Страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Какую функцию называют возрастающей, а какую — убы- вающей?

Возрастающая функция

Функцию $y = f(x)$ называют возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, соответствующее значение функции $f(x_1)$ будет меньше, чем $f(x_2)$. Проще говоря, при увеличении значения аргумента $x$, значение функции $y$ также увеличивается.

Формально это записывается так: функция $f(x)$ возрастает на промежутке $I$, если для любых $x_1, x_2 \in I$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Геометрически это означает, что график возрастающей функции при движении вдоль оси абсцисс слева направо идёт вверх.

Если в определении использовать нестрогое неравенство $f(x_1) \le f(x_2)$, то такую функцию называют неубывающей.

Ответ: Функцию $f(x)$ называют возрастающей на промежутке $I$, если для любых $x_1, x_2 \in I$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Убывающая функция

Функцию $y = f(x)$ называют убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, соответствующее значение функции $f(x_1)$ будет больше, чем $f(x_2)$. Проще говоря, при увеличении значения аргумента $x$, значение функции $y$ уменьшается.

Формально это записывается так: функция $f(x)$ убывает на промежутке $I$, если для любых $x_1, x_2 \in I$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Геометрически это означает, что график убывающей функции при движении вдоль оси абсцисс слева направо идёт вниз.

Если в определении использовать нестрогое неравенство $f(x_1) \ge f(x_2)$, то такую функцию называют невозрастающей.

Ответ: Функцию $f(x)$ называют убывающей на промежутке $I$, если для любых $x_1, x_2 \in I$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

2. Как, глядя на график функции, найти промежутки её монотонности? Проиллюстрируйте свой ответ по графику какой-нибудь кусочной функции.

Как, глядя на график функции, найти промежутки её монотонности

Промежутки монотонности функции — это интервалы, на которых функция либо возрастает, либо убывает, либо остается постоянной. Чтобы найти эти промежутки, глядя на график, нужно мысленно двигаться по оси абсцисс (оси $x$) слева направо и следить за поведением графика функции (линии $y=f(x)$).

• Если на некотором промежутке график функции поднимается вверх, это означает, что с увеличением $x$ значения $y$ также увеличиваются. Такой промежуток называется промежутком возрастания функции. Формально: для любых $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$.
• Если на некотором промежутке график функции опускается вниз, это означает, что с увеличением $x$ значения $y$ уменьшаются. Такой промежуток называется промежутком убывания функции. Формально: для любых $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.
• Если на некотором промежутке график функции представляет собой горизонтальную прямую, это означает, что с увеличением $x$ значения $y$ не изменяются. Такой промежуток называется промежутком постоянства функции. Формально: для любых $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка $f(x_1) = f(x_2)$.

Точки, в которых характер монотонности меняется (например, возрастание сменяется убыванием), называются точками экстремума (максимума или минимума). Эти точки являются границами промежутков монотонности.

Ответ: Чтобы найти промежутки монотонности, нужно определить интервалы по оси $x$, на которых график функции, рассматриваемый слева направо, идет вверх (возрастание), идет вниз (убывание) или является горизонтальным (постоянство). Границами этих промежутков служат точки экстремумов или точки, в которых меняется характер поведения функции.

Проиллюстрируйте свой ответ по графику какой-нибудь кусочной функции

Рассмотрим график следующей кусочной функции $y = f(x)$:

Проанализируем этот график, двигаясь слева направо по оси $x$:

1. На промежутке от $-\infty$ до $x = -3$ график идет вверх. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.
2. В точке $x = -3$ происходит смена поведения: функция достигает локального максимума, и возрастание сменяется убыванием.
3. На промежутке от $x = -3$ до $x = 0$ график идет вниз. Следовательно, на этом промежутке функция убывает.
4. На промежутке от $x = 0$ до $x = 2$ график представляет собой горизонтальный отрезок. Следовательно, на этом промежутке функция постоянна.
5. Начиная с точки $x = 2$ и до $+\infty$ график снова идет вверх. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

Граничные точки ($x=-3, x=0, x=2$) по соглашению принято включать в каждый из промежутков, на границе которых они стоят.

Ответ:

• Функция возрастает на промежутках $(-\infty, -3]$ и $[2, +\infty)$.
• Функция убывает на промежутке $[-3, 0]$.
• Функция постоянна на промежутке $[0, 2]$.

3. Какую функцию называют ограниченной снизу, а какую — ограниченной сверху?

Ограниченной снизу называют функцию $y=f(x)$, для которой существует такое число $m$, что для любого значения $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge m$.
Другими словами, существует "нижняя планка", ниже которой значения функции опуститься не могут. Геометрически это означает, что весь график функции располагается не ниже некоторой горизонтальной прямой $y=m$. Такое число $m$ называется нижней границей (или минорантой) функции.
Пример: функция $y = x^2 + 5$ является ограниченной снизу, так как для любого действительного числа $x$ верно, что $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 5 \ge 5$. В данном случае число 5 является одной из нижних границ этой функции.
Ответ: Функцию называют ограниченной снизу, если существует число $m$, такое, что все значения функции больше или равны этому числу ($f(x) \ge m$).

Ограниченной сверху называют функцию $y=f(x)$, для которой существует такое число $M$, что для любого значения $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \le M$.
Другими словами, существует "верхняя планка", выше которой значения функции подняться не могут. Геометрически это означает, что весь график функции располагается не выше некоторой горизонтальной прямой $y=M$. Такое число $M$ называется верхней границей (или мажорантой) функции.
Пример: функция $y = -x^2 - 2$ является ограниченной сверху, так как для любого действительного числа $x$ верно, что $-x^2 \le 0$, а значит $-x^2 - 2 \le -2$. В данном случае число -2 является одной из верхних границ этой функции.
Ответ: Функцию называют ограниченной сверху, если существует число $M$, такое, что все значения функции меньше или равны этому числу ($f(x) \le M$).

4. Как, глядя на график функции, установить, является ли она:

а) ограниченной снизу;

б) ограниченной сверху;

в) ограниченной?

а) ограниченной снизу

Чтобы по графику функции установить, является ли она ограниченной снизу, необходимо определить, можно ли провести такую горизонтальную прямую, чтобы весь график функции находился над ней (или на ней). Если такая прямая существует, то функция является ограниченной снизу.

С точки зрения математики, функция $y = f(x)$ называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого значения $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge m$. Уравнение $y=m$ как раз и задает ту самую горизонтальную прямую, ниже которой график не опускается.

Ответ: Функция является ограниченной снизу, если существует горизонтальная прямая, ниже которой нет ни одной точки графика.

б) ограниченной сверху

Чтобы по графику функции установить, является ли она ограниченной сверху, необходимо определить, можно ли провести такую горизонтальную прямую, чтобы весь график функции находился под ней (или на ней). Если такую прямую провести можно, то функция является ограниченной сверху.

С точки зрения математики, функция $y = f(x)$ называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для любого значения $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \le M$. Уравнение $y=M$ задает горизонтальную прямую, выше которой график не поднимается.

Ответ: Функция является ограниченной сверху, если существует горизонтальная прямая, выше которой нет ни одной точки графика.

в) ограниченной

Функция называется ограниченной (или просто ограниченной), если она ограничена и снизу, и сверху одновременно. Глядя на график, это означает, что он не уходит бесконечно ни вверх, ни вниз, а целиком располагается в некоторой горизонтальной полосе.

Таким образом, чтобы установить, что функция является ограниченной, нужно определить, можно ли найти две горизонтальные прямые, между которыми будет полностью заключен весь её график. Математически это означает, что существуют числа $m$ и $M$ такие, что для любого $x$ из области определения выполняется двойное неравенство $m \le f(x) \le M$.

Ответ: Функция является ограниченной, если её график можно полностью заключить в горизонтальную полосу между двумя прямыми.

5. Дайте определение наименьшего (наибольшего) значения функции на некотором промежутке из области определения функции.

Наименьшее значение функции
Пусть функция $y=f(x)$ определена на некотором промежутке $I$, который является подмножеством ее области определения $D(f)$, то есть $I \subset D(f)$.
Число $m$ называется наименьшим значением функции $f(x)$ на промежутке $I$, если одновременно выполняются два условия:
1. Существует такая точка $x_0$ из промежутка $I$ ($x_0 \in I$), что значение функции в этой точке равно $m$, то есть $f(x_0) = m$.
2. Для любого значения аргумента $x$ из промежутка $I$ ($x \in I$) значение функции $f(x)$ не меньше, чем $m$, то есть выполняется неравенство $f(x) \ge m$.
Таким образом, наименьшее значение — это такое значение, которое функция реально принимает в некоторой точке заданного промежутка, и оно является самым маленьким среди всех значений функции на этом промежутке. Наименьшее значение функции обозначают как $y_{наим}$ или $\min_{x \in I} f(x)$.

Ответ: Наименьшее значение функции на промежутке — это самое маленькое из всех значений, которое функция принимает хотя бы в одной точке данного промежутка.

Наибольшее значение функции
Пусть функция $y=f(x)$ определена на некотором промежутке $I$, который является подмножеством ее области определения $D(f)$, то есть $I \subset D(f)$.
Число $M$ называется наибольшим значением функции $f(x)$ на промежутке $I$, если одновременно выполняются два условия:
1. Существует такая точка $x_0$ из промежутка $I$ ($x_0 \in I$), что значение функции в этой точке равно $M$, то есть $f(x_0) = M$.
2. Для любого значения аргумента $x$ из промежутка $I$ ($x \in I$) значение функции $f(x)$ не больше, чем $M$, то есть выполняется неравенство $f(x) \le M$.
Таким образом, наибольшее значение — это такое значение, которое функция реально принимает в некоторой точке заданного промежутка, и оно является самым большим среди всех значений функции на этом промежутке. Наибольшее значение функции обозначают как $y_{наиб}$ или $\max_{x \in I} f(x)$.

Ответ: Наибольшее значение функции на промежутке — это самое большое из всех значений, которое функция принимает хотя бы в одной точке данного промежутка.

6. Известно, что у функции есть наименьшее значение. Является ли она ограниченной снизу? сверху?

Снизу

Да, если у функции есть наименьшее значение, она обязательно является ограниченной снизу.

По определению, функция $f(x)$ называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

В условии задачи дано, что у функции есть наименьшее значение. Обозначим это значение как $y_{наим}$. По определению наименьшего значения, для любого $x$ из области определения функции справедливо неравенство $f(x) \ge y_{наим}$.

Это неравенство в точности соответствует определению ограниченности функции снизу. В качестве нижней границы $m$ выступает само наименьшее значение функции $y_{наим}$.

Ответ: Да, функция является ограниченной снизу.

Сверху

Нет, наличие у функции наименьшего значения не гарантирует, что она будет ограниченной сверху.

По определению, функция $f(x)$ называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \le M$.

Чтобы доказать, что функция не обязательно ограничена сверху, достаточно привести контрпример. Рассмотрим функцию $f(x) = x^2$. Эта функция имеет наименьшее значение, равное 0, которое достигается в точке $x=0$. Для всех действительных $x$ выполняется $f(x) = x^2 \ge 0$. Однако эта функция не является ограниченной сверху, так как её значения могут быть сколь угодно большими при $x \to \pm\infty$. Не существует такого числа $M$, которое было бы больше или равно всем значениям этой функции.

При этом существуют функции, которые имеют наименьшее значение и ограничены сверху, например, $f(x) = \sin(x)$ (наименьшее значение -1, ограничена сверху числом 1). Так как существуют и ограниченные, и неограниченные сверху функции с наименьшим значением, в общем случае сделать вывод об ограниченности сверху нельзя.

Ответ: Нет, не обязательно. Функция, имеющая наименьшее значение, может быть не ограниченной сверху.

7. Известно, что у функции есть наибольшее значение. Является ли она ограниченной снизу? сверху?

Давайте разберем каждый вопрос по отдельности, основываясь на определениях.

сверху?

Функция $f(x)$ называется ограниченной сверху, если существует такое число $C$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \le C$. Число $C$ называют верхней границей функции.

По условию задачи, у функции есть наибольшее значение. Обозначим его $M$. По определению наибольшего значения, это означает, что для любого $x$ из области определения функции справедливо неравенство $f(x) \le M$.

Сравнивая определение функции, ограниченной сверху, с условием наличия наибольшего значения, мы видим, что они практически совпадают. Если у функции есть наибольшее значение $M$, то это же число $M$ является ее верхней границей ($C=M$). Следовательно, функция обязательно ограничена сверху.

Ответ: Да, если у функции есть наибольшее значение, она всегда является ограниченной сверху.

снизу?

Функция $f(x)$ называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge m$. Число $m$ называют нижней границей функции.

Наличие наибольшего значения ничего не говорит о том, есть ли у функции нижняя граница. Функция может принимать сколь угодно малые значения. Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример.

Рассмотрим функцию $f(x) = -x^2$.

• Эта функция имеет наибольшее значение. Оно равно $0$ и достигается в точке $x=0$. Для любого другого $x$, значение функции будет меньше нуля ($f(x) \le 0$).
• Однако эта функция не ограничена снизу. Если мы будем брать $x$ по модулю все больше и больше, значение функции будет стремиться к минус бесконечности ($-\infty$). Например, $f(10) = -100$, $f(-1000) = -1000000$. Не существует такого числа $m$, меньше которого функция не могла бы опуститься.

Таким образом, наличие наибольшего значения не гарантирует, что функция ограничена снизу.

Ответ: Не обязательно. Функция, имеющая наибольшее значение, может быть как ограниченной снизу (например, $f(x) = \sin(x)$), так и не ограниченной снизу (например, $f(x) = -x^2$).

8. Приведите пример функции, заданной графически, ограниченной снизу на некотором промежутке и достигающей на этом промежутке своего наименьшего значения.

Для выполнения условия задачи необходимо привести пример функции, для которой на заданном промежутке существует такое число m, что все значения функции на этом промежутке больше или равны m (это условие ограниченности снизу), и при этом существует такая точка c из этого промежутка, в которой функция принимает это наименьшее значение, то есть $f(c) = m$.

В качестве такого примера идеально подходит квадратичная функция $f(x) = x^2$, рассмотренная на любом отрезке, содержащем её вершину, например, на отрезке $X = [-2, 2]$.

• Ограниченность снизу: На отрезке $X = [-2, 2]$ для любого значения аргумента $x$ выполняется неравенство $f(x) = x^2 \ge 0$. Это означает, что функция ограничена снизу, например, числом 0.
• Достижение наименьшего значения: Наименьшее значение функции на данном отрезке равно 0. Функция принимает это значение в точке $x_0 = 0$, которая принадлежит отрезку $[-2, 2]$. Таким образом, $y_{наим} = f(0) = 0^2 = 0$.

Графически эта функция на указанном промежутке представляет собой участок параболы с вершиной в начале координат.

На графике показана функция $f(x) = x^2$. Рассматривается её поведение на отрезке $x \in [-2, 2]$. Вершина параболы в точке $(0, 0)$ является точкой минимума на этом отрезке. Так как все значения функции на отрезке неотрицательны ($f(x) \geq 0$), функция ограничена снизу.

Ответ: Примером функции, ограниченной снизу на некотором промежутке и достигающей на этом промежутке своего наименьшего значения, является функция $f(x) = x^2$ на отрезке $[-2, 2]$. Эта функция ограничена снизу числом 0 и достигает своего наименьшего значения $y_{наим} = 0$ в точке $x = 0$, которая принадлежит данному отрезку.

Найдите декартовы координаты заданной точки:

12.1. а) $M\left(\frac{\pi}{6}\right)$; б) $M\left(\frac{\pi}{4}\right)$; в) $M\left(\frac{\pi}{3}\right)$; г) $M\left(\frac{3\pi}{2}\right)$.

Для нахождения декартовых координат точки $M(t)$, которая соответствует углу $t$ на единичной окружности, используются следующие формулы: координата по оси абсцисс $x = \cos(t)$ и координата по оси ординат $y = \sin(t)$. Таким образом, точка $M(t)$ имеет декартовы координаты $(\cos(t), \sin(t))$.

а) Для точки $M(\frac{\pi}{6})$, угол $t = \frac{\pi}{6}$.

Находим декартовы координаты:

$x = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Следовательно, координаты точки $M(\frac{\pi}{6})$ равны $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.

Ответ: $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.

б) Для точки $M(\frac{\pi}{4})$, угол $t = \frac{\pi}{4}$.

Находим декартовы координаты:

$x = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$y = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, координаты точки $M(\frac{\pi}{4})$ равны $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

в) Для точки $M(\frac{\pi}{3})$, угол $t = \frac{\pi}{3}$.

Находим декартовы координаты:

$x = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$y = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Следовательно, координаты точки $M(\frac{\pi}{3})$ равны $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

г) Для точки $M(\frac{3\pi}{2})$, угол $t = \frac{3\pi}{2}$.

Находим декартовы координаты:

$x = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$

$y = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$

Следовательно, координаты точки $M(\frac{3\pi}{2})$ равны $(0, -1)$.

Ответ: $(0, -1)$.

12.2. а) $M(-3\pi)$;

б) $M(\frac{11\pi}{4})$;

в) $M(-\frac{5\pi}{3})$;

г) $M(\frac{31\pi}{2})$.

а) Чтобы определить, в какой координатной четверти находится точка $M(-3\pi)$, нужно найти ее положение на единичной окружности. Положение точки на окружности является периодическим с периодом $2\pi$. Это означает, что точки $M(t)$ и $M(t + 2\pi k)$ совпадают для любого целого $k$.

Для угла $t = -3\pi$ можно прибавить два полных оборота ($k=2$), чтобы получить угол в стандартном диапазоне $[0, 2\pi)$.

$-3\pi + 2 \cdot 2\pi = -3\pi + 4\pi = \pi$.

Таким образом, точка $M(-3\pi)$ совпадает с точкой $M(\pi)$. Угол $\pi$ радиан соответствует точке на пересечении единичной окружности с отрицательной частью оси абсцисс (Ox). Координаты этой точки $(-1, 0)$. Эта точка лежит на границе между II и III четвертями.

Ответ: Точка лежит на границе II и III четвертей.

б) Найдем положение точки $M(\frac{11\pi}{4})$. Для этого приведем угол к диапазону $[0, 2\pi)$, вычитая полные обороты ($2\pi$).

$2\pi = \frac{8\pi}{4}$.

$\frac{11\pi}{4} = \frac{8\pi + 3\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = 2\pi + \frac{3\pi}{4}$.

Отбросив полный оборот $2\pi$, получаем, что точка $M(\frac{11\pi}{4})$ совпадает с точкой $M(\frac{3\pi}{4})$.

Определим, в какой четверти находится угол $\frac{3\pi}{4}$. Сравним его с границами четвертей:

$\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi$, так как $\frac{2\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} < \frac{4\pi}{4}$.

Это неравенство определяет II координатную четверть.

Ответ: II четверть.

в) Найдем положение точки $M(-\frac{5\pi}{3})$. Прибавим к отрицательному углу полный оборот $2\pi$, чтобы получить эквивалентный положительный угол.

$2\pi = \frac{6\pi}{3}$.

$-\frac{5\pi}{3} + 2\pi = -\frac{5\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

Точка $M(-\frac{5\pi}{3})$ совпадает с точкой $M(\frac{\pi}{3})$.

Определим, в какой четверти находится угол $\frac{\pi}{3}$. Сравним его с границами четвертей:

$0 < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$.

Это неравенство определяет I координатную четверть.

Ответ: I четверть.

г) Найдем положение точки $M(\frac{31\pi}{2})$. Для этого вычтем из угла целое число полных оборотов $2\pi$.

Представим $\frac{31}{2}$ в виде смешанного числа: $\frac{31}{2} = 15.5$.

Таким образом, $\frac{31\pi}{2} = 15.5\pi = 14\pi + 1.5\pi = 7 \cdot 2\pi + \frac{3\pi}{2}$.

Отбросив 7 полных оборотов ($14\pi$), получаем, что точка $M(\frac{31\pi}{2})$ совпадает с точкой $M(\frac{3\pi}{2})$.

Угол $\frac{3\pi}{2}$ радиан соответствует точке на пересечении единичной окружности с отрицательной частью оси ординат (Oy). Координаты этой точки $(0, -1)$. Эта точка лежит на границе между III и IV четвертями.

Ответ: Точка лежит на границе III и IV четвертей.

12.3. a) $M\left(-\frac{41\pi}{6}\right)$;

б) $M(117\pi)$;

в) $M\left(\frac{13\pi}{3}\right)$;

г) $M(126\pi)$.

Чтобы определить, в какой четверти единичной окружности находится точка $M(-\frac{41\pi}{6})$, найдем эквивалентный ей угол $\alpha$ в основном промежутке $[0, 2\pi)$. Для этого к заданному углу можно прибавлять или отнимать целое число полных оборотов ($2\pi k$, где $k$ — целое число).

Угол $t = -\frac{41\pi}{6}$. Представим его в виде смешанной дроби: $-\frac{41\pi}{6} = -6\frac{5}{6}\pi = -6\pi - \frac{5\pi}{6}$.

Отбрасывая полные обороты (в данном случае $-6\pi$, что соответствует 3 оборотам по часовой стрелке), мы получаем точку, соответствующую углу $-\frac{5\pi}{6}$. Чтобы получить угол из промежутка $[0, 2\pi)$, прибавим $2\pi$:

$\alpha = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{-5\pi + 12\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.

Теперь определим, в какой четверти лежит угол $\alpha = \frac{7\pi}{6}$. Сравним его с границами четвертей:

I четверть: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$

II четверть: $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$

III четверть: $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$

IV четверть: $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$

Так как $\pi = \frac{6\pi}{6}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$, неравенство $\pi < \frac{7\pi}{6} < \frac{3\pi}{2}$ является верным.

Следовательно, точка находится в III четверти.

Ответ: III четверть.

Рассмотрим точку $M(117\pi)$. Чтобы определить ее положение, представим угол $117\pi$ в виде $\alpha + 2\pi k$, где $\alpha \in [0, 2\pi)$.

Поскольку 117 — нечетное число, мы можем записать $117\pi = 116\pi + \pi = 58 \cdot 2\pi + \pi$.

Отбросив 58 полных оборотов ($58 \cdot 2\pi$), получаем эквивалентный угол $\alpha = \pi$.

Точка $M(\pi)$ находится на единичной окружности на границе между II и III четвертями. Ее координаты $(-1, 0)$, то есть она лежит на отрицательной части оси абсцисс (Ox).

Ответ: Точка лежит на отрицательной части оси Ox, на границе II и III четвертей.

Для точки $M(\frac{13\pi}{3})$ найдем эквивалентный угол $\alpha$ в промежутке $[0, 2\pi)$.

Представим угол в виде смешанной дроби: $\frac{13\pi}{3} = 4\frac{1}{3}\pi = 4\pi + \frac{\pi}{3}$.

Отбрасывая полные обороты ($4\pi = 2 \cdot 2\pi$), получаем эквивалентный угол $\alpha = \frac{\pi}{3}$.

Теперь определим четверть для угла $\alpha = \frac{\pi}{3}$. Сравним его с границами четвертей: $0 < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$.

Следовательно, точка находится в I четверти.

Ответ: I четверть.

Рассмотрим точку $M(126\pi)$. Представим угол $126\pi$ в виде $\alpha + 2\pi k$, где $\alpha \in [0, 2\pi)$.

Поскольку 126 — четное число, мы можем записать $126\pi = 63 \cdot 2\pi$.

Это означает, что было совершено 63 полных оборота, и точка вернулась в исходное положение. Эквивалентный угол равен $\alpha = 0$.

Точка $M(0)$ находится на единичной окружности на границе между I и IV четвертями. Ее координаты $(1, 0)$, то есть она лежит на положительной части оси абсцисс (Ox).

Ответ: Точка лежит на положительной части оси Ox, на границе I и IV четвертей.

12.4. Найдите наименьшее положительное и наибольшее отрицательное числа, которым на числовой окружности соответствует заданная точка:

а) $M\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right);$

б) $M\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

в) $M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right);$

г) $M\left(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$

12.5. Каким числам из заданного отрезка соответствует точка $M\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} ; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ числовой окружности:

а) $[-4\pi; \pi];$

б) $\left[-\frac{3\pi}{2} ; \frac{7\pi}{2}\right];$

в) $[0; 5\pi];$

г) $\left[\frac{\pi}{2} ; \frac{9\pi}{2}\right]?$

Точка $M(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$ на числовой окружности соответствует таким углам $t$, для которых $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Этим условиям соответствует угол $t = \frac{3\pi}{4}$, который находится во второй координатной четверти. Так как тригонометрические функции периодичны с периодом $2\pi$, то все числа, которым соответствует точка M, можно найти по общей формуле: $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).

Для каждого заданного отрезка мы найдем все значения $t$, попадающие в этот отрезок, путем подбора целых значений $k$.

а) Найдем числа на отрезке $[-4\pi; \pi]$.

Решим двойное неравенство относительно $k$:

$-4\pi \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le \pi$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-4 \le \frac{3}{4} + 2k \le 1$

Вычтем $\frac{3}{4}$ из всех частей:

$-4 - \frac{3}{4} \le 2k \le 1 - \frac{3}{4}$

$-\frac{19}{4} \le 2k \le \frac{1}{4}$

Разделим все части на 2:

$-\frac{19}{8} \le k \le \frac{1}{8}$

$-2,375 \le k \le 0,125$

Целые значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству: $k = -2, -1, 0$.

Найдем соответствующие значения $t$ для каждого $k$:

При $k=-2$: $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi(-2) = \frac{3\pi}{4} - 4\pi = \frac{3\pi - 16\pi}{4} = -\frac{13\pi}{4}$.

При $k=-1$: $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi(-1) = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = \frac{3\pi - 8\pi}{4} = -\frac{5\pi}{4}$.

При $k=0$: $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi(0) = \frac{3\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{13\pi}{4}, -\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$.

б) Найдем числа на отрезке $[-\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}]$.

Решим двойное неравенство:

$-\frac{3\pi}{2} \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le \frac{7\pi}{2}$

Разделим на $\pi$:

$-\frac{3}{2} \le \frac{3}{4} + 2k \le \frac{7}{2}$

Вычтем $\frac{3}{4}$:

$-\frac{6}{4} - \frac{3}{4} \le 2k \le \frac{14}{4} - \frac{3}{4}$

$-\frac{9}{4} \le 2k \le \frac{11}{4}$

Разделим на 2:

$-\frac{9}{8} \le k \le \frac{11}{8}$

$-1,125 \le k \le 1,375$

Целые значения $k$: $k = -1, 0, 1$.

Найдем соответствующие значения $t$:

При $k=-1$: $t = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4}$.

При $k=0$: $t = \frac{3\pi}{4}$.

При $k=1$: $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{3\pi+8\pi}{4} = \frac{11\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}$.

в) Найдем числа на отрезке $[0; 5\pi]$.

Решим двойное неравенство:

$0 \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le 5\pi$

Разделим на $\pi$:

$0 \le \frac{3}{4} + 2k \le 5$

Вычтем $\frac{3}{4}$:

$-\frac{3}{4} \le 2k \le 5 - \frac{3}{4}$

$-\frac{3}{4} \le 2k \le \frac{17}{4}$

Разделим на 2:

$-\frac{3}{8} \le k \le \frac{17}{8}$

$-0,375 \le k \le 2,125$

Целые значения $k$: $k = 0, 1, 2$.

Найдем соответствующие значения $t$:

При $k=0$: $t = \frac{3\pi}{4}$.

При $k=1$: $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$.

При $k=2$: $t = \frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{3\pi+16\pi}{4} = \frac{19\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}, \frac{19\pi}{4}$.

г) Найдем числа на отрезке $[\frac{\pi}{2}; \frac{9\pi}{2}]$.

Решим двойное неравенство:

$\frac{\pi}{2} \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le \frac{9\pi}{2}$

Разделим на $\pi$:

$\frac{1}{2} \le \frac{3}{4} + 2k \le \frac{9}{2}$

Вычтем $\frac{3}{4}$:

$\frac{2}{4} - \frac{3}{4} \le 2k \le \frac{18}{4} - \frac{3}{4}$

$-\frac{1}{4} \le 2k \le \frac{15}{4}$

Разделим на 2:

$-\frac{1}{8} \le k \le \frac{15}{8}$

$-0,125 \le k \le 1,875$

Целые значения $k$: $k = 0, 1$.

Найдем соответствующие значения $t$:

При $k=0$: $t = \frac{3\pi}{4}$.

При $k=1$: $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}$.

12.6. На отрезке $[- \frac{3\pi}{8}; \frac{17\pi}{6}]$ укажите числа, которым на числовой окружности соответствует заданная точка:

а) $M(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2});$

б) $M(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2});$

в) $M(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2});$

г) $M(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}).$

Общая задача состоит в том, чтобы найти все числа $t$ из отрезка $[-\frac{3\pi}{8}; \frac{17\pi}{6}]$, которые на числовой окружности соответствуют заданной точке $M(x, y)$. Координаты точки на числовой окружности связаны с числом $t$ формулами $x = \cos(t)$ и $y = \sin(t)$.

а) $M(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$

Координатам данной точки $M$ соответствуют числа $t$, для которых $\cos(t) = \frac{1}{2}$ и $\sin(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Все такие числа можно найти по формуле $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Теперь необходимо выбрать те значения $t$, которые принадлежат заданному отрезку $[-\frac{3\pi}{8}; \frac{17\pi}{6}]$. Для этого решим двойное неравенство относительно $k$:

$-\frac{3\pi}{8} \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k \le \frac{17\pi}{6}$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-\frac{3}{8} \le \frac{1}{3} + 2k \le \frac{17}{6}$

Вычтем $\frac{1}{3}$ из всех частей:

$-\frac{3}{8} - \frac{1}{3} \le 2k \le \frac{17}{6} - \frac{1}{3}$

$-\frac{9}{24} - \frac{8}{24} \le 2k \le \frac{17}{6} - \frac{2}{6}$

$-\frac{17}{24} \le 2k \le \frac{15}{6}$

$-\frac{17}{24} \le 2k \le \frac{5}{2}$

Разделим все части на 2:

$-\frac{17}{48} \le k \le \frac{5}{4}$

Приблизительно это выглядит как $-0.354 \le k \le 1.25$. Целыми числами в этом промежутке являются $k=0$ и $k=1$.

Найдем соответствующие значения $t$:

• При $k=0$: $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{3}$
• При $k=1$: $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 1 = \frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{7\pi}{3}$

Ответ: $\frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}$.

б) $M(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$

Координатам точки $M$ соответствуют числа $t$, для которых $\cos(t) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Все такие числа описываются формулой $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем значения $k$, для которых $t$ лежит в отрезке $[-\frac{3\pi}{8}; \frac{17\pi}{6}]$:

$-\frac{3\pi}{8} \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le \frac{17\pi}{6}$

$-\frac{3}{8} \le \frac{3}{4} + 2k \le \frac{17}{6}$

$-\frac{3}{8} - \frac{3}{4} \le 2k \le \frac{17}{6} - \frac{3}{4}$

$-\frac{3}{8} - \frac{6}{8} \le 2k \le \frac{34}{12} - \frac{9}{12}$

$-\frac{9}{8} \le 2k \le \frac{25}{12}$

$-\frac{9}{16} \le k \le \frac{25}{24}$

Приблизительно: $-0.5625 \le k \le 1.041...$ Целые значения $k$ в этом интервале: $k=0$ и $k=1$.

Вычислим $t$ для этих значений $k$:

• При $k=0$: $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = \frac{3\pi}{4}$
• При $k=1$: $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{11\pi}{4}$

Ответ: $\frac{3\pi}{4}; \frac{11\pi}{4}$.

в) $M(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$

Координатам точки $M$ соответствуют числа $t$, для которых $\cos(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(t) = -\frac{1}{2}$. Все такие числа можно найти по формуле $t = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим неравенство для отбора корней:

$-\frac{3\pi}{8} \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \le \frac{17\pi}{6}$

$-\frac{3}{8} \le \frac{7}{6} + 2k \le \frac{17}{6}$

$-\frac{3}{8} - \frac{7}{6} \le 2k \le \frac{17}{6} - \frac{7}{6}$

$-\frac{9}{24} - \frac{28}{24} \le 2k \le \frac{10}{6}$

$-\frac{37}{24} \le 2k \le \frac{5}{3}$

$-\frac{37}{48} \le k \le \frac{5}{6}$

Приблизительно: $-0.77 \le k \le 0.83...$ Единственное целое значение в этом промежутке — $k=0$.

Найдем соответствующее значение $t$:

• При $k=0$: $t = \frac{7\pi}{6} + 2\pi \cdot 0 = \frac{7\pi}{6}$

Ответ: $\frac{7\pi}{6}$.

г) $M(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$

Координатам точки $M$ соответствуют числа $t$, для которых $\cos(t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(t) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Все такие числа можно найти по формуле $t = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим неравенство для отбора корней:

$-\frac{3\pi}{8} \le -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le \frac{17\pi}{6}$

$-\frac{3}{8} \le -\frac{1}{4} + 2k \le \frac{17}{6}$

$-\frac{3}{8} + \frac{1}{4} \le 2k \le \frac{17}{6} + \frac{1}{4}$

$-\frac{3}{8} + \frac{2}{8} \le 2k \le \frac{34}{12} + \frac{3}{12}$

$-\frac{1}{8} \le 2k \le \frac{37}{12}$

$-\frac{1}{16} \le k \le \frac{37}{24}$

Приблизительно: $-0.0625 \le k \le 1.541...$ Целые значения $k$ в этом интервале: $k=0$ и $k=1$.

Вычислим $t$ для этих значений $k$:

• При $k=0$: $t = -\frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{4}$
• При $k=1$: $t = -\frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot 1 = -\frac{\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$

Ответ: $-\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}$.