Страница 108, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

16.49. Сколько решений имеет система уравнений:

а) $\begin{cases} y = \sin x, \\ y = x^2 + 4x - 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = \sin x, \\ y = \frac{1}{x}; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = \sin x, \\ y = -3x^2 - 2; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = \sin x, \\ |x| - y = 0? \end{cases}$

а) Чтобы найти количество решений системы, найдем количество точек пересечения графиков функций $y = \sin x$ и $y = x^2 + 4x - 1$.
Рассмотрим области значений этих функций.
1. Для функции $y = \sin x$ область значений — отрезок $[-1, 1]$.
2. Функция $y = x^2 + 4x - 1$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Найдем ее вершину:
Координата x вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
Координата y вершины: $y_0 = (-2)^2 + 4(-2) - 1 = 4 - 8 - 1 = -5$.
Таким образом, область значений функции $y = x^2 + 4x - 1$ — это промежуток $[-5, \infty)$.
Для существования решения системы необходимо, чтобы значения $y$ принадлежали пересечению областей значений обеих функций, то есть отрезку $[-1, 1]$.
Найдем, при каких значениях $x$ значения функции $y = x^2 + 4x - 1$ лежат в отрезке $[-1, 1]$. Для этого решим двойное неравенство:
$-1 \le x^2 + 4x - 1 \le 1$.
Разобьем его на два неравенства:
1) $x^2 + 4x - 1 \ge -1 \implies x^2 + 4x \ge 0 \implies x(x+4) \ge 0$. Решения: $x \in (-\infty, -4] \cup [0, \infty)$.
2) $x^2 + 4x - 1 \le 1 \implies x^2 + 4x - 2 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 2 = 0$: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{2} = -2 \pm \sqrt{6}$. Решения неравенства: $x \in [-2-\sqrt{6}, -2+\sqrt{6}]$.
Пересечение решений двух неравенств дает нам два интервала: $x \in [-2-\sqrt{6}, -4] \cup [0, -2+\sqrt{6}]$.
Приблизительные значения: $\sqrt{6} \approx 2.45$. Тогда интервалы: $[-4.45, -4] \cup [0, 0.45]$.
Рассмотрим поведение функций на этих интервалах. Пусть $f(x) = \sin x$ и $g(x) = x^2 + 4x - 1$.
На интервале $[0, -2+\sqrt{6}]$:
В точке $x=0$: $g(0)=-1$, а $f(0)=\sin(0)=0$. Имеем $g(0) < f(0)$.
В точке $x=-2+\sqrt{6}$: $g(-2+\sqrt{6})=1$, а $f(-2+\sqrt{6})=\sin(-2+\sqrt{6}) \approx \sin(0.45) \approx 0.435$. Имеем $g(-2+\sqrt{6}) > f(-2+\sqrt{6})$.
Поскольку обе функции непрерывны, на интервале $(0, -2+\sqrt{6})$ есть как минимум одна точка пересечения. Производная разности функций $h(x)=g(x)-f(x)$ на этом интервале $h'(x) = (2x+4) - \cos x > 0$, так как $2x+4 \in [4, 4.9]$ и $\cos x \in [\cos(0.45), 1]$. Значит, функция $h(x)$ строго возрастает и может пересечь ноль только один раз. Таким образом, на этом интервале есть ровно одно решение.
На интервале $[-2-\sqrt{6}, -4]$:
В точке $x=-4$: $g(-4)=-1$, а $f(-4)=\sin(-4) \approx -0.757$. Имеем $g(-4) < f(-4)$.
В точке $x=-2-\sqrt{6}$: $g(-2-\sqrt{6})=1$, а $f(-2-\sqrt{6})=\sin(-2-\sqrt{6}) \approx \sin(-4.45) \approx -0.977$. Имеем $g(-2-\sqrt{6}) > f(-2-\sqrt{6})$.
Аналогично, на этом интервале есть как минимум одна точка пересечения. Производная разности $h'(x) = (2x+4) - \cos x$ на этом интервале отрицательна, так как $2x+4 \in [-4.9, -4]$, а $\cos x \in [-0.66, -0.21]$. Значит, функция $h(x)$ строго убывает и может пересечь ноль только один раз. Таким образом, на этом интервале есть ровно одно решение.
Всего получаем два решения.
Ответ: 2.

б) Чтобы найти количество решений системы, найдем количество точек пересечения графиков функций $y = \sin x$ и $y = \frac{1}{x}$.
Решения системы — это корни уравнения $\sin x = \frac{1}{x}$.
Так как $|\sin x| \le 1$, то для существования решения необходимо, чтобы $|\frac{1}{x}| \le 1$, что эквивалентно $|x| \ge 1$.
Рассмотрим случай $x > 0$. Решения могут существовать только там, где $\sin x > 0$, то есть на интервалах вида $(2k\pi, (2k+1)\pi)$ для $k=0, 1, 2, ...$.
Для $k=0$, интервал $(0, \pi]$. Мы ищем решения для $x \ge 1$. На интервале $[1, \pi]$, функция $y=\frac{1}{x}$ убывает от $1$ до $\frac{1}{\pi}$, а $y=\sin x$ сначала возрастает от $\sin(1) \approx 0.84$ до $1$ (при $x=\frac{\pi}{2}$), а затем убывает до $0$. Графики обязательно пересекутся дважды на этом отрезке.
Для любого целого $k \ge 1$, на интервале $[2k\pi, (2k+1)\pi]$, функция $y=\sin x$ возрастает от $0$ до $1$ и затем убывает до $0$. Функция $y=\frac{1}{x}$ — положительная, убывающая и принимающая значения, меньшие $1$. На каждом таком интервале графики будут пересекаться дважды. Поскольку таких интервалов бесконечно много, система имеет бесконечно много положительных решений.
Рассмотрим случай $x < 0$. Решения могут существовать только там, где $\sin x < 0$, то есть на интервалах вида $(-(2k)\pi, -(2k-1)\pi)$ для $k=1, 2, 3, ...$.
Аналогично, на каждом таком интервале (например, $(-3\pi, -2\pi)$), функция $y=\sin x$ убывает от $0$ до $-1$ и затем возрастает до $0$. Функция $y=\frac{1}{x}$ — отрицательная, возрастающая и принимающая значения, большие $-1$. На каждом таком интервале графики будут пересекаться дважды. Поскольку таких интервалов бесконечно много, система имеет бесконечно много отрицательных решений.
Следовательно, общее число решений бесконечно.
Ответ: бесконечно много.

в) Чтобы найти количество решений системы, найдем количество точек пересечения графиков функций $y = \sin x$ и $y = -3x^2 - 2$.
Рассмотрим области значений этих функций.
1. Для функции $y = \sin x$ область значений — отрезок $[-1, 1]$.
2. Функция $y = -3x^2 - 2$ — это парабола с ветвями, направленными вниз. Ее вершина находится в точке $x=0$, и максимальное значение функции равно $y(0) = -3(0)^2 - 2 = -2$. Таким образом, область значений этой функции — промежуток $(-\infty, -2]$.
Область значений первой функции $[-1, 1]$, а второй — $(-\infty, -2]$. Эти множества не пересекаются. Это означает, что не существует такого значения $y$, которое могло бы удовлетворять обоим уравнениям одновременно.
Следовательно, графики функций не пересекаются, и система не имеет решений.
Ответ: 0.

г) Из второго уравнения системы $|x| - y = 0$ выразим $y$: $y = |x|$.
Подставим это выражение в первое уравнение: $\sin x = |x|$.
Теперь найдем количество решений этого уравнения, что эквивалентно нахождению числа точек пересечения графиков функций $y = \sin x$ и $y = |x|$.
Так как $|x| \ge 0$, то и $\sin x$ должен быть неотрицательным: $\sin x \ge 0$.
Рассмотрим три случая:
1. Если $x=0$: $\sin 0 = |0|$, то есть $0=0$. Это верное равенство, значит $x=0$ является решением. Соответствующая точка $(0,0)$.
2. Если $x > 0$: уравнение принимает вид $\sin x = x$. Известно, что для всех $x>0$ выполняется неравенство $\sin x < x$. Чтобы это показать, рассмотрим функцию $f(x) = x - \sin x$. Ее производная $f'(x) = 1 - \cos x \ge 0$. Так как $f(0)=0$ и функция неубывающая (и строго возрастающая, кроме точек $x=2k\pi$), то для $x>0$ имеем $f(x) > f(0)$, то есть $x - \sin x > 0$, откуда $x > \sin x$. Следовательно, для $x>0$ решений нет.
3. Если $x < 0$: уравнение принимает вид $\sin x = -x$. Сделаем замену $t = -x$, где $t>0$. Уравнение станет $\sin(-t) = t$, что равносильно $-\sin t = t$, или $\sin t = -t$. Рассмотрим функцию $g(t) = t + \sin t$ для $t>0$. Ее производная $g'(t) = 1 + \cos t \ge 0$. Так как $g(0)=0$ и функция неубывающая (и строго возрастающая, кроме точек $t=k\pi$ с нечетным $k$), то для $t>0$ имеем $g(t) > g(0)$, то есть $t + \sin t > 0$, откуда $\sin t > -t$. Следовательно, для $t>0$ (а значит и для $x<0$) решений нет.
Единственное решение — $x=0$.
Ответ: 1.

16.50. Сколько решений имеет система уравнений:

а) $\begin{cases}y = \cos x, \\y = -x^2 + 2x - 3;\end{cases}$

б) $\begin{cases}y = \cos x, \\y = \frac{2}{x};\end{cases}$

в) $\begin{cases}y = \cos x, \\y = x^2 - 3;\end{cases}$

г) $\begin{cases}y = \cos x, \\|x| - y = 0?\end{cases}$

а) Чтобы найти количество решений системы, найдем количество точек пересечения графиков функций $y = \cos x$ и $y = -x^2 + 2x - 3$. Для этого оценим области значений каждой функции.

1. Область значений функции $y = \cos x$ есть отрезок $E(\cos x) = [-1, 1]$.

2. Функция $y = -x^2 + 2x - 3$ — это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен). Ее наибольшее значение достигается в вершине. Найдем координаты вершины:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1$.
$y_0 = -(1)^2 + 2(1) - 3 = -1 + 2 - 3 = -2$.
Следовательно, максимальное значение функции $y = -x^2 + 2x - 3$ равно -2, а ее область значений $E(y) = (-\infty, -2]$.

3. Сравним области значений двух функций: $E(\cos x) = [-1, 1]$ и $E(-x^2+2x-3) = (-\infty, -2]$. Эти множества не пересекаются, так как максимальное значение параболы (-2) меньше минимального значения косинуса (-1).

Поскольку не существует значения $y$, которое могло бы удовлетворять обоим уравнениям одновременно, графики функций не пересекаются.
Ответ: 0 решений.

б) Необходимо найти количество точек пересечения графиков функций $y = \cos x$ и $y = \frac{2}{x}$, что эквивалентно нахождению количества корней уравнения $\cos x = \frac{2}{x}$.

1. Рассмотрим случай $x > 0$. График $y = \frac{2}{x}$ — это гипербола в первой четверти, убывающая от $+\infty$ до 0. График $y = \cos x$ — периодическая функция, колеблющаяся между -1 и 1. Рассмотрим функцию $f(x) = \cos x - \frac{2}{x}$ и найдем количество ее нулей. Для каждого натурального $k \ge 1$, рассмотрим отрезок $[2k\pi, (2k+1)\pi]$.
На левом конце отрезка: $f(2k\pi) = \cos(2k\pi) - \frac{2}{2k\pi} = 1 - \frac{1}{k\pi}$. Так как при $k \ge 1$, $k\pi > 1$, то $f(2k\pi) > 0$.
На правом конце отрезка: $f((2k+1)\pi) = \cos((2k+1)\pi) - \frac{2}{(2k+1)\pi} = -1 - \frac{2}{(2k+1)\pi} < 0$.
Поскольку функция $f(x)$ непрерывна на каждом таком отрезке и принимает на его концах значения разных знаков, по теореме о промежуточном значении на каждом интервале $(2k\pi, (2k+1)\pi)$ есть как минимум один корень. Так как таких интервалов бесконечно много, то при $x > 0$ система имеет бесконечное множество решений.

2. Рассмотрим случай $x < 0$. Уравнение остается тем же: $\cos x = \frac{2}{x}$. Рассмотрим функцию $f(x) = \cos x - \frac{2}{x}$ на отрицательной полуоси. Для каждого натурального $k \ge 1$, рассмотрим отрезок $[-2k\pi, -(2k-1)\pi]$.
На левом конце отрезка: $f(-2k\pi) = \cos(-2k\pi) - \frac{2}{-2k\pi} = 1 + \frac{1}{k\pi} > 0$.
На правом конце отрезка: $f(-(2k-1)\pi) = \cos(-(2k-1)\pi) - \frac{2}{-(2k-1)\pi} = -1 + \frac{2}{(2k-1)\pi}$. Так как при $k \ge 1$, $(2k-1)\pi \ge \pi > 2$, то $0 < \frac{2}{(2k-1)\pi} < 1$, и значит $f(-(2k-1)\pi) < 0$.
Аналогично предыдущему случаю, на каждом из бесконечного числа таких интервалов есть как минимум один корень.

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.
Ответ: бесконечно много решений.

в) Количество решений системы равно количеству корней уравнения $\cos x = x^2 - 3$.

1. Область значений функции $y = \cos x$ есть $[-1, 1]$. Следовательно, для существования решений должно выполняться условие $-1 \le x^2 - 3 \le 1$.
$2 \le x^2 \le 4$.
Это означает, что решения могут лежать только в объединении отрезков $[-2, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, 2]$.

2. Рассмотрим функцию $f(x) = \cos x - x^2 + 3$. Нам нужно найти количество ее нулей. Эта функция является четной, так как $f(-x) = \cos(-x) - (-x)^2 + 3 = \cos x - x^2 + 3 = f(x)$. Это значит, что ее график симметричен относительно оси OY, и количество положительных корней равно количеству отрицательных.

3. Исследуем функцию на отрезке $[\sqrt{2}, 2]$. $f(\sqrt{2}) = \cos(\sqrt{2}) - (\sqrt{2})^2 + 3 = \cos(\sqrt{2}) + 1$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414 < \frac{\pi}{2}$, то $\cos(\sqrt{2}) > 0$, и $f(\sqrt{2}) > 1$.
$f(2) = \cos(2) - 2^2 + 3 = \cos(2) - 1$. Так как $2 \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$, то $\cos(2) < 0$, и $f(2) < -1$.
Функция непрерывна и меняет знак на отрезке $[\sqrt{2}, 2]$, значит, на интервале $(\sqrt{2}, 2)$ есть как минимум один корень.

4. Найдем производную: $f'(x) = -\sin x - 2x$. Для $x \in [\sqrt{2}, 2]$, $x$ находится в интервале $(0, \pi)$, где $\sin x > 0$. Поэтому $-\sin x < 0$ и $-2x < 0$, следовательно, $f'(x) < 0$ на всем отрезке. Это означает, что функция $f(x)$ строго убывает на $[\sqrt{2}, 2]$, а значит, может пересечь ось абсцисс только один раз.

5. Таким образом, на отрезке $[\sqrt{2}, 2]$ есть ровно одно решение. В силу четности функции, на отрезке $[-2, -\sqrt{2}]$ также есть ровно одно решение.
Ответ: 2 решения.

г) Второе уравнение системы $|x| - y = 0$ можно переписать как $y = |x|$. Задача сводится к нахождению числа решений уравнения $\cos x = |x|$.

1. Рассмотрим функцию $f(x) = \cos x - |x|$. Эта функция является четной, так как $f(-x) = \cos(-x) - |-x| = \cos x - |x| = f(x)$. Следовательно, количество положительных решений равно количеству отрицательных. Заметим, что $x=0$ не является решением, так как $\cos(0) = 1$, а $|0|=0$.

2. Найдем количество положительных решений, то есть корней уравнения $\cos x = x$ для $x>0$. Так как $-1 \le \cos x \le 1$, то и $x$ должен находиться в этом диапазоне. Учитывая $x>0$, ищем решения на интервале $(0, 1]$.

3. Рассмотрим функцию $g(x) = \cos x - x$ на отрезке $[0, 1]$. $g(0) = \cos(0) - 0 = 1 > 0$.
$g(1) = \cos(1) - 1$. Так как $1$ радиан (около $57.3^\circ$) находится в первой четверти, $0 < \cos(1) < 1$, поэтому $g(1) < 0$.
Функция $g(x)$ непрерывна и меняет знак на отрезке $[0, 1]$, значит, на интервале $(0, 1)$ есть как минимум один корень.

4. Найдем производную: $g'(x) = -\sin x - 1$. Для $x \in (0, 1]$, $\sin x > 0$, поэтому $g'(x) = -\sin x - 1 < 0$. Функция $g(x)$ строго убывает на $[0, 1]$, следовательно, она может пересекать ось $x$ не более одного раза.

5. Из пунктов 3 и 4 следует, что существует ровно одно положительное решение. В силу четности функции $f(x)$, существует также ровно одно отрицательное решение.
Ответ: 2 решения.

16.51. Решите графически уравнение:

а) $\sin x = \cos x;$

б) $\sin x + \cos x = 0.$

а) sin x = cos x

Для того чтобы решить уравнение $\sin x = \cos x$ графически, необходимо построить графики функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ в одной системе координат. Решениями уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

1. Построение графиков:

• График функции $y = \sin x$ — это синусоида, которая проходит через начало координат (0,0), достигает максимума 1 при $x = \frac{\pi}{2}$, снова пересекает ось абсцисс в точке $x = \pi$, достигает минимума -1 при $x = \frac{3\pi}{2}$ и завершает период в точке $x = 2\pi$.
• График функции $y = \cos x$ — это косинусоида. Её можно получить, сдвинув график синуса на $\frac{\pi}{2}$ влево. График проходит через точку (0,1), пересекает ось абсцисс в точке $x = \frac{\pi}{2}$, достигает минимума -1 при $x = \pi$ и т.д.

2. Нахождение точек пересечения:

Наблюдая за графиками, мы ищем точки, в которых они пересекаются. Это происходит, когда значения синуса и косинуса для одного и того же аргумента $x$ совпадают.

• В первой четверти ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$) графики пересекаются в точке $x = \frac{\pi}{4}$. В этой точке $\sin(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• В третьей четверти ($\pi \le x \le \frac{3\pi}{2}$) графики пересекаются в точке $x = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$. В этой точке $\sin(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Обобщение решения:

Функции $y = \sin x$ и $y = \cos x$ являются периодическими. Можно заметить, что точки пересечения повторяются через каждый интервал длиной $\pi$. Это следует из того, что уравнение $\sin x = \cos x$ эквивалентно уравнению $\tan x = 1$ (при $\cos x \neq 0$), а период тангенса равен $\pi$.

Следовательно, все решения можно записать, взяв одно из решений (например, $x = \frac{\pi}{4}$) и прибавив к нему целое число периодов $\pi$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) sin x + cos x = 0

Сначала преобразуем уравнение к виду, удобному для графического решения: $\sin x = -\cos x$.

Теперь задача сводится к нахождению абсцисс точек пересечения графиков функций $y = \sin x$ и $y = -\cos x$.

1. Построение графиков:

• График функции $y = \sin x$ — стандартная синусоида.
• График функции $y = -\cos x$ — это график функции $y = \cos x$, отраженный симметрично относительно оси абсцисс. Он проходит через точку (0,-1), пересекает ось абсцисс в точках $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{3\pi}{2}$, достигает максимума 1 при $x = \pi$.

2. Нахождение точек пересечения:

Ищем точки, в которых синусоида ($y = \sin x$) пересекается с отраженной косинусоидой ($y = -\cos x$).

• Во второй четверти ($\frac{\pi}{2} \le x \le \pi$) графики пересекаются в точке $x = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. В этой точке $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-\cos(\frac{3\pi}{4}) = -(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• В четвертой четверти ($\frac{3\pi}{2} \le x \le 2\pi$) графики пересекаются в точке $x = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$. В этой точке $\sin(\frac{7\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-\cos(\frac{7\pi}{4}) = -(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Обобщение решения:

Как и в предыдущем пункте, точки пересечения повторяются периодически. Расстояние между соседними решениями $\frac{3\pi}{4}$ и $\frac{7\pi}{4}$ равно $\pi$. Это связано с тем, что уравнение $\sin x = -\cos x$ равносильно уравнению $\tan x = -1$ (при $\cos x \neq 0$), период которого равен $\pi$.

Таким образом, все множество решений можно получить, прибавляя к одному из них, например $x = -\frac{\pi}{4}$ (что соответствует $x = \frac{7\pi}{4}$ на предыдущем витке), целое число периодов $\pi$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ (эту же серию корней можно записать как $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$).

16.52. Решите уравнение:

a) $\sin x = \left| \frac{3x}{2\pi} - \frac{3}{4} \right|$;

б) $\cos x + \left| \frac{3x}{5\pi} - \frac{3}{10} \right| = 0, x \ge 0.$

Рассмотрим уравнение $\sin x = \left|\frac{3x}{2\pi} - \frac{3}{4}\right|$.

Поскольку функция $\sin x$ принимает значения в диапазоне от -1 до 1, а модуль в правой части уравнения всегда неотрицателен, для существования решений должны выполняться два условия:

1. $\sin x \ge 0$. Это справедливо для $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Правая часть уравнения не должна превышать 1: $\left|\frac{3x}{2\pi} - \frac{3}{4}\right| \le 1$.
Это двойное неравенство: $-1 \le \frac{3x}{2\pi} - \frac{3}{4} \le 1$.
Прибавим $\frac{3}{4}$ ко всем частям: $-\frac{1}{4} \le \frac{3x}{2\pi} \le \frac{7}{4}$.
Умножим все части на $\frac{2\pi}{3}$: $-\frac{1}{4} \cdot \frac{2\pi}{3} \le x \le \frac{7}{4} \cdot \frac{2\pi}{3}$.
$-\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{7\pi}{6}$.

Пересекая область допустимых значений $x$ из обоих условий, получаем, что решения могут находиться только в интервале $[0, \pi]$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая. Точка, в которой выражение под модулем меняет знак, находится из уравнения $\frac{3x}{2\pi} - \frac{3}{4} = 0$, откуда $x = \frac{3}{4} \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$.

Случай 1: $x \in [0, \frac{\pi}{2})$. В этом случае $\frac{3x}{2\pi} - \frac{3}{4} < 0$, и уравнение принимает вид:
$\sin x = -\left(\frac{3x}{2\pi} - \frac{3}{4}\right) = \frac{3}{4} - \frac{3x}{2\pi}$.
Подбором можно проверить "удобные" значения. Попробуем $x = \frac{\pi}{6}$.
Левая часть: $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.
Правая часть: $\frac{3}{4} - \frac{3(\pi/6)}{2\pi} = \frac{3}{4} - \frac{\pi/2}{2\pi} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Так как левая и правая части равны, $x = \frac{\pi}{6}$ является решением.

Случай 2: $x \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$. В этом случае $\frac{3x}{2\pi} - \frac{3}{4} \ge 0$, и уравнение принимает вид:
$\sin x = \frac{3x}{2\pi} - \frac{3}{4}$.
Проверим значение $x = \frac{5\pi}{6}$.
Левая часть: $\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.
Правая часть: $\frac{3(5\pi/6)}{2\pi} - \frac{3}{4} = \frac{5\pi/2}{2\pi} - \frac{3}{4} = \frac{5}{4} - \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Так как левая и правая части равны, $x = \frac{5\pi}{6}$ является решением.

Можно показать, что в каждом из интервалов $[0, \frac{\pi}{2})$ и $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ существует только по одному решению, анализируя производные соответствующих функций. Таким образом, других корней в области $[0, \pi]$ нет.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6}, x = \frac{5\pi}{6}$.

Рассмотрим уравнение $\cos x + \left|\frac{3x}{5\pi} - \frac{3}{10}\right| = 0$ при $x \ge 0$.

Уравнение можно переписать в виде $\cos x = -\left|\frac{3x}{5\pi} - \frac{3}{10}\right|$.

Поскольку модуль всегда неотрицателен, правая часть уравнения всегда неположительна ($\le 0$). Следовательно, и левая часть должна быть неположительной: $\cos x \le 0$.
Учитывая условие $x \ge 0$, это справедливо для $x \in \left[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right]$, где $k$ - целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, \ldots$).

Раскроем модуль. Выражение под модулем обращается в ноль при $\frac{3x}{5\pi} - \frac{3}{10} = 0$, откуда $x = \frac{3}{10} \cdot \frac{5\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$.

Случай 1: $x = \frac{\pi}{2}$.
Подставим это значение в исходное уравнение:
$\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \left|\frac{3(\pi/2)}{5\pi} - \frac{3}{10}\right| = 0 + \left|\frac{3\pi}{10\pi} - \frac{3}{10}\right| = 0 + \left|\frac{3}{10} - \frac{3}{10}\right| = 0$.
Равенство верное, значит $x = \frac{\pi}{2}$ — корень уравнения.

Случай 2: $x > \frac{\pi}{2}$.
В этом случае выражение под модулем $\frac{3x}{5\pi} - \frac{3}{10}$ положительно. Уравнение принимает вид:
$\cos x + \left(\frac{3x}{5\pi} - \frac{3}{10}\right) = 0$.
Проверим значение $x = \frac{4\pi}{3}$. Это значение попадает в интервал, где $\cos x \le 0$.
Левая часть: $\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$.
Выражение в скобках: $\frac{3(4\pi/3)}{5\pi} - \frac{3}{10} = \frac{4\pi}{5\pi} - \frac{3}{10} = \frac{4}{5} - \frac{3}{10} = \frac{8}{10} - \frac{3}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
Сумма: $-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$.
Равенство верное, значит $x = \frac{4\pi}{3}$ также является корнем уравнения.

Анализ с помощью производной показывает, что других корней нет.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2}, x = \frac{4\pi}{3}$.

Решите неравенство:

16.53. a) $\cos x \ge 1 + |x|$;

б) $\sin x \le - \left(x - \frac{3\pi}{2}\right)^2 - 1$.

a) Рассмотрим неравенство $ \cos x \ge 1 + |x| $. Для решения этого неравенства воспользуемся методом оценки левой и правой частей.
1. Левая часть: $ \cos x $. Область значений функции косинуса — это отрезок $ [-1, 1] $. Следовательно, для любого действительного числа $ x $ справедливо неравенство $ \cos x \le 1 $.
2. Правая часть: $ 1 + |x| $. Модуль любого числа является неотрицательной величиной, то есть $ |x| \ge 0 $. Следовательно, для любого действительного числа $ x $ справедливо неравенство $ 1 + |x| \ge 1 $.
Сопоставим полученные оценки. Исходное неравенство $ \cos x \ge 1 + |x| $ может иметь решение только в том случае, если существует такое значение $ x $, для которого $ 1 \ge \cos x \ge 1 + |x| \ge 1 $. Это возможно, только если все части этого двойного неравенства равны 1. Таким образом, исходное неравенство равносильно системе уравнений:
$ \begin{cases} \cos x = 1 \\ 1 + |x| = 1 \end{cases} $
Решим второе уравнение системы: $ 1 + |x| = 1 $, что равносильно $ |x| = 0 $, откуда получаем $ x = 0 $.
Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $ x=0 $ первому уравнению системы: $ \cos(0) = 1 $. Уравнение выполняется.
Следовательно, $ x=0 $ — единственное решение системы, а значит, и исходного неравенства.
Ответ: $ 0 $.

б) Рассмотрим неравенство $ \sin x \le -\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)^2 - 1 $. Для решения этого неравенства также воспользуемся методом оценки.
1. Левая часть: $ \sin x $. Область значений функции синуса — это отрезок $ [-1, 1] $. Следовательно, для любого действительного числа $ x $ справедливо неравенство $ \sin x \ge -1 $.
2. Правая часть: $ -\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)^2 - 1 $. Выражение $ \left(x - \frac{3\pi}{2}\right)^2 $, как квадрат действительного числа, всегда неотрицательно: $ \left(x - \frac{3\pi}{2}\right)^2 \ge 0 $. Умножение на -1 меняет знак неравенства: $ -\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)^2 \le 0 $. Вычитая 1 из обеих частей, получаем: $ -\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)^2 - 1 \le -1 $.
Сопоставим полученные оценки. Исходное неравенство $ \sin x \le -\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)^2 - 1 $ может иметь решение только в том случае, если существует такое значение $ x $, для которого $ -1 \le \sin x \le -\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)^2 - 1 \le -1 $. Это возможно, только если все части этого двойного неравенства равны -1. Таким образом, исходное неравенство равносильно системе уравнений:
$ \begin{cases} \sin x = -1 \\ -\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)^2 - 1 = -1 \end{cases} $
Решим второе уравнение системы: $ -\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)^2 - 1 = -1 $, что равносильно $ -\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)^2 = 0 $, откуда $ x - \frac{3\pi}{2} = 0 $, то есть $ x = \frac{3\pi}{2} $.
Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $ x = \frac{3\pi}{2} $ первому уравнению системы: $ \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 $. Уравнение выполняется.
Следовательно, $ x = \frac{3\pi}{2} $ — единственное решение системы, а значит, и исходного неравенства.
Ответ: $ \frac{3\pi}{2} $.

16.54. a) $ \sin x > \frac{3x}{5\pi} $;

б) $ \cos x \le \frac{9x}{2\pi} - 1 $.

a) Решим неравенство $\sin x > \frac{3x}{5\pi}$.

Этот тип неравенств, где сравниваются тригонометрическая и линейная функции, удобно решать графическим методом. Рассмотрим две функции: $y_1 = \sin x$ и $y_2 = \frac{3x}{5\pi}$. Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график функции $y_1$ находится выше графика функции $y_2$.

Функция $y_1 = \sin x$ — это синусоида, значения которой лежат в отрезке $[-1, 1]$.

Функция $y_2 = \frac{3x}{5\pi}$ — это прямая линия, проходящая через начало координат $(0, 0)$ с положительным угловым коэффициентом $k = \frac{3}{5\pi}$.

Для решения найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $\sin x = \frac{3x}{5\pi}$.

Очевидно, что $x=0$ является решением, так как $\sin 0 = 0$ и $\frac{3 \cdot 0}{5\pi} = 0$. В точке $x=0$ достигается равенство, поэтому она не входит в решение строгого неравенства.

Попробуем подобрать другие решения, проверив характерные точки.Пусть $x = \frac{5\pi}{6}$.Тогда $y_1 = \sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.Значение линейной функции в этой точке: $y_2 = \frac{3 \cdot (5\pi/6)}{5\pi} = \frac{15\pi/6}{5\pi} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.Следовательно, $x = \frac{5\pi}{6}$ — точка пересечения.

Проверим симметричную точку $x = -\frac{5\pi}{6}$.Тогда $y_1 = \sin(-\frac{5\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.Значение линейной функции: $y_2 = \frac{3 \cdot (-5\pi/6)}{5\pi} = -\frac{1}{2}$.Следовательно, $x = -\frac{5\pi}{6}$ — тоже точка пересечения.

Анализ поведения функций показывает, что других точек пересечения нет. Например, при $x > \frac{5\pi}{3}$ значение прямой $y_2 > 1$, а при $x < -\frac{5\pi}{3}$ значение прямой $y_2 < -1$, в то время как значения $\sin x$ всегда лежат в отрезке $[-1, 1]$.

Таким образом, точки $x = -\frac{5\pi}{6}$, $x = 0$ и $x = \frac{5\pi}{6}$ делят числовую ось на четыре интервала. Определим знак неравенства на каждом из них, взяв по одной пробной точке.

• Интервал $(-\infty, -\frac{5\pi}{6})$. Возьмем $x = -\pi$. $\sin(-\pi) = 0$. $\frac{3(-\pi)}{5\pi} = -\frac{3}{5}$. Неравенство $0 > -\frac{3}{5}$ верно.
• Интервал $(-\frac{5\pi}{6}, 0)$. Возьмем $x = -\frac{\pi}{2}$. $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$. $\frac{3(-\pi/2)}{5\pi} = -\frac{3}{10}$. Неравенство $-1 > -\frac{3}{10}$ неверно.
• Интервал $(0, \frac{5\pi}{6})$. Возьмем $x = \frac{\pi}{2}$. $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. $\frac{3(\pi/2)}{5\pi} = \frac{3}{10}$. Неравенство $1 > \frac{3}{10}$ верно.
• Интервал $(\frac{5\pi}{6}, \infty)$. Возьмем $x = \pi$. $\sin(\pi) = 0$. $\frac{3\pi}{5\pi} = \frac{3}{5}$. Неравенство $0 > \frac{3}{5}$ неверно.

Объединяя интервалы, где неравенство выполняется, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{5\pi}{6}) \cup (0, \frac{5\pi}{6})$.

б) Решим неравенство $\cos x \le \frac{9x}{2\pi} - 1$.

Для решения этого неравенства рассмотрим функцию $h(x) = \cos x - \left(\frac{9x}{2\pi} - 1\right) = \cos x - \frac{9x}{2\pi} + 1$. Нам нужно найти такие значения $x$, при которых $h(x) \le 0$.

Сначала найдем корни уравнения $h(x) = 0$, то есть точки, в которых $\cos x = \frac{9x}{2\pi} - 1$.

Проверим значение $x = \frac{\pi}{3}$.$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.$\frac{9(\pi/3)}{2\pi} - 1 = \frac{3\pi}{2\pi} - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.Поскольку левая и правая части равны, $x = \frac{\pi}{3}$ является корнем уравнения $h(x)=0$.

Теперь исследуем поведение функции $h(x)$ с помощью ее производной:$h'(x) = (\cos x - \frac{9x}{2\pi} + 1)' = -\sin x - \frac{9}{2\pi}$.

Оценим значение производной. Функция $-\sin x$ принимает значения в отрезке $[-1, 1]$. Константа $\frac{9}{2\pi}$ больше 1, так как $9 > 2\pi$ (поскольку $2\pi \approx 6.28$).Тогда максимальное значение производной $h'(x)$ равно:$h'(x)_{max} = 1 - \frac{9}{2\pi}$.Так как $\frac{9}{2\pi} > 1$, то $1 - \frac{9}{2\pi} < 0$.

Поскольку максимальное значение производной $h'(x)$ отрицательно, то $h'(x) < 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Это означает, что функция $h(x)$ является строго убывающей на всей числовой оси.

Строго убывающая функция может пересекать ось абсцисс (то есть принимать значение 0) не более одного раза. Мы уже нашли этот единственный корень $x = \frac{\pi}{3}$.

Так как функция $h(x)$ строго убывает:

• при $x < \frac{\pi}{3}$ будет выполняться $h(x) > h(\frac{\pi}{3}) = 0$.
• при $x > \frac{\pi}{3}$ будет выполняться $h(x) < h(\frac{\pi}{3}) = 0$.
• при $x = \frac{\pi}{3}$ будет $h(x) = 0$.

Нам нужно решить неравенство $h(x) \le 0$. Это условие выполняется для всех $x$, которые не меньше $\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{3}, +\infty)$.

Постройте график функции:

16.55. а) $y = |\sin x|;$

б) $y = \left|\cos x - \frac{1}{2}\right|;$

в) $y = |\cos x|;$

г) $y = \left|\sin x + \frac{1}{2}\right|.$

а) $y = |\sin x|$

Для построения графика функции $y = |\sin x|$ необходимо выполнить следующие шаги:
1. Сначала строим график базовой функции $y = \sin x$. Это известная синусоида, периодическая функция с периодом $2\pi$ и областью значений $[-1, 1]$.
2. Затем применяем преобразование модуля. По определению, $|f(x)|$ оставляет значения $f(x)$ без изменений, если $f(x) \geq 0$, и меняет их знак на противоположный, если $f(x) < 0$.
- Та часть графика $y = \sin x$, которая находится выше или на оси абсцисс (оси Ox), где $\sin x \geq 0$ (на промежутках $[2\pi n, \pi + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$), остается на своем месте.
- Та часть графика, которая находится ниже оси Ox, где $\sin x < 0$ (на промежутках $(\pi + 2\pi n, 2\pi(n+1))$, где $n \in \mathbb{Z}$), симметрично отражается относительно оси Ox.
В результате все отрицательные "полуволны" синусоиды становятся положительными. Итоговый график полностью лежит в верхней полуплоскости. Период функции $y = |\sin x|$ равен $\pi$.

Ответ: График функции $y = |\sin x|$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox) той части графика, которая лежит ниже этой оси. Часть графика, лежащая выше или на оси Ox, остается без изменений.

б) $y = |\cos x - \frac{1}{2}|$

Построение этого графика можно разбить на три этапа:
1. Строим график функции $y = \cos x$ (стандартная косинусоида).
2. Строим график промежуточной функции $y_1 = \cos x - \frac{1}{2}$. Он получается из графика $y = \cos x$ путем параллельного переноса на $\frac{1}{2}$ единицы вниз вдоль оси ординат (оси Oy). Теперь функция колеблется в пределах от $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ до $-1 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$. График пересекает ось Ox в точках, где $\cos x = \frac{1}{2}$, то есть при $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
3. Строим итоговый график $y = |y_1| = |\cos x - \frac{1}{2}|$.
- Часть графика $y_1 = \cos x - \frac{1}{2}$, которая лежит выше или на оси Ox (где $\cos x \geq \frac{1}{2}$), остается без изменений.
- Часть графика, которая лежит ниже оси Ox (где $\cos x < \frac{1}{2}$), симметрично отражается относительно этой оси.
Максимальное значение функции будет равно $|-\frac{3}{2}| = \frac{3}{2}$, а минимальное — 0.

Ответ: График функции $y = |\cos x - \frac{1}{2}|$ получается из графика $y = \cos x$ смещением на $\frac{1}{2}$ единицы вниз по оси Oy, с последующим симметричным отражением относительно оси Ox той части получившегося графика, которая лежит ниже оси Ox.

в) $y = |\cos x|$

Построение графика функции $y = |\cos x|$ аналогично пункту а):
1. Строим график базовой функции $y = \cos x$. Это косинусоида, периодическая функция с периодом $2\pi$ и областью значений $[-1, 1]$. Она является смещенной по фазе синусоидой.
2. Применяем преобразование модуля:
- Та часть графика $y = \cos x$, которая находится выше или на оси Ox (где $\cos x \geq 0$ на промежутках $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$), остается на своем месте.
- Та часть графика, которая находится ниже оси Ox (где $\cos x < 0$ на промежутках $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$), симметрично отражается относительно оси Ox.
Как и в случае с $|\sin x|$, итоговый график лежит в верхней полуплоскости. Период функции $y = |\cos x|$ также равен $\pi$.

Ответ: График функции $y = |\cos x|$ получается из графика функции $y = \cos x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox) той части графика, которая лежит ниже этой оси. Часть графика, лежащая выше или на оси Ox, остается без изменений.

г) $y = |\sin x + \frac{1}{2}|$

Построение этого графика выполняется в три этапа:
1. Строим график функции $y = \sin x$.
2. Строим график промежуточной функции $y_1 = \sin x + \frac{1}{2}$. Он получается из графика $y = \sin x$ путем параллельного переноса на $\frac{1}{2}$ единицы вверх вдоль оси Oy. Теперь функция колеблется в пределах от $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ до $-1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$. График пересекает ось Ox в точках, где $\sin x = -\frac{1}{2}$, то есть при $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
3. Строим итоговый график $y = |y_1| = |\sin x + \frac{1}{2}|$.
- Часть графика $y_1 = \sin x + \frac{1}{2}$, которая лежит выше или на оси Ox (где $\sin x \geq -\frac{1}{2}$), остается без изменений.
- Часть графика, которая лежит ниже оси Ox (где $\sin x < -\frac{1}{2}$), симметрично отражается относительно этой оси.
Максимальное значение функции будет равно $\frac{3}{2}$, минимальное — 0. Также появятся локальные максимумы, равные $|-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.

Ответ: График функции $y = |\sin x + \frac{1}{2}|$ получается из графика $y = \sin x$ смещением на $\frac{1}{2}$ единицы вверх по оси Oy, с последующим симметричным отражением относительно оси Ox той части получившегося графика, которая лежит ниже оси Ox.

16.56. a) $y = \sin |x|$;

б) $y = \sin \left| x - \frac{\pi}{3} \right|$;

В) $y = \cos |x|$;

Г) $y = \cos \left| x + \frac{2\pi}{3} \right|$.

а) $y = \sin|x|$

Это функция вида $y = f(|x|)$, где $f(x) = \sin(x)$. Построение графика такой функции выполняется в несколько шагов:
1. Строится график функции $y = \sin(x)$ для неотрицательных значений аргумента, то есть для $x \ge 0$.
2. Часть графика, находящаяся в области $x < 0$, удаляется.
3. Оставшаяся часть графика (для $x \ge 0$) симметрично отражается относительно оси ординат (оси OY).

Также можно раскрыть модуль:
$y = \sin|x| = \begin{cases} \sin(x), & \text{если } x \ge 0 \\ \sin(-x), & \text{если } x < 0 \end{cases} = \begin{cases} \sin(x), & \text{если } x \ge 0 \\ -\sin(x), & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Свойства функции:

Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как синус определен для любого действительного числа.

Область значений: Аргумент функции синуса $|x|$ принимает все значения из промежутка $[0, +\infty)$. На этом промежутке синус принимает все свои возможные значения от -1 до 1. Таким образом, $E(y) = [-1; 1]$.

Четность: Функция является четной, так как $y(-x) = \sin|-x| = \sin|x| = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY.

Периодичность: Функция не является периодической. Расстояния между последовательными максимумами (или минимумами) не являются постоянной величиной. Например, максимумы достигаются в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ и $x = -(\frac{\pi}{2} + 2\pi k)$ для $k \ge 0$ (целое). Расстояние между максимумами в точках $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{5\pi}{2}$ равно $2\pi$, а расстояние между максимумами в точках $x = -\frac{3\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$ равно $2\pi$. Однако, расстояние между $x=-\frac{\pi}{2}$ и $x=\frac{\pi}{2}$ (это минимумы) равно $\pi$. Это не так. Максимумы при $x = \pi/2 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ и $x = -(\pi/2 + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$. Минимумы при $x = 3\pi/2 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ и $x = -(3\pi/2 + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$. Расстояние между соседними точками экстремума не постоянно, следовательно, функция не периодическая.

Ответ: График функции $y = \sin|x|$ получается из графика $y=\sin x$ для $x \ge 0$ путем его отражения относительно оси OY. Функция является четной, непериодической, с областью определения $(-\infty; +\infty)$ и областью значений $[-1, 1]$.

б) $y = \sin\left|x - \frac{\pi}{3}\right|$

Эту функцию можно получить из функции $y = \sin|x|$, рассмотренной в предыдущем пункте, с помощью параллельного переноса. Это функция вида $y = g(x-a)$, где $g(x)=\sin|x|$ и $a = \frac{\pi}{3}$.

Построение графика:

График функции $y = \sin\left|x - \frac{\pi}{3}\right|$ получается путем сдвига графика функции $y = \sin|x|$ на $\frac{\pi}{3}$ вправо вдоль оси абсцисс (оси OX).
Осью симметрии графика будет прямая $x = \frac{\pi}{3}$.

Раскрывая модуль, получаем:
$y = \sin\left|x - \frac{\pi}{3}\right| = \begin{cases} \sin(x - \frac{\pi}{3}), & \text{если } x \ge \frac{\pi}{3} \\ \sin(-(x - \frac{\pi}{3})), & \text{если } x < \frac{\pi}{3} \end{cases} = \begin{cases} \sin(x - \frac{\pi}{3}), & \text{если } x \ge \frac{\pi}{3} \\ -\sin(x - \frac{\pi}{3}), & \text{если } x < \frac{\pi}{3} \end{cases}$

Свойства функции:

Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.

Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее график не симметричен ни относительно оси OY, ни относительно начала координат. Однако он симметричен относительно прямой $x = \frac{\pi}{3}$.

Периодичность: Функция не является периодической.

Ответ: График функции $y = \sin\left|x - \frac{\pi}{3}\right|$ получается сдвигом графика $y = \sin|x|$ на $\frac{\pi}{3}$ вправо. Функция не является ни четной, ни нечетной, непериодическая, симметрична относительно прямой $x = \frac{\pi}{3}$. Область определения $(-\infty; +\infty)$, область значений $[-1, 1]$.

в) $y = \cos|x|$

Функция косинус является четной функцией, то есть для любого действительного числа $u$ выполняется равенство $\cos(-u) = \cos(u)$.
Рассмотрим два случая для раскрытия модуля в выражении $y = \cos|x|$:
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \cos(x)$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = \cos(-x)$. В силу четности косинуса, $\cos(-x) = \cos(x)$.
Таким образом, для любого действительного $x$ справедливо равенство $\cos|x| = \cos(x)$.

Построение графика:

График функции $y = \cos|x|$ полностью совпадает с графиком функции $y = \cos(x)$.

Свойства функции:

Свойства функции $y = \cos|x|$ полностью совпадают со свойствами функции $y = \cos(x)$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.

Четность: Функция является четной.

Периодичность: Функция является периодической с основным периодом $T = 2\pi$.

Ответ: Функция $y = \cos|x|$ тождественно равна функции $y = \cos(x)$, так как косинус — четная функция. Ее свойства и график совпадают со свойствами и графиком $y = \cos(x)$.

г) $y = \cos\left|x + \frac{2\pi}{3}\right|$

Как и в предыдущем пункте, воспользуемся свойством четности функции косинус: $\cos(-u) = \cos(u)$.
Пусть $u = x + \frac{2\pi}{3}$. Тогда исходное уравнение можно записать как $y = \cos|u|$.
Поскольку $\cos|u| = \cos(u)$ для любого действительного $u$, мы можем заключить, что:
$y = \cos\left|x + \frac{2\pi}{3}\right| = \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$.

Построение графика:

График функции $y = \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$ получается из графика функции $y = \cos(x)$ путем параллельного переноса на $\frac{2\pi}{3}$ влево вдоль оси OX.

Свойства функции:

Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.

Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной.
$y(-x) = \cos\left(-x + \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(-\left(x - \frac{2\pi}{3}\right)\right) = \cos\left(x - \frac{2\pi}{3}\right)$.
Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида.

Периодичность: Функция является периодической с основным периодом $T = 2\pi$, так как является сдвинутой функцией косинуса.

Ответ: Функция $y = \cos\left|x + \frac{2\pi}{3}\right|$ тождественно равна функции $y = \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$. Ее график — это график косинуса, сдвинутый на $\frac{2\pi}{3}$ влево. Функция периодическая с периодом $2\pi$, не является ни четной, ни нечетной.

16.57. Постройте и прочитайте график функции:

a) $y = \begin{cases} x^2, \text{ если } x < 0, \\ \sin x, \text{ если } x \ge 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \sin x, \text{ если } x < 0, \\ x^2, \text{ если } x \ge 0. \end{cases}$

Дана кусочно-заданная функция $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 0 \\ \sin x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$.

Построение графика:

Для построения графика функции мы рассматриваем две ее части. На промежутке $(-\infty; 0)$ график совпадает с графиком функции $y=x^2$ (левая ветвь параболы, спускающаяся к началу координат). На промежутке $[0; +\infty)$ график совпадает с графиком функции $y=\sin x$ (синусоида, начинающаяся в начале координат). В точке $x=0$ графики стыкуются, так как предел слева $\lim_{x \to 0^-} x^2 = 0$ и значение функции справа $y(0) = \sin(0) = 0$. Таким образом, функция непрерывна на всей числовой оси.

Свойства функции (чтение графика):

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = [-1; +\infty)$. Для $x<0$ значения функции $y=x^2$ принадлежат интервалу $(0; +\infty)$. Для $x \ge 0$ значения функции $y=\sin x$ принадлежат отрезку $[-1; 1]$. Объединение этих множеств дает $[-1; +\infty)$.

3. Нули функции: $y=0$ при $x=k\pi$ для всех целых $k \ge 0$.

4. Промежутки знакопостоянства:

- $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup \bigcup_{k=0}^{\infty} (2k\pi, (2k+1)\pi)$.

- $y < 0$ при $x \in \bigcup_{k=0}^{\infty} ((2k+1)\pi, (2k+2)\pi)$.

5. Промежутки монотонности:

- Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и на отрезках вида $[\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi]$ для целых $k \ge 0$.

- Функция возрастает на отрезках вида $[2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi]$ для целых $k \ge 0$.

6. Экстремумы:

- Точки локального максимума: $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $y_{max}=1$, для целых $k \ge 0$.

- Точки локального минимума: $x = 0$, где $y_{min}=0$, и $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$, где $y_{min}=-1$, для целых $k \ge 0$.

7. Глобальные экстремумы: Наибольшего значения функция не имеет. Наименьшее значение $y_{min} = -1$.

8. Четность, нечетность: Функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной), так как ее область определения симметрична относительно нуля, но $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$.

9. Периодичность: Функция непериодическая из-за наличия участка параболы.

10. Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения.

Ответ:

Дана кусочно-заданная функция $y = \begin{cases} \sin x, & \text{если } x < 0 \\ x^2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$.

Построение графика:

Для построения графика функции мы рассматриваем две ее части. На промежутке $(-\infty; 0)$ график совпадает с графиком функции $y=\sin x$ (синусоида, расположенная слева от оси Oy). На промежутке $[0; +\infty)$ график совпадает с графиком функции $y=x^2$ (правая ветвь параболы, выходящая из начала координат). В точке $x=0$ графики стыкуются, так как предел слева $\lim_{x \to 0^-} \sin x = 0$ и значение функции справа $y(0) = 0^2 = 0$. Таким образом, функция непрерывна на всей числовой оси.

Свойства функции (чтение графика):

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = [-1; +\infty)$. Для $x<0$ значения функции $y=\sin x$ принадлежат отрезку $[-1; 1]$. Для $x \ge 0$ значения функции $y=x^2$ принадлежат промежутку $[0; +\infty)$. Объединение этих множеств дает $[-1; +\infty)$.

3. Нули функции: $y=0$ при $x=k\pi$ для всех целых $k \le 0$.

4. Промежутки знакопостоянства:

- $y > 0$ при $x \in (0; +\infty) \cup \bigcup_{k=1}^{\infty} (-2k\pi, -(2k-1)\pi)$.

- $y < 0$ при $x \in \bigcup_{k=0}^{\infty} (-(2k+1)\pi, -2k\pi)$.

5. Промежутки монотонности:

- Функция возрастает на промежутке $[-\frac{\pi}{2}, +\infty)$ и на отрезках вида $[-\frac{5\pi}{2}-2k\pi, -\frac{3\pi}{2}-2k\pi]$ для целых $k \ge 0$.

- Функция убывает на интервалах вида $(-\frac{3\pi}{2}-2k\pi, -\frac{\pi}{2}-2k\pi)$ для целых $k \ge 0$.

6. Экстремумы:

- Точки локального максимума: $x = -\frac{3\pi}{2} - 2k\pi$, где $y_{max}=1$, для целых $k \ge 0$.

- Точки локального минимума: $x = -\frac{\pi}{2} - 2k\pi$, где $y_{min}=-1$, для целых $k \ge 0$.

7. Глобальные экстремумы: Наибольшего значения функция не имеет. Наименьшее значение $y_{min} = -1$.

8. Четность, нечетность: Функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

9. Периодичность: Функция непериодическая.

10. Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: