Страница 83, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Числовая окружность разделена точками на 12 равных частей (рис. 45). Составьте формулу для всех чисел, которым соответствуют точки:

11.20. а) M и K;

б) P и E;

в) P и L;

г) M и F.

Полный оборот числовой окружности соответствует $2\pi$ радиан. Так как окружность разделена на 12 равных частей, дуга между двумя соседними точками равна $\frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$ радиан.

Примем, что точка P соответствует началу отсчета, то есть числу 0. Двигаясь против часовой стрелки, определим числа, соответствующие заданным точкам, согласно стандартному расположению на "рис. 45":

• Точка P: $t = 0$
• Точка F: $t = 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$
• Точка E: $t = 3 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$
• Точка L: $t = 5 \cdot \frac{\pi}{6}$
• Точка M: $t = 6 \cdot \frac{\pi}{6} = \pi$
• Точка K: $t = 9 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$

Общая формула для всех чисел, соответствующих точке $t_0$ на числовой окружности, имеет вид $t = t_0 + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Для каждой пары точек мы запишем две отдельные формулы, так как в данных случаях они не являются диаметрально противоположными и не могут быть объединены в одну более простую формулу.

а) M и K

Точке M соответствует число $\pi$. Формула для этой точки: $t = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Точке K соответствует число $\frac{3\pi}{2}$. Формула для этой точки: $t = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $t = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) P и E

Точке P соответствует число $0$. Формула для этой точки: $t = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Точке E соответствует число $\frac{\pi}{2}$. Формула для этой точки: $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) P и L

Точке P соответствует число $0$. Формула для этой точки: $t = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Точке L соответствует число $\frac{5\pi}{6}$. Формула для этой точки: $t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) M и F

Точке M соответствует число $\pi$. Формула для этой точки: $t = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Точке F соответствует число $\frac{\pi}{3}$. Формула для этой точки: $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

11.21. а) $A$, $P$, $L$;

б) $B$, $K$, $F$;

В) $F$, $M$, $Q$, $K$;

Г) $A$, $N$, $P$, $C$, $L$, $E$.

Данная задача представляет собой набор логических головоломок. Для их решения необходимо выявить общий графический признак, который объединяет большинство букв в каждой группе, и найти букву (или буквы), которая этому признаку не соответствует. В данном случае таким признаком является наличие замкнутых областей (контуров) в начертании букв.

а) A, P, L;

Проанализируем каждую букву из этого набора. Буква A имеет одну замкнутую область (внутренний треугольник). Буква P также содержит одну замкнутую область. В отличие от них, буква L состоит только из двух отрезков и не имеет замкнутых областей. Таким образом, буквы A и P объединены общим признаком, а L выделяется из группы.

Ответ: Лишней является буква L.

б) B, K, F;

Применим тот же принцип. Буква B имеет две замкнутые области. Буквы K и F состоят только из отрезков и не образуют замкнутых контуров. Следовательно, буква B является «лишней» в этом наборе, так как она единственная обладает замкнутыми областями.

Ответ: Лишней является буква B.

в) F, M, Q, K;

Рассмотрим буквы из данного набора. Буквы F, M и K не имеют замкнутых областей. Только буква Q имеет одну замкнутую область (овал в её основе). Это делает её отличной от всех остальных букв в группе.

Ответ: Лишней является буква Q.

г) A, N, P, C, L, E.

В этом наборе шесть букв. Проанализируем их: буквы A и P имеют по одной замкнутой области. Остальные четыре буквы — N, C, L, E — замкнутых областей не имеют. Таким образом, данный набор можно разделить на две группы по указанному признаку: {A, P} (с замкнутыми областями) и {N, C, L, E} (без замкнутых областей). Буквы, которые не соответствуют свойству большинства, — это A и P.

Ответ: Лишними являются буквы A и P.

Найдите все числа $t$, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие указанной открытой дуге или объединению дуг (см. рис. 44):

11.22. a) $AB$;

б) $AB \cup CD$;

в) $BD$;

г) $BC \cup DA$.

Поскольку в условии задачи отсутствует рис. 44, будем исходить из стандартного расположения точек на единичной (числовой) окружности. Точки A, B, C и D соответствуют следующим значениям числа $t$ (угла в радианах):

• Точка A (правая точка на горизонтальной оси): $t_A = 2\pi k$
• Точка B (верхняя точка на вертикальной оси): $t_B = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$
• Точка C (левая точка на горизонтальной оси): $t_C = \pi + 2\pi k$
• Точка D (нижняя точка на вертикальной оси): $t_D = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$

Здесь $k \in \mathbb{Z}$ (любое целое число), что отражает периодичность. Движение по дуге по умолчанию рассматривается против часовой стрелки. В задаче указаны открытые дуги, поэтому концы дуг (точки A, B, C, D) не включаются в решение.

а) AB

Найдём все числа $t$, соответствующие точкам открытой дуги AB. Эта дуга начинается в точке A и заканчивается в точке B при движении против часовой стрелки. Числовые значения для точек на этой дуге должны быть строго больше значения для точки A и строго меньше значения для точки B.

Для любого целого $k$ имеем:

$t_A < t < t_B$

$2\pi k < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Это неравенство описывает все точки в первой четверти числовой окружности.

Ответ: $t \in (2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

б) AB ? CD

Найдём все числа $t$, соответствующие точкам, принадлежащим объединению открытых дуг AB и CD. Нам нужно найти два множества чисел и объединить их.

1. Для дуги AB, как найдено в пункте а), числа $t$ удовлетворяют неравенству:

$2\pi k < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

2. Для дуги CD, которая начинается в точке C и заканчивается в точке D, числа $t$ должны удовлетворять неравенству $t_C < t < t_D$:

$\pi + 2\pi k < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Это неравенство описывает все точки в третьей четверти.

Объединение этих двух множеств и будет решением.

Ответ: $t \in (2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k) \cup (\pi + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

в) BD

Найдём все числа $t$, соответствующие точкам открытой дуги BD. Дуга начинается в B и заканчивается в D, проходя через точку C.

Числа $t$ должны быть строго больше значения для точки B и строго меньше значения для точки D:

$t_B < t < t_D$

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Этот интервал описывает точки второй и третьей четвертей.

Ответ: $t \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

г) BC ? DA

Найдём все числа $t$, соответствующие точкам, принадлежащим объединению открытых дуг BC и DA.

1. Для дуги BC, которая начинается в точке B и заканчивается в точке C, числа $t$ удовлетворяют неравенству $t_B < t < t_C$:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < t < \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Это неравенство описывает все точки во второй четверти.

2. Для дуги DA, которая начинается в точке D и заканчивается в точке A, движение происходит через конец полного оборота. Значение для точки A на следующем витке будет $2\pi$ (для $k=0$), а для D - $3\pi/2$. Поэтому $t$ удовлетворяет неравенству $t_D < t < t_A$:

$\frac{3\pi}{2} + 2\pi k < t < 2\pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Это неравенство описывает все точки в четвертой четверти.

Объединяя решения для обеих дуг, получаем итоговый ответ.

Ответ: $t \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pi + 2\pi k) \cup (\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

11.23. a) $MN$;

б) $NM$;

в) $BP$;

г) $PB$.

а) MN;

Обозначение $MN$ в геометрии и векторной алгебре, как правило, обозначает вектор $\vec{MN}$. Вектор представляет собой направленный отрезок, имеющий начальную и конечную точки. В данном случае, $\vec{MN}$ — это вектор с начальной точкой $M$ и конечной точкой $N$. Этот вектор определяет направление от точки $M$ к точке $N$, а его длина (модуль), обозначаемая как $|\vec{MN}|$, равна расстоянию между этими точками.

Ответ: $MN$ обозначает вектор $\vec{MN}$ с началом в точке $M$ и концом в точке $N$.

б) NM;

Аналогично, обозначение $NM$ представляет вектор $\vec{NM}$. У этого вектора начальная точка — $N$, а конечная — $M$. Векторы $\vec{MN}$ и $\vec{NM}$ тесно связаны. Они имеют одинаковую длину (модуль), поскольку расстояние от $M$ до $N$ равно расстоянию от $N$ до $M$: $|\vec{NM}| = |\vec{MN}|$. Однако их направления прямо противоположны. Такие векторы называются противоположными. Их взаимосвязь выражается равенством: $\vec{NM} = -\vec{MN}$. Это означает, что вектор $\vec{NM}$ равен вектору $\vec{MN}$, умноженному на $-1$.

Ответ: $NM$ обозначает вектор $\vec{NM}$ с началом в точке $N$ и концом в точке $M$. Он является противоположным вектору $\vec{MN}$, то есть $\vec{NM} = -\vec{MN}$.

в) BP;

Обозначение $BP$ представляет вектор $\vec{BP}$. Этот вектор начинается в точке $B$ и заканчивается в точке $P$. Он задает направление от точки $B$ к точке $P$, а его модуль $|\vec{BP}|$ равен длине отрезка $BP$.

Ответ: $BP$ обозначает вектор $\vec{BP}$ с началом в точке $B$ и концом в точке $P$.

г) PB.

Обозначение $PB$ представляет вектор $\vec{PB}$. Начальной точкой этого вектора является точка $P$, а конечной — точка $B$. Векторы $\vec{BP}$ и $\vec{PB}$ являются противоположными друг другу. Они имеют равные по величине модули, $|\vec{PB}| = |\vec{BP}|$, но их направления противоположны. Эта связь выражается формулой: $\vec{PB} = -\vec{BP}$.

Ответ: $PB$ обозначает вектор $\vec{PB}$ с началом в точке $P$ и концом в точке $B$. Он является противоположным вектору $\vec{BP}$, то есть $\vec{PB} = -\vec{BP}$.

11.24. а) $QA \cup NC;$

б) $AN \cup CQ;$

В) $MN \cup PQ;$

Г) $AM \cup BN \cup CP \cup DQ.$

Для решения данной задачи введем геометрический контекст, так как он не представлен в условии. Будем рассматривать параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точки M, N, P, Q определим как середины ребер $AA_1$, $CC_1$, $A_1D_1$ и $BC$ соответственно. Такой выбор обусловлен тем, что при этих условиях четырехугольник MNPQ является параллелограммом, центр которого совпадает с центром симметрии параллелепипеда, что приводит к содержательному решению для одного из пунктов.

Введем векторный базис с началом в точке A: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$, $\vec{AA_1} = \vec{c}$. Тогда координаты вершин и точек будут следующими:$A(\vec{0})$, $B(\vec{a})$, $C(\vec{a}+\vec{b})$, $D(\vec{b})$, $A_1(\vec{c})$, $C_1(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$, $D_1(\vec{b}+\vec{c})$.Координаты середин ребер:M - середина $AA_1$: $\vec{M} = \frac{1}{2}\vec{c}$.N - середина $CC_1$: $\vec{N} = \frac{1}{2}(\vec{C} + \vec{C_1}) = \frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b} + \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}$.P - середина $A_1D_1$: $\vec{P} = \frac{1}{2}(\vec{A_1} + \vec{D_1}) = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{b}+\vec{c}) = \frac{1}{2}\vec{b}+\vec{c}$.Q - середина $BC$: $\vec{Q} = \frac{1}{2}(\vec{B} + \vec{C}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{a}+\vec{b}) = \vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}$.

а) $QA \cup NC$

Рассмотрим отрезки $QA$ и $NC$.Отрезок $QA$ соединяет точку Q (середину ребра $BC$) и вершину A. Этот отрезок полностью лежит в плоскости нижнего основания $ABCD$.Отрезок $NC$ соединяет точку N (середину ребра $CC_1$) и вершину C. Этот отрезок является нижней половиной бокового ребра $CC_1$.Прямые, содержащие эти отрезки, являются скрещивающимися. Прямая $QA$ лежит в плоскости $ABC$, а прямая $NC$ (совпадает с прямой $CC_1$) пересекает эту плоскость в точке C, которая не лежит на прямой $QA$. Следовательно, отрезки не пересекаются и лежат в разных плоскостях.Объединение $QA \cup NC$ представляет собой множество точек, принадлежащих этим двум скрещивающимся отрезкам.
Ответ: Объединение двух скрещивающихся отрезков: отрезка, соединяющего вершину A с серединой ребра BC, и отрезка, являющегося нижней половиной ребра $CC_1$.

б) $AN \cup CQ$

Рассмотрим отрезки $AN$ и $CQ$.Отрезок $AN$ соединяет вершину A с точкой N (серединой ребра $CC_1$). Этот отрезок проходит через внутреннюю область параллелепипеда.Отрезок $CQ$ соединяет вершину C с точкой Q (серединой ребра $BC$). Этот отрезок является половиной ребра $BC$, прилегающей к вершине C, и полностью лежит на прямой $BC$.Прямые $AN$ и $BC$ являются скрещивающимися, так как точка A не лежит в плоскости грани $BCC_1B_1$, в которой находится прямая $BC$. Следовательно, отрезки $AN$ и $CQ$ также скрещиваются.Объединение $AN \cup CQ$ представляет собой множество точек, принадлежащих этим двум скрещивающимся отрезкам.
Ответ: Объединение двух скрещивающихся отрезков: отрезка, соединяющего вершину A с серединой ребра $CC_1$, и отрезка, являющегося половиной ребра $BC$, примыкающей к вершине C.

в) $MN \cup PQ$

Рассмотрим отрезки $MN$ и $PQ$. Как было указано в начале, четырехугольник MNPQ является параллелограммом, поскольку середины его диагоналей $MN$ и $PQ$ совпадают. Найдем координаты середин:Середина $MN$: $\frac{1}{2}(\vec{M} + \vec{N}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}\vec{c} + \vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}) = \frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}$.Середина $PQ$: $\frac{1}{2}(\vec{P} + \vec{Q}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{c} + \vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}) = \frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}$.Точка с вектором $\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$ является центром симметрии параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.Отрезки $MN$ и $PQ$ являются диагоналями параллелограмма MNPQ. Следовательно, они пересекаются в одной точке — центре параллелепипеда.Объединение $MN \cup PQ$ представляет собой два пересекающихся в центре параллелепипеда отрезка.
Ответ: Объединение двух отрезков $MN$ и $PQ$, которые являются диагоналями параллелограмма MNPQ и пересекаются в центре параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

г) $AM \cup BN \cup CP \cup DQ$

Рассмотрим каждый отрезок по отдельности:1. Отрезок $AM$ соединяет вершину A с точкой M (серединой ребра $AA_1$). Это нижняя половина бокового ребра $AA_1$.2. Отрезок $BN$ соединяет вершину B с точкой N (серединой ребра $CC_1$).3. Отрезок $CP$ соединяет вершину C с точкой P (серединой ребра $A_1D_1$).4. Отрезок $DQ$ соединяет вершину D с точкой Q (серединой ребра $BC$).Эти четыре отрезка являются пространственными отрезками, соединяющими вершины нижнего основания (A, B, C, D) с точками M, N, P, Q. Каких-либо очевидных упрощений для их объединения не просматривается. Они образуют совокупность четырех отрезков в пространстве.
Ответ: Объединение четырех отрезков в пространстве:

• $AM$ - нижняя половина ребра $AA_1$;
• $BN$ - отрезок, соединяющий вершину B и середину ребра $CC_1$;
• $CP$ - отрезок, соединяющий вершину C и середину ребра $A_1D_1$;
• $DQ$ - отрезок, соединяющий вершину D и середину ребра $BC$.

Найдите все числа $t$, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие указанной дуге (см. рис. 45):

11.25. а) $MP$;

б) $AQ$;

в) $BL$;

г) $DF$.

Для решения задачи необходимо определить, каким числовым значениям $t$ соответствуют указанные точки на единичной числовой окружности. Движение по дуге от первой указанной точки ко второй по умолчанию происходит против часовой стрелки. Общая формула для всех таких чисел $t$ учитывает периодичность, добавляя слагаемое $2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

На стандартной числовой окружности (согласно рис. 45 из учебника) точки имеют следующие значения в радианах:

• Точка M: $t = \pi/3$
• Точка P: $t = \pi/6$
• Точка A: $t = 0$
• Точка Q: $t = \pi/4$
• Точка B: $t = \pi/2$
• Точка L: $t = 2\pi/3$
• Точка D: $t = 3\pi/2$
• Точка F: $t = 5\pi/4$

а) MP

Начальная точка дуги — M, которой соответствует значение $t_1 = \pi/3$. Конечная точка дуги — P, которой соответствует значение $t_2 = \pi/6$. Поскольку движение по дуге происходит против часовой стрелки, а начальное значение угла больше конечного ($t_1 > t_2$), дуга проходит через точку $t=2\pi$. Это означает, что конечная точка P находится на следующем витке окружности. Ее значение можно представить как $t_2' = \pi/6 + 2\pi = 13\pi/6$. Таким образом, все точки $t$ на этой дуге удовлетворяют неравенству $\pi/3 \le t \le 13\pi/6$. Для получения всех возможных значений $t$ добавляем период $2\pi k$.

Ответ: $\pi/3 + 2\pi k \le t \le 13\pi/6 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) AQ

Начальная точка дуги — A, которой соответствует значение $t_1 = 0$. Конечная точка дуги — Q, которой соответствует значение $t_2 = \pi/4$. Поскольку $t_1 < t_2$, дуга не пересекает начало отсчета. Все точки $t$ на этой дуге удовлетворяют неравенству $0 \le t \le \pi/4$. Для получения всех возможных значений $t$ добавляем период $2\pi k$.

Ответ: $2\pi k \le t \le \pi/4 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) BL

Начальная точка дуги — B, которой соответствует значение $t_1 = \pi/2$. Конечная точка дуги — L, которой соответствует значение $t_2 = 2\pi/3$. Поскольку $t_1 < t_2$ ($\pi/2 = 3\pi/6$ и $2\pi/3 = 4\pi/6$), дуга находится в пределах одного оборота и не пересекает начало отсчета. Все точки $t$ на этой дуге удовлетворяют неравенству $\pi/2 \le t \le 2\pi/3$. Для получения всех возможных значений $t$ добавляем период $2\pi k$.

Ответ: $\pi/2 + 2\pi k \le t \le 2\pi/3 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) DF

Начальная точка дуги — D, которой соответствует значение $t_1 = 3\pi/2$. Конечная точка дуги — F, которой соответствует значение $t_2 = 5\pi/4$. Поскольку $t_1 > t_2$ ($3\pi/2 = 6\pi/4$), дуга, проходимая против часовой стрелки, пересекает точку $t=2\pi$. Конечная точка F находится на следующем витке, и ее значение можно представить как $t_2' = 5\pi/4 + 2\pi = 13\pi/4$. Таким образом, все точки $t$ на этой дуге удовлетворяют неравенству $3\pi/2 \le t \le 13\pi/4$. Для получения всех возможных значений $t$ добавляем период $2\pi k$.

Ответ: $3\pi/2 + 2\pi k \le t \le 13\pi/4 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

11.26. а) $EN$;

б) $QM$;

в) $KA$;

г) $KF$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $D$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ — вдоль ребра $DC$, и ось $Oz$ — вдоль ребра $DD_1$.

Исходя из условия, что в прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребра $AD=8$, $AB=9$ (и, следовательно, $DC=9$) и $AA_1=12$ (и, следовательно, $DD_1=12$), определим координаты его вершин:

• $D(0, 0, 0)$
• $A(8, 0, 0)$
• $C(0, 9, 0)$
• $B(8, 9, 0)$
• $D_1(0, 0, 12)$
• $A_1(8, 0, 12)$
• $C_1(0, 9, 12)$
• $B_1(8, 9, 12)$

Теперь найдем координаты заданных точек E, F, K, N, M, Q:

• Точка $K$ — середина ребра $CC_1$. Имея координаты $C(0, 9, 0)$ и $C_1(0, 9, 12)$, находим:
  $K = (\frac{0+0}{2}; \frac{9+9}{2}; \frac{0+12}{2}) = (0, 9, 6)$.
• Точка $E$ лежит на ребре $B_1C_1$ так, что $B_1E:EC_1 = 1:3$. Используя координаты $B_1(8, 9, 12)$ и $C_1(0, 9, 12)$ и формулу деления отрезка в данном отношении, получаем:
  $E = (\frac{3 \cdot 8 + 1 \cdot 0}{1+3}; \frac{3 \cdot 9 + 1 \cdot 9}{1+3}; \frac{3 \cdot 12 + 1 \cdot 12}{1+3}) = (\frac{24}{4}; \frac{36}{4}; \frac{48}{4}) = (6, 9, 12)$.
• Точка $F$ лежит на ребре $C_1D_1$ так, что $C_1F:FD_1 = 3:1$. Используя координаты $C_1(0, 9, 12)$ и $D_1(0, 0, 12)$, получаем:
  $F = (\frac{1 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{3+1}; \frac{1 \cdot 9 + 3 \cdot 0}{3+1}; \frac{1 \cdot 12 + 3 \cdot 12}{3+1}) = (\frac{0}{4}; \frac{9}{4}; \frac{48}{4}) = (0, \frac{9}{4}, 12)$.
• Точка $N$ — середина отрезка $EF$. Используя координаты $E(6, 9, 12)$ и $F(0, \frac{9}{4}, 12)$, получаем:
  $N = (\frac{6+0}{2}; \frac{9+\frac{9}{4}}{2}; \frac{12+12}{2}) = (3, \frac{\frac{45}{4}}{2}, 12) = (3, \frac{45}{8}, 12)$.
• Точки $M$ и $Q$ лежат на отрезке $A_1K$. Координаты $A_1(8, 0, 12)$ и $K(0, 9, 6)$.
  Для точки $M$ ($A_1M:MK = 1:2$):
  $M = (\frac{2 \cdot 8 + 1 \cdot 0}{1+2}; \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 9}{1+2}; \frac{2 \cdot 12 + 1 \cdot 6}{1+2}) = (\frac{16}{3}, \frac{9}{3}, \frac{30}{3}) = (\frac{16}{3}, 3, 10)$.
  Для точки $Q$ ($A_1Q:QK = 2:1$):
  $Q = (\frac{1 \cdot 8 + 2 \cdot 0}{2+1}; \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot 9}{2+1}; \frac{1 \cdot 12 + 2 \cdot 6}{2+1}) = (\frac{8}{3}, \frac{18}{3}, \frac{24}{3}) = (\frac{8}{3}, 6, 8)$.

Вычислим длины искомых отрезков по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.

а) EN

Найдем расстояние между точками $E(6, 9, 12)$ и $N(3, \frac{45}{8}, 12)$.

$EN = \sqrt{(3-6)^2 + (\frac{45}{8}-9)^2 + (12-12)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (\frac{45-72}{8})^2 + 0^2}$

$EN = \sqrt{9 + (-\frac{27}{8})^2} = \sqrt{9 + \frac{729}{64}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 64 + 729}{64}} = \sqrt{\frac{576 + 729}{64}} = \sqrt{\frac{1305}{64}} = \frac{\sqrt{1305}}{8}$.

Ответ: $EN = \frac{\sqrt{1305}}{8}$.

б) QM

Найдем расстояние между точками $Q(\frac{8}{3}, 6, 8)$ и $M(\frac{16}{3}, 3, 10)$.

$QM = \sqrt{(\frac{16}{3}-\frac{8}{3})^2 + (3-6)^2 + (10-8)^2} = \sqrt{(\frac{8}{3})^2 + (-3)^2 + 2^2}$

$QM = \sqrt{\frac{64}{9} + 9 + 4} = \sqrt{\frac{64}{9} + 13} = \sqrt{\frac{64 + 117}{9}} = \sqrt{\frac{181}{9}} = \frac{\sqrt{181}}{3}$.

Ответ: $QM = \frac{\sqrt{181}}{3}$.

в) KA

Найдем расстояние между точками $K(0, 9, 6)$ и $A(8, 0, 0)$.

$KA = \sqrt{(8-0)^2 + (0-9)^2 + (0-6)^2} = \sqrt{8^2 + (-9)^2 + (-6)^2}$

$KA = \sqrt{64 + 81 + 36} = \sqrt{181}$.

Ответ: $KA = \sqrt{181}$.

г) KF

Найдем расстояние между точками $K(0, 9, 6)$ и $F(0, \frac{9}{4}, 12)$.

$KF = \sqrt{(0-0)^2 + (\frac{9}{4}-9)^2 + (12-6)^2} = \sqrt{0^2 + (\frac{9-36}{4})^2 + 6^2}$

$KF = \sqrt{(-\frac{27}{4})^2 + 36} = \sqrt{\frac{729}{16} + 36} = \sqrt{\frac{729 + 36 \cdot 16}{16}} = \sqrt{\frac{729 + 576}{16}} = \sqrt{\frac{1305}{16}} = \frac{\sqrt{1305}}{4}$.

Ответ: $KF = \frac{\sqrt{1305}}{4}$.

Выделите на числовой окружности дугу, точки которой удовлетворяют заданному неравенству (во всех формулах предполагается, что $n \in \mathbb{Z}$):

11.27. а) $\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$

б) $2\pi n < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n;$

в) $\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$

г) $\pi + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n.$

а)

Рассмотрим неравенство $ \frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $, где $n \in \mathbb{Z}$.

Наличие слагаемого $2\pi n$ означает, что множество точек, удовлетворяющих неравенству, периодично с периодом $2\pi$. Чтобы выделить дугу на единичной окружности, достаточно рассмотреть случай при $n=0$, что дает нам интервал $ \frac{\pi}{6} < t < \frac{2\pi}{3} $.

Данный интервал задает на числовой окружности открытую дугу, так как неравенство строгое (концевые точки не включаются). Дуга начинается в точке, соответствующей значению $t = \frac{\pi}{6}$ (I координатная четверть), и заканчивается в точке, соответствующей $t = \frac{2\pi}{3}$ (II координатная четверть). Обход дуги производится против часовой стрелки.

Ответ: Открытая дуга числовой окружности, начинающаяся в точке $\frac{\pi}{6}$ и заканчивающаяся в точке $\frac{2\pi}{3}$ при движении против часовой стрелки. Дуга расположена в I и II четвертях.

б)

Рассмотрим неравенство $ 2\pi n < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n $, где $n \in \mathbb{Z}$.

При $n=0$ получаем интервал $ 0 < t < \frac{5\pi}{4} $. Этот интервал соответствует основной дуге на числовой окружности.

Это открытая дуга, начинающаяся в точке, соответствующей $t = 0$ (положительная полуось оси Ox), и заканчивающаяся в точке, соответствующей $t = \frac{5\pi}{4}$ (III координатная четверть). Движение по дуге осуществляется против часовой стрелки, проходя через I, II и часть III четверти.

Ответ: Открытая дуга числовой окружности, начинающаяся в точке $0$ и заканчивающаяся в точке $\frac{5\pi}{4}$ при движении против часовой стрелки. Дуга проходит через I, II и III четверти.

в)

Рассмотрим неравенство $ \frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n $, где $n \in \mathbb{Z}$.

При $n=0$ получаем интервал $ \frac{\pi}{2} < t < \frac{3\pi}{2} $. Этот интервал соответствует основной дуге на числовой окружности.

Это открытая дуга, начинающаяся в точке $t = \frac{\pi}{2}$ (положительная полуось оси Oy) и заканчивающаяся в точке $t = \frac{3\pi}{2}$ (отрицательная полуось оси Oy). Дуга проходится против часовой стрелки и представляет собой левую половину числовой окружности, то есть все точки с отрицательной абсциссой.

Ответ: Открытая дуга числовой окружности, являющаяся левой полуокружностью, с началом в точке $\frac{\pi}{2}$ и концом в точке $\frac{3\pi}{2}$ при движении против часовой стрелки. Дуга расположена во II и III четвертях.

г)

Рассмотрим неравенство $ \pi + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n $, где $n \in \mathbb{Z}$.

При $n=0$ получаем интервал $ \pi < t < \frac{5\pi}{3} $. Этот интервал соответствует основной дуге на числовой окружности.

Это открытая дуга, которая начинается в точке $t = \pi$ (отрицательная полуось оси Ox) и заканчивается в точке $t = \frac{5\pi}{3}$ (IV координатная четверть). Обход дуги производится против часовой стрелки, проходя через III и часть IV четверти.

Ответ: Открытая дуга числовой окружности, начинающаяся в точке $\pi$ и заканчивающаяся в точке $\frac{5\pi}{3}$ при движении против часовой стрелки. Дуга расположена в III и IV четвертях.

11.28. a) $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$

б) $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n;$

в) $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$

г) $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n.$

а)

Данное двойное неравенство $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ определяет множество углов $t$. Слагаемое $2\pi n$ (где $n$ — любое целое число, $n \in \mathbb{Z}$) указывает на то, что множество решений является периодическим с периодом $2\pi$.

Чтобы представить это множество на тригонометрической окружности, рассмотрим основной интервал, который получается при $n=0$: $-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}$.

Угол $t=-\frac{\pi}{2}$ соответствует нижней точке единичной окружности (с координатами $(0, -1)$), а угол $t=\frac{\pi}{2}$ — верхней точке (с координатами $(0, 1)$). Неравенство $-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}$ описывает все углы, находящиеся между этими двумя значениями при движении против часовой стрелки. Это соответствует открытой дуге, которая является правой половиной единичной окружности (I и IV координатные четверти). Точки, соответствующие углам $-\frac{\pi}{2}$ и $\frac{\pi}{2}$, не включаются, так как неравенство строгое. Данное множество является решением неравенства $\cos(t) > 0$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Неравенство $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$, задает периодическое множество углов $t$ с периодом $2\pi$.

Рассмотрим основной интервал при $n=0$: $-\frac{\pi}{6} < t < \frac{7\pi}{6}$.

На тригонометрической окружности угол $t=-\frac{\pi}{6}$ находится в IV четверти (координаты точки $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$), а угол $t=\frac{7\pi}{6}$ находится в III четверти (координаты точки $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$). Решением является открытая дуга, которая начинается в точке, соответствующей углу $-\frac{\pi}{6}$, и идет против часовой стрелки через I, II и часть III четверти до точки, соответствующей углу $\frac{7\pi}{6}$.

Длина этой дуги составляет $\frac{7\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}$. На концах этого интервала синус принимает одинаковое значение: $\sin(-\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$. Для любой точки $t$ внутри этого интервала выполняется неравенство $\sin(t) > -\frac{1}{2}$, решением которого и является данное множество.

Ответ: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Неравенство $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$, задает периодическое множество углов $t$ с периодом $2\pi$.

Рассмотрим основной интервал при $n=0$: $-\frac{3\pi}{4} < t < \frac{2\pi}{3}$.

На тригонометрической окружности угол $t=-\frac{3\pi}{4}$ находится в III четверти (координаты точки $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$), а угол $t=\frac{2\pi}{3}$ находится во II четверти (координаты точки $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$). Решением является открытая дуга, которая начинается в точке $-\frac{3\pi}{4}$ и идет против часовой стрелки через IV, I и часть II четверти до точки $\frac{2\pi}{3}$.

Длина этой дуги составляет $\frac{2\pi}{3} - (-\frac{3\pi}{4}) = \frac{8\pi + 9\pi}{12} = \frac{17\pi}{12}$. Концевые точки дуги не включаются в решение, так как неравенство строгое.

Ответ: $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Неравенство $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$, задает периодическое множество углов $t$ с периодом $2\pi$.

Рассмотрим основной интервал при $n=0$: $-\frac{\pi}{6} < t < \frac{5\pi}{4}$.

На тригонометрической окружности угол $t=-\frac{\pi}{6}$ находится в IV четверти (координаты точки $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$), а угол $t=\frac{5\pi}{4}$ находится в III четверти (координаты точки $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$). Решением является открытая дуга, которая начинается в точке $-\frac{\pi}{6}$ и идет против часовой стрелки через I, II и часть III четверти до точки $\frac{5\pi}{4}$.

Длина этой дуги составляет $\frac{5\pi}{4} - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{15\pi + 2\pi}{12} = \frac{17\pi}{12}$. Концевые точки дуги не включаются в решение, так как неравенство строгое.

Ответ: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Найдите на числовой окружности все точки M(t), соответствующие заданным формулам; составьте общую формулу для всех чисел, которым соответствуют найденные точки:

11.29. a) $t = 2\pi n$, $t = \pi + 2\pi n$;

б) $t = \pi n$, $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

в) $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $t = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$;

г) $t = \pi n$, $t = \frac{\pi n}{2}$.

а)

Первая формула $t = 2\pi n$, где $n$ — целое число, задает на числовой окружности одну точку, соответствующую углу 0 радиан. При любых целых $n$, значения $2\pi n$ (например, $0, 2\pi, -2\pi, 4\pi, \dots$) на окружности отображаются в одну и ту же точку с координатами $(1, 0)$.

Вторая формула $t = \pi + 2\pi n$, где $n$ — целое число, также задает одну точку, соответствующую углу $\pi$ радиан. Значения $\pi, 3\pi, -\pi, \dots$ на окружности отображаются в одну и ту же точку с координатами $(-1, 0)$.

Вместе эти две формулы задают две диаметрально противоположные точки на оси абсцисс. Эти точки можно описать одной общей формулой, взяв за основу точку $t=0$ и прибавляя к ней углы, кратные $\pi$. Общая формула имеет вид $t = \pi k$. Если $k$ — четное ($k=2n$), получаем $t = 2\pi n$. Если $k$ — нечетное ($k=2n+1$), получаем $t = \pi(2n+1) = \pi + 2\pi n$.

Ответ: $t = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б)

Первая формула $t = \pi n$, где $n$ — целое число, задает две точки на окружности: точку $M(0)$ с координатами $(1,0)$ (при четных $n$) и точку $M(\pi)$ с координатами $(-1,0)$ (при нечетных $n$).

Вторая формула $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — целое число, также задает две точки: точку $M(\frac{\pi}{2})$ с координатами $(0,1)$ (при четных $n$) и точку $M(\frac{3\pi}{2})$ с координатами $(0,-1)$ (при нечетных $n$).

В совокупности эти две формулы задают четыре точки, которые являются точками пересечения окружности с осями координат: $M(0)$, $M(\frac{\pi}{2})$, $M(\pi)$ и $M(\frac{3\pi}{2})$. Эти точки делят окружность на четыре равные дуги. Расстояние между соседними точками составляет $\frac{\pi}{2}$. Их можно описать одной общей формулой, начав с $t=0$ и прибавляя углы, кратные $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $t = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в)

Первая формула $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — целое число, задает на числовой окружности одну точку $M(\frac{\pi}{2})$ с координатами $(0, 1)$.

Вторая формула $t = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — целое число, задает на числовой окружности одну точку $M(\frac{3\pi}{2})$ с координатами $(0, -1)$.

Вместе мы получаем две диаметрально противоположные точки на оси ординат. Расстояние между ними по дуге составляет $\pi$. Общая формула для этих двух точек может быть получена, если взять начальную точку $t=\frac{\pi}{2}$ и прибавлять к ней углы, кратные $\pi$. Формула $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$ при четных $k=2n$ дает $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, а при нечетных $k=2n+1$ дает $t = \frac{\pi}{2} + \pi(2n+1) = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.

Ответ: $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г)

Первая формула $t = \pi n$, где $n$ — целое число, задает две точки: $M(0)$ и $M(\pi)$.

Вторая формула $t = \frac{\pi n}{2}$, где $n$ — целое число, задает четыре точки: $M(0)$, $M(\frac{\pi}{2})$, $M(\pi)$ и $M(\frac{3\pi}{2})$.

Объединение множеств точек, заданных этими двумя формулами, включает в себя все точки из обоих множеств. Множество точек из первой формулы {$M(0), M(\pi)$} полностью содержится во множестве точек из второй формулы {$M(0), M(\frac{\pi}{2}), M(\pi), M(\frac{3\pi}{2})$}. Следовательно, совокупность всех точек описывается второй, более общей формулой.

Ответ: $t = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.