Страница 101, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

15.21. Дано выражение $ \cos 1^\circ \cos 2^\circ \cos 3^\circ \dots \cos n^\circ $.

а) При каких натуральных значениях $n$ это выражение положительно?

б) При каких натуральных значениях $n$ это выражение отрицательно?

в) При каких натуральных значениях $n$ это выражение равно нулю?

а) При каких натуральных значениях $n$ это выражение положительно?

Рассмотрим выражение $P(n) = \cos 1^\circ \cos 2^\circ \cos 3^\circ \cdots \cos n^\circ$. Знак этого произведения зависит от знаков множителей $\cos k^\circ$ для $k$ от $1$ до $n$.

Произведение будет положительным, если оно не равно нулю и содержит четное число отрицательных множителей.

Выражение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Множитель $\cos k^\circ$ равен нулю, когда $k$ является нечетным кратным $90$ (т.е. $k = 90, 270, 450, \dots$). Наименьшее такое натуральное значение $k$ равно $90$. Следовательно, если $n \ge 90$, то произведение будет содержать множитель $\cos 90^\circ = 0$, и все выражение будет равно нулю. Таким образом, для того чтобы выражение было положительным, должно выполняться условие $n < 90$.

Рассмотрим натуральные значения $n$ в диапазоне $1 \le n \le 89$. Для любого целого числа $k$ из этого диапазона ($1 \le k \le 89$), угол $k^\circ$ находится в первой координатной четверти ($0^\circ < k^\circ < 90^\circ$). Косинус любого угла в первой четверти положителен.Следовательно, все множители $\cos 1^\circ, \cos 2^\circ, \dots, \cos n^\circ$ в произведении будут положительными.

Произведение любого количества положительных чисел всегда положительно. Значит, при $n$ от $1$ до $89$ выражение будет положительным.

Ответ: при всех натуральных значениях $n$ от $1$ до $89$ включительно, то есть $1 \le n \le 89$.

б) При каких натуральных значениях $n$ это выражение отрицательно?

Для того чтобы выражение было отрицательным, оно не должно быть равно нулю (что, как мы выяснили, требует $n < 90$) и должно содержать нечетное число отрицательных множителей.

Рассмотрим диапазон натуральных чисел $n$, при которых выражение не равно нулю, то есть $1 \le n \le 89$. Как было показано в пункте а), для любого $k$ из этого диапазона ($1 \le k \le 89$), значение $\cos k^\circ$ является положительным.

Таким образом, при $1 \le n \le 89$ в произведении нет ни одного отрицательного множителя. Число отрицательных множителей равно нулю, что является четным числом, поэтому произведение положительно.

При $n \ge 90$ выражение равно нулю, а не отрицательно.

Следовательно, не существует натуральных значений $n$, при которых данное выражение было бы отрицательным.

Ответ: таких натуральных значений $n$ не существует.

в) При каких натуральных значениях $n$ это выражение равно нулю?

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен нулю.

Множитель $\cos k^\circ$ равен нулю, если угол $k^\circ$ равен $90^\circ + 180^\circ \cdot m$, где $m$ — целое неотрицательное число. Поскольку $k$ — натуральное число, то возможные значения $k$:

при $m=0$: $k = 90$

при $m=1$: $k = 270$

при $m=2$: $k = 450$

и так далее.

Чтобы произведение $P(n) = \cos 1^\circ \cos 2^\circ \cdots \cos n^\circ$ содержало множитель, равный нулю, верхний предел $n$ должен быть не меньше, чем наименьшее из этих значений $k$. Наименьшее такое значение $k$ равно $90$.

Таким образом, если $n \ge 90$, то в последовательности множителей от $\cos 1^\circ$ до $\cos n^\circ$ обязательно встретится множитель $\cos 90^\circ$, который равен нулю. Это обращает в ноль все произведение.

Ответ: при всех натуральных значениях $n \ge 90$.

15.22. Дано выражение $\sin 1^\circ + \sin 2^\circ + \sin 3^\circ + \dots + \sin n^\circ$.

а) При каких натуральных значениях $n$ это выражение положительно?

б) При каких натуральных значениях $n$ это выражение отрицательно?

в) При каких натуральных значениях $n$ это выражение равно нулю?

Для решения задачи воспользуемся формулой для суммы синусов углов, составляющих арифметическую прогрессию. Сумма $S_n = \sin 1^\circ + \sin 2^\circ + \dots + \sin n^\circ$ представляет собой сумму $n$ членов, где первый член $a_1 = 1^\circ$, а разность прогрессии $d = 1^\circ$.

Общая формула для суммы синусов:$ \sum_{k=1}^{n} \sin(a + (k-1)d) = \frac{\sin(\frac{nd}{2}) \sin(a + \frac{(n-1)d}{2})}{\sin(\frac{d}{2})} $В нашем случае $a = 1^\circ$ и $d = 1^\circ$, поэтому формула упрощается до:$ S_n = \sum_{k=1}^{n} \sin(k^\circ) = \frac{\sin(\frac{n}{2}^\circ) \sin(\frac{n+1}{2}^\circ)}{\sin(0.5^\circ)} $

Знаменатель дроби $\sin(0.5^\circ)$ является положительным числом, так как угол $0.5^\circ$ находится в первой четверти. Следовательно, знак всего выражения $S_n$ совпадает со знаком числителя, то есть со знаком произведения $P(n) = \sin(\frac{n}{2}^\circ)\sin(\frac{n+1}{2}^\circ)$.

Для удобства проанализируем сначала, когда выражение равно нулю, затем — когда оно отрицательно, и в конце — когда положительно.

Выражение равно нулю, когда его числитель равен нулю:$ \sin(\frac{n}{2}^\circ)\sin(\frac{n+1}{2}^\circ) = 0 $Это равенство выполняется, если один из сомножителей равен нулю.
1. $ \sin(\frac{n}{2}^\circ) = 0 $
Это возможно, когда аргумент является целым кратным $180^\circ$:$ \frac{n}{2} = 180k $, где $k$ — целое число.$ n = 360k $Поскольку $n$ — натуральное число, то $k$ должно быть натуральным числом, т.е. $k \in \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$.
2. $ \sin(\frac{n+1}{2}^\circ) = 0 $
Аналогично:$ \frac{n+1}{2} = 180k $, где $k$ — целое число.$ n+1 = 360k \implies n = 360k - 1 $Поскольку $n$ — натуральное число, $k$ также должно быть натуральным числом ($k \in \mathbb{N}$).
Таким образом, выражение равно нулю при $n=360k$ или $n=360k-1$ для любого натурального $k$.

Ответ: при $n=360k-1$ и $n=360k$, где $k$ — любое натуральное число (например, при $n=359, 360, 719, 720, \dots$).

Выражение отрицательно, когда произведение $P(n) = \sin(\frac{n}{2}^\circ)\sin(\frac{n+1}{2}^\circ)$ отрицательно. Это происходит, когда сомножители $\sin(\frac{n}{2}^\circ)$ и $\sin(\frac{n+1}{2}^\circ)$ имеют разные знаки.

Знак синуса меняется при переходе его аргумента через значения, кратные $180^\circ$. Для того чтобы знаки были разными, между аргументами $\frac{n}{2}^\circ$ и $\frac{n+1}{2}^\circ$ должно находиться число, кратное $180^\circ$. То есть, для некоторого натурального $m$ должно выполняться неравенство:$ \frac{n}{2} < 180m < \frac{n+1}{2} $Умножим все части неравенства на 2:$ n < 360m < n+1 $Это двойное неравенство не имеет решений в целых числах $n$, так как между двумя последовательными целыми числами $n$ и $n+1$ не может находиться другое целое число $360m$.
Следовательно, сомножители $\sin(\frac{n}{2}^\circ)$ и $\sin(\frac{n+1}{2}^\circ)$ никогда не могут иметь разные знаки. Это означает, что их произведение никогда не бывает отрицательным.

Ответ: ни при каких натуральных значениях $n$.

Выражение положительно, когда произведение $P(n) = \sin(\frac{n}{2}^\circ)\sin(\frac{n+1}{2}^\circ)$ положительно.
Из анализа в пунктах (б) и (в) мы знаем, что это произведение никогда не бывает отрицательным и равно нулю только при $n=360k-1$ и $n=360k$ для $k \in \mathbb{N}$.
Во всех остальных случаях, когда $n$ — натуральное число, произведение должно быть положительным. Это происходит, когда оба сомножителя имеют одинаковый знак (оба положительны или оба отрицательны), что, как мы выяснили, выполняется для всех $n$, при которых выражение не равно нулю.
Таким образом, выражение положительно для всех натуральных $n$, за исключением тех, при которых оно равно нулю.

Ответ: при всех натуральных $n$, кроме $n=360k-1$ и $n=360k$, где $k$ — любое натуральное число.

15.23. Дано выражение $\cos 1^\circ + \cos 2^\circ + \cos 3^\circ + \dots + \cos n^\circ$.

a) При каких натуральных значениях $n \leq 360$ это выражение положительно?

б) При каких натуральных значениях $n \leq 360$ это выражение отрицательно?

в) При каких натуральных значениях $n$ это выражение равно нулю?

Обозначим данное выражение через $S_n = \cos 1^\circ + \cos 2^\circ + \cos 3^\circ + \dots + \cos n^\circ$. Эта сумма представляет собой сумму косинусов углов, составляющих арифметическую прогрессию. Для вычисления такой суммы можно использовать формулу:

$\sum_{k=1}^{n} \cos(k\alpha) = \frac{\sin(n\alpha/2)\cos((n+1)\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)}$

В нашем случае шаг прогрессии $\alpha = 1^\circ$, поэтому выражение для суммы имеет вид:

$S_n = \frac{\sin(n/2^\circ)\cos((n+1)/2^\circ)}{\sin(1/2^\circ)}$

Нам нужно определить знак этого выражения для натуральных значений $n$ в диапазоне $1 \le n \le 360$.

Знаменатель $\sin(1/2^\circ)$ является положительным числом, так как угол $1/2^\circ$ находится в первой четверти. Следовательно, знак всей суммы $S_n$ совпадает со знаком числителя: $\sin(n/2^\circ)\cos((n+1)/2^\circ)$.

Рассмотрим знаки множителей в числителе:

1. Множитель $\sin(n/2^\circ)$. Поскольку $1 \le n \le 360$, аргумент $n/2^\circ$ находится в диапазоне $[0.5^\circ, 180^\circ]$. В этом диапазоне синус неотрицателен. Он равен нулю только при $n/2^\circ = 180^\circ$, то есть при $n=360$. Для всех $n$ от 1 до 359, $\sin(n/2^\circ) > 0$.

2. Множитель $\cos((n+1)/2^\circ)$. Из пункта 1 следует, что для $n \in \{1, 2, \dots, 359\}$ знак суммы $S_n$ определяется знаком $\cos((n+1)/2^\circ)$. Аргумент $(n+1)/2^\circ$ находится в диапазоне $[1^\circ, 180^\circ]$ для $n \in [1, 359]$.

Теперь мы можем ответить на поставленные вопросы.

Выражение положительно ($S_n > 0$), когда числитель $\sin(n/2^\circ)\cos((n+1)/2^\circ)$ положителен. Поскольку $\sin(n/2^\circ) > 0$ для $n < 360$, нам нужно, чтобы $\cos((n+1)/2^\circ) > 0$.

Косинус положителен, когда его аргумент находится в первой четверти: $0^\circ < (n+1)/2^\circ < 90^\circ$.

Решая неравенство $(n+1)/2 < 90$, получаем $n+1 < 180$, то есть $n < 179$.

Таким образом, выражение положительно для всех натуральных $n$ от 1 до 178.

Ответ: при $n \in \{1, 2, 3, \dots, 178\}$.

Выражение отрицательно ($S_n < 0$), когда числитель $\sin(n/2^\circ)\cos((n+1)/2^\circ)$ отрицателен. Поскольку $\sin(n/2^\circ) > 0$ для $n < 360$, нам нужно, чтобы $\cos((n+1)/2^\circ) < 0$.

Косинус отрицателен, когда его аргумент находится во второй четверти (в рассматриваемом нами диапазоне): $90^\circ < (n+1)/2^\circ \le 180^\circ$.

Из левого неравенства $90 < (n+1)/2$ получаем $180 < n+1$, то есть $n > 179$.

Правое неравенство $(n+1)/2 \le 180$ выполняется для всех $n \le 359$.

Таким образом, выражение отрицательно для всех натуральных $n$ от 180 до 359.

Ответ: при $n \in \{180, 181, 182, \dots, 359\}$.

Выражение равно нулю ($S_n = 0$), когда числитель $\sin(n/2^\circ)\cos((n+1)/2^\circ)$ равен нулю. Это происходит, если один из множителей равен нулю.

1. $\sin(n/2^\circ) = 0$. В диапазоне $1 \le n \le 360$ это возможно только при $n/2^\circ = 180^\circ$, что дает $n = 360$.

2. $\cos((n+1)/2^\circ) = 0$. В диапазоне $1 \le n \le 360$ это возможно только при $(n+1)/2^\circ = 90^\circ$, что дает $n+1 = 180$, то есть $n = 179$.

Следовательно, выражение равно нулю при двух значениях $n$.

Ответ: при $n = 179$ и $n = 360$.

15.24. Использовав равнобедренный треугольник с углом $36^\circ$ при вершине, вычислите $\sin 18^\circ$, $\cos 18^\circ$, $\sin 36^\circ$, $\cos 36^\circ$.

Указание. Проведите биссектрису угла при основании треугольника.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с углом при вершине $\angle BAC = 36^{\circ}$. Углы при основании равны: $\angle ABC = \angle ACB = (180^{\circ} - 36^{\circ}) / 2 = 72^{\circ}$.

Следуя указанию, проведем биссектрису $BD$ угла при основании $\angle ABC$. Она делит угол $\angle ABC$ на два угла: $\angle ABD = \angle DBC = 72^{\circ} / 2 = 36^{\circ}$.

Рассмотрим полученные треугольники:

1. В треугольнике $ABD$ имеем $\angle BAD = 36^{\circ}$ и $\angle ABD = 36^{\circ}$. Следовательно, треугольник $ABD$ является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $AD = BD$.

2. В треугольнике $BDC$ имеем $\angle DBC = 36^{\circ}$ и $\angle BCD = 72^{\circ}$. Третий угол $\angle BDC = 180^{\circ} - 36^{\circ} - 72^{\circ} = 72^{\circ}$. Следовательно, треугольник $BDC$ также является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $BD = BC$.

Из этих двух пунктов следует равенство отрезков: $AD = BD = BC$.

Треугольник $ABC$ (с углами 36°, 72°, 72°) и треугольник $BDC$ (с углами 36°, 72°, 72°) подобны по трем углам.

Обозначим длину боковой стороны исходного треугольника $AB = AC = b$ и длину его основания $BC = a$.Тогда из установленных равенств имеем $AD = BD = BC = a$.Отрезок $DC$ можно выразить как $DC = AC - AD = b - a$.Из подобия треугольников $ABC$ и $BDC$ следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{AC}{BC} = \frac{BC}{DC}$

Подставим наши обозначения:

$\frac{b}{a} = \frac{a}{b-a}$

Применяя основное свойство пропорции, получаем:

$b(b-a) = a^2$

$b^2 - ab - a^2 = 0$

Разделим обе части уравнения на $a^2$ (так как $a$, будучи длиной стороны, не равно нулю):

$(\frac{b}{a})^2 - (\frac{b}{a}) - 1 = 0$

Пусть $x = \frac{b}{a}$. Решим квадратное уравнение $x^2 - x - 1 = 0$ относительно $x$:

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Поскольку $x$ представляет собой отношение длин сторон треугольника, оно должно быть положительным. Следовательно, выбираем корень со знаком плюс:

$\frac{b}{a} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Теперь, имея это соотношение, мы можем вычислить требуемые тригонометрические значения.

sin 18°

Для вычисления $\sin 18^{\circ}$ опустим высоту $AM$ из вершины $A$ на основание $BC$ в треугольнике $ABC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой и медианой. Следовательно, $\angle BAM = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{36^{\circ}}{2} = 18^{\circ}$ и $BM = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$. По определению синуса: $\sin(\angle BAM) = \frac{BM}{AB}$.$\sin 18^{\circ} = \frac{a/2}{b} = \frac{a}{2b} = \frac{1}{2(b/a)}$.Подставим найденное значение $\frac{b}{a}$:$\sin 18^{\circ} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{2}} = \frac{1}{1 + \sqrt{5}}$.Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{5} - 1)$:$\sin 18^{\circ} = \frac{1}{1 + \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} - 1} = \frac{\sqrt{5} - 1}{5 - 1} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$.
Ответ: $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$.

cos 18°

Для вычисления $\cos 18^{\circ}$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.$\cos^2 18^{\circ} = 1 - \sin^2 18^{\circ}$.Сначала найдем квадрат синуса $18^{\circ}$:$\sin^2 18^{\circ} = \left(\frac{\sqrt{5} - 1}{4}\right)^2 = \frac{(\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5} + 1^2}{16} = \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{16} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{16} = \frac{3 - \sqrt{5}}{8}$.Теперь подставим это значение в формулу для квадрата косинуса:$\cos^2 18^{\circ} = 1 - \frac{3 - \sqrt{5}}{8} = \frac{8 - (3 - \sqrt{5})}{8} = \frac{5 + \sqrt{5}}{8}$.Поскольку угол $18^{\circ}$ находится в первой четверти, его косинус положителен. Извлечем квадратный корень:$\cos 18^{\circ} = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{8}} = \frac{\sqrt{5 + \sqrt{5}}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{5 + \sqrt{5}}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{5 + \sqrt{5}}}{4} = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}$.
Ответ: $\cos 18^{\circ} = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}$.

sin 36°

Для вычисления $\sin 36^{\circ}$ используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Положим $\alpha = 18^{\circ}$.$\sin 36^{\circ} = 2\sin 18^{\circ}\cos 18^{\circ}$.Подставим ранее найденные значения $\sin 18^{\circ}$ и $\cos 18^{\circ}$:$\sin 36^{\circ} = 2 \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \cdot \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4} = \frac{(\sqrt{5} - 1)\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{8}$.Чтобы упростить это выражение, внесем множитель $(\sqrt{5} - 1)$ под знак корня:$(\sqrt{5} - 1)\sqrt{10 + 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2 (10 + 2\sqrt{5})} = \sqrt{(6 - 2\sqrt{5})(10 + 2\sqrt{5})}$.Раскроем скобки под корнем: $\sqrt{60 + 12\sqrt{5} - 20\sqrt{5} - 20} = \sqrt{40 - 8\sqrt{5}} = \sqrt{4(10 - 2\sqrt{5})} = 2\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}$.Таким образом, $\sin 36^{\circ} = \frac{2\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{8} = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$.
Ответ: $\sin 36^{\circ} = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$.

cos 36°

Для вычисления $\cos 36^{\circ}$ используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. Положим $\alpha = 18^{\circ}$.$\cos 36^{\circ} = \cos^2 18^{\circ} - \sin^2 18^{\circ}$.Мы уже вычислили значения $\sin^2 18^{\circ} = \frac{3 - \sqrt{5}}{8}$ и $\cos^2 18^{\circ} = \frac{5 + \sqrt{5}}{8}$.Подставим их в формулу:$\cos 36^{\circ} = \frac{5 + \sqrt{5}}{8} - \frac{3 - \sqrt{5}}{8} = \frac{5 + \sqrt{5} - 3 + \sqrt{5}}{8} = \frac{2 + 2\sqrt{5}}{8} = \frac{2(1 + \sqrt{5})}{8} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$.
Ответ: $\cos 36^{\circ} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$.

16.1. Найдите значение функции:

а) $y = 2 \sin \left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1$ при $x = \frac{4\pi}{3}$;

б) $y = -\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ при $x = -\frac{\pi}{2}$;

в) $y = 2 \sin \left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1$ при $x = \frac{7\pi}{6}$;

г) $y = -\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ при $x = -\frac{15\pi}{4}$.

а)

Для того чтобы найти значение функции $y = 2 \sin(x - \frac{\pi}{6}) + 1$ при $x = \frac{4\pi}{3}$, подставим значение $x$ в уравнение:

$y = 2 \sin(\frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{6}) + 1$

Сначала вычислим значение выражения в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{2 \cdot 4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{8\pi - \pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$

Теперь уравнение выглядит так:

$y = 2 \sin(\frac{7\pi}{6}) + 1$

Найдем значение $\sin(\frac{7\pi}{6})$. Угол $\frac{7\pi}{6}$ можно представить как $\pi + \frac{\pi}{6}$. Это угол в третьей четверти, где синус отрицателен.

$\sin(\frac{7\pi}{6}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

Подставим найденное значение синуса обратно в уравнение:

$y = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) + 1 = -1 + 1 = 0$

Ответ: 0.

б)

Для того чтобы найти значение функции $y = -\sin(x + \frac{\pi}{4})$ при $x = -\frac{\pi}{2}$, подставим значение $x$ в уравнение:

$y = -\sin(-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4})$

Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 4:

$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$

Теперь уравнение выглядит так:

$y = -\sin(-\frac{\pi}{4})$

Воспользуемся свойством нечетности функции синус: $\sin(-a) = -\sin(a)$.

$y = -(-\sin(\frac{\pi}{4})) = \sin(\frac{\pi}{4})$

Значение синуса от $\frac{\pi}{4}$ является табличным:

$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

в)

Для того чтобы найти значение функции $y = 2 \sin(x - \frac{\pi}{6}) + 1$ при $x = \frac{7\pi}{6}$, подставим значение $x$ в уравнение:

$y = 2 \sin(\frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{6}) + 1$

Вычислим значение выражения в скобках:

$\frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} = \pi$

Теперь уравнение выглядит так:

$y = 2 \sin(\pi) + 1$

Значение синуса от $\pi$ равно 0:

$\sin(\pi) = 0$

Подставим это значение в уравнение:

$y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$

Ответ: 1.

г)

Для того чтобы найти значение функции $y = -\sin(x + \frac{\pi}{4})$ при $x = -\frac{15\pi}{4}$, подставим значение $x$ в уравнение:

$y = -\sin(-\frac{15\pi}{4} + \frac{\pi}{4})$

Упростим выражение в скобках:

$-\frac{15\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = -\frac{14\pi}{4} = -\frac{7\pi}{2}$

Теперь уравнение выглядит так:

$y = -\sin(-\frac{7\pi}{2})$

Воспользуемся свойством нечетности функции синус: $\sin(-a) = -\sin(a)$.

$y = -(-\sin(\frac{7\pi}{2})) = \sin(\frac{7\pi}{2})$

Функция синус периодична с периодом $2\pi$. Мы можем прибавить или отнять $2\pi$ от аргумента, не меняя значения функции. $2\pi = \frac{4\pi}{2}$.

$\sin(\frac{7\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2} + \frac{4\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2} + 2\pi) = \sin(\frac{3\pi}{2})$

Значение синуса от $\frac{3\pi}{2}$ равно -1:

$\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$

Следовательно, $y = -1$.

Ответ: -1.