Страница 92, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Что такое обратимая функция?

1. Что такое обратимая функция?

Функция $y = f(x)$, определенная на множестве $X$ со множеством значений $Y$, называется обратимой, если она устанавливает взаимно однозначное соответствие (биекцию) между этими множествами. Это означает, что для каждого значения $y$ из множества $Y$ существует ровно одно значение $x$ из множества $X$ такое, что $f(x) = y$.

Ключевое свойство, которым должна обладать функция для обратимости, — это инъективность. Инъективная функция — это функция, у которой разным значениям аргумента всегда соответствуют разные значения функции. Формально: если $x_1 \neq x_2$, то $f(x_1) \neq f(x_2)$. Достаточным условием обратимости для непрерывной функции является её строгая монотонность (она либо строго возрастает, либо строго убывает на всей своей области определения).

Для каждой обратимой функции $y = f(x)$ можно определить обратную функцию, которую обозначают как $y = f^{-1}(x)$. Эта функция выполняет обратное действие: она сопоставляет каждому значению $y$ из множества значений исходной функции тот единственный $x$, для которого выполнялось равенство $y = f(x)$.

Свойства прямой и обратной функций:

• Область определения обратной функции совпадает со множеством значений исходной функции: $D(f^{-1}) = E(f)$.
• Множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции: $E(f^{-1}) = D(f)$.
• Выполняются следующие тождества: $f(f^{-1}(x)) = x$ и $f^{-1}(f(x)) = x$.
• Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Пример нахождения обратной функции:
Рассмотрим линейную функцию $f(x) = 2x + 5$.
1. Данная функция является строго возрастающей на всей числовой оси, следовательно, она обратима.
2. Чтобы найти обратную функцию, запишем её в виде $y = 2x + 5$.
3. Теперь наша цель — выразить $x$ через $y$:
$2x = y - 5$
$x = \frac{y-5}{2}$.
4. На последнем шаге традиционно меняют переменные $x$ и $y$ местами, чтобы получить стандартный вид $y = f^{-1}(x)$:
$y = \frac{x-5}{2}$.
Таким образом, для функции $f(x) = 2x + 5$ обратной является функция $f^{-1}(x) = \frac{x-5}{2}$.

Контрпример:
Функция $f(x) = x^2$ не является обратимой на всей своей области определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Причина в том, что нарушается условие взаимной однозначности. Например, разным аргументам $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$ соответствует одно и то же значение функции: $f(-3) = 9$ и $f(3) = 9$.
Однако, если ограничить область определения функции, например, промежутком $[0; +\infty)$, то на этом промежутке функция $f(x) = x^2$ будет строго возрастать и станет обратимой. Ее обратной функцией на этом промежутке будет $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$.

Ответ: Обратимая функция — это функция, которая каждому значению из своей области значений ставит в соответствие ровно один аргумент из области определения. Это свойство (инъективность или взаимная однозначность) позволяет построить для неё обратную функцию $f^{-1}(x)$, которая "возвращает" исходный аргумент по значению функции.

2. Приведите пример обратимой функции.

1. Что такое обратимая функция?

Функция $y = f(x)$ называется обратимой, если она принимает каждое своё значение ровно в одной точке области определения. Иными словами, для любого числа $y_0$ из множества значений функции уравнение $f(x) = y_0$ имеет единственный корень. Такое свойство также называют взаимной однозначностью.

Для обратимой функции $f$ можно определить обратную функцию $f^{-1}$, которая каждому значению $y$ из множества значений $f$ ставит в соответствие то единственное значение $x$, для которого $f(x) = y$. Таким образом, выполняется равенство $f^{-1}(f(x)) = x$ для всех $x$ из области определения $f$.

Достаточным условием обратимости для функции, непрерывной на некотором промежутке, является её строгая монотонность (строгое возрастание или строгое убывание) на этом промежутке.

Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной функции, а множество значений обратной — с областью определения исходной: $D(f^{-1}) = E(f)$ и $E(f^{-1}) = D(f)$. Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратимая функция — это функция, которая разным значениям аргумента ставит в соответствие разные значения функции. Для такой функции $y=f(x)$ можно однозначно выразить аргумент $x$ через значение функции $y$, получив обратную функцию $x=f^{-1}(y)$.

2. Приведите пример обратимой функции.

Рассмотрим в качестве примера линейную функцию $y = 3x - 6$. Эта функция является обратимой, так как она строго возрастает на всей числовой оси ($x \in \mathbb{R}$). Это означает, что каждому значению $y$ соответствует ровно одно значение $x$.

Найдём для неё обратную функцию. Для этого выразим $x$ из уравнения $y = 3x - 6$:

$y + 6 = 3x$

$x = \frac{y+6}{3}$

$x = \frac{1}{3}y + 2$

Поменяв по традиции переменные $x$ и $y$ местами, мы получаем формулу обратной функции в привычном виде: $y = \frac{1}{3}x + 2$.

Другим простым примером обратимой функции является кубическая парабола $y = x^3$. Она также является строго возрастающей на всей числовой оси. Обратная к ней функция — кубический корень $y = \sqrt[3]{x}$.

В отличие от них, функция $y=x^2$ не является обратимой на всей числовой оси, так как, например, значению $y=9$ соответствует два значения $x$: $3$ и $-3$. Она становится обратимой, если ограничить её область определения, например, промежутком $[0; +\infty)$. Тогда обратной к ней будет функция $y=\sqrt{x}$.

Ответ: Примером обратимой функции является $y = 3x - 6$. Обратная к ней функция: $y = \frac{1}{3}x + 2$.

3. Что такое обратная функция?

3. Что такое обратная функция?

Обратная функция — это функция, которая "отменяет" или "обращает" действие другой функции. Если исходная функция $f$ сопоставляет элементу $x$ элемент $y$, то обратная ей функция $f^{-1}$ сопоставляет элементу $y$ обратно элемент $x$.

Более строго, пусть дана функция $y = f(x)$ с областью определения $X$ и множеством значений $Y$. Если для каждого значения $y_0$ из множества $Y$ существует только одно значение $x_0$ из множества $X$ такое, что $f(x_0) = y_0$, то можно определить новую функцию, которая каждому $y \in Y$ ставит в соответствие этот единственный $x \in X$. Такая функция называется обратной к функции $y=f(x)$ и обозначается $x = f^{-1}(y)$.

Основные положения и свойства:

• Условие существования: Функция $f(x)$ имеет обратную тогда и только тогда, когда она взаимно-однозначна (или биективна). Это значит, что разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции. Для числовых функций, непрерывных на некотором промежутке, достаточным условием существования обратной является строгая монотонность (функция либо строго возрастает, либо строго убывает на всей своей области определения).
• Обозначение: Обратная к функции $f(x)$ обозначается как $f^{-1}(x)$. Важно не путать это обозначение со степенью: $f^{-1}(x) \neq \frac{1}{f(x)}$.
• Область определения и множество значений: Область определения обратной функции является множеством значений исходной функции, а множество значений обратной функции является областью определения исходной. Если $D(f)$ — область определения $f$, а $E(f)$ — множество значений $f$, то: $D(f^{-1}) = E(f)$ и $E(f^{-1}) = D(f)$.
• Тождества: Выполнение последовательно прямой и обратной функции возвращает исходный аргумент:
  • $f(f^{-1}(x)) = x$ для всех $x$ из области определения $f^{-1}$.
  • $f^{-1}(f(x)) = x$ для всех $x$ из области определения $f$.
• Графики: Графики прямой функции $y = f(x)$ и обратной ей $y = f^{-1}(x)$ симметричны относительно прямой $y = x$. Это происходит потому, что для каждой точки $(a, b)$ на графике $f(x)$ соответствующая точка $(b, a)$ лежит на графике $f^{-1}(x)$.

Алгоритм нахождения обратной функции для $y=f(x)$:

1. Убедиться, что функция $f(x)$ является обратимой на своей области определения (например, проверив ее на строгую монотонность).
2. В равенстве $y=f(x)$ выразить переменную $x$ через $y$. Вы получите формулу вида $x = g(y)$.
3. В полученной формуле $x = g(y)$ поменять местами переменные $x$ и $y$. В результате получится запись $y = g(x)$, которая и задает обратную функцию $y = f^{-1}(x)$.

Пример нахождения обратной функции:

Найти функцию, обратную к функции $y = \frac{2x}{x-1}$.

1. Область определения исходной функции $D(f): x-1 \neq 0 \implies x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. На каждом из этих интервалов функция строго монотонна (убывает), поэтому обратная функция существует.

2. Выразим $x$ через $y$:
$y(x-1) = 2x$
$yx - y = 2x$
$yx - 2x = y$
$x(y-2) = y$
$x = \frac{y}{y-2}$

3. Меняем местами $x$ и $y$:
$y = \frac{x}{x-2}$

Таким образом, обратная функция имеет вид $f^{-1}(x) = \frac{x}{x-2}$. Область ее определения $D(f^{-1}): x \neq 2$, что совпадает с областью значений исходной функции $E(f)$.

Ответ: Обратная функция $f^{-1}$ для функции $f$ — это такая функция, которая сопоставляет каждому элементу $y$ из множества значений $f$ единственный элемент $x$ из области определения $f$, для которого выполняется равенство $f(x)=y$. Существует только для взаимно-однозначных (биективных) функций. График обратной функции симметричен графику исходной относительно прямой $y=x$. Область определения и множество значений исходной и обратной функций "меняются местами".

4. Для всякой ли функции можно найти обратную?

4.

Нет, не для всякой функции можно найти обратную. Обратная функция существует только для так называемых обратимых или взаимно однозначных (биективных) функций.

Функция $y = f(x)$ называется обратимой, если она каждому значению $y$ из своей области значений $E(f)$ ставит в соответствие единственное значение $x$ из своей области определения $D(f)$. Говоря проще, для обратимости необходимо, чтобы разным значениям аргумента соответствовали разные значения функции. Это свойство называется инъективностью.

Если это условие не выполняется, то функция не является обратимой.

Пример функции, для которой нельзя найти обратную

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2$ с областью определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.Найдем, каким значениям аргумента $x$ соответствует значение функции $y = 4$.

$x^2 = 4$

Это уравнение имеет два различных корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Поскольку одному значению функции ($y=4$) соответствуют два разных значения аргумента ($x=2$ и $x=-2$), эта функция не является взаимно однозначной. Если бы мы попытались определить обратную функцию $g(y)$, то чему было бы равно значение $g(4)$? Оно должно было бы быть равно и 2, и -2 одновременно, что противоречит самому определению функции, согласно которому каждому значению аргумента должно соответствовать только одно значение функции.

Графически это можно проверить с помощью теста горизонтальной линией: если существует хотя бы одна горизонтальная линия, которая пересекает график функции более чем в одной точке, то функция не имеет обратной на всей своей области определения.

Как сделать функцию обратимой?

Очень часто функцию, не имеющую обратной, можно сделать обратимой, сузив ее область определения. Например, для той же функции $y = x^2$, если мы будем рассматривать ее не на всей числовой оси, а только на промежутке $[0, +\infty)$, то на этом промежутке она будет строго возрастать. Теперь каждому значению $y \ge 0$ соответствует только одно значение $x \ge 0$. Для этой "новой" функции с суженной областью определения обратная функция существует, и это $y = \sqrt{x}$.

Пример обратимой функции

Рассмотрим линейную функцию $y = 3x - 6$. Какое бы значение $y$ мы ни взяли, мы всегда сможем найти единственное соответствующее ему значение $x$:

$3x = y + 6$

$x = \frac{y+6}{3}$

Эта зависимость сама является функцией. Обратная функция существует и имеет вид $g(x) = \frac{x+6}{3}$. Исходная функция $y=3x-6$ является строго монотонной (возрастающей) на всей своей области определения, что является достаточным условием для существования обратной функции.

Ответ: Нет, обратную функцию можно найти не для всякой функции, а только для взаимно однозначных (биективных), то есть таких, у которых каждому значению из области значений соответствует ровно одно значение из области определения.

5. Как, зная график обратимой функции, построить график обратной функции?

Чтобы построить график функции, обратной к данной обратимой функции $y = f(x)$, необходимо график исходной функции $y = f(x)$ симметрично отразить относительно прямой $y=x$.

Это правило следует непосредственно из определения обратной функции. Если некоторая точка с координатами $(a, b)$ принадлежит графику функции $y=f(x)$, это означает, что при $x=a$ значение функции равно $b$, то есть $b=f(a)$.

Для обратной функции, которую мы можем обозначить как $g(x) = f^{-1}(x)$, по определению должно выполняться равенство $a = g(b)$ или, что то же самое, $a = f^{-1}(b)$. Это означает, что точка с координатами $(b, a)$ принадлежит графику обратной функции.

Таким образом, каждой точке $(a, b)$ на графике исходной функции соответствует точка $(b, a)$ на графике обратной функции. В декартовой системе координат точки с координатами $(a, b)$ и $(b, a)$ являются симметричными относительно прямой $y=x$, которая является биссектрисой I и III координатных четвертей. Следовательно, и весь график обратной функции является симметричным отражением графика исходной функции относительно этой прямой.

Алгоритм построения графика обратной функции:
1. Построить в системе координат график исходной функции $y=f(x)$.
2. Провести в той же системе координат прямую $y=x$. Эта прямая будет осью симметрии.
3. Выбрать на графике $y=f(x)$ несколько характерных точек (например, точки пересечения с осями, точки экстремума) с координатами $(a_1, b_1), (a_2, b_2), \dots$
4. Для каждой из этих точек построить симметричную ей точку относительно прямой $y=x$. Координаты новых точек получатся путем обмена исходных координат местами: $(b_1, a_1), (b_2, a_2), \dots$
5. Соединить полученные новые точки плавной линией, учитывая, что она должна быть "зеркальным отражением" исходного графика. Полученная кривая и будет являться графиком обратной функции $y=f^{-1}(x)$.

Например, показательная функция $y=a^x$ (где $a>0, a \neq 1$) и логарифмическая функция $y=\log_a x$ являются взаимно обратными. Их графики симметричны относительно прямой $y=x$. Точка $(0, 1)$, лежащая на графике $y=a^x$, соответствует точке $(1, 0)$ на графике $y=\log_a x$.

Ответ: График обратной функции строится путем симметричного отражения графика исходной функции относительно прямой, заданной уравнением $y=x$.

6. Даны две функции: $y = x^3$, $x \in [-2; 2]$, и $y = x^2$, $x \in [-2; 2]$. Для какой из них можно найти обратную функцию, а для какой — нельзя? Если обратная функция существует, то задайте ее аналитически и постройте на одном чертеже графики прямой и обратной функций.

Для того чтобы для функции существовала обратная, она должна быть строго монотонной на всей своей области определения. Строго монотонная функция (строго возрастающая или строго убывающая) каждому значению аргумента $x$ ставит в соответствие уникальное значение функции $y$, и наоборот. Проверим это свойство для каждой из данных функций.

Для какой из них можно найти обратную функцию, а для какой — нельзя?

Рассмотрим функцию $y = x^3$ на отрезке $x \in [-2; 2]$.
Эта функция является строго возрастающей на всей числовой оси, а значит, и на отрезке $[-2; 2]$. Это можно проверить с помощью производной: $y' = (x^3)' = 3x^2$. Поскольку $3x^2 \ge 0$ для всех $x$, и производная равна нулю только в одной точке ($x=0$), функция строго возрастает. Это значит, что для любых двух различных значений $x_1$ и $x_2$ из отрезка $[-2; 2]$ значения $y_1 = x_1^3$ и $y_2 = x_2^3$ также будут различны. Следовательно, для этой функции существует обратная.

Рассмотрим функцию $y = x^2$ на отрезке $x \in [-2; 2]$.
Эта функция не является строго монотонной на данном отрезке. На промежутке $[-2; 0]$ она убывает, а на промежутке $[0; 2]$ — возрастает. Из-за этого разным значениям аргумента может соответствовать одно и то же значение функции. Например, возьмем $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Получим $y_1 = (-2)^2 = 4$ и $y_2 = (2)^2 = 4$. Так как двум разным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, она не является взаимно-однозначной, и обратную функцию для нее на данном отрезке найти нельзя.

Ответ: Обратную функцию можно найти для $y = x^3$, $x \in [-2; 2]$. Для функции $y = x^2$, $x \in [-2; 2]$ обратную функцию найти нельзя.

Если обратная функция существует, то задайте её аналитически и постройте на одном чертеже графики прямой и обратной функций.

Обратная функция существует для $y = x^3$ на отрезке $x \in [-2; 2]$.

1. Аналитическое задание обратной функции.
Исходная функция: $y = x^3$.
Для нахождения обратной функции выразим $x$ через $y$:
$x = \sqrt[3]{y}$
Теперь, по общепринятому правилу, меняем переменные $x$ и $y$ местами, чтобы записать обратную функцию в стандартном виде:
$y = \sqrt[3]{x}$
Область определения обратной функции совпадает с областью значений прямой функции, а область значений обратной функции — с областью определения прямой.
Для прямой функции $y = x^3$ с $x \in [-2; 2]$:
• Область определения $D(f) = [-2; 2]$.
• Область значений $E(f) = [(-2)^3; 2^3] = [-8; 8]$.
Следовательно, для обратной функции $y = \sqrt[3]{x}$:
• Область определения $D(f^{-1}) = [-8; 8]$.
• Область значений $E(f^{-1}) = [-2; 2]$.

2. Построение графиков.
Построим на одном чертеже графики прямой функции $y=x^3$ (для $x \in [-2; 2]$) и обратной ей функции $y=\sqrt[3]{x}$ (для $x \in [-8; 8]$). Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция задается аналитически как $y = \sqrt[3]{x}$, с областью определения $x \in [-8; 8]$. Графики прямой и обратной функций построены на чертеже выше.

Сравните числа $a$ и $b$:

13.36. а) $a = \sin 1$, $b = \cos 1$;

б) $a = \sin 4$, $b = \cos 4$;

В) $a = \sin 2$, $b = \cos 2$;

Г) $a = \sin 7$, $b = \cos 7$.

а) $a = \sin 1, b = \cos 1$

Для сравнения чисел $a$ и $b$ определим, в какой четверти тригонометрической окружности находится угол в 1 радиан. Мы используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$. Тогда $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ и $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$.

Поскольку $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$, угол в 1 радиан находится в первой четверти, где и синус, и косинус положительны.

Сравнение $\sin x$ и $\cos x$ зависит от сравнения $x$ с $\frac{\pi}{4}$. На интервале $(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4})$ выполняется неравенство $\sin x > \cos x$.

Сравним 1 с $\frac{\pi}{4}$: $1 > \frac{\pi}{4} \approx 0.785$.

Так как $1$ принадлежит интервалу $(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4})$, то $\sin 1 > \cos 1$. Следовательно, $a > b$.

Ответ: $a > b$.

б) $a = \sin 4, b = \cos 4$

Определим, в какой четверти находится угол в 4 радиана. Используем приближения: $\pi \approx 3.14$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$.

Поскольку $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$, угол в 4 радиана находится в третьей четверти. В этой четверти и синус, и косинус отрицательны.

Рассмотрим разность $a - b = \sin 4 - \cos 4$. Преобразуем ее, используя метод вспомогательного угла:

$\sin 4 - \cos 4 = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 4 - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 4) = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\sin 4 - \sin\frac{\pi}{4}\cos 4) = \sqrt{2}\sin(4 - \frac{\pi}{4})$.

Теперь нужно определить знак выражения $\sin(4 - \frac{\pi}{4})$. Оценим значение аргумента $4 - \frac{\pi}{4}$.

Используя $\pi \approx 3.1416$, получаем $\frac{\pi}{4} \approx 0.7854$.

$4 - \frac{\pi}{4} \approx 4 - 0.7854 = 3.2146$.

Так как $\pi \approx 3.1416$, то $4 - \frac{\pi}{4} > \pi$. С другой стороны, $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$, значит $4 - \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{2}$.

Таким образом, угол $4 - \frac{\pi}{4}$ находится в третьей четверти, где синус отрицателен: $\sin(4 - \frac{\pi}{4}) < 0$.

Так как $\sqrt{2} > 0$, то произведение $\sqrt{2}\sin(4 - \frac{\pi}{4})$ отрицательно.

Следовательно, $\sin 4 - \cos 4 < 0$, что означает $\sin 4 < \cos 4$. Таким образом, $a < b$.

Ответ: $a < b$.

в) $a = \sin 2, b = \cos 2$

Определим, в какой четверти находится угол в 2 радиана. Используем приближения: $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ и $\pi \approx 3.14$.

Поскольку $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, угол в 2 радиана находится во второй четверти.

Во второй четверти синус положителен ($\sin 2 > 0$), а косинус отрицателен ($\cos 2 < 0$).

Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $\sin 2 > \cos 2$.

Следовательно, $a > b$.

Ответ: $a > b$.

г) $a = \sin 7, b = \cos 7$

Определим, в какой четверти находится угол в 7 радиан. Используем приближения: $2\pi \approx 6.28$ и $2\pi + \frac{\pi}{2} \approx 6.28 + 1.57 = 7.85$.

Поскольку $2\pi < 7 < 2\pi + \frac{\pi}{2}$, угол в 7 радиан находится в первой четверти (после совершения полного оборота). В этой четверти и синус, и косинус положительны.

Воспользуемся периодичностью тригонометрических функций, чтобы свести задачу к сравнению значений для угла из основного промежутка $[0, 2\pi)$:

$\sin 7 = \sin(7 - 2\pi)$

$\cos 7 = \cos(7 - 2\pi)$

Нам нужно сравнить $\sin(7 - 2\pi)$ и $\cos(7 - 2\pi)$. Оценим значение аргумента $7 - 2\pi \approx 7 - 6.28 = 0.72$.

Теперь сравним это значение с $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$.

Поскольку $0.72 < 0.785$, то есть $7 - 2\pi < \frac{\pi}{4}$.

На интервале $(0, \frac{\pi}{4})$ график косинуса лежит выше графика синуса, поэтому для любого угла $x$ из этого интервала выполняется неравенство $\cos x > \sin x$.

Так как $7 - 2\pi \in (0, \frac{\pi}{4})$, то $\cos(7 - 2\pi) > \sin(7 - 2\pi)$, а значит $\cos 7 > \sin 7$.

Следовательно, $a < b$.

Ответ: $a < b$.

13.37. а) $a = \sin 1, b = \cos 6;$

б) $a = \sin 2, b = \cos 4;$

В) $a = \sin 4, b = \cos 2;$

Г) $a = \sin 3, b = \cos 5.$

Для решения задачи сравним значения тригонометрических функций, определив их знаки и используя тригонометрическую окружность, формулы приведения и свойства монотонности. Аргументы функций даны в радианах. Будем использовать приближенные значения: $\pi \approx 3.14$, $\pi/2 \approx 1.57$, $3\pi/2 \approx 4.71$, $2\pi \approx 6.28$.

Необходимо сравнить числа $a = \sin 1$ и $b = \cos 6$.

1. Определим знаки чисел.Для $a = \sin 1$: угол 1 радиан находится в I четверти, так как $0 < 1 < \pi/2 \approx 1.57$. В I четверти синус положителен, следовательно, $\sin 1 > 0$.Для $b = \cos 6$: угол 6 радиан находится в IV четверти, так как $3\pi/2 \approx 4.71 < 6 < 2\pi \approx 6.28$. В IV четверти косинус положителен, следовательно, $\cos 6 > 0$.

2. Оба числа положительны. Для сравнения приведем их к одной функции с аргументами из I четверти.Преобразуем $a = \sin 1$ с помощью формулы приведения $\sin x = \cos(\pi/2 - x)$:$a = \sin 1 = \cos(\pi/2 - 1)$.

Преобразуем $b = \cos 6$ с помощью формулы периодичности $\cos x = \cos(x - 2\pi)$ и четности $\cos(-y) = \cos y$:$b = \cos 6 = \cos(6 - 2\pi) = \cos(2\pi - 6)$.

3. Теперь нам нужно сравнить $\cos(\pi/2 - 1)$ и $\cos(2\pi - 6)$. Оба аргумента, $(\pi/2 - 1)$ и $(2\pi - 6)$, положительны и меньше $\pi/2$. Сравним эти аргументы:$\pi/2 - 1$ и $2\pi - 6$.Перенесем члены: $6 - 1$ и $2\pi - \pi/2$.$5$ и $3\pi/2$.Так как $3\pi/2 \approx 3 \times 3.14 / 2 = 4.71$, то $5 > 3\pi/2$.Следовательно, $\pi/2 - 1 > 2\pi - 6$.

Функция $y = \cos x$ убывает на интервале $(0, \pi/2)$. Поскольку аргументы принадлежат этому интервалу и $\pi/2 - 1 > 2\pi - 6$, для значений функции будет выполняться обратное неравенство:$\cos(\pi/2 - 1) < \cos(2\pi - 6)$.Это означает, что $\sin 1 < \cos 6$, то есть $a < b$.

Ответ: $a < b$.

Необходимо сравнить числа $a = \sin 2$ и $b = \cos 4$.

1. Определим знаки чисел.Для $a = \sin 2$: угол 2 радиана находится во II четверти, так как $\pi/2 \approx 1.57 < 2 < \pi \approx 3.14$. Во II четверти синус положителен, значит, $\sin 2 > 0$.

Для $b = \cos 4$: угол 4 радиана находится в III четверти, так как $\pi \approx 3.14 < 4 < 3\pi/2 \approx 4.71$. В III четверти косинус отрицателен, значит, $\cos 4 < 0$.

2. Сравниваем положительное число $a = \sin 2$ и отрицательное число $b = \cos 4$. Очевидно, что любое положительное число больше любого отрицательного.Следовательно, $\sin 2 > \cos 4$, то есть $a > b$.

Ответ: $a > b$.

Необходимо сравнить числа $a = \sin 4$ и $b = \cos 2$.

1. Определим знаки чисел.Для $a = \sin 4$: угол 4 радиана находится в III четверти, так как $\pi \approx 3.14 < 4 < 3\pi/2 \approx 4.71$. В III четверти синус отрицателен, значит, $\sin 4 < 0$.

Для $b = \cos 2$: угол 2 радиана находится во II четверти, так как $\pi/2 \approx 1.57 < 2 < \pi \approx 3.14$. Во II четверти косинус отрицателен, значит, $\cos 2 < 0$.

2. Оба числа отрицательны. Для их сравнения можно сравнить их со значением $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.Рассмотрим $a = \sin 4$. Известно, что $\sin(5\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $5\pi/4 \approx 3.927$, то $4 > 5\pi/4$. В III четверти функция синус убывает, поэтому $\sin 4 < \sin(5\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Рассмотрим $b = \cos 2$. Известно, что $\cos(3\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $3\pi/4 \approx 2.356$, то $2 < 3\pi/4$. Во II четверти функция косинус убывает, поэтому $\cos 2 > \cos(3\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Мы получили, что $a < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $b > -\frac{\sqrt{2}}{2}$.Отсюда следует, что $a < b$.

Ответ: $a < b$.

Необходимо сравнить числа $a = \sin 3$ и $b = \cos 5$.

1. Определим знаки чисел.Для $a = \sin 3$: угол 3 радиана находится во II четверти, так как $\pi/2 \approx 1.57 < 3 < \pi \approx 3.14$. Синус здесь положителен, $\sin 3 > 0$.

Для $b = \cos 5$: угол 5 радиан находится в IV четверти, так как $3\pi/2 \approx 4.71 < 5 < 2\pi \approx 6.28$. Косинус здесь положителен, $\cos 5 > 0$.

2. Оба числа положительны. Приведем их к одной функции с аргументами в I четверти.Преобразуем $a = \sin 3$ по формуле приведения $\sin x = \sin(\pi-x)$:$a = \sin 3 = \sin(\pi - 3)$. Аргумент $(\pi - 3)$ находится в I четверти.

Преобразуем $b = \cos 5$, приведя аргумент к I четверти: $\cos 5 = \cos(2\pi - 5)$. Затем используем формулу $\cos x = \sin(\pi/2 - x)$:$b = \cos(2\pi - 5) = \sin(\pi/2 - (2\pi - 5)) = \sin(5 - 3\pi/2)$. Аргумент $(5 - 3\pi/2)$ также находится в I четверти.

3. Сравним аргументы $\pi - 3$ и $5 - 3\pi/2$.Сравнение $\pi - 3$ и $5 - 3\pi/2$ эквивалентно сравнению $5\pi/2$ и $8$, или $5\pi$ и $16$, или $\pi$ и $16/5 = 3.2$.Так как $\pi \approx 3.14159 < 3.2$, то $\pi < 16/5$, и, следовательно, $\pi-3 < 5-3\pi/2$.

Функция $y = \sin x$ возрастает на интервале $(0, \pi/2)$. Так как оба аргумента принадлежат этому интервалу и $\pi-3 < 5-3\pi/2$, для значений функции будет выполняться такое же неравенство:$\sin(\pi-3) < \sin(5-3\pi/2)$.Это означает, что $\sin 3 < \cos 5$, то есть $a < b$.

Ответ: $a < b$.

Расположите в порядке возрастания числа:

13.38. a) $\sin \frac{\pi}{7}$; $\sin \frac{\pi}{5}$; $\sin \frac{2\pi}{3}$; $\sin \frac{7\pi}{6}$; $\sin \frac{4\pi}{3}$;

б) $\cos \frac{\pi}{8}$; $\cos \frac{\pi}{3}$; $\cos \frac{5\pi}{6}$; $\cos \frac{5\pi}{4}$; $\cos \frac{7\pi}{4}$.

а) Для того чтобы расположить числа $sin(\frac{\pi}{7})$, $sin(\frac{\pi}{5})$, $sin(\frac{2\pi}{3})$, $sin(\frac{7\pi}{6})$, $sin(\frac{4\pi}{3})$ в порядке возрастания, определим их значения или знаки и сравним их между собой.

1. Вычислим значения известных тригонометрических функций, используя формулы приведения:
$sin(\frac{2\pi}{3}) = sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$sin(\frac{7\pi}{6}) = sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$
$sin(\frac{4\pi}{3}) = sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Числа $sin(\frac{\pi}{7})$ и $sin(\frac{\pi}{5})$ являются положительными, так как углы $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{\pi}{5}$ находятся в первой четверти $(0, \frac{\pi}{2})$.

2. Сравним отрицательные числа:
У нас есть два отрицательных значения: $sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$ и $sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Так как $1 < \sqrt{3}$, то $\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2}$, а значит $-\frac{1}{2} > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, $sin(\frac{4\pi}{3}) < sin(\frac{7\pi}{6})$.

3. Сравним положительные числа:
У нас есть три положительных значения: $sin(\frac{\pi}{7})$, $sin(\frac{\pi}{5})$ и $sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Функция $y=sin(x)$ возрастает на промежутке $[0, \frac{\pi}{2}]$. Сравним аргументы, приведя их к одному виду: $\frac{\pi}{7}$, $\frac{\pi}{5}$ и $\frac{\pi}{3}$ (поскольку $sin(\frac{2\pi}{3}) = sin(\frac{\pi}{3})$).
$0 < \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{3}$.
Так как функция синуса возрастает на этом интервале, то $sin(\frac{\pi}{7}) < sin(\frac{\pi}{5}) < sin(\frac{\pi}{3})$.
Таким образом, $sin(\frac{\pi}{7}) < sin(\frac{\pi}{5}) < sin(\frac{2\pi}{3})$.

4. Объединим все результаты:
Расположим все числа в порядке возрастания, начиная с отрицательных: $sin(\frac{4\pi}{3}) < sin(\frac{7\pi}{6}) < sin(\frac{\pi}{7}) < sin(\frac{\pi}{5}) < sin(\frac{2\pi}{3})$.

Ответ: $sin(\frac{4\pi}{3})$, $sin(\frac{7\pi}{6})$, $sin(\frac{\pi}{7})$, $sin(\frac{\pi}{5})$, $sin(\frac{2\pi}{3})$.

б) Для того чтобы расположить числа $cos(\frac{\pi}{8})$, $cos(\frac{\pi}{3})$, $cos(\frac{5\pi}{6})$, $cos(\frac{5\pi}{4})$, $cos(\frac{7\pi}{4})$ в порядке возрастания, определим их значения или знаки и сравним их.

1. Вычислим значения известных тригонометрических функций, используя формулы приведения:
$cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
$cos(\frac{5\pi}{6}) = cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$cos(\frac{5\pi}{4}) = cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$cos(\frac{7\pi}{4}) = cos(2\pi - \frac{\pi}{4}) = cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Число $cos(\frac{\pi}{8})$ является положительным, так как угол $\frac{\pi}{8}$ находится в первой четверти.

2. Сравним отрицательные числа:
У нас есть два отрицательных значения: $cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Так как $\sqrt{3} > \sqrt{2}$, то $\frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{\sqrt{2}}{2}$, а значит $-\frac{\sqrt{3}}{2} < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, $cos(\frac{5\pi}{6}) < cos(\frac{5\pi}{4})$.

3. Сравним положительные числа:
У нас есть три положительных значения: $cos(\frac{\pi}{8})$, $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $cos(\frac{7\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Функция $y=cos(x)$ убывает на промежутке $[0, \pi]$. Сравним соответствующие углы из первого квадранта: $\frac{\pi}{8}$, $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{4}$ (поскольку $cos(\frac{7\pi}{4}) = cos(\frac{\pi}{4})$).
$0 < \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3}$.
Так как функция косинуса убывает на этом интервале, то $cos(\frac{\pi}{8}) > cos(\frac{\pi}{4}) > cos(\frac{\pi}{3})$.
Таким образом, в порядке возрастания: $cos(\frac{\pi}{3}) < cos(\frac{7\pi}{4}) < cos(\frac{\pi}{8})$.

4. Объединим все результаты:
Расположим все числа в порядке возрастания, начиная с отрицательных: $cos(\frac{5\pi}{6}) < cos(\frac{5\pi}{4}) < cos(\frac{\pi}{3}) < cos(\frac{7\pi}{4}) < cos(\frac{\pi}{8})$.

Ответ: $cos(\frac{5\pi}{6})$, $cos(\frac{5\pi}{4})$, $cos(\frac{\pi}{3})$, $cos(\frac{7\pi}{4})$, $cos(\frac{\pi}{8})$.

13.39. a) $sin 2$, $sin 3$, $cos 4$, $cos 5$;

б) $cos 3$, $cos 4$, $cos 6$, $cos 7$;

в) $sin 3$, $sin 4$, $sin 6$, $sin 7$;

г) $cos 2$, $cos 3$, $sin 4$, $sin 5$.

Чтобы расположить числа в порядке возрастания, мы определим их знаки и примерные значения, используя единичную окружность и приближенные значения для $\pi$: $\pi \approx 3.14$, $\pi/2 \approx 1.57$, $3\pi/2 \approx 4.71$, $2\pi \approx 6.28$.

1. Определим знаки чисел.

• Угол 2 радиана: $\pi/2 < 2 < \pi$, это II четверть. Здесь синус положителен: $sin 2 > 0$.
• Угол 3 радиана: $\pi/2 < 3 < \pi$, это II четверть. Здесь синус положителен: $sin 3 > 0$.
• Угол 4 радиана: $\pi < 4 < 3\pi/2$, это III четверть. Здесь косинус отрицателен: $cos 4 < 0$.
• Угол 5 радиан: $3\pi/2 < 5 < 2\pi$, это IV четверть. Здесь косинус положителен: $cos 5 > 0$.

Так как $cos 4$ — единственное отрицательное число, оно является наименьшим.

2. Сравним положительные числа: $sin 2, sin 3, cos 5$. Для этого приведем их к аргументам из первой четверти $(0, \pi/2)$:

• $sin 2 = sin(\pi - 2) \approx sin(3.14 - 2) = sin(1.14)$.
• $sin 3 = sin(\pi - 3) \approx sin(3.14 - 3) = sin(0.14)$.
• $cos 5 = cos(2\pi - 5) \approx cos(6.28 - 5) = cos(1.28)$.

3. Сравним полученные значения: $sin(1.14)$, $sin(0.14)$ и $cos(1.28)$. На интервале $(0, \pi/2)$ функция $sin(x)$ возрастает. Так как $2 < 3$, и оба угла во второй четверти, где синус убывает, то $sin 2 > sin 3$. Таким образом, $sin(1.14) > sin(0.14)$, значит, $sin 3$ — наименьшее из положительных чисел. Осталось сравнить $sin 2$ и $cos 5$. Преобразуем $sin 2 = sin(1.14)$ в косинус: $sin(1.14) = cos(\pi/2 - 1.14) \approx cos(1.57 - 1.14) = cos(0.43)$. Теперь сравним $cos(0.43)$ и $cos(1.28)$. На интервале $(0, \pi/2)$ функция $cos(x)$ убывает. Поскольку $0.43 < 1.28$, то $cos(0.43) > cos(1.28)$. Следовательно, $sin 2 > cos 5$.

4. Итоговый порядок: $cos 4 < sin 3 < cos 5 < sin 2$.

Ответ: $cos 4, sin 3, cos 5, sin 2$.

1. Определим знаки чисел.

• Угол 3 радиана: II четверть, $cos 3 < 0$.
• Угол 4 радиана: III четверть, $cos 4 < 0$.
• Угол 6 радиан: IV четверть, $cos 6 > 0$.
• Угол 7 радиан: $7 \approx 2\pi + 0.72$, I четверть, $cos 7 > 0$.

2. Сравним отрицательные числа: $cos 3$ и $cos 4$. Приведем их к аргументам из первой четверти: $cos 3 = -cos(\pi-3) \approx -cos(0.14)$ и $cos 4 = -cos(4-\pi) \approx -cos(0.86)$. Сравним модули: $|cos 3| = cos(0.14)$ и $|cos 4| = cos(0.86)$. Поскольку $0.14 < 0.86$ и косинус убывает на $(0, \pi/2)$, то $cos(0.14) > cos(0.86)$, то есть $|cos 3| > |cos 4|$. Для отрицательных чисел это означает, что $cos 3 < cos 4$.

3. Сравним положительные числа: $cos 6$ и $cos 7$. Приведем их к аргументам из первой четверти: $cos 6 = cos(2\pi-6) \approx cos(0.28)$ и $cos 7 = cos(7-2\pi) \approx cos(0.72)$. Поскольку $0.28 < 0.72$ и косинус убывает, то $cos(0.28) > cos(0.72)$. Следовательно, $cos 6 > cos 7$.

4. Итоговый порядок: $cos 3 < cos 4 < cos 7 < cos 6$.

Ответ: $cos 3, cos 4, cos 7, cos 6$.

1. Определим знаки чисел.

• Угол 3 радиана: II четверть, $sin 3 > 0$.
• Угол 4 радиана: III четверть, $sin 4 < 0$.
• Угол 6 радиана: IV четверть, $sin 6 < 0$.
• Угол 7 радиан: I четверть, $sin 7 > 0$.

2. Сравним отрицательные числа: $sin 4$ и $sin 6$. Приведем к первой четверти: $sin 4 = -sin(4-\pi) \approx -sin(0.86)$ и $sin 6 = -sin(2\pi-6) \approx -sin(0.28)$. Сравним модули: $|sin 4| = sin(0.86)$ и $|sin 6| = sin(0.28)$. Поскольку $0.86 > 0.28$ и синус возрастает на $(0, \pi/2)$, то $sin(0.86) > sin(0.28)$, то есть $|sin 4| > |sin 6|$. Для отрицательных чисел это означает, что $sin 4 < sin 6$.

3. Сравним положительные числа: $sin 3$ и $sin 7$. Приведем к первой четверти: $sin 3 = sin(\pi-3) \approx sin(0.14)$ и $sin 7 = sin(7-2\pi) \approx sin(0.72)$. Поскольку $0.14 < 0.72$ и синус возрастает, то $sin(0.14) < sin(0.72)$. Следовательно, $sin 3 < sin 7$.

4. Итоговый порядок: $sin 4 < sin 6 < sin 3 < sin 7$.

Ответ: $sin 4, sin 6, sin 3, sin 7$.

1. Определим знаки чисел.

• Угол 2 радиана: II четверть, $cos 2 < 0$.
• Угол 3 радиана: II четверть, $cos 3 < 0$.
• Угол 4 радиана: III четверть, $sin 4 < 0$.
• Угол 5 радиан: IV четверть, $sin 5 < 0$.

2. Все числа отрицательны. Сравним их модули. Чем больше модуль, тем меньше само число. $|cos 2| = |-cos(\pi-2)| = cos(\pi-2) \approx cos(1.14)$. $|cos 3| = |-cos(\pi-3)| = cos(\pi-3) \approx cos(0.14)$. $|sin 4| = |-sin(4-\pi)| = sin(4-\pi) \approx sin(0.86)$. $|sin 5| = |-sin(2\pi-5)| = sin(2\pi-5) \approx sin(1.28)$.

3. Для сравнения приведем все модули к функции синуса: $|cos 2| = cos(1.14) = sin(\pi/2 - 1.14) \approx sin(0.43)$. $|cos 3| = cos(0.14) = sin(\pi/2 - 0.14) \approx sin(1.43)$. $|sin 4| = sin(0.86)$. $|sin 5| = sin(1.28)$.

4. Сравним аргументы синусов: $0.43, 1.43, 0.86, 1.28$. Все они в интервале $(0, \pi/2)$, где синус возрастает. Порядок аргументов: $0.43 < 0.86 < 1.28 < 1.43$. Значит, порядок модулей: $sin(0.43) < sin(0.86) < sin(1.28) < sin(1.43)$. То есть, $|cos 2| < |sin 4| < |sin 5| < |cos 3|$.

5. Поскольку исходные числа отрицательны, их порядок обратен порядку их модулей: $cos 3 < sin 5 < sin 4 < cos 2$.

Ответ: $cos 3, sin 5, sin 4, cos 2$.

$13.40.$

a) $1$, $sin 1$, $cos 1$, $tg 1$;

б) $2$, $sin 2$, $cos 2$, $ctg 2$.

а) Расположим в порядке возрастания числа: $1, \sin 1, \cos 1, \tan 1$.

Сначала определим, в какой четверти находится угол в 1 радиан. Мы знаем, что $\pi \approx 3.14159$. Тогда $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ и $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$.

Поскольку $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$, угол в 1 радиан расположен в первой координатной четверти. В этой четверти значения синуса, косинуса и тангенса положительны.

1. Сравним $\tan 1$ с 1.
Известно, что $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$. Функция $y = \tan x$ является возрастающей на интервале $(0; \frac{\pi}{2})$. Так как $1 > \frac{\pi}{4}$, то $\tan 1 > \tan(\frac{\pi}{4})$, следовательно, $\tan 1 > 1$.

2. Сравним $\sin 1$ с 1.
Для любого действительного числа $x \neq 0$ выполняется неравенство $|\sin x| < |x|$. Для $x=1$ получаем $\sin 1 < 1$. Также известно, что максимальное значение синуса равно 1, которое достигается при $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$. Так как $1 \neq \frac{\pi}{2}$, то $\sin 1 < 1$.

3. Сравним $\sin 1$ и $\cos 1$.
На интервале $(0; \frac{\pi}{2})$ равенство $\sin x = \cos x$ достигается при $x = \frac{\pi}{4}$. На интервале $(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$ функция синуса больше функции косинуса, т.е. $\sin x > \cos x$. Поскольку $1 > \frac{\pi}{4}$, то $\sin 1 > \cos 1$.

4. Сравним $\cos 1$ с $\sin 1$ и 1.
Так как $1$ радиан находится в первой четверти, $\cos 1 > 0$. Из предыдущих пунктов мы уже знаем, что $\cos 1 < \sin 1$ и $\sin 1 < 1$.

Объединяя полученные неравенства, мы имеем: $\cos 1 < \sin 1$ и $\sin 1 < 1$ и $1 < \tan 1$.
Таким образом, окончательный порядок чисел в порядке возрастания следующий: $\cos 1 < \sin 1 < 1 < \tan 1$.

Ответ: $\cos 1 < \sin 1 < 1 < \tan 1$.

б) Расположим в порядке возрастания числа: $2, \sin 2, \cos 2, \cot 2$.

Определим, в какой четверти находится угол в 2 радиана. Мы знаем, что $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ и $\pi \approx 3.14$.

Поскольку $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, угол в 2 радиана расположен во второй координатной четверти.

Определим знаки тригонометрических функций для этого угла. Синус во второй четверти положителен, поэтому $\sin 2 > 0$. Косинус отрицателен: $\cos 2 < 0$. Котангенс, как отношение косинуса к синусу, также отрицателен: $\cot 2 = \frac{\cos 2}{\sin 2} < 0$. Число 2 является положительным. Таким образом, у нас есть два отрицательных числа ($\cos 2$ и $\cot 2$) и два положительных числа ($\sin 2$ и 2). Любое отрицательное число меньше любого положительного.

1. Сравним отрицательные числа: $\cos 2$ и $\cot 2$.
$\cot 2 = \frac{\cos 2}{\sin 2}$. Во второй четверти $0 < \sin 2 < 1$. Если $0 < a < 1$, то $\frac{1}{a} > 1$. Значит, $\frac{1}{\sin 2} > 1$.
Умножим обе части неравенства $\frac{1}{\sin 2} > 1$ на отрицательное число $\cos 2$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:$\cos 2 \cdot \frac{1}{\sin 2} < \cos 2 \cdot 1$, что дает $\frac{\cos 2}{\sin 2} < \cos 2$, то есть $\cot 2 < \cos 2$.

2. Сравним положительные числа: $\sin 2$ и 2.
Область значений функции синус — отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, $\sin 2 \le 1$. Так как $2 > 1$, очевидно, что $\sin 2 < 2$.

Теперь мы можем расположить все числа в порядке возрастания. Сначала идут отрицательные числа ($\cot 2 < \cos 2$), а затем положительные ($\sin 2 < 2$).

Окончательный порядок: $\cot 2 < \cos 2 < \sin 2 < 2$.

Ответ: $\cot 2 < \cos 2 < \sin 2 < 2$.

13.41. a) $ \frac{1}{2} $, $ \sin \frac{1}{2} $, $ \sin \frac{13}{24} $;

б) $ \frac{1}{2} $, $ \cos 1 $, $ \cos 1,1 $.

а) Требуется сравнить числа $\frac{1}{2}$, $\sin\frac{1}{2}$ и $\sin\frac{13}{24}$.

1. Сравнение $\frac{1}{2}$ и $\sin\frac{1}{2}$.
Для любого положительного угла $x$, выраженного в радианах, справедливо известное неравенство $\sin x < x$. Применяя это неравенство для $x = \frac{1}{2}$, получаем: $\sin\frac{1}{2} < \frac{1}{2}$.

2. Сравнение $\frac{1}{2}$ и $\sin\frac{13}{24}$.
Для сравнения этих чисел воспользуемся известным значением синуса: $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$. Теперь нам нужно сравнить $\sin\frac{13}{24}$ и $\sin\frac{\pi}{6}$. Для этого сравним их аргументы: $\frac{13}{24}$ и $\frac{\pi}{6}$. Оценим значение $\frac{\pi}{6}$, используя приближение $\pi \approx 3.1416$: $\frac{\pi}{6} \approx \frac{3.1416}{6} \approx 0.5236$. Вычислим значение дроби $\frac{13}{24}$: $\frac{13}{24} = 0.541\overline{6}$. Так как $0.541\overline{6} > 0.5236$, то $\frac{13}{24} > \frac{\pi}{6}$. Оба угла, $\frac{13}{24}$ и $\frac{\pi}{6}$, находятся в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, где функция $y = \sin x$ монотонно возрастает. Следовательно, из $\frac{13}{24} > \frac{\pi}{6}$ следует, что $\sin\frac{13}{24} > \sin\frac{\pi}{6}$, то есть $\sin\frac{13}{24} > \frac{1}{2}$.

3. Итог.
Из шага 1 мы знаем, что $\sin\frac{1}{2} < \frac{1}{2}$. Из шага 2 мы знаем, что $\frac{1}{2} < \sin\frac{13}{24}$. Объединив эти два неравенства, получаем итоговый порядок: $\sin\frac{1}{2} < \frac{1}{2} < \sin\frac{13}{24}$.

Ответ: $\sin\frac{1}{2} < \frac{1}{2} < \sin\frac{13}{24}$.

б) Требуется сравнить числа $\frac{1}{2}$, $\cos 1$ и $\cos 1,1$.

1. Сравнение $\cos 1$ и $\cos 1,1$.
Аргументы 1 и 1,1 (в радианах) принадлежат интервалу $(0, \frac{\pi}{2})$, так как $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$. На этом интервале функция $y = \cos x$ является монотонно убывающей. Поскольку $1 < 1,1$, для значений косинуса будет справедливо обратное неравенство: $\cos 1 > \cos 1,1$.

2. Сравнение с $\frac{1}{2}$.
Используем известное значение косинуса: $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. Нам нужно сравнить $\cos 1$ и $\cos 1,1$ с $\cos\frac{\pi}{3}$. Для этого сравним аргументы $1$, $1,1$ и $\frac{\pi}{3}$. Оценим значение $\frac{\pi}{3}$, используя приближение $\pi \approx 3.1416$: $\frac{\pi}{3} \approx \frac{3.1416}{3} \approx 1.0472$.

Теперь сравним аргументы: $1 < 1.0472 < 1,1$, то есть $1 < \frac{\pi}{3} < 1,1$. Поскольку все три аргумента ($1$, $\frac{\pi}{3}$, $1,1$) находятся в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, где косинус убывает, мы можем записать соответствующие неравенства для значений функции: $\cos 1 > \cos\frac{\pi}{3} > \cos 1,1$. Подставляя $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, получаем: $\cos 1 > \frac{1}{2} > \cos 1,1$.

3. Итог.
Располагая числа в порядке возрастания, получаем: $\cos 1,1 < \frac{1}{2} < \cos 1$.

Ответ: $\cos 1,1 < \frac{1}{2} < \cos 1$.

Вычислите:

13.42. a) $\sqrt{\sin^2 1 + \sin^2 2 - 2 \sin 1 \cdot \sin 2} + \sqrt{\frac{1}{4} - \sin 1 + \sin^2 1} + \sqrt{1 + \sin^2 2 - 2 \sin 2}$;

б) $\sqrt{\cos^2 6 + \cos^2 7 - 2 \cos 6 \cdot \cos 7} + \sqrt{\frac{1}{4} - \cos 7 + \cos^2 7} + \sqrt{1 + \cos^2 6 - 2 \cos 6}$.

а)

Рассмотрим данное выражение: $ \sqrt{\sin^2 1 + \sin^2 2 - 2 \sin 1 \cdot \sin 2} + \sqrt{\frac{1}{4} - \sin 1 + \sin^2 1} + \sqrt{1 + \sin^2 2 - 2 \sin 2} $

Мы будем упрощать каждое слагаемое по отдельности, используя формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ и свойство корня $\sqrt{x^2} = |x|$.

1. Первое слагаемое: $ \sqrt{\sin^2 1 + \sin^2 2 - 2 \sin 1 \sin 2} $.
Выражение под корнем является полным квадратом: $ (\sin 2 - \sin 1)^2 $.
$ \sqrt{(\sin 2 - \sin 1)^2} = |\sin 2 - \sin 1| $.
Чтобы раскрыть модуль, сравним значения $\sin 2$ и $\sin 1$. Углы даны в радианах. $\pi \approx 3.14$, $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$.
Угол в 1 радиан находится в первой четверти ($0 < 1 < \frac{\pi}{2}$), а угол в 2 радиана — во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$). Функция синуса положительна в обеих четвертях. Используем формулу приведения: $\sin 2 = \sin(\pi - 2)$.
Сравним $1$ и $\pi - 2$. Так как $\pi - 2 \approx 3.14 - 2 = 1.14$, то $1 < 1.14 < \frac{\pi}{2}$. На интервале $(0; \frac{\pi}{2})$ функция $y = \sin x$ возрастает, поэтому $\sin 1 < \sin(1.14) \approx \sin(\pi - 2) = \sin 2$.
Следовательно, $\sin 2 - \sin 1 > 0$, и модуль раскрывается со знаком плюс: $|\sin 2 - \sin 1| = \sin 2 - \sin 1$.

2. Второе слагаемое: $ \sqrt{\frac{1}{4} - \sin 1 + \sin^2 1} $.
Выражение под корнем можно представить как $\sin^2 1 - 2 \cdot \sin 1 \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2$, что является полным квадратом: $(\sin 1 - \frac{1}{2})^2$.
$ \sqrt{(\sin 1 - \frac{1}{2})^2} = |\sin 1 - \frac{1}{2}| $.
Чтобы раскрыть модуль, сравним $\sin 1$ и $\frac{1}{2}$. Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, а $\frac{\pi}{6} \approx \frac{3.14}{6} \approx 0.52$. Так как $1 > \frac{\pi}{6}$ и угол в 1 радиан находится в первой четверти, где синус возрастает, то $\sin 1 > \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $\sin 1 - \frac{1}{2} > 0$, и модуль раскрывается со знаком плюс: $|\sin 1 - \frac{1}{2}| = \sin 1 - \frac{1}{2}$.

3. Третье слагаемое: $ \sqrt{1 + \sin^2 2 - 2 \sin 2} $.
Выражение под корнем является полным квадратом: $(1 - \sin 2)^2$ или $(\sin 2 - 1)^2$.
$ \sqrt{(1 - \sin 2)^2} = |1 - \sin 2| $.
Область значений функции синуса [–1; 1], то есть $\sin 2 \le 1$. Равенство достигается при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Так как $2 \neq \frac{\pi}{2} \approx 1.57$, то $\sin 2 < 1$.
Следовательно, $1 - \sin 2 > 0$, и модуль раскрывается со знаком плюс: $|1 - \sin 2| = 1 - \sin 2$.

4. Суммируем полученные выражения:
$(\sin 2 - \sin 1) + (\sin 1 - \frac{1}{2}) + (1 - \sin 2) = \sin 2 - \sin 1 + \sin 1 - \frac{1}{2} + 1 - \sin 2$.
Сокращаем подобные члены: $(\sin 2 - \sin 2) + (-\sin 1 + \sin 1) + (1 - \frac{1}{2}) = 0 + 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $ \frac{1}{2} $

б)

Рассмотрим данное выражение: $ \sqrt{\cos^2 6 + \cos^2 7 - 2 \cos 6 \cdot \cos 7} + \sqrt{\frac{1}{4} - \cos 7 + \cos^2 7} + \sqrt{1 + \cos^2 6 - 2 \cos 6} $

Решаем аналогично пункту а), упрощая каждое слагаемое.

1. Первое слагаемое: $ \sqrt{\cos^2 6 + \cos^2 7 - 2 \cos 6 \cos 7} $.
Выражение под корнем является полным квадратом: $ (\cos 6 - \cos 7)^2 $.
$ \sqrt{(\cos 6 - \cos 7)^2} = |\cos 6 - \cos 7| $.
Чтобы раскрыть модуль, сравним значения $\cos 6$ и $\cos 7$. Углы даны в радианах. $\pi \approx 3.14$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$, $2\pi \approx 6.28$.
Угол в 6 радиан находится в четвертой четверти ($\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$), где косинус положителен. Угол в 7 радиан находится в первой четверти следующего оборота ($2\pi < 7 < 2\pi + \frac{\pi}{2}$), где косинус также положителен. Сравним значения $\cos 6$ и $\cos 7 = \cos(7 - 2\pi)$.
На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ функция $y = \cos x$ четная и убывает при $x \in [0, \frac{\pi}{2})$. Чем ближе угол к 0 (или $2\pi k$), тем больше значение косинуса. Найдем расстояние углов 6 и 7 до ближайшего значения $2\pi k$, то есть до $2\pi$. $|6 - 2\pi| = 2\pi - 6 \approx 6.28 - 6 = 0.28$. $|7 - 2\pi| = 7 - 2\pi \approx 7 - 6.28 = 0.72$. Так как $|6 - 2\pi| < |7 - 2\pi|$, угол 6 "ближе" к точке с максимальным значением косинуса, чем угол 7. Следовательно, $\cos 6 > \cos 7$.
Значит, $\cos 6 - \cos 7 > 0$, и модуль раскрывается со знаком плюс: $|\cos 6 - \cos 7| = \cos 6 - \cos 7$.

2. Второе слагаемое: $ \sqrt{\frac{1}{4} - \cos 7 + \cos^2 7} $.
Выражение под корнем является полным квадратом: $(\cos 7 - \frac{1}{2})^2$.
$ \sqrt{(\cos 7 - \frac{1}{2})^2} = |\cos 7 - \frac{1}{2}| $.
Чтобы раскрыть модуль, сравним $\cos 7$ и $\frac{1}{2}$. Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, а $\frac{\pi}{3} \approx \frac{3.14}{3} \approx 1.05$.
Сравниваем $\cos 7 = \cos(7-2\pi)$ с $\cos(\frac{\pi}{3})$.
$7 - 2\pi \approx 0.72$. Оба угла, $0.72$ и $\frac{\pi}{3}$, находятся в первой четверти. На интервале $(0, \frac{\pi}{2})$ функция $y = \cos x$ убывает. Так как $0.72 < \frac{\pi}{3}$, то $\cos(0.72) > \cos(\frac{\pi}{3})$. Следовательно, $\cos 7 > \frac{1}{2}$, и $\cos 7 - \frac{1}{2} > 0$. Модуль раскрывается со знаком плюс: $|\cos 7 - \frac{1}{2}| = \cos 7 - \frac{1}{2}$.

3. Третье слагаемое: $ \sqrt{1 + \cos^2 6 - 2 \cos 6} $.
Выражение под корнем является полным квадратом: $(1 - \cos 6)^2$.
$ \sqrt{(1 - \cos 6)^2} = |1 - \cos 6| $.
Область значений функции косинуса [–1; 1], то есть $\cos 6 \le 1$. Равенство достигается при $x = 2\pi k$. Так как $6 \neq 2\pi \approx 6.28$, то $\cos 6 < 1$.
Следовательно, $1 - \cos 6 > 0$, и модуль раскрывается со знаком плюс: $|1 - \cos 6| = 1 - \cos 6$.

4. Суммируем полученные выражения:
$(\cos 6 - \cos 7) + (\cos 7 - \frac{1}{2}) + (1 - \cos 6) = \cos 6 - \cos 7 + \cos 7 - \frac{1}{2} + 1 - \cos 6$.
Сокращаем подобные члены: $(\cos 6 - \cos 6) + (-\cos 7 + \cos 7) + (1 - \frac{1}{2}) = 0 + 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $ \frac{1}{2} $

13.43. a) $\sqrt{\sin^2 5 - 2 \sin 5 \cdot \sin \frac{11\pi}{6} + \sin^2 \frac{11\pi}{6}} - \sqrt{\sin^2 \frac{5\pi}{6} - 2 \sin \frac{5\pi}{6} \cdot \sin 5 + \sin^2 5;}$

б) $\sqrt{\cos^2 4 - 2 \cos 4 \cdot \cos \frac{2\pi}{3} + \cos^2 \frac{2\pi}{3}} + \sqrt{\cos^2 4 - 2 \cos 4 \cdot \cos \frac{\pi}{3} + \cos^2 \frac{\pi}{3}}.$

а)

Рассмотрим выражение: $ \sqrt{\sin^2 5 - 2 \sin 5 \cdot \sin \frac{11\pi}{6} + \sin^2 \frac{11\pi}{6}} - \sqrt{\sin^2 \frac{5\pi}{6} - 2 \sin \frac{5\pi}{6} \cdot \sin 5 + \sin^2 5} $.

Заметим, что выражения под знаками корня представляют собой полные квадраты разности, которые можно свернуть по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

Первый член выражения: $ \sqrt{\sin^2 5 - 2 \sin 5 \cdot \sin \frac{11\pi}{6} + \sin^2 \frac{11\pi}{6}} = \sqrt{(\sin 5 - \sin \frac{11\pi}{6})^2} $.

Второй член выражения: $ \sqrt{\sin^2 \frac{5\pi}{6} - 2 \sin \frac{5\pi}{6} \cdot \sin 5 + \sin^2 5} = \sqrt{(\sin \frac{5\pi}{6} - \sin 5)^2} $.

Применяя свойство $ \sqrt{x^2} = |x| $, преобразуем исходное выражение:

$ |\sin 5 - \sin \frac{11\pi}{6}| - |\sin \frac{5\pi}{6} - \sin 5| $

Вычислим значения синусов для табличных углов:

$ \sin \frac{11\pi}{6} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{6}) = -\sin \frac{\pi}{6} = -0.5 $

$ \sin \frac{5\pi}{6} = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin \frac{\pi}{6} = 0.5 $

Подставим полученные значения в выражение:

$ |\sin 5 - (-0.5)| - |0.5 - \sin 5| = |\sin 5 + 0.5| - |0.5 - \sin 5| $

Теперь необходимо оценить значение $ \sin 5 $. Аргумент 5 указан в радианах. Используя приближенное значение $ \pi \approx 3.14 $, определим четверть, в которой находится угол 5 радиан: $ \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 $ и $ 2\pi \approx 6.28 $.

Поскольку $ \frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi $, угол 5 находится в IV четверти, где значения синуса отрицательны ($ \sin 5 < 0 $).

Сравним $ \sin 5 $ со значением $ -0.5 $. Синус равен $ -0.5 $ при угле $ \frac{11\pi}{6} \approx 5.76 $. В IV четверти функция $y = \sin x$ возрастает. Так как $ 5 < \frac{11\pi}{6} $, то $ \sin 5 < \sin \frac{11\pi}{6} $, следовательно, $ \sin 5 < -0.5 $.

Теперь раскроем модули с учетом знаков подмодульных выражений:

1. Для $ |\sin 5 + 0.5| $: так как $ \sin 5 < -0.5 $, то $ \sin 5 + 0.5 < 0 $. Следовательно, $ |\sin 5 + 0.5| = -(\sin 5 + 0.5) = -\sin 5 - 0.5 $.

2. Для $ |0.5 - \sin 5| $: так как $ \sin 5 $ отрицательно, $ -\sin 5 $ положительно. Выражение $ 0.5 - \sin 5 $ является суммой двух положительных чисел и, следовательно, положительно. Значит, $ |0.5 - \sin 5| = 0.5 - \sin 5 $.

Подставим раскрытые модули обратно в выражение:

$ (-\sin 5 - 0.5) - (0.5 - \sin 5) = -\sin 5 - 0.5 - 0.5 + \sin 5 = -1 $.

Ответ: $ -1 $

б)

Рассмотрим выражение: $ \sqrt{\cos^2 4 - 2 \cos 4 \cdot \cos \frac{2\pi}{3} + \cos^2 \frac{2\pi}{3}} + \sqrt{\cos^2 4 - 2 \cos 4 \cdot \cos \frac{\pi}{3} + \cos^2 \frac{\pi}{3}} $.

Выражения под корнями являются полными квадратами разности.

Первый член: $ \sqrt{(\cos 4 - \cos \frac{2\pi}{3})^2} $.

Второй член: $ \sqrt{(\cos 4 - \cos \frac{\pi}{3})^2} $.

Используя свойство $ \sqrt{x^2} = |x| $, получаем:

$ |\cos 4 - \cos \frac{2\pi}{3}| + |\cos 4 - \cos \frac{\pi}{3}| $

Найдем значения косинусов для табличных углов:

$ \cos \frac{2\pi}{3} = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos \frac{\pi}{3} = -0.5 $

$ \cos \frac{\pi}{3} = 0.5 $

Подставим эти значения в выражение:

$ |\cos 4 - (-0.5)| + |\cos 4 - 0.5| = |\cos 4 + 0.5| + |\cos 4 - 0.5| $

Оценим значение $ \cos 4 $. Аргумент 4 дан в радианах. Учитывая, что $ \pi \approx 3.14 $ и $ \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 $.

Так как $ \pi < 4 < \frac{3\pi}{2} $, угол 4 радиана находится в III четверти, где косинус отрицателен, то есть $ \cos 4 < 0 $.

Сравним $ \cos 4 $ со значением $ -0.5 $. Косинус равен $ -0.5 $ при угле $ \frac{4\pi}{3} \approx 4.19 $ в III четверти. В III четверти функция $y=\cos x$ возрастает. Поскольку $ \pi < 4 < \frac{4\pi}{3} $, то $ \cos \pi < \cos 4 < \cos(\frac{4\pi}{3}) $, что означает $ -1 < \cos 4 < -0.5 $.

Теперь раскроем модули:

1. Для $ |\cos 4 + 0.5| $: поскольку $ \cos 4 < -0.5 $, выражение $ \cos 4 + 0.5 $ отрицательно. Следовательно, $ |\cos 4 + 0.5| = -(\cos 4 + 0.5) = -\cos 4 - 0.5 $.

2. Для $ |\cos 4 - 0.5| $: поскольку $ \cos 4 $ отрицательно, выражение $ \cos 4 - 0.5 $ (разность отрицательного и положительного числа) также отрицательно. Следовательно, $ |\cos 4 - 0.5| = -(\cos 4 - 0.5) = -\cos 4 + 0.5 $.

Подставим раскрытые модули в выражение и найдем сумму:

$ (-\cos 4 - 0.5) + (-\cos 4 + 0.5) = -\cos 4 - 0.5 - \cos 4 + 0.5 = -2\cos 4 $.

Ответ: $ -2\cos 4 $