Страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

13.51. Решите неравенство:

a) $ \sin t \cdot \cos t > 0; $

б) $ \sin t \cdot \operatorname{tg} t \leq 0; $

в) $ \operatorname{ctg} t \cdot \cos t < 0; $

г) $ \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t \geq 0. $

а)Исходное неравенство: $\sin t \cdot \cos t > 0$.
Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2t) = 2 \sin t \cos t$. Отсюда следует, что $\sin t \cos t = \frac{1}{2} \sin(2t)$.
Подставив это в неравенство, получим:$\frac{1}{2} \sin(2t) > 0$, что равносильно $\sin(2t) > 0$.
Функция синус положительна, когда её аргумент находится в первой или второй координатной четверти, то есть в интервале $(0, \pi)$ с учётом периодичности.$2\pi k < 2t < \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $t$, разделим все части двойного неравенства на 2:$\pi k < t < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Эти интервалы соответствуют первой и третьей координатным четвертям, где $\sin t$ и $\cos t$ имеют одинаковые знаки, и их произведение положительно.
Ответ: $t \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

б)Исходное неравенство: $\sin t \cdot \operatorname{tg} t \le 0$.
Заменим тангенс через отношение синуса к косинусу: $\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$. Неравенство примет вид:$\sin t \cdot \frac{\sin t}{\cos t} \le 0 \implies \frac{\sin^2 t}{\cos t} \le 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) этого выражения: $\cos t \neq 0$, то есть $t \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Дробь меньше или равна нулю, если:1. Числитель равен нулю: $\sin^2 t = 0 \implies \sin t = 0$. Это происходит при $t = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Эти значения удовлетворяют ОДЗ, так как для них $\cos t = \pm 1 \neq 0$. Значит, $t = \pi n$ — это решения.2. Числитель положителен, а знаменатель отрицателен: $\sin^2 t > 0$ и $\cos t < 0$. Условие $\sin^2 t > 0$ выполняется, когда $\sin t \neq 0$, то есть $t \neq \pi n$. Условие $\cos t < 0$ выполняется во второй и третьей четвертях: $t \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$.
Объединим решения. Множество решений из пункта 2 — это интервалы $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$. Множество решений из пункта 1 — это точки $t = \pi n$.Точки вида $t = \pi + 2\pi k$ (нечетные кратные $\pi$) уже входят в интервал $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$.Точки вида $t = 2\pi k$ (четные кратные $\pi$) в этот интервал не входят, но являются решениями.Таким образом, общее решение — это объединение интервалов и множества точек вида $2\pi k$.
Ответ: $t \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k) \cup \{2\pi k\}$, $k \in \mathbb{Z}$.

в)Исходное неравенство: $\operatorname{ctg} t \cdot \cos t < 0$.
Заменим котангенс через отношение косинуса к синусу: $\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$. Неравенство примет вид:$\frac{\cos t}{\sin t} \cdot \cos t < 0 \implies \frac{\cos^2 t}{\sin t} < 0$.
ОДЗ: $\sin t \neq 0$, то есть $t \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Чтобы дробь была строго отрицательной, её числитель должен быть строго положительным, а знаменатель — строго отрицательным (так как числитель $\cos^2 t$ не может быть отрицательным).1. $\cos^2 t > 0 \implies \cos t \neq 0 \implies t \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.2. $\sin t < 0$. Это выполняется в третьей и четвертой четвертях: $t \in (\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь учтём все ограничения на полученный интервал. Ограничение $t \neq \pi k$ уже выполнено, так как концы интервала не включены. Ограничение $t \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ требует исключить из нашего интервала точку $t = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.Исключение этой точки разбивает интервал на два: $(\pi + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$ и $(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$.
Ответ: $t \in (\pi + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k) \cup (\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

г)Исходное неравенство: $\operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t \ge 0$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) выражения в левой части.1. Функция $\operatorname{tg} t$ определена, если $\cos t \neq 0$, то есть $t \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.2. Функция $\operatorname{ctg} t$ определена, если $\sin t \neq 0$, то есть $t \neq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Объединив эти условия, получаем, что $t$ не может быть кратным $\frac{\pi}{2}$. Это можно записать как $t \neq \frac{\pi m}{2}$ для любого целого $m$.
На всей области допустимых значений справедливо тождество $\operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t = 1$.
Таким образом, исходное неравенство превращается в $1 \ge 0$.
Это неравенство верно всегда. Следовательно, решением исходного неравенства являются все значения $t$, принадлежащие области допустимых значений.
Ответ: $t \neq \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Докажите неравенство:

13.52. a) $\sin t < \operatorname{tg} t$, если $0 < t < \frac{\pi}{2}$;

б) $\cos t < \operatorname{ctg} t$, если $0 < t < \frac{\pi}{2}$.

Требуется доказать неравенство $\sin t < \tg t$ при условии $0 < t < \frac{\pi}{2}$.

Используем определение тангенса: $\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$. Подставим это выражение в исходное неравенство:
$\sin t < \frac{\sin t}{\cos t}$

В заданном интервале $0 < t < \frac{\pi}{2}$ (первая координатная четверть) значения синуса и косинуса положительны: $\sin t > 0$ и $\cos t > 0$.

Поскольку $\sin t > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на $\sin t$, не меняя знака неравенства:
$\frac{\sin t}{\sin t} < \frac{\sin t}{\cos t \cdot \sin t}$
$1 < \frac{1}{\cos t}$

Так как $\cos t > 0$ в данном интервале, мы можем умножить обе части последнего неравенства на $\cos t$, сохранив знак неравенства:
$1 \cdot \cos t < \frac{1}{\cos t} \cdot \cos t$
$\cos t < 1$

Полученное неравенство $\cos t < 1$ является верным для любого $t$ из интервала $0 < t < \frac{\pi}{2}$, так как значение $\cos t = 1$ достигается только при $t = 2\pi k$, где $k$ – целое число (в частности, при $t=0$), а в нашем интервале $t$ строго больше нуля.

Поскольку все преобразования были равносильными, а итоговое неравенство истинно, то и исходное неравенство $\sin t < \tg t$ верно на заданном интервале.

Ответ: Неравенство доказано.

Требуется доказать неравенство $\cos t < \ctg t$ при условии $0 < t < \frac{\pi}{2}$.

Используем определение котангенса: $\ctg t = \frac{\cos t}{\sin t}$. Подставим это выражение в исходное неравенство:
$\cos t < \frac{\cos t}{\sin t}$

В заданном интервале $0 < t < \frac{\pi}{2}$ значения синуса и косинуса положительны: $\sin t > 0$ и $\cos t > 0$.

Поскольку $\cos t > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на $\cos t$, не меняя знака неравенства:
$\frac{\cos t}{\cos t} < \frac{\cos t}{\sin t \cdot \cos t}$
$1 < \frac{1}{\sin t}$

Так как $\sin t > 0$ в данном интервале, мы можем умножить обе части последнего неравенства на $\sin t$, сохранив знак неравенства:
$1 \cdot \sin t < \frac{1}{\sin t} \cdot \sin t$
$\sin t < 1$

Полученное неравенство $\sin t < 1$ является верным для любого $t$ из интервала $0 < t < \frac{\pi}{2}$, так как значение $\sin t = 1$ достигается только при $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ – целое число (в частности, при $t = \frac{\pi}{2}$), а в нашем интервале $t$ строго меньше $\frac{\pi}{2}$.

Поскольку все преобразования были равносильными, а итоговое неравенство истинно, то и исходное неравенство $\cos t < \ctg t$ верно на заданном интервале.

Ответ: Неравенство доказано.

13.53. a) $1 < \sin 1 + \cos^2 1 < 1,25$;

б) $2 < 2 \sin^2 1,2 + \cos 1,2 < \frac{17}{8}$.

Требуется доказать двойное неравенство $1 < \sin 1 + \cos^2 1 < 1,25$.

Для начала преобразуем выражение в центре, используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 1 = 1 - \sin^2 1$:

$\sin 1 + \cos^2 1 = \sin 1 + (1 - \sin^2 1) = 1 + \sin 1 - \sin^2 1$.

Теперь докажем каждую часть двойного неравенства по отдельности.

1. Доказательство левой части: $1 < \sin 1 + \cos^2 1$.

Подставим преобразованное выражение: $1 < 1 + \sin 1 - \sin^2 1$.

Вычитая 1 из обеих частей, получаем: $0 < \sin 1 - \sin^2 1$.

Вынесем $\sin 1$ за скобки: $0 < \sin 1 (1 - \sin 1)$.

Аргумент тригонометрических функций равен 1 радиану. Так как $\pi \approx 3,14159$, то $\pi/2 \approx 1,57$. Угол в 1 радиан находится в первой четверти ($0 < 1 < \pi/2$), где синус положителен. Также, поскольку $1 < \pi/2$, то $\sin 1 < \sin(\pi/2) = 1$. Таким образом, мы имеем $0 < \sin 1 < 1$.

Из этого следует, что оба множителя в выражении $\sin 1 (1 - \sin 1)$ положительны: $\sin 1 > 0$ и $(1 - \sin 1) > 0$. Произведение двух положительных чисел также положительно, поэтому неравенство $0 < \sin 1 (1 - \sin 1)$ является верным.

2. Доказательство правой части: $\sin 1 + \cos^2 1 < 1,25$.

Подставим преобразованное выражение: $1 + \sin 1 - \sin^2 1 < 1,25$.

Перенесем 1 вправо: $\sin 1 - \sin^2 1 < 0,25$.

Перенесем все члены в одну сторону и умножим на -1, изменив знак неравенства: $\sin^2 1 - \sin 1 + 0,25 > 0$.

Левая часть неравенства представляет собой полный квадрат: $(\sin 1 - 0,5)^2 > 0$ или $(\sin 1 - 1/2)^2 > 0$.

Квадрат действительного числа всегда неотрицателен. Неравенство будет строгим (больше нуля), если основание степени не равно нулю, то есть $\sin 1 - 1/2 \neq 0$, или $\sin 1 \neq 1/2$.

Значение синуса равно $1/2$ для угла $\pi/6$. $\pi/6 \approx 3,14/6 \approx 0,523$ радиана. Поскольку $1 \neq \pi/6$, то и $\sin 1 \neq \sin(\pi/6) = 1/2$.

Следовательно, неравенство $(\sin 1 - 1/2)^2 > 0$ является верным.

Поскольку обе части исходного двойного неравенства доказаны, утверждение верно.

Ответ: Доказано.

Требуется доказать двойное неравенство $2 < 2\sin^2 1,2 + \cos 1,2 < \frac{17}{8}$.

Преобразуем выражение в центре, используя тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$2\sin^2 1,2 + \cos 1,2 = 2(1 - \cos^2 1,2) + \cos 1,2 = 2 - 2\cos^2 1,2 + \cos 1,2$.

Рассмотрим каждую часть неравенства.

1. Доказательство левой части: $2 < 2\sin^2 1,2 + \cos 1,2$.

Подставим преобразованное выражение: $2 < 2 - 2\cos^2 1,2 + \cos 1,2$.

Вычитая 2 из обеих частей, получаем: $0 < -2\cos^2 1,2 + \cos 1,2$.

Вынесем $\cos 1,2$ за скобки: $0 < \cos 1,2 (1 - 2\cos 1,2)$.

Оценим значение 1,2 радиана. Мы знаем, что $\pi/3 \approx 1,047$ и $\pi/2 \approx 1,57$. Таким образом, $\pi/3 < 1,2 < \pi/2$.

В интервале $(\pi/3, \pi/2)$ функция косинуса является убывающей. Следовательно, $\cos(\pi/2) < \cos 1,2 < \cos(\pi/3)$, что дает нам $0 < \cos 1,2 < 1/2$.

Из оценки $0 < \cos 1,2$ следует, что первый множитель $\cos 1,2$ положителен. Из оценки $\cos 1,2 < 1/2$ следует, что $2\cos 1,2 < 1$, а значит $1 - 2\cos 1,2 > 0$. Второй множитель также положителен.

Произведение двух положительных чисел положительно, поэтому неравенство $0 < \cos 1,2 (1 - 2\cos 1,2)$ верно.

2. Доказательство правой части: $2\sin^2 1,2 + \cos 1,2 < \frac{17}{8}$.

Подставим преобразованное выражение: $2 - 2\cos^2 1,2 + \cos 1,2 < \frac{17}{8}$.

Перенесем все члены в одну сторону: $0 < 2\cos^2 1,2 - \cos 1,2 + \frac{17}{8} - 2$.

$0 < 2\cos^2 1,2 - \cos 1,2 + \frac{1}{8}$.

Обозначим $y = \cos 1,2$ и рассмотрим правую часть как квадратичное выражение: $2y^2 - y + \frac{1}{8}$. Выделим полный квадрат:

$2(y^2 - \frac{1}{2}y) + \frac{1}{8} = 2(y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^2) - 2(\frac{1}{4})^2 + \frac{1}{8} = 2(y - \frac{1}{4})^2 - \frac{2}{16} + \frac{1}{8} = 2(y - \frac{1}{4})^2$.

Таким образом, неравенство принимает вид $0 < 2(\cos 1,2 - \frac{1}{4})^2$.

Это неравенство верно, если $\cos 1,2 - \frac{1}{4} \neq 0$, то есть $\cos 1,2 \neq \frac{1}{4}$.

Для доказательства этого воспользуемся оценкой на основе ряда Тейлора для косинуса: $\cos x > 1 - \frac{x^2}{2}$ для $x \neq 0$.

При $x = 1,2$: $\cos 1,2 > 1 - \frac{(1,2)^2}{2} = 1 - \frac{1,44}{2} = 1 - 0,72 = 0,28$.

Поскольку $1/4 = 0,25$, а мы получили, что $\cos 1,2 > 0,28$, то очевидно, что $\cos 1,2 > 1/4$.

Следовательно, $\cos 1,2 \neq 1/4$, и неравенство $0 < 2(\cos 1,2 - \frac{1}{4})^2$ является строгим и верным.

Поскольку обе части исходного двойного неравенства доказаны, утверждение верно.

Ответ: Доказано.

13.54. a) $0 < \text{tg} \frac{17}{7} + \cos^{-2} \frac{17}{7} < 1;$

б) $-1 < \sin^{-2} 4 + \text{ctg} 4 < 1.$

а) Докажем неравенство $0 < \tg \frac{17}{7} + \cos^{-2} \frac{17}{7} < 1$.Преобразуем выражение, используя основное тригонометрическое тождество $1 + \tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \cos^{-2} \alpha$.Исходное выражение равносильно:$\tg \frac{17}{7} + (1 + \tg^2 \frac{17}{7}) = \tg^2 \frac{17}{7} + \tg \frac{17}{7} + 1$.Пусть $t = \tg \frac{17}{7}$. Тогда нам нужно доказать двойное неравенство $0 < t^2 + t + 1 < 1$.Рассмотрим левую часть неравенства: $t^2 + t + 1 > 0$.Это квадратичная функция относительно $t$. Дискриминант квадратного трехчлена $t^2 + t + 1$ равен $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$.Поскольку старший коэффициент (при $t^2$) положителен ($a=1>0$), а дискриминант отрицателен ($D < 0$), парабола $y=t^2+t+1$ полностью лежит выше оси абсцисс, то есть квадратный трехчлен принимает только положительные значения при любом действительном $t$. Следовательно, левая часть неравенства $t^2 + t + 1 > 0$ верна.Рассмотрим правую часть неравенства: $t^2 + t + 1 < 1$.Это неравенство эквивалентно $t^2 + t < 0$, или $t(t+1) < 0$.Решением этого неравенства является интервал $-1 < t < 0$.Теперь необходимо оценить значение $t = \tg \frac{17}{7}$.Для этого определим, в какой четверти находится угол $\alpha = \frac{17}{7}$ радиан.Используем приближенное значение $\pi \approx 3,1416$.$\frac{\pi}{2} \approx 1,5708$; $\pi \approx 3,1416$; $\frac{3\pi}{4} \approx 2,3562$.Значение угла $\frac{17}{7} \approx 2,4286$.Так как $1,5708 < 2,4286 < 3,1416$, то есть $\frac{\pi}{2} < \frac{17}{7} < \pi$, угол $\frac{17}{7}$ находится во второй координатной четверти.В этой четверти значения тангенса отрицательны, поэтому $t = \tg \frac{17}{7} < 0$.Сравним $\frac{17}{7}$ с $\frac{3\pi}{4}$. Мы видим, что $\frac{17}{7} \approx 2,4286 > 2,3562 \approx \frac{3\pi}{4}$.Функция $y = \tg x$ является возрастающей на интервале $(\frac{\pi}{2}; \pi)$.Следовательно, $\tg \frac{17}{7} > \tg \frac{3\pi}{4} = -1$.Объединяя полученные результаты, имеем $-1 < \tg \frac{17}{7} < 0$, что соответствует условию $-1 < t < 0$.Таким образом, правая часть неравенства также верна, и исходное неравенство доказано.
Ответ: Неравенство $0 < \tg \frac{17}{7} + \cos^{-2} \frac{17}{7} < 1$ верно.

б) Проверим истинность неравенства $-1 < \sin^{-2} 4 + \ctg 4 < 1$.Преобразуем выражение, используя основное тригонометрическое тождество $1 + \ctg^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \sin^{-2} \alpha$.Исходное выражение равносильно:$(1 + \ctg^2 4) + \ctg 4 = \ctg^2 4 + \ctg 4 + 1$.Пусть $v = \ctg 4$. Тогда нам нужно проверить истинность двойного неравенства $-1 < v^2 + v + 1 < 1$.Рассмотрим левую часть неравенства: $v^2 + v + 1 > -1$.Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене: $v^2 + v + 1 = (v^2 + 2 \cdot v \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} + 1 = (v + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$.Минимальное значение этого выражения равно $\frac{3}{4}$ (достигается при $v = -\frac{1}{2}$). Поскольку $\frac{3}{4} > -1$, левая часть неравенства $v^2 + v + 1 > -1$ верна при любом действительном значении $v$.Рассмотрим правую часть неравенства: $v^2 + v + 1 < 1$.Это неравенство эквивалентно $v^2 + v < 0$, или $v(v+1) < 0$.Решением этого неравенства является интервал $-1 < v < 0$.Теперь необходимо оценить значение $v = \ctg 4$.Для этого определим, в какой четверти находится угол $\alpha = 4$ радиана.Используем приближенное значение $\pi \approx 3,1416$.$\pi \approx 3,1416$; $\frac{3\pi}{2} \approx 4,7124$.Так как $3,1416 < 4 < 4,7124$, то есть $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$, угол $4$ радиана находится в третьей координатной четверти.В этой четверти значения котангенса положительны, то есть $v = \ctg 4 > 0$.Поскольку $v > 0$, условие $-1 < v < 0$, необходимое для выполнения правой части неравенства, не выполняется.Более того, так как $v>0$, то и $v+1 > 1$, а их произведение $v(v+1) > 0$.Из этого следует, что $v^2 + v > 0$, а значит $v^2 + v + 1 > 1$.Таким образом, $\sin^{-2} 4 + \ctg 4 > 1$, что противоречит правой части исходного неравенства.
Ответ: Исходное неравенство неверно, так как $\sin^{-2} 4 + \ctg 4 > 1$.

13.55. Решите уравнение $x^4 - 4x^3 + 4x^2 + \cos^2 \frac{3\pi x}{4} = 0$.

Преобразуем левую часть данного уравнения. Выражение $x^4 - 4x^3 + 4x^2$ можно представить в виде произведения, вынеся за скобки $x^2$: $x^2(x^2 - 4x + 4)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности: $(x-2)^2$. Таким образом, полиномиальная часть уравнения равна $x^2(x-2)^2$.

Уравнение принимает вид: $x^2(x-2)^2 + \cos^2{\frac{3\pi x}{4}} = 0$.

Рассмотрим каждое слагаемое в левой части уравнения. Первое слагаемое, $x^2(x-2)^2$, является произведением двух квадратов, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $x^2(x-2)^2 \ge 0$ для любого действительного $x$. Второе слагаемое, $\cos^2{\frac{3\pi x}{4}}$, также всегда неотрицательно, так как представляет собой квадрат действительного числа: $\cos^2{\frac{3\pi x}{4}} \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Следовательно, исходное уравнение равносильно системе уравнений: $$ \begin{cases} x^2(x-2)^2 = 0 \\ \cos^2{\frac{3\pi x}{4}} = 0 \end{cases} $$

Из первого уравнения $x^2(x-2)^2 = 0$ находим его корни: $x_1=0$ и $x_2=2$.

Проверим эти корни, подставив их во второе уравнение системы $\cos^2{\frac{3\pi x}{4}} = 0$.

При $x=0$: $\cos^2{\frac{3\pi \cdot 0}{4}} = \cos^2(0) = 1^2 = 1$. Поскольку $1 \ne 0$, $x=0$ не является решением системы.

При $x=2$: $\cos^2{\frac{3\pi \cdot 2}{4}} = \cos^2{\frac{6\pi}{4}} = \cos^2{\frac{3\pi}{2}} = 0^2 = 0$. Поскольку $0 = 0$, $x=2$ является решением системы.

Таким образом, система, а следовательно и исходное уравнение, имеет единственное решение $x=2$.

Ответ: $2$.

14.1. а) $1 - \sin^2 t;$

б) $\cos^2 t - 1;$

в) $1 - \cos^2 t;$

г) $\sin^2 t - 1.$

а) Для упрощения данного выражения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.
Выразим из этого тождества $\cos^2 t$, перенеся $\sin^2 t$ в правую часть уравнения:
$\cos^2 t = 1 - \sin^2 t$.
Таким образом, исходное выражение $1 - \sin^2 t$ тождественно равно $\cos^2 t$.
Ответ: $\cos^2 t$.

б) Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.
Чтобы получить выражение $\cos^2 t - 1$, перенесем 1 в левую часть тождества, а $\sin^2 t$ — в правую:
$\cos^2 t - 1 = -\sin^2 t$.
Следовательно, выражение $\cos^2 t - 1$ равно $-\sin^2 t$.
Ответ: $-\sin^2 t$.

в) Снова обратимся к основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.
Выразим из него $\sin^2 t$, перенеся $\cos^2 t$ в правую часть:
$\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$.
Значит, выражение $1 - \cos^2 t$ равно $\sin^2 t$.
Ответ: $\sin^2 t$.

г) Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.
Чтобы получить выражение $\sin^2 t - 1$, перенесем 1 в левую часть равенства, а $\cos^2 t$ — в правую:
$\sin^2 t - 1 = -\cos^2 t$.
Таким образом, выражение $\sin^2 t - 1$ равно $-\cos^2 t$.
Ответ: $-\cos^2 t$.

14.2. a) $(1 - \sin t)(1 + \sin t);$

Б) $\cos^2 t + 1 - \sin^2 t;$

В) $(1 - \cos t)(1 + \cos t);$

Г) $\sin^2 t + 2 \cos^2 t - 1.$

а) Для упрощения выражения $(1 - \sin t)(1 + \sin t)$ воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. В данном случае $a = 1$ и $b = \sin t$. Применив формулу, получаем:
$(1 - \sin t)(1 + \sin t) = 1^2 - \sin^2 t = 1 - \sin^2 t$.
Теперь используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$. Из этого тождества следует, что $1 - \sin^2 t = \cos^2 t$.
Таким образом, исходное выражение равно $\cos^2 t$.
Ответ: $\cos^2 t$.

б) Рассмотрим выражение $\cos^2 t + 1 - \sin^2 t$. Сгруппируем слагаемые: $\cos^2 t + (1 - \sin^2 t)$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ выразим $1 - \sin^2 t$. Получим $1 - \sin^2 t = \cos^2 t$.
Подставим это в наше сгруппированное выражение:
$\cos^2 t + \cos^2 t = 2\cos^2 t$.
Ответ: $2\cos^2 t$.

в) Выражение $(1 - \cos t)(1 + \cos t)$ также является разностью квадратов, где $a = 1$ и $b = \cos t$.
$(1 - \cos t)(1 + \cos t) = 1^2 - \cos^2 t = 1 - \cos^2 t$.
Снова обратимся к основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$. Из него следует, что $1 - \cos^2 t = \sin^2 t$.
Значит, исходное выражение упрощается до $\sin^2 t$.
Ответ: $\sin^2 t$.

г) Для упрощения выражения $\sin^2 t + 2\cos^2 t - 1$ представим $2\cos^2 t$ в виде суммы $\cos^2 t + \cos^2 t$.
Получим: $\sin^2 t + \cos^2 t + \cos^2 t - 1$.
Сгруппируем первые два слагаемых: $(\sin^2 t + \cos^2 t) + \cos^2 t - 1$.
По основному тригонометрическому тождеству, сумма в скобках равна 1:
$1 + \cos^2 t - 1 = \cos^2 t$.
Ответ: $\cos^2 t$.

14.3. a) $\frac{1}{\cos^2 t} - 1;$

Б) $\frac{1 - \sin^2 t}{\cos^2 t};$

В) $1 - \frac{1}{\sin^2 t};$

Г) $\frac{1 - \cos^2 t}{1 - \sin^2 t}.$

а) Чтобы упростить выражение $\frac{1}{\cos^2 t} - 1$, приведем его к общему знаменателю, которым является $\cos^2 t$:
$\frac{1}{\cos^2 t} - 1 = \frac{1}{\cos^2 t} - \frac{\cos^2 t}{\cos^2 t} = \frac{1 - \cos^2 t}{\cos^2 t}$.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$. Из него следует, что $1 - \cos^2 t = \sin^2 t$.
Подставим это выражение в числитель дроби:
$\frac{1 - \cos^2 t}{\cos^2 t} = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$.
Согласно определению тангенса, $\tan t = \frac{\sin t}{\cos t}$, поэтому полученное выражение равно квадрату тангенса:
$\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \tan^2 t$.

Ответ: $\tan^2 t$

б) Рассмотрим выражение $\frac{1 - \sin^2 t}{\cos^2 t}$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ следует, что $\cos^2 t = 1 - \sin^2 t$.
Заменим числитель дроби на $\cos^2 t$:
$\frac{1 - \sin^2 t}{\cos^2 t} = \frac{\cos^2 t}{\cos^2 t}$.
При условии, что $\cos^2 t \ne 0$, дробь равна единице:
$\frac{\cos^2 t}{\cos^2 t} = 1$.

Ответ: $1$

в) Чтобы упростить выражение $1 - \frac{1}{\sin^2 t}$, приведем его к общему знаменателю $\sin^2 t$:
$1 - \frac{1}{\sin^2 t} = \frac{\sin^2 t}{\sin^2 t} - \frac{1}{\sin^2 t} = \frac{\sin^2 t - 1}{\sin^2 t}$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ можно выразить $\sin^2 t - 1 = -\cos^2 t$.
Подставим это в числитель:
$\frac{\sin^2 t - 1}{\sin^2 t} = \frac{-\cos^2 t}{\sin^2 t}$.
Согласно определению котангенса, $\cot t = \frac{\cos t}{\sin t}$, поэтому полученное выражение равно отрицательному квадрату котангенса:
$-\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = -\cot^2 t$.

Ответ: $-\cot^2 t$

г) Рассмотрим выражение $\frac{1 - \cos^2 t}{1 - \sin^2 t}$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ для преобразования числителя и знаменателя.
Из тождества следует:
$1 - \cos^2 t = \sin^2 t$
$1 - \sin^2 t = \cos^2 t$
Подставим эти выражения в исходную дробь:
$\frac{1 - \cos^2 t}{1 - \sin^2 t} = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$.
Данное отношение по определению является квадратом тангенса:
$\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \tan^2 t$.

Ответ: $\tan^2 t$

14.4. a) $\frac{(\sin t + \cos t)^2}{1 + 2 \sin t \cos t}$;

б) $\frac{1 - 2 \sin t \cos t}{(\cos t - \sin t)^2}$.

а) Упростим данное выражение $\frac{(\sin t + \cos t)^2}{1 + 2 \sin t \cos t}$.

Сначала раскроем квадрат суммы в числителе, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t$

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.

Сгруппируем слагаемые в числителе:

$(\sin^2 t + \cos^2 t) + 2 \sin t \cos t = 1 + 2 \sin t \cos t$

Подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$\frac{1 + 2 \sin t \cos t}{1 + 2 \sin t \cos t}$

Так как числитель и знаменатель равны (при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $1 + \sin(2t) \ne 0$), дробь равна 1.

Ответ: $1$

б) Упростим выражение $\frac{1 - 2 \sin t \cos t}{(\cos t - \sin t)^2}$.

Рассмотрим знаменатель. Раскроем квадрат разности, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\cos t - \sin t)^2 = \cos^2 t - 2 \cos t \sin t + \sin^2 t$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ к полученному выражению в знаменателе:

$(\cos^2 t + \sin^2 t) - 2 \cos t \sin t = 1 - 2 \sin t \cos t$

Теперь подставим это выражение в знаменатель исходной дроби:

$\frac{1 - 2 \sin t \cos t}{1 - 2 \sin t \cos t}$

Числитель и знаменатель дроби равны (при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $\cos t \ne \sin t$), следовательно, значение выражения равно 1.

Ответ: $1$

14.5. Докажите тождество:

a) $ \frac{\cos^2 t}{1 - \sin t} - \sin t = 1 $;

б) $ \frac{\sin^2 t}{1 + \cos t} + \cos t = 1 $.

а)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2 t + cos^2 t = 1$. Из него следует, что $cos^2 t = 1 - sin^2 t$.

Подставим это выражение в левую часть исходного равенства:

$\frac{cos^2 t}{1 - sin t} - sin t = \frac{1 - sin^2 t}{1 - sin t} - sin t$

Числитель дроби представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$\frac{(1 - sin t)(1 + sin t)}{1 - sin t} - sin t$

Сократим дробь на общий множитель $(1 - sin t)$. Это преобразование корректно при условии, что $1 - sin t \neq 0$, то есть $sin t \neq 1$.

$(1 + sin t) - sin t = 1 + sin t - sin t = 1$

Мы получили, что левая часть тождества равна $1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Преобразуем левую часть тождества, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2 t + cos^2 t = 1$. Выразим из него $sin^2 t = 1 - cos^2 t$.

Подставим полученное выражение в левую часть доказываемого равенства:

$\frac{sin^2 t}{1 + cos t} + cos t = \frac{1 - cos^2 t}{1 + cos t} + cos t$

Разложим числитель дроби на множители как разность квадратов:

$\frac{(1 - cos t)(1 + cos t)}{1 + cos t} + cos t$

Сократим дробь на $(1 + cos t)$, предполагая, что $1 + cos t \neq 0$, то есть $cos t \neq -1$.

$(1 - cos t) + cos t = 1 - cos t + cos t = 1$

В результате преобразований левая часть оказалась равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.