции, можно привести окружность. Например, рассмотрим окружность с центром в начале координат и радиусом $R=5$. Уравнение такой окружности: $x^2 + y^2 = 25$.

Объяснение, почему это не функция:

Возьмем какое-либо значение $x$ из области определения этой кривой, например, $x=3$. Подставим это значение в уравнение окружности, чтобы найти соответствующее значение $y$:
$3^2 + y^2 = 25$
$9 + y^2 = 25$
$y^2 = 25 - 9$
$y^2 = 16$

Последнее уравнение имеет два корня: $y_1 = 4$ и $y_2 = -4$.

Таким образом, одному значению аргумента $x=3$ соответствуют два различных значения $y$: $4$ и $-4$. Это прямо противоречит определению функции. Геометрически это означает, что вертикальная прямая $x=3$ пересекает график окружности в двух точках: $(3, 4)$ и $(3, -4)$.

Ответ: Примером графика на координатной плоскости, который нельзя считать графическим заданием некоторой функции, является окружность, например, заданная уравнением $x^2 + y^2 = 25$. Этот график не является функцией, потому что одному значению аргумента $x$ (например, $x=3$) соответствует более одного значения $y$ (в данном случае $y=4$ и $y=-4$), что нарушает основное определение функции, требующее единственности соответствия.

7. Приведите пример словесно заданной функции (отличный от рассмотренных в пп. 3–4).

7. Словесный способ задания функции заключается в том, что правило, по которому каждому значению аргумента $x$ ставится в соответствие единственное значение функции $y$, описывается словами, а не формулой.

В качестве примера такой функции, помимо самых простых (вроде «числу ставится в соответствие его квадрат»), можно привести функцию «целая часть числа», также известную как «антье» или «пол» (floor function).

Словесное определение функции: Каждому действительному числу $x$ ставится в соответствие наибольшее целое число, которое не превосходит (то есть меньше или равно) $x$.

Эта функция обычно обозначается с помощью квадратных скобок: $y = [x]$ или специального символа $y = \lfloor x \rfloor$.

Примеры вычисления значения функции:
- Если взять $x = 4.7$, то целые числа, которые не превосходят $4.7$, это $4, 3, 2, \dots$. Самое большое из них — это $4$. Значит, $\lfloor 4.7 \rfloor = 4$.
- Если взять $x = 9$, то наибольшее целое число, не превосходящее $9$, это само число $9$. Значит, $\lfloor 9 \rfloor = 9$.
- Если взять $x = -2.3$, то целые числа, которые не превосходят $-2.3$, это $-3, -4, -5, \dots$. Самое большое из них — это $-3$. Значит, $\lfloor -2.3 \rfloor = -3$.

Данное правило является функцией, так как для любого действительного числа $x$ существует одно и только одно наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел ($D(f) = \mathbb{R}$), а областью значений — множество всех целых чисел ($E(f) = \mathbb{Z}$).

Ответ: Пример словесно заданной функции — это функция «целая часть числа». Она определяется правилом: каждому действительному числу $x$ ставится в соответствие наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Обозначение: $y = \lfloor x \rfloor$. Например, $\lfloor 3.8 \rfloor = 3$, $\lfloor -1.5 \rfloor = -2$.

9.23. Пусть $y = f(x)$ — периодическая функция с периодом 4 и $f(x) = x^2 + 8x + 5$ на отрезке $[-6; -2]$. Решите:

а) уравнение $f(x) = -11$;

б) неравенство $f(x) \le -11$;

в) уравнение $f(x) = -10$;

г) неравенство $f(x) > -10$.

Дана периодическая функция $y = f(x)$ с периодом $T=4$. На отрезке $[-6, -2]$ функция задана формулой $f(x) = x^2 + 8x + 5$. Длина этого отрезка равна $-2 - (-6) = 4$, что совпадает с периодом. Следовательно, поведение функции на этом отрезке полностью определяет ее поведение на всей числовой прямой.

Исследуем функцию $g(x) = x^2 + 8x + 5$ на отрезке $[-6, -2]$. Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4$.

$y_в = g(-4) = (-4)^2 + 8(-4) + 5 = 16 - 32 + 5 = -11$.

Поскольку $x_в = -4$ принадлежит отрезку $[-6, -2]$, наименьшее значение функции $f(x)$ равно $-11$.

Найдем значения функции на концах отрезка:

$f(-6) = (-6)^2 + 8(-6) + 5 = 36 - 48 + 5 = -7$.

$f(-2) = (-2)^2 + 8(-2) + 5 = 4 - 16 + 5 = -7$.

Таким образом, область значений функции $f(x)$ — это отрезок $[-11, -7]$.

а) уравнение $f(x) = -11$

Требуется решить уравнение $f(x) = -11$. Как мы выяснили, наименьшее значение функции равно $-11$ и достигается оно в точке вершины параболы. Найдем корень уравнения на основном отрезке $[-6, -2]$:

$x^2 + 8x + 5 = -11$

$x^2 + 8x + 16 = 0$

$(x+4)^2 = 0$

$x = -4$

Этот корень принадлежит отрезку $[-6, -2]$. В силу периодичности функции с периодом $T=4$, все решения уравнения можно найти, прибавляя к найденному корню числа, кратные периоду.

Ответ: $x = -4 + 4k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) неравенство $f(x) \le -11$

Требуется решить неравенство $f(x) \le -11$. Из анализа функции следует, что ее наименьшее значение равно $-11$. Это означает, что для любого $x$ выполняется неравенство $f(x) \ge -11$. Следовательно, исходное неравенство $f(x) \le -11$ может выполняться только в том случае, когда $f(x) = -11$. Решения этого уравнения были найдены в пункте а).

Ответ: $x = -4 + 4k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) уравнение $f(x) = -10$

Требуется решить уравнение $f(x) = -10$. Сначала найдем решения на отрезке $[-6, -2]$:

$x^2 + 8x + 5 = -10$

$x^2 + 8x + 15 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-8$, а произведение равно $15$. Корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = -5$. Оба корня принадлежат отрезку $[-6, -2]$. Используя периодичность функции с периодом $T=4$, получаем две серии решений.

Ответ: $x = -5 + 4k, x = -3 + 4k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) неравенство $f(x) > -10$

Требуется решить неравенство $f(x) > -10$. Рассмотрим его на отрезке $[-6, -2]$:

$x^2 + 8x + 5 > -10$

$x^2 + 8x + 15 > 0$

Графиком функции $y = x^2 + 8x + 15$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Корни соответствующего уравнения $x^2 + 8x + 15 = 0$ равны $-5$ и $-3$. Неравенство $y > 0$ выполняется при $x < -5$ или $x > -3$.

Найдем пересечение этого множества с отрезком $[-6, -2]$:

1) $x < -5$ и $x \in [-6, -2]$ $\implies$ $x \in [-6, -5)$.

2) $x > -3$ и $x \in [-6, -2]$ $\implies$ $x \in (-3, -2]$.

Таким образом, на отрезке $[-6, -2]$ решение неравенства есть объединение интервалов $[-6, -5) \cup (-3, -2]$.

Учитывая периодичность функции с периодом $T=4$, обобщаем решение на всю числовую прямую, добавляя $4k$ к границам найденных интервалов.

Ответ: $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} ([-6+4k, -5+4k) \cup (-3+4k, -2+4k])$.

9.24. a) Существует ли такая функция $y = f(x)$, что для любого $x$ из области её определения выполняется равенство $f(x) = f(x + 2)$, а функция не является периодической? Если существует, приведите пример такой функции.

б) Существует ли такая функция $y = f(x)$, что для любого $x$ из области её определения выполняется равенство $f(x) = f(x - 3)$, а функция не является периодической? Если существует, приведите пример такой функции.

Да, такая функция существует. Ключевым моментом для решения является точное определение периодической функции.

Функция $y = f(x)$ называется периодической, если существует такое число $T \neq 0$ (период), что для любого $x$ из области определения функции $D(f)$ выполняются оба следующих условия:

1. Числа $x+T$ и $x-T$ также принадлежат области определения $D(f)$.
2. Выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

В условии задачи дано равенство $f(x) = f(x+2)$. Это соответствует второму условию определения для периода $T=2$. Также из этого равенства следует, что если $x \in D(f)$, то и $x+2 \in D(f)$. Однако для того, чтобы функция была периодической, требуется, чтобы для любого $x \in D(f)$ точка $x-2$ также принадлежала области определения. Мы можем построить пример функции, где это условие нарушается.

Для этого достаточно выбрать область определения, которая не является "симметричной" относительно сдвигов на 2 в обе стороны. Например, можно взять область определения, ограниченную слева.

Пример:

Рассмотрим простейшую такую функцию — константу, заданную на луче: $f(x) = 5$ с областью определения $D(f) = [0, +\infty)$.

• Проверка равенства: для любого $x \in [0, +\infty)$ точка $x+2$ также принадлежит $D(f)$. При этом $f(x) = 5$ и $f(x+2) = 5$, так что равенство $f(x) = f(x+2)$ выполняется для всех $x$ из области определения.
• Проверка периодичности: функция не является периодической. Для того чтобы $T=2$ был периодом, для любого $x \in D(f)$ должно выполняться, что $x-2 \in D(f)$. Но если взять, к примеру, $x=1 \in D(f)$, то $x-2 = -1$, а эта точка не принадлежит $D(f) = [0, +\infty)$. Таким образом, первое условие из определения периодической функции не выполнено.

Следовательно, данная функция удовлетворяет условию задачи, но не является периодической.

Ответ: Да, существует. Например, любая функция-константа $f(x) = c$ с областью определения вида $[a, +\infty)$ или $(a, +\infty)$ для любого действительного числа $a$.

Да, такая функция существует. Рассуждения полностью аналогичны пункту а).

Условие $f(x) = f(x-3)$ для любого $x$ из области определения $D(f)$ означает, что если $x \in D(f)$, то и $x-3 \in D(f)$. Заменив в этом равенстве $x$ на $x+3$, мы получим эквивалентное равенство $f(x+3) = f(x)$, которое должно выполняться для всех $x$ таких, что $x+3 \in D(f)$.

Для того чтобы функция была периодической с периодом $T=3$, её область определения $D(f)$ должна быть такой, что для любого $x \in D(f)$ точки $x+3$ и $x-3$ также принадлежат $D(f)$.

Мы можем нарушить это требование, выбрав на этот раз область определения, ограниченную справа.

Пример:

Рассмотрим функцию-константу $f(x) = 10$ с областью определения $D(f) = (-\infty, 0]$.

• Проверка равенства: для любого $x \in (-\infty, 0]$ точка $x-3$ также принадлежит $D(f)$. При этом $f(x) = 10$ и $f(x-3) = 10$, так что равенство $f(x) = f(x-3)$ выполняется для всех $x$ из области определения.
• Проверка периодичности: функция не является периодической. Для того чтобы $T=3$ был периодом, для любого $x \in D(f)$ должно выполняться, что $x+3 \in D(f)$. Но если взять, к примеру, $x=-2 \in D(f)$, то $x+3 = 1$, а эта точка не принадлежит $D(f) = (-\infty, 0]$. Условие периодичности не выполнено.

Таким образом, эта функция удовлетворяет условию задачи, но не является периодической.

Ответ: Да, существует. Например, любая функция-константа $f(x) = c$ с областью определения вида $(-\infty, b]$ или $(-\infty, b)$ для любого действительного числа $b$.

9.25. a) Существует ли такая функция $y = f(x)$, что для любого $x$ из области её определения выполняется равенство $f(2x) = f(x)$ и функция является периодической? Если существует, приведите пример такой функции.

б) Существует ли такая функция $y = f(x)$, что для любого $x$ из области её определения выполняется неравенство $f(2x) > f(x)$ и функция является периодической? Если существует, приведите пример такой функции.

Да, такая функция существует.

Рассмотрим в качестве примера постоянную функцию $y = f(x) = C$, где $C$ — любая константа (например, $C=1$). Пусть её область определения — множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$.

Проверим, выполняются ли для этой функции оба заданных условия.

1. Условие $f(2x) = f(x)$.
Для любого действительного $x$ значение функции $f(x)$ равно $C$. Значение функции $f(2x)$ также равно $C$. Таким образом, равенство $C = C$ выполняется для всех $x$ из области определения.

2. Условие периодичности.
Функция $f(x)$ является периодической, если существует такое число $T \neq 0$ (период), что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Для функции $f(x) = C$ имеем $f(x+T) = C$. Равенство $C = C$ выполняется для любого $x$ и для любого ненулевого $T$. Следовательно, функция является периодической (любое число $T \neq 0$ является её периодом).

Так как оба условия выполняются, постоянная функция является примером искомой функции.

Ответ: Да, существует. Например, $f(x) = 1$.

Нет, такой функции не существует.

Докажем это утверждение методом от противного. Предположим, что такая функция $f(x)$ существует. Это означает, что для неё одновременно выполняются два условия:

1. Функция является периодической. То есть существует такое число $T \neq 0$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Без ограничения общности будем считать, что $T > 0$.

2. Для любого $x$ из области определения выполняется строгое неравенство $f(2x) > f(x)$.

Из свойства периодичности следует, что для любого целого числа $n$ выполняется равенство $f(x+nT) = f(x)$.

Рассмотрим точку $x = T$. Для периодической функции, определённой на всей числовой оси или на луче, эта точка (как и любые точки $nT$) будет входить в область определения. Применив свойство периодичности для точки $x=T$ и $n=1$, мы получим:

$f(T+T) = f(T)$, что равносильно $f(2T) = f(T)$.

Теперь воспользуемся вторым условием, $f(2x) > f(x)$. Это неравенство должно выполняться для всех $x$ из области определения, следовательно, оно должно быть верным и для точки $x=T$. Подставив $x=T$ в это неравенство, получаем:

$f(2T) > f(T)$.

В результате мы пришли к двум несовместным утверждениям:

• Из свойства периодичности: $f(2T) = f(T)$.
• Из второго условия: $f(2T) > f(T)$.

Получено противоречие: число $f(2T)$ не может быть одновременно равным числу $f(T)$ и строго большим его. Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение о существовании такой функции было неверным.

Ответ: Нет, не существует.

9.26. Пусть $[x]$ — целая часть действительного числа $x$, а $\{x\}$ — дробная часть этого числа (напомним, что, согласно определению, $[x] \in \mathbb{Z}$, $[x] \le x < [x] + 1$, $\{x\} = x - [x]$).

a) Найдите целую и дробную часть числа: 6; -3; 5,3; -5,3; $\frac{35}{53}$; $-\frac{35}{53}$; $\frac{535}{353}$; $-\frac{535}{353}$.

б) Найдите целую и дробную часть числа: $\sqrt{11}$; $\sqrt{11}-2$; $3-\sqrt{11}$; $\pi$; $0,(4)$; $-2,(3)$; $-7,(1)$.

Согласно определению, целая часть числа $x$, обозначаемая $[x]$, — это наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Дробная часть числа $x$, обозначаемая $\{x\}$, определяется как $\{x\} = x - [x]$. Дробная часть всегда удовлетворяет неравенству $0 \le \{x\} < 1$.

Для числа 6: так как 6 — целое число, $[6] = 6$ и $\{6\} = 6 - 6 = 0$.
Ответ: целая часть 6, дробная часть 0.

Для числа -3: так как -3 — целое число, $[-3] = -3$ и $\{-3\} = -3 - (-3) = 0$.
Ответ: целая часть -3, дробная часть 0.

Для числа 5,3: $[5,3] = 5$ и $\{5,3\} = 5,3 - 5 = 0,3$.
Ответ: целая часть 5, дробная часть 0,3.

Для числа -5,3: поскольку $-6 \le -5,3 < -5$, то $[-5,3] = -6$. Дробная часть равна $\{-5,3\} = -5,3 - (-6) = 0,7$.
Ответ: целая часть -6, дробная часть 0,7.

Для числа $\frac{35}{53}$: так как $0 < \frac{35}{53} < 1$, то $[\frac{35}{53}] = 0$ и $\{\frac{35}{53}\} = \frac{35}{53} - 0 = \frac{35}{53}$.
Ответ: целая часть 0, дробная часть $\frac{35}{53}$.

Для числа $-\frac{35}{53}$: так как $-1 < -\frac{35}{53} < 0$, то $[-\frac{35}{53}] = -1$. Дробная часть равна $\{-\frac{35}{53}\} = -\frac{35}{53} - (-1) = 1 - \frac{35}{53} = \frac{18}{53}$.
Ответ: целая часть -1, дробная часть $\frac{18}{53}$.

Для числа $\frac{535}{353}$: $\frac{535}{353} = 1 + \frac{182}{353}$. Таким образом, $[\frac{535}{353}] = 1$ и $\{\frac{535}{353}\} = \frac{182}{353}$.
Ответ: целая часть 1, дробная часть $\frac{182}{353}$.

Для числа $-\frac{535}{353}$: $-\frac{535}{353} = -1\frac{182}{353} \approx -1,515$. Поскольку $-2 \le -1\frac{182}{353} < -1$, то $[-\frac{535}{353}] = -2$. Дробная часть равна $\{-\frac{535}{353}\} = -\frac{535}{353} - (-2) = 2 - \frac{535}{353} = \frac{706 - 535}{353} = \frac{171}{353}$.
Ответ: целая часть -2, дробная часть $\frac{171}{353}$.

Для числа $\sqrt{11}$: так как $3^2=9$ и $4^2=16$, то $3 < \sqrt{11} < 4$. Следовательно, $[\sqrt{11}] = 3$ и $\{\sqrt{11}\} = \sqrt{11} - 3$.
Ответ: целая часть 3, дробная часть $\sqrt{11} - 3$.

Для числа $\sqrt{11} - 2$: из $3 < \sqrt{11} < 4$ следует $1 < \sqrt{11} - 2 < 2$. Следовательно, $[\sqrt{11} - 2] = 1$ и $\{\sqrt{11} - 2\} = (\sqrt{11} - 2) - 1 = \sqrt{11} - 3$.
Ответ: целая часть 1, дробная часть $\sqrt{11} - 3$.

Для числа $3 - \sqrt{11}$: из $3 < \sqrt{11} < 4$ следует $-4 < -\sqrt{11} < -3$, и далее $-1 < 3 - \sqrt{11} < 0$. Следовательно, $[3 - \sqrt{11}] = -1$ и $\{3 - \sqrt{11}\} = (3 - \sqrt{11}) - (-1) = 4 - \sqrt{11}$.
Ответ: целая часть -1, дробная часть $4 - \sqrt{11}$.

Для числа $\pi$: так как $\pi \approx 3,14159...$, то $3 < \pi < 4$. Следовательно, $[\pi] = 3$ и $\{\pi\} = \pi - 3$.
Ответ: целая часть 3, дробная часть $\pi - 3$.

Для числа $0,(4)$: переведем в обыкновенную дробь: $0,(4) = \frac{4}{9}$. Так как $0 < \frac{4}{9} < 1$, то $[0,(4)] = 0$ и $\{0,(4)\} = \frac{4}{9}$.
Ответ: целая часть 0, дробная часть $\frac{4}{9}$.

Для числа $-2,(3)$: $-2,(3) = -(2+0,(3)) = -(2+\frac{1}{3}) = -\frac{7}{3}$. Так как $-3 < -\frac{7}{3} < -2$, то $[-2,(3)] = -3$. Дробная часть равна $\{-2,(3)\} = -\frac{7}{3} - (-3) = \frac{2}{3}$.
Ответ: целая часть -3, дробная часть $\frac{2}{3}$.

Для числа $-7,(1)$: $-7,(1) = -(7+0,(1)) = -(7+\frac{1}{9}) = -\frac{64}{9}$. Так как $-8 < -\frac{64}{9} < -7$, то $[-7,(1)] = -8$. Дробная часть равна $\{-7,(1)\} = -\frac{64}{9} - (-8) = \frac{8}{9}$.
Ответ: целая часть -8, дробная часть $\frac{8}{9}$.

9.27. a) Докажите, что для любого значения x выполняется равенство $\lfloor x + 1 \rfloor = \lfloor x \rfloor + 1$.

б) Докажите, что для любого значения x выполняются равенства $\{x + 1\} = \{x\} = \{x - 1\}$.

в) Докажите, что функция $y = \lfloor x \rfloor$ не является периодической.

г) Докажите, что функция $y = \{x\}$ является периодической с периодом 1.

а)

Докажем равенство $[x + 1] = [x] + 1$.
По определению, целая часть числа, обозначаемая $[x]$, — это наибольшее целое число, не превосходящее $x$.
Пусть $[x] = n$, где $n$ — целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Из этого определения следует двойное неравенство: $n \le x < n + 1$.
Прибавим ко всем частям этого неравенства 1:
$n + 1 \le x + 1 < (n + 1) + 1$.
Полученное неравенство означает, что наибольшее целое число, не превосходящее $x + 1$, равно $n + 1$.
Следовательно, по определению целой части: $[x + 1] = n + 1$.
Поскольку мы изначально положили, что $n = [x]$, мы можем подставить $[x]$ обратно в равенство:
$[x + 1] = [x] + 1$.
Это равенство справедливо для любого действительного числа $x$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Докажем равенства $\{x + 1\} = \{x\} = \{x - 1\}$.
Дробная часть числа $x$, обозначаемая $\{x\}$, определяется через его целую часть по формуле: $\{x\} = x - [x]$.
1. Докажем первое равенство: $\{x + 1\} = \{x\}$.
Воспользуемся определением дробной части для выражения $\{x + 1\}$:
$\{x + 1\} = (x + 1) - [x + 1]$.
Из пункта а) нам известно свойство $[x + 1] = [x] + 1$. Подставим его в наше выражение:
$\{x + 1\} = (x + 1) - ([x] + 1) = x + 1 - [x] - 1 = x - [x]$.
Поскольку $x - [x]$ по определению равно $\{x\}$, мы доказали, что $\{x + 1\} = \{x\}$.
2. Докажем второе равенство: $\{x\} = \{x - 1\}$.
Это можно сделать аналогично, доказав сначала свойство $[x - 1] = [x] - 1$. Пусть $[x] = n$, тогда $n \le x < n+1$. Вычитая 1, получаем $n-1 \le x-1 < n$, откуда следует, что $[x-1]=n-1=[x]-1$.
Теперь применим определение дробной части к $\{x - 1\}$:
$\{x - 1\} = (x - 1) - [x - 1]$.
Подставим доказанное свойство $[x - 1] = [x] - 1$:
$\{x - 1\} = (x - 1) - ([x] - 1) = x - 1 - [x] + 1 = x - [x]$.
Так как $x - [x] = \{x\}$, мы доказали, что $\{x - 1\} = \{x\}$.
Таким образом, оба равенства верны, и справедливо тождество $\{x + 1\} = \{x\} = \{x - 1\}$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в)

Докажем, что функция $y = [x]$ не является периодической.
Предположим обратное: пусть функция $f(x) = [x]$ является периодической с некоторым периодом $T > 0$.
По определению периодической функции, для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(x + T) = f(x)$, то есть $[x + T] = [x]$.
Рассмотрим область значений функции $y = [x]$. Она принимает все целочисленные значения, то есть её область значений — это множество всех целых чисел $\mathbb{Z}$. Это множество не ограничено ни сверху, ни снизу.
С другой стороны, любая не-постоянная периодическая функция имеет ограниченную область значений. Если функция $f(x)$ имеет период $T$, то её область значений совпадает с множеством значений, которые она принимает на любом отрезке длиной $T$, например, на отрезке $[0, T]$.
На отрезке $[0, T]$ функция $y = [x]$ принимает лишь конечное число значений: $0, 1, 2, \dots, [T]$. Это конечное (и, следовательно, ограниченное) множество.
Мы пришли к противоречию: область значений функции $y=[x]$ является бесконечным множеством $\mathbb{Z}$, в то время как у периодической функции она должна быть ограниченной.
Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным, и функция $y = [x]$ не является периодической.

Ответ: Что и требовалось доказать.

г)

Докажем, что функция $y = \{x\}$ является периодической с периодом 1.
Чтобы доказать, что функция $f(x) = \{x\}$ является периодической с периодом $T = 1$, необходимо показать, что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x + 1) = f(x)$.
То есть, нам нужно доказать тождество $\{x + 1\} = \{x\}$.
Это тождество было полностью доказано в пункте б). Приведем доказательство еще раз:
Используем определение дробной части: $\{x\} = x - [x]$.
Тогда $\{x + 1\} = (x + 1) - [x + 1]$.
Воспользуемся свойством целой части, доказанным в пункте а): $[x + 1] = [x] + 1$.
Подставим это в наше выражение:
$\{x + 1\} = (x + 1) - ([x] + 1) = x + 1 - [x] - 1 = x - [x]$.
Так как $x - [x] = \{x\}$, мы получили равенство $\{x + 1\} = \{x\}$.
Равенство выполняется для всех действительных $x$, следовательно, функция $y = \{x\}$ является периодической, и 1 — один из её периодов.

Ответ: Что и требовалось доказать.

9.28. Докажите, что 1 — наименьший период функции $y = \{x\}$.

Функция $y = \{x\}$ — это дробная часть числа $x$, которая определяется по формуле $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$, где $\lfloor x \rfloor$ — целая часть числа $x$ (наибольшее целое число, не превосходящее $x$).

Доказательство того, что $T=1$ является наименьшим положительным периодом функции, состоит из двух частей.

Часть 1: Докажем, что 1 является периодом функции.

Период $T$ функции $f(x)$ должен удовлетворять равенству $f(x+T) = f(x)$ для всех $x$ из области определения. Проверим это для $f(x) = \{x\}$ и $T=1$.

Нам нужно показать, что $\{x+1\} = \{x\}$.

Используя определение дробной части и свойство целой части $\lfloor z+n \rfloor = \lfloor z \rfloor + n$ для любого действительного $z$ и целого $n$, получаем:

$\{x+1\} = (x+1) - \lfloor x+1 \rfloor = (x+1) - (\lfloor x \rfloor + 1) = x + 1 - \lfloor x \rfloor - 1 = x - \lfloor x \rfloor$.

Поскольку $x - \lfloor x \rfloor = \{x\}$, мы доказали, что $\{x+1\} = \{x\}$ для любого $x$. Следовательно, $1$ является периодом функции $y = \{x\}$.

Часть 2: Докажем, что 1 — наименьший положительный период.

Предположим от противного, что существует положительный период $T'$, который меньше $1$, то есть $0 < T' < 1$.

Если $T'$ — период, то для любого $x$ должно выполняться равенство $\{x + T'\} = \{x\}$.

Возьмём $x=0$. Для этого значения равенство должно быть верным:

$\{0 + T'\} = \{0\}$.

Вычислим обе части равенства.

Правая часть: $\{0\} = 0 - \lfloor 0 \rfloor = 0$.

Левая часть: $\{T'\} = T' - \lfloor T' \rfloor$. Так как по нашему предположению $0 < T' < 1$, то $\lfloor T' \rfloor = 0$. Отсюда следует, что $\{T'\} = T' - 0 = T'$.

Тогда равенство $\{T'\} = \{0\}$ превращается в $T' = 0$.

Полученное равенство $T' = 0$ противоречит нашему исходному предположению, что $T' > 0$.

Следовательно, наше предположение неверно, и не существует положительного периода, меньшего $1$.

Так как $1$ является периодом функции и не существует положительного периода меньше $1$, то $1$ — наименьший положительный период.

Ответ: Что и требовалось доказать.