Страница 87, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

12.19. а) $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $x > 0$;

б) $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $x < 0$;

В) $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $x < 0$;

Г) $y = -\frac{1}{2}$, $x > 0$.

В данной задаче требуется найти угол $ \alpha $, соответствующий точке $ P(x, y) $ на единичной окружности, где $ x = \cos \alpha $ и $ y = \sin \alpha $. Условия для точки: $ y = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ x > 0 $.

Из условий следует, что $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \cos \alpha > 0 $. Поскольку и синус, и косинус положительны, угол $ \alpha $ находится в первой координатной четверти.

Найдем точное значение $ x $ из основного тригонометрического тождества $ x^2 + y^2 = 1 $:

$ x^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 $

$ x^2 + \frac{3}{4} = 1 $

$ x^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} $

Поскольку по условию $ x > 0 $, выбираем положительный корень: $ x = \frac{1}{2} $.

Таким образом, мы ищем угол $ \alpha $, для которого $ \cos \alpha = \frac{1}{2} $ и $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Этим условиям соответствует угол $ \alpha = \frac{\pi}{3} $.

Общее решение с учетом периодичности тригонометрических функций записывается как $ \alpha = \frac{\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n $ — любое целое число ($ n \in \mathbb{Z} $).

Ответ: $ \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Даны условия для координат точки на единичной окружности: $ y = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ x < 0 $. Требуется найти соответствующий угол $ \alpha $, для которого $ x = \cos \alpha $ и $ y = \sin \alpha $.

Из условий следует, что $ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos \alpha < 0 $. Поскольку и синус, и косинус отрицательны, угол $ \alpha $ находится в третьей координатной четверти.

Найдем точное значение $ x $ из основного тригонометрического тождества $ x^2 + y^2 = 1 $:

$ x^2 + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 $

$ x^2 + \frac{2}{4} = 1 $

$ x^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $

Поскольку по условию $ x < 0 $, выбираем отрицательный корень: $ x = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Таким образом, мы ищем угол $ \alpha $, для которого $ \cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Этим условиям соответствует угол $ \alpha = \frac{5\pi}{4} $.

Общее решение с учетом периодичности записывается как $ \alpha = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Даны условия для координат точки на единичной окружности: $ y = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ x < 0 $. Требуется найти соответствующий угол $ \alpha $, для которого $ x = \cos \alpha $ и $ y = \sin \alpha $.

Из условий следует, что $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos \alpha < 0 $. Поскольку синус положителен, а косинус отрицателен, угол $ \alpha $ находится во второй координатной четверти.

Найдем точное значение $ x $ из основного тригонометрического тождества $ x^2 + y^2 = 1 $:

$ x^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 $

$ x^2 + \frac{2}{4} = 1 $

$ x^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $

Поскольку по условию $ x < 0 $, выбираем отрицательный корень: $ x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Таким образом, мы ищем угол $ \alpha $, для которого $ \cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Этим условиям соответствует угол $ \alpha = \frac{3\pi}{4} $.

Общее решение с учетом периодичности записывается как $ \alpha = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Даны условия для координат точки на единичной окружности: $ y = -\frac{1}{2} $ и $ x > 0 $. Требуется найти соответствующий угол $ \alpha $, для которого $ x = \cos \alpha $ и $ y = \sin \alpha $.

Из условий следует, что $ \sin \alpha = -\frac{1}{2} $ и $ \cos \alpha > 0 $. Поскольку синус отрицателен, а косинус положителен, угол $ \alpha $ находится в четвертой координатной четверти.

Найдем точное значение $ x $ из основного тригонометрического тождества $ x^2 + y^2 = 1 $:

$ x^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 1 $

$ x^2 + \frac{1}{4} = 1 $

$ x^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $

Поскольку по условию $ x > 0 $, выбираем положительный корень: $ x = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Таким образом, мы ищем угол $ \alpha $, для которого $ \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin \alpha = -\frac{1}{2} $. Этим условиям соответствует угол $ \alpha = -\frac{\pi}{6} $ (или $ \frac{11\pi}{6} $).

Общее решение с учетом периодичности записывается как $ \alpha = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

12.20. a) $y = x$;

б) $y = -x\sqrt{3}$;

В) $x + y = 0$;

Г) $\frac{x}{y} = \sqrt{3}$.

а) y = x;

Уравнение прямой задано в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой $\alpha$ к положительному направлению оси Ox. В данном случае уравнение $y = x$ можно записать как $y = 1 \cdot x + 0$. Следовательно, угловой коэффициент $k = 1$. Найдем угол $\alpha$, зная, что $k = \tan(\alpha)$. Получаем уравнение $\tan(\alpha) = 1$. Угол $\alpha$, лежащий в промежутке от $0^\circ$ до $180^\circ$, для которого тангенс равен 1, это $\alpha = 45^\circ$. В радианах это $\frac{\pi}{4}$.

Ответ: $45^\circ$ или $\frac{\pi}{4}$.

б) y = -xv3;

Данное уравнение $y = (-\sqrt{3})x$ представлено в виде $y = kx + b$. Угловой коэффициент $k = -\sqrt{3}$. Найдем угол $\alpha$ из соотношения $k = \tan(\alpha)$. Получаем уравнение $\tan(\alpha) = -\sqrt{3}$. Учитывая, что угол наклона прямой к оси Ox находится в диапазоне $[0^\circ, 180^\circ)$, решением этого уравнения является $\alpha = 120^\circ$. В радианах это $\frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $120^\circ$ или $\frac{2\pi}{3}$.

в) x + y = 0;

Преобразуем данное уравнение к виду $y = kx + b$, чтобы найти угловой коэффициент. Выразим $y$ из уравнения: $y = -x$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $k = -1$. Найдем угол наклона $\alpha$, используя формулу $k = \tan(\alpha)$. Получаем уравнение $\tan(\alpha) = -1$. Угол, тангенс которого равен -1 и который лежит в диапазоне $[0^\circ, 180^\circ)$, равен $\alpha = 135^\circ$. В радианах это $\frac{3\pi}{4}$.

Ответ: $135^\circ$ или $\frac{3\pi}{4}$.

г) $\frac{x}{y} = \sqrt{3}$.

Преобразуем уравнение, чтобы выразить $y$ через $x$ и привести его к стандартному виду $y = kx$. Из условия $\frac{x}{y} = \sqrt{3}$ следует, что $y \neq 0$. Выразим $x$: $x = y\sqrt{3}$. Теперь выразим $y$: $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x$. Угловой коэффициент этой прямой $k = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Найдем угол наклона $\alpha$ из соотношения $k = \tan(\alpha)$. Получаем уравнение $\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$, это $\alpha = 30^\circ$. В радианах это $\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $30^\circ$ или $\frac{\pi}{6}$.

Найдите на числовой окружности точки, координаты которых удовлетворяют заданному неравенству или системе неравенств, и запишите (с помощью двойного неравенства), каким числам t они соответствуют:

12.21. а) $x > 0;$

б) $x < \frac{1}{2};$

в) $x > \frac{1}{2};$

г) $x < 0.$

На числовой окружности координата $x$ точки, соответствующей числу $t$, равна косинусу этого числа: $x = \cos(t)$. Задача сводится к решению тригонометрических неравенств относительно $t$.

а) $x > 0$

Необходимо решить неравенство $\cos(t) > 0$. Найдём на числовой окружности точки, для которых абсцисса положительна. Это дуга, расположенная в правой полуплоскости, то есть в I и IV четвертях. Граничными точками являются те, где абсцисса равна нулю: $x = \cos(t) = 0$. Это происходит при $t = \frac{\pi}{2}$ и $t = -\frac{\pi}{2}$. Следовательно, неравенству удовлетворяют все точки на дуге от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$, не включая концы. Учитывая периодичность функции косинуса (период $2\pi$), общее решение можно записать в виде двойного неравенства.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $x < \frac{1}{2}$

Необходимо решить неравенство $\cos(t) < \frac{1}{2}$. Найдём на числовой окружности точки, для которых абсцисса равна $\frac{1}{2}$. Это происходит при $t = \frac{\pi}{3}$ (в I четверти) и $t = -\frac{\pi}{3}$ (или $t = \frac{5\pi}{3}$ в IV четверти). Неравенству $\cos(t) < \frac{1}{2}$ удовлетворяют точки, лежащие на большей дуге окружности, расположенной левее вертикальной прямой $x = \frac{1}{2}$. Если двигаться по окружности против часовой стрелки, эта дуга начинается в точке $t = \frac{\pi}{3}$ и заканчивается в точке $t = \frac{5\pi}{3}$. Запишем общее решение с учётом периодичности.

Ответ: $\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $x > \frac{1}{2}$

Необходимо решить неравенство $\cos(t) > \frac{1}{2}$. Как и в предыдущем пункте, граничными точками являются $t = \frac{\pi}{3}$ и $t = -\frac{\pi}{3}$. Неравенству $\cos(t) > \frac{1}{2}$ удовлетворяют точки, лежащие на меньшей дуге окружности, расположенной правее вертикальной прямой $x = \frac{1}{2}$. Эта дуга заключена между точками $t = -\frac{\pi}{3}$ и $t = \frac{\pi}{3}$. Запишем общее решение с учётом периодичности.

Ответ: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $x < 0$

Необходимо решить неравенство $\cos(t) < 0$. Найдём на числовой окружности точки, для которых абсцисса отрицательна. Это дуга, расположенная в левой полуплоскости, то есть во II и III четвертях. Граничными точками являются те, где абсцисса равна нулю: $x = \cos(t) = 0$. Это происходит при $t = \frac{\pi}{2}$ и $t = \frac{3\pi}{2}$. Следовательно, неравенству удовлетворяют все точки на дуге от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{2}$, не включая концы. Запишем общее решение с учётом периодичности.

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

12.22. a) $x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $x < \frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

г) $x > -\frac{1}{2}$.

Задачи в данном номере, по всей видимости, представляют собой тригонометрические неравенства, в которых была пропущена сама функция. Наиболее вероятно, что это неравенства вида $\cos(x) > a$ или $\sin(x) > a$, так как числовые значения являются стандартными для этих функций. Решим эти задачи, предположив, что имеется в виду функция косинуса.

а)

Предположим, что требуется решить неравенство $\cos(x) > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Для решения этого неравенства воспользуемся единичной тригонометрической окружностью. Сначала найдем углы, для которых косинус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Уравнение $\cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет решения $x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$, то граничными точками на одном обороте окружности являются $x_1 = \frac{5\pi}{6}$ и $x_2 = -\frac{5\pi}{6}$.

Неравенство $\cos(x) > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется для тех точек на единичной окружности, абсцисса (косинус) которых больше, чем $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это соответствует дуге окружности, расположенной правее вертикальной прямой, проходящей через точку с абсциссой $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Эта дуга соответствует углам, заключенным в интервале от $-\frac{5\pi}{6}$ до $\frac{5\pi}{6}$.

Учитывая периодичность функции косинуса (период $2\pi$), общее решение неравенства записывается в виде двойного неравенства:

$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

б)

Предположим, что требуется решить неравенство $\cos(x) < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

На единичной окружности найдем углы, для которых $\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решениями этого уравнения являются $x = \pm \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Граничные точки на одном обороте: $x_1 = \frac{\pi}{4}$ и $x_2 = -\frac{\pi}{4}$ (или $x_2 = \frac{7\pi}{4}$).

Неравенство $\cos(x) < \frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется для точек на единичной окружности, абсцисса которых меньше, чем $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это соответствует дуге окружности, расположенной левее прямой, проходящей через точку с абсциссой $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Эта дуга соответствует углам от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{7\pi}{4}$ при обходе против часовой стрелки.

Таким образом, решение на одном периоде: $\frac{\pi}{4} < x < \frac{7\pi}{4}$.

Общее решение с учетом периода $2\pi$:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{7\pi}{4} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

в)

Предположим, что требуется решить неравенство $\cos(x) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдем углы, для которых $\cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решениями уравнения являются $x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Граничные точки на одном обороте: $x_1 = \frac{3\pi}{4}$ и $x_2 = -\frac{3\pi}{4}$ (или $x_2 = \frac{5\pi}{4}$).

Неравенство $\cos(x) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется для точек на единичной окружности, абсцисса которых меньше, чем $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это соответствует дуге окружности, расположенной левее прямой, проходящей через точку с абсциссой $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Эта дуга соответствует углам от $\frac{3\pi}{4}$ до $\frac{5\pi}{4}$ при обходе против часовой стрелки.

Решение на одном периоде: $\frac{3\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4}$.

Общее решение с учетом периода $2\pi$:

$\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \frac{5\pi}{4} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

г)

Предположим, что требуется решить неравенство $\cos(x) > \frac{1}{2}$.

Найдем углы, для которых $\cos(x) = \frac{1}{2}$.

Решениями уравнения являются $x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Граничные точки на одном обороте: $x_1 = \frac{\pi}{3}$ и $x_2 = -\frac{\pi}{3}$.

Неравенство $\cos(x) > \frac{1}{2}$ выполняется для точек на единичной окружности, абсцисса которых больше, чем $\frac{1}{2}$. Это соответствует дуге окружности, расположенной правее прямой, проходящей через точку с абсциссой $\frac{1}{2}$.

Эта дуга соответствует углам, заключенным в интервале от $-\frac{\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{3}$.

Решение на одном периоде: $-\frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{3}$.

Общее решение с учетом периода $2\pi$:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

12.23. a) $y > 0$;

б) $y < \frac{1}{2}$;

в) $y > \frac{1}{2}$;

г) $y < 0$.

Для решения данных неравенств необходимо знать функцию $y(x)$, к которой они относятся. Данное задание (12.23) обычно относится к функции, рассматриваемой в соответствующем параграфе учебника. Предположим, что речь идет о функции $y = \sin x + \cos x$.

Для удобства решения преобразуем эту функцию, используя метод введения вспомогательного угла:

$y = \sin x + \cos x = \sqrt{1^2 + 1^2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} \sin x + \sin\frac{\pi}{4} \cos x\right)$

Применяя формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$, получаем:

$y = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$

Теперь решим каждое неравенство, подставив преобразованное выражение для $y$.

а) $y > 0$

Неравенство принимает вид:

$\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) > 0$

Разделив обе части на $\sqrt{2}$, получаем:

$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) > 0$

Функция синус положительна, когда ее аргумент находится в интервале $(2k\pi, \pi + 2k\pi)$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

$2k\pi < x + \frac{\pi}{4} < \pi + 2k\pi$

Чтобы найти $x$, вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей двойного неравенства:

$2k\pi - \frac{\pi}{4} < x < \pi + 2k\pi - \frac{\pi}{4}$

$-\frac{\pi}{4} + 2k\pi < x < \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x \in \left(-\frac{\pi}{4} + 2k\pi; \frac{3\pi}{4} + 2k\pi\right)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $y < \frac{1}{2}$

Неравенство принимает вид:

$\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) < \frac{1}{2}$

$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) < \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Пусть $t = x + \frac{\pi}{4}$. Решаем неравенство $\sin t < \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Решения уравнения $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{4}$ на одном обороте единичной окружности это $t_1 = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$ и $t_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$.

Неравенство $\sin t < \frac{\sqrt{2}}{4}$ выполняется для $t$, лежащих в интервале $(\pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi, 2\pi + \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi)$.

$\pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi < x + \frac{\pi}{4} < 2\pi + \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi$

Вычитаем $\frac{\pi}{4}$:

$\frac{3\pi}{4} - \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi < x < \frac{7\pi}{4} + \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x \in \left(\frac{3\pi}{4} - \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi; \frac{7\pi}{4} + \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi\right)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) $y > \frac{1}{2}$

Неравенство принимает вид:

$\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) > \frac{1}{2}$

$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) > \frac{\sqrt{2}}{4}$

Как и в предыдущем пункте, пусть $t = x + \frac{\pi}{4}$. Решаем $\sin t > \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Это неравенство выполняется, когда значение $t$ находится между $t_1 = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$ и $t_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$.

$\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi < t < \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi$

Возвращаемся к $x$:

$\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi < x + \frac{\pi}{4} < \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi$

Вычитаем $\frac{\pi}{4}$:

$-\frac{\pi}{4} + \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi < x < \frac{3\pi}{4} - \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x \in \left(-\frac{\pi}{4} + \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi; \frac{3\pi}{4} - \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi\right)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) $y < 0$

Неравенство принимает вид:

$\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) < 0$

$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) < 0$

Функция синус отрицательна, когда ее аргумент находится в интервале $(\pi + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\pi + 2k\pi < x + \frac{\pi}{4} < 2\pi + 2k\pi$

Вычитаем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства:

$\pi + 2k\pi - \frac{\pi}{4} < x < 2\pi + 2k\pi - \frac{\pi}{4}$

$\frac{3\pi}{4} + 2k\pi < x < \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x \in \left(\frac{3\pi}{4} + 2k\pi; \frac{7\pi}{4} + 2k\pi\right)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

12.24. a) $y > -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $y < \frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $y < -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

г) $y > -\frac{1}{2}$.

Поскольку в условии задачи не указано, какую функцию представляет переменная $y$, будем решать данные неравенства, предположив, что $y = \cos(t)$. Решения будут представлять собой множества значений аргумента $t$.

а) Решим неравенство $y > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

При $y=\cos(t)$ получаем тригонометрическое неравенство $\cos(t) > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сначала найдем корни уравнения $\cos(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Решения имеют вид $t = \pm\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$, то граничные углы равны $t = \pm\frac{5\pi}{6}$.

На единичной окружности косинус угла соответствует абсциссе точки. Неравенству $\cos(t) > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ удовлетворяют точки, расположенные на дуге справа от вертикальной прямой $x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Эта дуга заключена между углами $-\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$ (при движении против часовой стрелки).

Таким образом, с учетом периодичности функции косинуса, общее решение неравенства:

Ответ: $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим неравенство $y < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

При $y=\cos(t)$ получаем $\cos(t) < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Сначала найдем корни уравнения $\cos(t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Решениями являются $t = \pm\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Граничные углы равны $t = -\frac{\pi}{4}$ и $t = \frac{\pi}{4}$.

Неравенству $\cos(t) < \frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствуют точки на единичной окружности, абсцисса которых меньше $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти точки лежат на дуге, расположенной слева от прямой $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эта дуга начинается в точке $\frac{\pi}{4}$ и заканчивается в точке $2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.

Следовательно, общее решение неравенства с учетом периода $2\pi$:

Ответ: $\frac{\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

в) Решим неравенство $y < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

При $y=\cos(t)$ получаем $\cos(t) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Находим корни уравнения $\cos(t) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Решения: $t = \pm\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k = \pm(\pi - \frac{\pi}{4}) + 2\pi k = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Граничные углы равны $t = \frac{3\pi}{4}$ и $t = -\frac{3\pi}{4}$ (или $t = \frac{5\pi}{4}$).

Неравенству $\cos(t) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствуют точки на единичной окружности, абсцисса которых меньше $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти точки лежат на дуге слева от прямой $x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, заключенной между углами $\frac{3\pi}{4}$ и $\frac{5\pi}{4}$.

Записываем общее решение неравенства:

Ответ: $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

г) Решим неравенство $y > \frac{1}{2}$.

При $y=\cos(t)$ получаем $\cos(t) > \frac{1}{2}$.

Находим корни уравнения $\cos(t) = \frac{1}{2}$. Решениями являются $t = \pm\arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Граничные углы равны $t = -\frac{\pi}{3}$ и $t = \frac{\pi}{3}$.

Неравенству $\cos(t) > \frac{1}{2}$ соответствуют точки на единичной окружности, абсцисса которых больше $\frac{1}{2}$. Эти точки лежат на дуге справа от прямой $x=\frac{1}{2}$, заключенной между углами $-\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{3}$.

Записываем общее решение неравенства:

Ответ: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

12.25. а) $\left\{\begin{array}{l}x > 0, \\y < 0;\end{array}\right.$

б) $\left\{\begin{array}{l}x < 0, \\y > -\frac{1}{2};\end{array}\right.$

в) $\left\{\begin{array}{l}x > -\frac{\sqrt{2}}{2}, \\y > \frac{1}{2};\end{array}\right.$

г) $\left\{\begin{array}{l}x < \frac{1}{2}, \\y < \frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}\right.$

Предполагается, что вопрос к задаче следующий: "В какой координатной четверти числовой окружности расположена точка, соответствующая числу $t$, если $x = \cos(t)$ и $y = \sin(t)$?". Для решения каждой системы неравенств мы найдем соответствующий ей интервал углов $t$, а затем определим, в какой четверти находится середина этого интервала.

а) Дана система неравенств:

$\begin{cases} x > 0 \\ y < 0 \end{cases}$

Подставляя $x = \cos(t)$ и $y = \sin(t)$, получаем:

$\begin{cases} \cos(t) > 0 \\ \sin(t) < 0 \end{cases}$

Эти условия однозначно определяют, что точка находится в IV координатной четверти. Углы $t$, удовлетворяющие этим условиям, лежат в интервале $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$.

Середина этого интервала: $t_{mid} = \frac{\frac{3\pi}{2} + 2\pi}{2} = \frac{\frac{7\pi}{2}}{2} = \frac{7\pi}{4}$.

Угол $t = \frac{7\pi}{4}$ находится в IV четверти, так как $\frac{3\pi}{2} < \frac{7\pi}{4} < 2\pi$.

Ответ: IV четверть.

б) Дана система неравенств:

$\begin{cases} x < 0 \\ y > -\frac{1}{2} \end{cases}$

Подставляя $x = \cos(t)$ и $y = \sin(t)$, получаем:

$\begin{cases} \cos(t) < 0 \\ \sin(t) > -\frac{1}{2} \end{cases}$

Первое неравенство, $\cos(t) < 0$, выполняется для углов $t$ из интервала $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$.

Второе неравенство, $\sin(t) > -\frac{1}{2}$, выполняется для углов $t$ из интервала $(-\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6})$.

Пересечением этих двух интервалов является интервал $(\frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6})$.

Найдем середину этого интервала: $t_{mid} = \frac{\frac{\pi}{2} + \frac{7\pi}{6}}{2} = \frac{\frac{3\pi}{6} + \frac{7\pi}{6}}{2} = \frac{\frac{10\pi}{6}}{2} = \frac{5\pi}{6}$.

Угол $t = \frac{5\pi}{6}$ находится во II четверти, так как $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi$.

Ответ: II четверть.

в) Дана система неравенств:

$\begin{cases} x > -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ y > \frac{1}{2} \end{cases}$

Подставляя $x = \cos(t)$ и $y = \sin(t)$, получаем:

$\begin{cases} \cos(t) > -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin(t) > \frac{1}{2} \end{cases}$

Первое неравенство, $\cos(t) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$, выполняется для углов $t$ из интервала $(-\frac{3\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$.

Второе неравенство, $\sin(t) > \frac{1}{2}$, выполняется для углов $t$ из интервала $(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$.

Пересечением этих двух интервалов является интервал $(\frac{\pi}{6}, \frac{3\pi}{4})$.

Найдем середину этого интервала: $t_{mid} = \frac{\frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{2\pi}{12} + \frac{9\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{11\pi}{12}}{2} = \frac{11\pi}{24}$.

Угол $t = \frac{11\pi}{24}$ находится в I четверти, так как $0 < \frac{11\pi}{24} < \frac{\pi}{2}$ (поскольку $\frac{11}{24} < \frac{1}{2}$).

Ответ: I четверть.

г) Дана система неравенств:

$\begin{cases} x < \frac{1}{2} \\ y < \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$

Подставляя $x = \cos(t)$ и $y = \sin(t)$, получаем:

$\begin{cases} \cos(t) < \frac{1}{2} \\ \sin(t) < \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$

Первое неравенство, $\cos(t) < \frac{1}{2}$, выполняется для углов $t$ из интервала $(\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3})$.

Второе неравенство, $\sin(t) < \frac{\sqrt{3}}{2}$, выполняется для углов $t$ из интервала $(\frac{2\pi}{3}, 2\pi + \frac{\pi}{3}) = (\frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{3})$.

Пересечением этих двух интервалов является интервал $(\frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3})$.

Найдем середину этого интервала: $t_{mid} = \frac{\frac{2\pi}{3} + \frac{5\pi}{3}}{2} = \frac{\frac{7\pi}{3}}{2} = \frac{7\pi}{6}$.

Угол $t = \frac{7\pi}{6}$ находится в III четверти, так как $\pi < \frac{7\pi}{6} < \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: III четверть.

12.26. a) $x - y > 0$;

б) $xy > 0$;

В) $x + y < 0$;

Г) $xy < 0$.

Рассмотрим неравенство $x - y > 0$.

Перенесем $y$ в правую часть неравенства, чтобы выразить одну переменную через другую. Мы получим $x > y$, что эквивалентно записи $y < x$.

Чтобы найти множество точек, удовлетворяющих этому неравенству, сначала рассмотрим граничный случай — уравнение $y = x$. Графиком этого уравнения является прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Поскольку исходное неравенство является строгим ($>$), точки на самой прямой $y = x$ не входят в решение. Неравенство $y < x$ означает, что для любой абсциссы $x$ искомые точки должны иметь ординату $y$ меньшую, чем $x$. Геометрически это соответствует всем точкам, которые лежат ниже прямой $y = x$.

Таким образом, решением является открытая полуплоскость, расположенная под прямой $y = x$.

Ответ: Множество точек координатной плоскости, расположенных ниже прямой $y = x$.

Рассмотрим неравенство $xy > 0$.

Произведение двух сомножителей $x$ и $y$ будет положительным в том и только в том случае, если оба сомножителя имеют одинаковый знак. Это приводит к двум возможным системам неравенств:

1. Оба числа положительны: $\begin{cases} x > 0 \\ y > 0 \end{cases}$. Эта система описывает все точки, находящиеся в первой координатной четверти (I квадрант).
2. Оба числа отрицательны: $\begin{cases} x < 0 \\ y < 0 \end{cases}$. Эта система описывает все точки, находящиеся в третьей координатной четверти (III квадрант).

Поскольку неравенство строгое, точки, лежащие на осях координат (где $x=0$ или $y=0$), не являются решением.

Следовательно, решением является объединение всех точек первой и третьей координатных четвертей, за исключением самих осей.

Ответ: Объединение открытой первой и открытой третьей координатных четвертей.

Рассмотрим неравенство $x + y < 0$.

Выразим переменную $y$: $y < -x$.

Границей области решения является прямая, заданная уравнением $y = -x$. Эта прямая проходит через начало координат и является биссектрисой второго и четвертого координатных углов.

Так как неравенство строгое ($<$), точки, лежащие на самой прямой $y = -x$, не входят в искомое множество. Неравенство $y < -x$ выполняется для всех точек, у которых ордината $y$ меньше, чем значение $-x$. Геометрически это все точки, расположенные ниже прямой $y = -x$.

Таким образом, решением является открытая полуплоскость, расположенная под прямой $y = -x$.

Ответ: Множество точек координатной плоскости, расположенных ниже прямой $y = -x$.

Рассмотрим неравенство $xy < 0$.

Произведение двух сомножителей $x$ и $y$ будет отрицательным в том и только в том случае, если сомножители имеют разные знаки. Это приводит к двум возможным системам неравенств:

1. Первое число положительно, а второе отрицательно: $\begin{cases} x > 0 \\ y < 0 \end{cases}$. Эта система описывает все точки, находящиеся в четвертой координатной четверти (IV квадрант).
2. Первое число отрицательно, а второе положительно: $\begin{cases} x < 0 \\ y > 0 \end{cases}$. Эта система описывает все точки, находящиеся во второй координатной четверти (II квадрант).

Поскольку неравенство строгое, точки, лежащие на координатных осях ($x=0$ или $y=0$), в решение не входят.

Таким образом, решением является объединение всех точек второй и четвертой координатных четвертей, за исключением осей.

Ответ: Объединение открытой второй и открытой четвертой координатных четвертей.

12.27. а) $x + y \le 1$;

б) $x - y > -1$;

в) $x + y > -1$;

г) $x - y \le 1$.

а) $x + y \le 1$

Решением этого неравенства является множество точек на координатной плоскости, представляющее собой полуплоскость. Чтобы его найти, сначала построим граничную прямую, уравнение которой получается заменой знака неравенства на знак равенства: $x + y = 1$.

Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение прямой в явном виде: $y = -x + 1$. Это прямая с угловым коэффициентом $-1$ и пересекающая ось $y$ в точке $(0, 1)$. Для ее построения найдем две точки. Например, если $x = 0$, то $y = 1$ (точка $(0, 1)$), а если $y = 0$, то $x = 1$ (точка $(1, 0)$).

Поскольку знак неравенства $\le$ (меньше или равно), он является нестрогим. Это означает, что точки, лежащие на самой прямой $y = -x + 1$, также являются решениями. На графике такая прямая изображается сплошной линией.

Теперь определим, какую из двух полуплоскостей, на которые прямая делит плоскость, нужно заштриховать. Для этого возьмем произвольную контрольную точку, не лежащую на прямой. Удобнее всего использовать начало координат — точку $(0, 0)$. Подставим ее координаты в исходное неравенство: $0 + 0 \le 1$, что дает $0 \le 1$.

Это верное утверждение. Следовательно, решением является та полуплоскость, в которой лежит точка $(0, 0)$. Это область ниже прямой $y = -x + 1$.

Ответ: Множество решений — это замкнутая полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = -x + 1$, включая саму прямую.

б) $x - y > -1$

Граничная прямая для этого неравенства имеет уравнение $x - y = -1$. Выразим $y$ через $x$: $-y = -x - 1$, что эквивалентно $y = x + 1$. Это прямая с угловым коэффициентом $1$, проходящая через точку $(0, 1)$. Для построения найдем еще одну точку: если $y=0$, то $x=-1$ (точка $(-1, 0)$).

Знак неравенства $>$ (больше) — строгий. Это значит, что точки на самой прямой $y = x + 1$ не входят в множество решений. На графике такая прямая изображается пунктирной (штриховой) линией.

Для определения нужной полуплоскости снова воспользуемся контрольной точкой $(0, 0)$. Подставляем в исходное неравенство: $0 - 0 > -1$, что дает $0 > -1$.

Это верное утверждение. Таким образом, решением является полуплоскость, содержащая начало координат. Это область, расположенная ниже прямой $y = x + 1$.

Ответ: Множество решений — это открытая полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = x + 1$ (сама прямая не включается в решение).

в) $x + y > -1$

Граничная прямая задается уравнением $x + y = -1$. В явном виде это $y = -x - 1$. Прямая имеет угловой коэффициент $-1$ и проходит через точки $(0, -1)$ и $(-1, 0)$.

Знак неравенства $>$ (строгий), поэтому точки на прямой $y = -x - 1$ не являются решениями. Прямая изображается пунктирной линией.

Возьмем контрольную точку $(0, 0)$ и подставим ее координаты в неравенство: $0 + 0 > -1$, что дает $0 > -1$.

Неравенство верное, значит, решением является полуплоскость, в которой находится точка $(0, 0)$. Это область выше прямой $y = -x - 1$.

Ответ: Множество решений — это открытая полуплоскость, расположенная выше прямой $y = -x - 1$ (сама прямая не включается в решение).

г) $x - y \le 1$

Граничная прямая описывается уравнением $x - y = 1$. Выразим $y$: $-y = -x + 1$, или $y = x - 1$. Это прямая с угловым коэффициентом $1$, проходящая через точки $(0, -1)$ и $(1, 0)$.

Знак неравенства $\le$ (нестрогий), поэтому точки на прямой $y = x - 1$ являются частью решения. Прямая изображается сплошной линией.

Для определения нужной полуплоскости возьмем контрольную точку $(0, 0)$. Подставим в исходное неравенство: $0 - 0 \le 1$, что дает $0 \le 1$.

Это верное утверждение. Следовательно, решением является полуплоскость, содержащая начало координат. Чтобы точно определить ее положение, можно преобразовать само неравенство: $x - y \le 1 \Rightarrow -y \le -x + 1 \Rightarrow y \ge x - 1$ (при умножении на $-1$ знак неравенства меняется на противоположный). Неравенство $y \ge x - 1$ означает, что решением являются все точки на прямой $y = x - 1$ и выше нее.

Ответ: Множество решений — это замкнутая полуплоскость, расположенная выше прямой $y = x - 1$, включая саму прямую.

12.28. a) $2x^2 - x < 0;$

б) $(2x - 1)(y - 3) > 0;$

В) $y + 2y^2 > 0;$

Г) $(2y - \sqrt{2})(x + 2) \le 0.$

а) Решим неравенство $2x^2 - x < 0$.
Это квадратичное неравенство. Для его решения сначала найдем корни соответствующего уравнения $2x^2 - x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(2x - 1) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $2x - 1 = 0 \implies x_2 = 1/2$.
Графиком функции $f(x) = 2x^2 - x$ является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 2 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.
Неравенство $2x^2 - x < 0$ выполняется на интервале, где парабола находится ниже оси Ox, то есть между корнями.
Поскольку неравенство строгое, концы интервала не включаются в решение.
Ответ: $x \in (0, 1/2)$.

б) Решим неравенство $(2x - 1)(y - 3) > 0$.
Произведение двух выражений положительно, если оба выражения имеют одинаковый знак. Рассмотрим два возможных случая.
1. Оба множителя положительны:
$\begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ y - 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1/2 \\ y > 3 \end{cases}$
Это область на координатной плоскости, расположенная правее прямой $x=1/2$ и выше прямой $y=3$.
2. Оба множителя отрицательны:
$\begin{cases} 2x - 1 < 0 \\ y - 3 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 1/2 \\ y < 3 \end{cases}$
Это область на координатной плоскости, расположенная левее прямой $x=1/2$ и ниже прямой $y=3$.
Решением неравенства является объединение этих двух областей.
Ответ: $(x > 1/2 \text{ и } y > 3) \text{ или } (x < 1/2 \text{ и } y < 3)$.

в) Решим неравенство $y + 2y^2 > 0$.
Перепишем неравенство в стандартном виде: $2y^2 + y > 0$.
Найдем корни уравнения $2y^2 + y = 0$.
Вынесем $y$ за скобки: $y(2y + 1) = 0$.
Корни уравнения: $y_1 = 0$ и $2y + 1 = 0 \implies y_2 = -1/2$.
Графиком функции $f(y) = 2y^2 + y$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $y^2$ равен 2, что больше 0).
Неравенство $2y^2 + y > 0$ выполняется там, где парабола находится выше оси Oy, то есть за пределами интервала между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $y < -1/2$ или $y > 0$.
Ответ: $y \in (-\infty, -1/2) \cup (0, \infty)$.

г) Решим неравенство $(2y - \sqrt{2})(x + 2) \le 0$.
Произведение двух выражений меньше или равно нулю, если выражения имеют разные знаки или хотя бы одно из них равно нулю. Рассмотрим два случая.
1. Первый множитель неположителен, а второй — неотрицателен:
$\begin{cases} 2y - \sqrt{2} \le 0 \\ x + 2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y \le \frac{\sqrt{2}}{2} \\ x \ge -2 \end{cases}$
Это область на координатной плоскости, ограниченная прямыми $x=-2$ (включая) и $y=\sqrt{2}/2$ (включая), расположенная правее и ниже их пересечения.
2. Первый множитель неотрицателен, а второй — неположителен:
$\begin{cases} 2y - \sqrt{2} \ge 0 \\ x + 2 \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y \ge \frac{\sqrt{2}}{2} \\ x \le -2 \end{cases}$
Это область на координатной плоскости, ограниченная теми же прямыми, но расположенная левее и выше их пересечения.
Решением является объединение этих двух областей, включая их границы.
Ответ: $(x \ge -2 \text{ и } y \le \frac{\sqrt{2}}{2}) \text{ или } (x \le -2 \text{ и } y \ge \frac{\sqrt{2}}{2})$.

12.29. а) $4x^2 - 1 \le 0;$

б) $1 - 2y^2 < 0;$

В) $3 - 4y^2 > 0;$

Г) $2x^2 - 1 \ge 0.$

а) $4x^2 - 1 \le 0$

Это квадратное неравенство. Для его решения найдем корни соответствующего уравнения $4x^2 - 1 = 0$.

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(2x)^2 - 1^2 = 0$

$(2x - 1)(2x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x_1 = \frac{1}{2}$

$2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x_2 = -\frac{1}{2}$

Теперь рассмотрим функцию $y = 4x^2 - 1$. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ (равный 4) положителен. Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -\frac{1}{2}$ и $x = \frac{1}{2}$.

Нам нужно найти, где $y \le 0$, то есть где парабола находится на оси Ox или ниже нее. Это происходит на отрезке между корнями.

Таким образом, решение неравенства есть промежуток $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$

б) $1 - 2y^2 < 0$

Перенесем 1 в правую часть:

$-2y^2 < -1$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$2y^2 > 1$

$y^2 > \frac{1}{2}$

Найдем корни уравнения $y^2 = \frac{1}{2}$:

$y_1 = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$y_2 = -\sqrt{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Рассмотрим функцию $f(y) = 1 - 2y^2$. Ее график — парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $y^2$ равен -2, что меньше нуля). Парабола пересекает ось Oy в точках $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Неравенство $1 - 2y^2 < 0$ выполняется там, где график функции находится ниже оси Oy. Для параболы с ветвями вниз это происходит за пределами ее корней.

Следовательно, решение неравенства: $y < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ или $y > \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $y \in (-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

в) $3 - 4y^2 > 0$

Перенесем $4y^2$ в правую часть:

$3 > 4y^2$

$4y^2 < 3$

$y^2 < \frac{3}{4}$

Найдем корни уравнения $y^2 = \frac{3}{4}$:

$y_1 = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y_2 = -\sqrt{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Рассмотрим функцию $f(y) = 3 - 4y^2$. Ее график — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $y^2$ равен -4). Парабола пересекает ось Oy в точках $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Нам нужно найти, где $f(y) > 0$, то есть где парабола находится выше оси Oy. Это происходит на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства есть интервал $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: $y \in (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

г) $2x^2 - 1 \ge 0$

Перенесем 1 в правую часть:

$2x^2 \ge 1$

$x^2 \ge \frac{1}{2}$

Найдем корни уравнения $x^2 = \frac{1}{2}$:

$x_1 = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x_2 = -\sqrt{\frac{1}{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Рассмотрим функцию $y = 2x^2 - 1$. Ее график — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 2). Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Неравенство $2x^2 - 1 \ge 0$ выполняется там, где график функции находится на оси Ox или выше нее. Для параболы с ветвями вверх это происходит в самих корнях и за их пределами.

Следовательно, решение неравенства: $x \le -\frac{\sqrt{2}}{2}$ или $x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}] \cup [\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$