Страница 95, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

14.6. Докажите, что при всех допустимых значениях t выражение принимает одно и то же значение:

а) $(\sin t + \cos t)^2 - 2 \sin t \cos t;$

б) $\frac{2 - \sin^2 t - \cos^2 t}{3 \sin^2 t + 3 \cos^2 t};$

в) $\sin^4 t + \cos^4 t + 2 \sin^2 t \cos^2 t;$

г) $\frac{\sin^4 t - \cos^4 t}{\sin^2 t - \cos^2 t}.$

а) Упростим выражение $(\sin t + \cos t)^2 - 2 \sin t \cos t$.

Для начала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$(\sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t) - 2 \sin t \cos t$

Сократим подобные члены $2 \sin t \cos t$ и $-2 \sin t \cos t$:

$\sin^2 t + \cos^2 t$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, получаем:

$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$

Выражение равно 1 при всех допустимых значениях $t$ (в данном случае при всех действительных $t$).

Ответ: 1

б) Упростим выражение $\frac{2 - \sin^2 t - \cos^2 t}{3 \sin^2 t + 3 \cos^2 t}$.

Рассмотрим числитель: $2 - \sin^2 t - \cos^2 t$. Вынесем минус за скобки:

$2 - (\sin^2 t + \cos^2 t)$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

$2 - 1 = 1$

Теперь рассмотрим знаменатель: $3 \sin^2 t + 3 \cos^2 t$. Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3 (\sin^2 t + \cos^2 t)$

Снова применим основное тригонометрическое тождество:

$3 \cdot 1 = 3$

Таким образом, всё выражение равно:

$\frac{1}{3}$

Знаменатель $3 \sin^2 t + 3 \cos^2 t = 3$ никогда не равен нулю, поэтому выражение определено для всех действительных $t$. Значение выражения постоянно и равно $\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

в) Упростим выражение $\sin^4 t + \cos^4 t + 2 \sin^2 t \cos^2 t$.

Это выражение можно представить в виде формулы квадрата суммы. Пусть $a = \sin^2 t$ и $b = \cos^2 t$. Тогда выражение принимает вид $a^2 + b^2 + 2ab$, что является полным квадратом $(a+b)^2$.

$\sin^4 t + 2 \sin^2 t \cos^2 t + \cos^4 t = (\sin^2 t)^2 + 2 (\sin^2 t) (\cos^2 t) + (\cos^2 t)^2$

Свернем это выражение по формуле квадрата суммы:

$(\sin^2 t + \cos^2 t)^2$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, получаем:

$(1)^2 = 1$

Выражение равно 1 при всех допустимых значениях $t$ (в данном случае при всех действительных $t$).

Ответ: 1

г) Упростим выражение $\frac{\sin^4 t - \cos^4 t}{\sin^2 t - \cos^2 t}$.

Область допустимых значений определяется условием, что знаменатель не равен нулю:

$\sin^2 t - \cos^2 t \neq 0$

Рассмотрим числитель. Он представляет собой разность квадратов, так как $\sin^4 t = (\sin^2 t)^2$ и $\cos^4 t = (\cos^2 t)^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$\sin^4 t - \cos^4 t = (\sin^2 t - \cos^2 t)(\sin^2 t + \cos^2 t)$

Теперь подставим это в исходную дробь:

$\frac{(\sin^2 t - \cos^2 t)(\sin^2 t + \cos^2 t)}{\sin^2 t - \cos^2 t}$

При условии, что $\sin^2 t - \cos^2 t \neq 0$, мы можем сократить дробь на этот множитель:

$\sin^2 t + \cos^2 t$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, получаем:

$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$

Таким образом, при всех допустимых значениях $t$ выражение равно 1.

Ответ: 1

14.7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$s = f(t)$, если:

а) $f(t) = 1 - (\cos^2 t - \sin^2 t)$;

б) $f(t) = 1 - \sin t \cos t \operatorname{tg} t$;

в) $f(t) = \cos^2 t \operatorname{tg}^2 t + 5 \cos^2 t - 1$;

г) $f(t) = \sin t + 3 \sin^2 t + 3 \cos^2 t$.

а) Для функции $f(t) = 1 - (\cos^2 t - \sin^2 t)$ используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2t) = \cos^2 t - \sin^2 t$. Подставив это в исходное выражение, получим: $f(t) = 1 - \cos(2t)$. Мы знаем, что область значений функции косинуса $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos(2t) \le 1$. Умножим неравенство на -1, изменив знаки неравенства: $1 \ge -\cos(2t) \ge -1$. Прибавим 1 ко всем частям неравенства: $1 + 1 \ge 1 - \cos(2t) \ge -1 + 1$, что дает $2 \ge f(t) \ge 0$. Следовательно, наименьшее значение функции равно 0, а наибольшее равно 2.
Ответ: Наименьшее значение: 0, наибольшее значение: 2.

б) Рассмотрим функцию $f(t) = 1 - \sin t \cos t \operatorname{tg} t$. Область определения этой функции требует, чтобы $\cos t \neq 0$, так как $\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$. Упростим выражение: $f(t) = 1 - \sin t \cos t \cdot \frac{\sin t}{\cos t} = 1 - \sin^2 t$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, получаем: $f(t) = \cos^2 t$. Область значений для $\cos t$ это $[-1, 1]$. Тогда область значений для $\cos^2 t$ это $[0, 1]$. Таким образом, наименьшее значение функции равно 0, а наибольшее равно 1. Заметим, что хотя исходная функция не определена при $\cos t = 0$, мы рассматриваем значения упрощенной функции на всей числовой прямой, так как разрыв является устранимым.
Ответ: Наименьшее значение: 0, наибольшее значение: 1.

в) Рассмотрим функцию $f(t) = \cos^2 t \operatorname{tg}^2 t + 5\cos^2 t - 1$. Область определения этой функции также требует, чтобы $\cos t \neq 0$. Упростим выражение, используя $\operatorname{tg}^2 t = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$: $f(t) = \cos^2 t \cdot \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} + 5\cos^2 t - 1 = \sin^2 t + 5\cos^2 t - 1$. Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество: $f(t) = (\sin^2 t + \cos^2 t) + 4\cos^2 t - 1 = 1 + 4\cos^2 t - 1 = 4\cos^2 t$. Мы знаем, что $0 \le \cos^2 t \le 1$. Умножив на 4, получаем область значений для $f(t)$: $0 \le 4\cos^2 t \le 4$, то есть $0 \le f(t) \le 4$. Наименьшее значение функции равно 0, а наибольшее равно 4.
Ответ: Наименьшее значение: 0, наибольшее значение: 4.

г) Рассмотрим функцию $f(t) = \sin t + 3\sin^2 t + 3\cos^2 t$. Вынесем общий множитель 3 за скобки: $f(t) = \sin t + 3(\sin^2 t + \cos^2 t)$. Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$: $f(t) = \sin t + 3(1) = \sin t + 3$. Область значений функции синуса $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin t \le 1$. Прибавим 3 ко всем частям неравенства: $-1 + 3 \le \sin t + 3 \le 1 + 3$, что дает $2 \le f(t) \le 4$. Следовательно, наименьшее значение функции равно 2, а наибольшее равно 4.
Ответ: Наименьшее значение: 2, наибольшее значение: 4.

Упростите выражение:

14.8. а) $\frac{\cos^2 t - \operatorname{ctg}^2 t}{\sin^2 t - \operatorname{tg}^2 t}$;

б) $\operatorname{ctg}^2 t - (\sin^{-2} t - 1)$;

в) $\cos^2 t - \sin^2 t (\operatorname{ctg}^2 t + 1)$;

г) $\frac{\sin^2 t - 1}{\cos^2 t - 1} + \operatorname{tg} t \operatorname{ctg} t$.

а) Исходное выражение: $\frac{\cos^2 t - \text{ctg}^2 t}{\sin^2 t - \text{tg}^2 t}$.
Воспользуемся определениями тангенса и котангенса: $\text{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$ и $\text{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$. Подставим их в квадрате в исходное выражение:
$\frac{\cos^2 t - \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}}{\sin^2 t - \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}}$
Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе:
$\frac{\cos^2 t (1 - \frac{1}{\sin^2 t})}{\sin^2 t (1 - \frac{1}{\cos^2 t})}$
Приведем выражения в скобках к общему знаменателю:
$\frac{\cos^2 t (\frac{\sin^2 t - 1}{\sin^2 t})}{\sin^2 t (\frac{\cos^2 t - 1}{\cos^2 t})}$
Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, из которого следуют два равенства: $\sin^2 t - 1 = -\cos^2 t$ и $\cos^2 t - 1 = -\sin^2 t$.
Подставим эти выражения:
$\frac{\cos^2 t (\frac{-\cos^2 t}{\sin^2 t})}{\sin^2 t (\frac{-\sin^2 t}{\cos^2 t})} = \frac{-\frac{\cos^4 t}{\sin^2 t}}{-\frac{\sin^4 t}{\cos^2 t}}$
Упростим полученную "двухэтажную" дробь, заменив деление умножением на обратную дробь:
$\frac{\cos^4 t}{\sin^2 t} \cdot \frac{\cos^2 t}{\sin^4 t} = \frac{\cos^6 t}{\sin^6 t} = (\frac{\cos t}{\sin t})^6 = \text{ctg}^6 t$.
Ответ: $\text{ctg}^6 t$.

б) Исходное выражение: $\text{ctg}^2 t - (\sin^{-2} t - 1)$.
Запишем $\sin^{-2} t$ как $\frac{1}{\sin^2 t}$:
$\text{ctg}^2 t - (\frac{1}{\sin^2 t} - 1)$
Воспользуемся тригонометрическим тождеством $1 + \text{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t}$. Из него следует, что $\text{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t} - 1$.
Подставим это равенство в исходное выражение:
$\text{ctg}^2 t - (\text{ctg}^2 t) = \text{ctg}^2 t - \text{ctg}^2 t = 0$.
Ответ: $0$.

в) Исходное выражение: $\cos^2 t - \sin^2 t (\text{ctg}^2 t + 1)$.
Воспользуемся тригонометрическим тождеством $1 + \text{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t}$.
Подставим это в выражение в скобках:
$\cos^2 t - \sin^2 t \cdot (\frac{1}{\sin^2 t})$
Сократим $\sin^2 t$:
$\cos^2 t - 1$
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ следует, что $\cos^2 t - 1 = -\sin^2 t$.
Ответ: $-\sin^2 t$.

г) Исходное выражение: $\frac{\sin^2 t - 1}{\cos^2 t - 1} + \text{tg} t \cdot \text{ctg} t$.
Упростим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое: $\frac{\sin^2 t - 1}{\cos^2 t - 1}$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ получаем: $\sin^2 t - 1 = -\cos^2 t$ и $\cos^2 t - 1 = -\sin^2 t$.
Подставим в дробь:
$\frac{-\cos^2 t}{-\sin^2 t} = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \text{ctg}^2 t$.
Второе слагаемое: $\text{tg} t \cdot \text{ctg} t$.
Произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно 1 (при условии, что оба выражения определены):
$\text{tg} t \cdot \text{ctg} t = 1$.
Теперь сложим упрощенные слагаемые:
$\text{ctg}^2 t + 1$
Используем тригонометрическое тождество $1 + \text{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t}$.
Ответ: $\frac{1}{\sin^2 t}$.

14.9. a) $\frac{\sin t}{1 + \cos t} + \frac{\sin t}{1 - \cos t}$;

Б) $\text{ctg}^2 t (\cos^2 t - 1) + 1$;

В) $\frac{\cos t}{1 + \sin t} + \frac{\cos t}{1 - \sin t}$;

Г) $\frac{\text{tg } t + 1}{1 + \text{ctg } t}$.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{\sin t}{1 + \cos t} + \frac{\sin t}{1 - \cos t}$, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $(1 + \cos t)(1 - \cos t)$.
Используя формулу разности квадратов, получим: $(1 + \cos t)(1 - \cos t) = 1^2 - \cos^2 t = 1 - \cos^2 t$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, знаменатель равен $\sin^2 t$.
Теперь выполним сложение дробей:
$\frac{\sin t(1 - \cos t) + \sin t(1 + \cos t)}{(1 + \cos t)(1 - \cos t)} = \frac{\sin t - \sin t \cos t + \sin t + \sin t \cos t}{1 - \cos^2 t}$
Упростим числитель:
$\sin t - \sin t \cos t + \sin t + \sin t \cos t = 2\sin t$.
Таким образом, выражение принимает вид:
$\frac{2\sin t}{\sin^2 t} = \frac{2}{\sin t}$.
Ответ: $\frac{2}{\sin t}$

б) Упростим выражение $\text{ctg}^2 t (\cos^2 t - 1) + 1$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ следует, что $\cos^2 t - 1 = -\sin^2 t$.
Подставим это в исходное выражение:
$\text{ctg}^2 t (-\sin^2 t) + 1$.
Вспомним определение котангенса: $\text{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$, следовательно $\text{ctg}^2 t = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}$.
Подставим это в выражение:
$\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} (-\sin^2 t) + 1 = -\cos^2 t + 1$.
Снова используем основное тригонометрическое тождество: $1 - \cos^2 t = \sin^2 t$.
Ответ: $\sin^2 t$

в) Чтобы упростить выражение $\frac{\cos t}{1 + \sin t} + \frac{\cos t}{1 - \sin t}$, приведем дроби к общему знаменателю $(1 + \sin t)(1 - \sin t)$.
По формуле разности квадратов: $(1 + \sin t)(1 - \sin t) = 1 - \sin^2 t$.
Из основного тригонометрического тождества, $1 - \sin^2 t = \cos^2 t$.
Выполним сложение дробей:
$\frac{\cos t(1 - \sin t) + \cos t(1 + \sin t)}{(1 + \sin t)(1 - \sin t)} = \frac{\cos t - \cos t \sin t + \cos t + \cos t \sin t}{1 - \sin^2 t}$.
Упростим числитель:
$\cos t - \cos t \sin t + \cos t + \cos t \sin t = 2\cos t$.
Таким образом, выражение принимает вид:
$\frac{2\cos t}{\cos^2 t} = \frac{2}{\cos t}$.
Ответ: $\frac{2}{\cos t}$

г) Упростим выражение $\frac{\text{tg} t + 1}{1 + \text{ctg} t}$.
Используем тождество $\text{ctg} t = \frac{1}{\text{tg} t}$ и подставим его в знаменатель:
$\frac{\text{tg} t + 1}{1 + \frac{1}{\text{tg} t}}$.
Приведем выражение в знаменателе к общему знаменателю $\text{tg} t$:
$1 + \frac{1}{\text{tg} t} = \frac{\text{tg} t + 1}{\text{tg} t}$.
Теперь исходное выражение выглядит как деление дробей:
$\frac{\text{tg} t + 1}{\frac{\text{tg} t + 1}{\text{tg} t}} = (\text{tg} t + 1) \cdot \frac{\text{tg} t}{\text{tg} t + 1}$.
Сократим общий множитель $(\text{tg} t + 1)$:
$(\text{tg} t + 1) \cdot \frac{\text{tg} t}{\text{tg} t + 1} = \text{tg} t$.
Ответ: $\text{tg} t$

14.10. a) $(3 \sin t + 4 \cos t)^2 + (4 \sin t - 3 \cos t)^2$;

б) $(\text{tg} t + \text{ctg} t)^2 - (\text{tg} t - \text{ctg} t)^2$;

в) $\sin t \cos t (\text{tg} t + \text{ctg} t)$;

г) $\sin^2 t \cos^2 t (\text{tg}^2 t + \text{ctg}^2 t + 2)$.

а) $(3 \sin t + 4 \cos t)^2 + (4 \sin t - 3 \cos t)^2$

Для упрощения выражения раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

$(3 \sin t + 4 \cos t)^2 = (3 \sin t)^2 + 2 \cdot 3 \sin t \cdot 4 \cos t + (4 \cos t)^2 = 9 \sin^2 t + 24 \sin t \cos t + 16 \cos^2 t$.

$(4 \sin t - 3 \cos t)^2 = (4 \sin t)^2 - 2 \cdot 4 \sin t \cdot 3 \cos t + (3 \cos t)^2 = 16 \sin^2 t - 24 \sin t \cos t + 9 \cos^2 t$.

Теперь сложим полученные выражения:

$(9 \sin^2 t + 24 \sin t \cos t + 16 \cos^2 t) + (16 \sin^2 t - 24 \sin t \cos t + 9 \cos^2 t)$.

Слагаемые $24 \sin t \cos t$ и $-24 \sin t \cos t$ взаимно уничтожаются. Сгруппируем оставшиеся члены:

$(9 \sin^2 t + 16 \sin^2 t) + (16 \cos^2 t + 9 \cos^2 t) = 25 \sin^2 t + 25 \cos^2 t$.

Вынесем общий множитель 25 за скобки и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

$25(\sin^2 t + \cos^2 t) = 25 \cdot 1 = 25$.

Ответ: 25

б) $(\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t)^2 - (\operatorname{tg} t - \operatorname{ctg} t)^2$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = \operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t$ и $b = \operatorname{tg} t - \operatorname{ctg} t$.

$a - b = (\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t) - (\operatorname{tg} t - \operatorname{ctg} t) = \operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t - \operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t = 2 \operatorname{ctg} t$.

$a + b = (\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t) + (\operatorname{tg} t - \operatorname{ctg} t) = 2 \operatorname{tg} t$.

Перемножим полученные выражения:

$(2 \operatorname{ctg} t)(2 \operatorname{tg} t) = 4 \operatorname{tg} t \operatorname{ctg} t$.

Используя тождество $\operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t = 1$, получаем:

$4 \cdot 1 = 4$.

Ответ: 4

в) $\sin t \cos t (\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t)$

Представим тангенс и котангенс через синус и косинус: $\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$, $\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$.

$\sin t \cos t \left(\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t}\right)$.

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю $\sin t \cos t$:

$\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin t \cos t}$.

По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, поэтому выражение в скобках равно $\frac{1}{\sin t \cos t}$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$\sin t \cos t \cdot \frac{1}{\sin t \cos t} = 1$.

Ответ: 1

г) $\sin^2 t \cos^2 t (\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t + 2)$

Рассмотрим выражение в скобках: $\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t + 2$.

Зная, что $2 = 2 \cdot 1 = 2 \cdot \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t$, можно переписать выражение как:

$\operatorname{tg}^2 t + 2 \operatorname{tg} t \operatorname{ctg} t + \operatorname{ctg}^2 t$.

Это выражение является полным квадратом суммы: $(\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t)^2$.

Из предыдущего пункта (в) мы знаем, что $\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t = \frac{1}{\sin t \cos t}$.

Следовательно, $(\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t)^2 = \left(\frac{1}{\sin t \cos t}\right)^2 = \frac{1}{\sin^2 t \cos^2 t}$.

Подставим это в исходное выражение:

$\sin^2 t \cos^2 t \cdot \frac{1}{\sin^2 t \cos^2 t} = 1$.

Ответ: 1

Докажите тождество:

14.11. a) $\frac{\operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t} = \sin^2 t;$

б) $\frac{1 + \operatorname{tg} t}{1 + \operatorname{ctg} t} = \operatorname{tg} t;$

В) $\frac{\operatorname{ctg} t}{\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t} = \cos^2 t;$

г) $\frac{1 - \operatorname{ctg} t}{1 - \operatorname{tg} t} = -\operatorname{ctg} t.$

а) Преобразуем левую часть тождества, выразив тангенс и котангенс через синус и косинус. Используем формулы $\text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t}$ и $\text{ctg } t = \frac{\cos t}{\sin t}$.
$\frac{\text{tg } t}{\text{tg } t + \text{ctg } t} = \frac{\frac{\sin t}{\cos t}}{\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t}}$
Приведем слагаемые в знаменателе к общему знаменателю $\sin t \cos t$:
$\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin t \cos t}$
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$. Подставим это в знаменатель:
$\frac{\frac{\sin t}{\cos t}}{\frac{1}{\sin t \cos t}} = \frac{\sin t}{\cos t} \cdot \frac{\sin t \cos t}{1} = \sin t \cdot \sin t = \sin^2 t$
Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Преобразуем левую часть тождества, используя соотношение $\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t}$.
$\frac{1 + \text{tg } t}{1 + \text{ctg } t} = \frac{1 + \text{tg } t}{1 + \frac{1}{\text{tg } t}} = \frac{1 + \text{tg } t}{\frac{\text{tg } t + 1}{\text{tg } t}}$
Разделим числитель на знаменатель (умножим на перевернутую дробь):
$(1 + \text{tg } t) \cdot \frac{\text{tg } t}{1 + \text{tg } t} = \text{tg } t$
Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Что и требовалось доказать.

в) Преобразуем левую часть тождества, выразив тангенс и котангенс через синус и косинус.
$\frac{\text{ctg } t}{\text{tg } t + \text{ctg } t} = \frac{\frac{\cos t}{\sin t}}{\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t}} = \frac{\frac{\cos t}{\sin t}}{\frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin t \cos t}}$
Так как $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, получаем:
$\frac{\frac{\cos t}{\sin t}}{\frac{1}{\sin t \cos t}} = \frac{\cos t}{\sin t} \cdot \frac{\sin t \cos t}{1} = \cos t \cdot \cos t = \cos^2 t$
Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Что и требовалось доказать.

г) Преобразуем левую часть тождества, используя соотношение $\text{tg } t = \frac{1}{\text{ctg } t}$.
$\frac{1 - \text{ctg } t}{1 - \text{tg } t} = \frac{1 - \text{ctg } t}{1 - \frac{1}{\text{ctg } t}} = \frac{1 - \text{ctg } t}{\frac{\text{ctg } t - 1}{\text{ctg } t}}$
Заметим, что $1 - \text{ctg } t = -(\text{ctg } t - 1)$. Подставим это в числитель:
$\frac{-(\text{ctg } t - 1)}{\frac{\text{ctg } t - 1}{\text{ctg } t}} = -(\text{ctg } t - 1) \cdot \frac{\text{ctg } t}{\text{ctg } t - 1} = -\text{ctg } t$
Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Что и требовалось доказать.

14.12. a) $1 + \sin t = \frac{\cos t + \operatorname{ctg} t}{\operatorname{ctg} t}$;

б) $\frac{\sin t + \operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t} = 1 + \cos t$;

в) $\frac{1 - \sin t}{\cos t} = \frac{\cos t}{1 + \sin t}$;

г) $\frac{\sin t}{1 - \cos t} = \frac{1 + \cos t}{\sin t}$.

а) $1 + \sin t = \frac{\cos t + \text{ctg } t}{\text{ctg } t}$

Для доказательства данного тождества преобразуем его правую часть. Для этого разделим почленно числитель на знаменатель:

$\frac{\cos t + \text{ctg } t}{\text{ctg } t} = \frac{\cos t}{\text{ctg } t} + \frac{\text{ctg } t}{\text{ctg } t} = \frac{\cos t}{\text{ctg } t} + 1$

Теперь воспользуемся определением котангенса: $\text{ctg } t = \frac{\cos t}{\sin t}$. Подставим это выражение в полученную формулу:

$\frac{\cos t}{\frac{\cos t}{\sin t}} + 1 = \cos t \cdot \frac{\sin t}{\cos t} + 1$

После сокращения дроби на $\cos t$ (при условии, что $\cos t \neq 0$) получаем:

$\sin t + 1$

Таким образом, правая часть тождества равна $1 + \sin t$, что совпадает с левой частью. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б) $\frac{\sin t + \text{tg } t}{\text{tg } t} = 1 + \cos t$

Преобразуем левую часть тождества. Разделим почленно числитель на знаменатель:

$\frac{\sin t + \text{tg } t}{\text{tg } t} = \frac{\sin t}{\text{tg } t} + \frac{\text{tg } t}{\text{tg } t} = \frac{\sin t}{\text{tg } t} + 1$

Используем определение тангенса: $\text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t}$. Подставим это выражение:

$\frac{\sin t}{\frac{\sin t}{\cos t}} + 1 = \sin t \cdot \frac{\cos t}{\sin t} + 1$

Сократим дробь на $\sin t$ (при условии, что $\sin t \neq 0$):

$\cos t + 1$

Левая часть тождества равна $1 + \cos t$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

в) $\frac{1 - \sin t}{\cos t} = \frac{\cos t}{1 + \sin t}$

Для доказательства этого тождества преобразуем левую часть. Домножим числитель и знаменатель левой дроби на выражение $(1 + \sin t)$, которое является сопряженным к числителю:

$\frac{1 - \sin t}{\cos t} = \frac{(1 - \sin t)(1 + \sin t)}{\cos t (1 + \sin t)}$

В числителе применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$\frac{1^2 - \sin^2 t}{\cos t (1 + \sin t)} = \frac{1 - \sin^2 t}{\cos t (1 + \sin t)}$

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ следует, что $1 - \sin^2 t = \cos^2 t$. Заменим числитель:

$\frac{\cos^2 t}{\cos t (1 + \sin t)}$

Теперь сократим дробь на $\cos t$ (при условии, что $\cos t \neq 0$):

$\frac{\cos t}{1 + \sin t}$

В результате преобразования левая часть стала равна правой. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

г) $\frac{\sin t}{1 - \cos t} = \frac{1 + \cos t}{\sin t}$

Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Домножим числитель и знаменатель на выражение $(1 + \cos t)$, сопряженное знаменателю:

$\frac{\sin t}{1 - \cos t} = \frac{\sin t (1 + \cos t)}{(1 - \cos t)(1 + \cos t)}$

В знаменателе используем формулу разности квадратов:

$\frac{\sin t (1 + \cos t)}{1^2 - \cos^2 t} = \frac{\sin t (1 + \cos t)}{1 - \cos^2 t}$

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ следует, что $1 - \cos^2 t = \sin^2 t$. Подставим это в знаменатель:

$\frac{\sin t (1 + \cos t)}{\sin^2 t}$

Сократим дробь на $\sin t$ (при условии, что $\sin t \neq 0$):

$\frac{1 + \cos t}{\sin t}$

В результате левая часть тождества стала равна правой. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.