Страница 103, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

16.9. а) $y = \sin x - 2$;

б) $y = \sin x + 1;$

в) $y = \sin x + 2;$

г) $y = \sin x - 3.$

а) $y = \sin x - 2$

Чтобы построить график функции $y = \sin x - 2$, мы будем преобразовывать график базовой функции $y = \sin x$.

Преобразование вида $y = f(x) + c$ представляет собой параллельный перенос (сдвиг) графика функции $y = f(x)$ вдоль оси ординат $Oy$. Если $c$ — отрицательное число, сдвиг происходит вниз на $|c|$ единиц.

В данном случае у нас функция $y = \sin x$ и $c = -2$. Это означает, что для получения графика $y = \sin x - 2$, нужно сместить график $y = \sin x$ на 2 единицы вниз.

Порядок построения:

1. Сначала строим известный график функции $y = \sin x$. Это периодическая кривая (синусоида), которая колеблется между -1 и 1 с периодом $2\pi$. Её ключевые точки на отрезке $[0, 2\pi]$: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 0)$.
2. Далее, каждую точку этого графика смещаем на 2 единицы вниз. Точка с координатами $(x_0, y_0)$ на графике $y = \sin x$ переходит в точку с координатами $(x_0, y_0 - 2)$.
3. Новые координаты ключевых точек будут:
   • $(0, 0 - 2) \rightarrow (0, -2)$
   • $(\frac{\pi}{2}, 1 - 2) \rightarrow (\frac{\pi}{2}, -1)$
   • $(\pi, 0 - 2) \rightarrow (\pi, -2)$
   • $(\frac{3\pi}{2}, -1 - 2) \rightarrow (\frac{3\pi}{2}, -3)$
   • $(2\pi, 0 - 2) \rightarrow (2\pi, -2)$
4. Соединяя новые точки плавной линией, мы получаем искомый график.

Область значений исходной функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. После сдвига на 2 единицы вниз, новая область значений будет $[-1-2, 1-2]$, то есть $E(y) = [-3, -1]$.

Ответ: График функции $y = \sin x - 2$ — это синусоида, полученная сдвигом графика $y = \sin x$ на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$. Область значений функции: $[-3, -1]$.

б) $y = \sin x + 1$

График функции $y = \sin x + 1$ строится на основе графика $y = \sin x$ путем его преобразования.

Преобразование $y = f(x) + c$ при $c > 0$ является параллельным переносом графика $y = f(x)$ на $c$ единиц вверх вдоль оси ординат $Oy$.

В нашем случае $f(x) = \sin x$ и $c = 1$. Следовательно, мы должны сдвинуть график $y = \sin x$ на 1 единицу вверх.

Порядок построения:

1. Строим график функции $y = \sin x$ (синусоиду с периодом $2\pi$ и амплитудой 1). Ключевые точки: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 0)$.
2. Осуществляем параллельный перенос этого графика на 1 единицу вверх. Каждая точка $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0, y_0 + 1)$.
3. Новые координаты ключевых точек:
   • $(0, 0 + 1) \rightarrow (0, 1)$
   • $(\frac{\pi}{2}, 1 + 1) \rightarrow (\frac{\pi}{2}, 2)$
   • $(\pi, 0 + 1) \rightarrow (\pi, 1)$
   • $(\frac{3\pi}{2}, -1 + 1) \rightarrow (\frac{3\pi}{2}, 0)$
   • $(2\pi, 0 + 1) \rightarrow (2\pi, 1)$
4. Соединяем полученные точки плавной кривой.

Область значений функции $y = \sin x$ — это $[-1, 1]$. После сдвига на 1 единицу вверх, новая область значений становится $[-1+1, 1+1]$, то есть $E(y) = [0, 2]$.

Ответ: График функции $y = \sin x + 1$ — это синусоида, полученная сдвигом графика $y = \sin x$ на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$. Область значений функции: $[0, 2]$.

в) $y = \sin x + 2$

Для построения графика функции $y = \sin x + 2$ используем преобразование графика $y = \sin x$.

Так как преобразование имеет вид $y = f(x) + c$ с $c = 2 > 0$, необходимо выполнить параллельный перенос графика $y = \sin x$ на 2 единицы вверх по оси $Oy$.

Порядок построения:

1. Строим график $y = \sin x$. Ключевые точки на периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 0)$.
2. Сдвигаем построенный график на 2 единицы вверх. Каждая точка $(x_0, y_0)$ преобразуется в точку $(x_0, y_0 + 2)$.
3. Новые координаты ключевых точек:
   • $(0, 0 + 2) \rightarrow (0, 2)$
   • $(\frac{\pi}{2}, 1 + 2) \rightarrow (\frac{\pi}{2}, 3)$
   • $(\pi, 0 + 2) \rightarrow (\pi, 2)$
   • $(\frac{3\pi}{2}, -1 + 2) \rightarrow (\frac{3\pi}{2}, 1)$
   • $(2\pi, 0 + 2) \rightarrow (2\pi, 2)$
4. Соединяем точки плавной линией, повторяющей форму синусоиды.

Область значений функции $y = \sin x$ - это $[-1, 1]$. После сдвига на 2 единицы вверх, новая область значений будет $[-1+2, 1+2]$, то есть $E(y) = [1, 3]$.

Ответ: График функции $y = \sin x + 2$ — это синусоида, полученная сдвигом графика $y = \sin x$ на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Область значений функции: $[1, 3]$.

г) $y = \sin x - 3$

График функции $y = \sin x - 3$ получается из графика $y = \sin x$ с помощью параллельного переноса.

Преобразование $y = f(x) + c$ при $c = -3 < 0$ означает сдвиг графика $y = f(x)$ на $|-3| = 3$ единицы вниз вдоль оси $Oy$.

Порядок построения:

1. Строим базовый график $y = \sin x$. Ключевые точки: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 0)$.
2. Смещаем этот график на 3 единицы вниз. Каждая точка $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0, y_0 - 3)$.
3. Новые координаты ключевых точек:
   • $(0, 0 - 3) \rightarrow (0, -3)$
   • $(\frac{\pi}{2}, 1 - 3) \rightarrow (\frac{\pi}{2}, -2)$
   • $(\pi, 0 - 3) \rightarrow (\pi, -3)$
   • $(\frac{3\pi}{2}, -1 - 3) \rightarrow (\frac{3\pi}{2}, -4)$
   • $(2\pi, 0 - 3) \rightarrow (2\pi, -3)$
4. Соединяем новые точки плавной кривой, сохраняя форму синусоиды.

Область значений функции $y = \sin x$, равная $[-1, 1]$, после сдвига на 3 единицы вниз, превращается в отрезок $[-1-3, 1-3]$, то есть $E(y) = [-4, -2]$.

Ответ: График функции $y = \sin x - 3$ — это синусоида, полученная сдвигом графика $y = \sin x$ на 3 единицы вниз вдоль оси $Oy$. Область значений функции: $[-4, -2]$.

16.10. а) $y = \sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 1;$

б) $y = \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 1.$

а) $y = \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1$

График данной функции можно получить из графика базовой функции $y=\sin(x)$ с помощью двух последовательных преобразований — параллельных переносов (сдвигов).

Первое преобразование — это сдвиг по горизонтали (вдоль оси Ox). Наличие в аргументе синуса выражения $\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ означает, что график функции $y=\sin(x)$ необходимо сдвинуть на $\frac{\pi}{4}$ единиц вправо. В результате этого сдвига мы получаем график промежуточной функции $y_1 = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

Второе преобразование — это сдвиг по вертикали (вдоль оси Oy). Прибавление числа 1 ко всей функции означает, что полученный на предыдущем шаге график $y_1 = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ необходимо сдвинуть на 1 единицу вверх.

Таким образом, график функции $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 1$ — это график функции $y=\sin(x)$, смещенный на $\frac{\pi}{4}$ вправо и на 1 вверх. Иными словами, это параллельный перенос на вектор $\vec{v}\left(\frac{\pi}{4}; 1\right)$.

Основные свойства функции: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = [0; 2]$, так как $-1 \le \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \le 1$, то $-1+1 \le y \le 1+1$; основной период $T = 2\pi$.

Ответ: График функции $y=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1$ получается из графика функции $y=\sin(x)$ путем его сдвига на $\frac{\pi}{4}$ вправо по оси Ox и на 1 вверх по оси Oy.

б) $y = \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-1$

График данной функции можно получить из графика базовой функции $y=\sin(x)$ с помощью двух последовательных преобразований — параллельных переносов (сдвигов).

Первое преобразование — это сдвиг по горизонтали (вдоль оси Ox). Наличие в аргументе синуса выражения $\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ означает, что график функции $y=\sin(x)$ необходимо сдвинуть на $\frac{\pi}{3}$ единиц влево. В результате этого сдвига мы получаем график промежуточной функции $y_1 = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$.

Второе преобразование — это сдвиг по вертикали (вдоль оси Oy). Вычитание числа 1 из всей функции означает, что полученный на предыдущем шаге график $y_1 = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ необходимо сдвинуть на 1 единицу вниз.

Таким образом, график функции $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 1$ — это график функции $y=\sin(x)$, смещенный на $\frac{\pi}{3}$ влево и на 1 вниз. Иными словами, это параллельный перенос на вектор $\vec{v}\left(-\frac{\pi}{3}; -1\right)$.

Основные свойства функции: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = [-2; 0]$, так как $-1 \le \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \le 1$, то $-1-1 \le y \le 1-1$; основной период $T = 2\pi$.

Ответ: График функции $y=\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-1$ получается из графика функции $y=\sin(x)$ путем его сдвига на $\frac{\pi}{3}$ влево по оси Ox и на 1 вниз по оси Oy.

16.11. а) $y = -\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$;

б) $y = -\sin x + 3$.

а) $y = -\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$

Для того чтобы построить график данной функции, необходимо выполнить последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sin(x)$.

1. Построим график функции $y_1 = \sin(x)$. Это стандартная синусоида.

2. Преобразуем его в график функции $y_2 = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$. Для этого необходимо сдвинуть график $y_1 = \sin(x)$ вдоль оси абсцисс (OX) влево на $\frac{\pi}{6}$ единиц. Этот сдвиг называется фазовым сдвигом.

3. Преобразуем график $y_2 = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ в искомый график $y = -\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$. Знак "минус" перед всей функцией означает, что необходимо выполнить симметричное отражение графика $y_2$ относительно оси абсцисс (OX).

Таким образом, для получения графика функции $y = -\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ нужно взять график $y = \sin(x)$, сдвинуть его влево на $\frac{\pi}{6}$ и затем отразить относительно оси OX.

Ответ: График функции $y = -\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ получается из графика функции $y = \sin(x)$ путем параллельного переноса вдоль оси OX на $\frac{\pi}{6}$ влево и последующего симметричного отражения относительно оси OX.

б) $y = -\sin x + 3$

Для построения графика этой функции также выполним преобразования графика базовой функции $y = \sin(x)$.

1. Построим график функции $y_1 = \sin(x)$.

2. Преобразуем его в график функции $y_2 = -\sin(x)$. Знак "минус" перед функцией $\sin(x)$ означает, что необходимо отразить график $y_1 = \sin(x)$ симметрично относительно оси абсцисс (OX).

3. Теперь преобразуем график $y_2 = -\sin(x)$ в искомый график $y = -\sin x + 3$. Слагаемое "+3" означает, что необходимо выполнить параллельный перенос графика $y_2$ вдоль оси ординат (OY) вверх на 3 единицы.

Таким образом, для получения графика функции $y = -\sin x + 3$ нужно взять график $y = \sin(x)$, отразить его относительно оси OX и затем сдвинуть вверх на 3 единицы.

Ответ: График функции $y = -\sin x + 3$ получается из графика функции $y = \sin(x)$ путем симметричного отражения относительно оси OX и последующего параллельного переноса вдоль оси OY на 3 единицы вверх.

16.12. a) $y = \sin \left(x + \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}$;

б) $y = -\sin \left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 2$;

в) $y = \sin (x - \pi) - 1$;

г) $y = -\sin \left(x + \frac{\pi}{2}\right) - 2$.

а) Для построения графика функции $y = \sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}$ необходимо выполнить последовательные преобразования графика основной функции $y = \sin(x)$. Сначала выполняется сдвиг графика $y = \sin(x)$ вдоль оси абсцисс на $\frac{2\pi}{3}$ единиц влево, в результате чего получается график функции $y_1 = \sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$. Затем полученный график сдвигается вдоль оси ординат на $\frac{1}{2}$ единицы вверх. Таким образом, искомый график является результатом параллельного переноса графика $y = \sin(x)$ на вектор $\vec{v} = \left(-\frac{2\pi}{3}, \frac{1}{2}\right)$.

Ответ: График функции $y = \sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}$ получается из графика $y = \sin(x)$ параллельным переносом на $\frac{2\pi}{3}$ влево по оси $Ox$ и на $\frac{1}{2}$ вверх по оси $Oy$.

б) График функции $y = -\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 2$ получается из графика $y = \sin(x)$ в несколько шагов. Во-первых, сдвигаем график $y = \sin(x)$ на $\frac{\pi}{6}$ единиц вправо по оси $Ox$, получая график $y_1 = \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$. Во-вторых, выполняем симметричное отражение графика $y_1$ относительно оси абсцисс, что дает нам $y_2 = -\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$. Наконец, сдвигаем график $y_2$ на $2$ единицы вверх по оси $Oy$, чтобы получить итоговый график $y = -\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 2$.

Ответ: График функции $y = -\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 2$ получается из графика $y = \sin(x)$ сдвигом на $\frac{\pi}{6}$ вправо по оси $Ox$, затем симметричным отражением относительно оси $Ox$, и затем сдвигом на $2$ вверх по оси $Oy$.

в) Чтобы построить график функции $y = \sin(x - \pi) - 1$, нужно преобразовать график $y = \sin(x)$. Сначала сдвигаем график $y = \sin(x)$ на $\pi$ единиц вправо вдоль оси $Ox$, получая $y_1 = \sin(x - \pi)$. Затем сдвигаем полученный график на $1$ единицу вниз вдоль оси $Oy$. Это дает искомый график. Стоит отметить, что используя формулу приведения $\sin(x - \pi) = -\sin(x)$, исходную функцию можно записать как $y = -\sin(x) - 1$. Её график получается из $y = \sin(x)$ отражением относительно оси $Ox$ и сдвигом на $1$ единицу вниз. Оба способа построения приводят к одному и тому же результату.

Ответ: График функции $y = \sin(x - \pi) - 1$ получается из графика $y = \sin(x)$ параллельным переносом на $\pi$ вправо по оси $Ox$ и на $1$ вниз по оси $Oy$.

г) Построение графика функции $y = -\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) - 2$ начинается с графика $y = \sin(x)$. Первым шагом является сдвиг графика $y = \sin(x)$ на $\frac{\pi}{2}$ единиц влево по оси $Ox$, что дает график $y_1 = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$. Далее, этот график отражается симметрично относительно оси $Ox$, в результате чего мы получаем $y_2 = -\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$. Заключительный шаг — сдвиг графика $y_2$ на $2$ единицы вниз по оси $Oy$. Также можно использовать формулу приведения $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(x)$, тогда функция примет вид $y = -\cos(x) - 2$. Её график можно получить из графика $y=\cos(x)$ отражением относительно оси $Ox$ и сдвигом на 2 единицы вниз.

Ответ: График функции $y = -\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) - 2$ получается из графика $y = \sin(x)$ сдвигом на $\frac{\pi}{2}$ влево по оси $Ox$, затем симметричным отражением относительно оси $Ox$, и затем сдвигом на $2$ вниз по оси $Oy$.

16.13. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) + 0,5$ на промежутке:

а) $\left[ \frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4} \right];$

б) $\left( \frac{3\pi}{4}; \frac{9\pi}{4} \right);$

в) $[0; \pi);$

г) $\left[ \frac{\pi}{4}; +\infty \right).$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{4}) + 0.5$ на заданных промежутках, мы проанализируем поведение функции на каждом из них. Область значений функции $\sin(t)$ - это отрезок $[-1, 1]$, поэтому область значений функции $y$ находится в пределах $[-1 + 0.5, 1 + 0.5] = [-0.5, 1.5]$. Для удобства анализа введем замену $t = x - \frac{\pi}{4}$.

а) На промежутке $x \in [\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$
Сделаем замену $t = x - \frac{\pi}{4}$. Если $x$ изменяется от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{3\pi}{4}$, то $t$ изменяется от $\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 0$ до $\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$. Итак, мы ищем значения функции $y = \sin(t) + 0.5$ на отрезке $t \in [0; \frac{\pi}{2}]$. На этом отрезке функция $\sin(t)$ монотонно возрастает от $\sin(0) = 0$ до $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Наименьшее значение функции $y$ достигается при $t=0$: $y_{наим} = 0 + 0.5 = 0.5$. Наибольшее значение функции $y$ достигается при $t=\frac{\pi}{2}$: $y_{наиб} = 1 + 0.5 = 1.5$.
Ответ: наименьшее значение $0.5$, наибольшее значение $1.5$.

б) На промежутке $x \in (\frac{3\pi}{4}; \frac{9\pi}{4})$
Сделаем замену $t = x - \frac{\pi}{4}$. Если $x$ изменяется на интервале $(\frac{3\pi}{4}; \frac{9\pi}{4})$, то $t$ изменяется на интервале $(\frac{2\pi}{4}; 2\pi) = (\frac{\pi}{2}; 2\pi)$. Мы ищем значения функции $y = \sin(t) + 0.5$ на интервале $t \in (\frac{\pi}{2}; 2\pi)$. На этом интервале функция $\sin(t)$ достигает своего минимума в точке $t = \frac{3\pi}{2}$, который равен $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$. Эта точка принадлежит нашему интервалу. Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно: $y_{наим} = -1 + 0.5 = -0.5$. Максимум функции $\sin(t)$, равный $1$, достигается в точке $t=\frac{\pi}{2}$. Эта точка не принадлежит интервалу $(\frac{\pi}{2}; 2\pi)$, поэтому наибольшего значения на данном интервале функция не достигает. Её значения лишь стремятся к $1+0.5=1.5$.
Ответ: наименьшее значение $-0.5$, наибольшего значения не существует.

в) На промежутке $x \in [0; \pi]$
Сделаем замену $t = x - \frac{\pi}{4}$. Если $x$ изменяется от $0$ до $\pi$, то $t$ изменяется от $0 - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$ до $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Мы ищем значения функции $y = \sin(t) + 0.5$ на отрезке $t \in [-\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$. На этом отрезке находится точка $t = \frac{\pi}{2}$, в которой $\sin(t)$ достигает своего глобального максимума, равного $1$. Следовательно, наибольшее значение функции $y$ равно: $y_{наиб} = 1 + 0.5 = 1.5$. Глобальный минимум функции $\sin(t)$ не достигается на отрезке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$, поэтому наименьшее значение следует искать на концах отрезка. При $t = -\frac{\pi}{4}$, $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. При $t = \frac{3\pi}{4}$, $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Наименьшее значение $\sin(t)$ на отрезке равно $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно: $y_{наим} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 0.5$.
Ответ: наименьшее значение $0.5 - \frac{\sqrt{2}}{2}$, наибольшее значение $1.5$.

г) На промежутке $x \in [\frac{\pi}{4}; +\infty)$
Сделаем замену $t = x - \frac{\pi}{4}$. Если $x$ изменяется на луче $[\frac{\pi}{4}; +\infty)$, то $t$ изменяется на луче $[0; +\infty)$. Мы ищем значения функции $y = \sin(t) + 0.5$ на промежутке $t \in [0; +\infty)$. На этом промежутке функция $\sin(t)$ пробегает все свои возможные значения от $-1$ до $1$, так как промежуток содержит полные периоды функции. Наименьшее значение $\sin(t)$ равно $-1$. Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно: $y_{наим} = -1 + 0.5 = -0.5$. Наибольшее значение $\sin(t)$ равно $1$. Следовательно, наибольшее значение функции $y$ равно: $y_{наиб} = 1 + 0.5 = 1.5$.
Ответ: наименьшее значение $-0.5$, наибольшее значение $1.5$.

16.14. Известно, что $f(x) = 3 \sin x$. Найдите:

а) $f(-x)$;

б) $2f(x)$;

в) $2f(x) + 1$;

г) $f(-x) + f(x)$.

Дана функция $f(x) = 3 \sin x$. Найдем значения требуемых выражений.

а) f(-x)

Чтобы найти $f(-x)$, подставим в исходное выражение функции вместо $x$ значение $-x$:

$f(-x) = 3 \sin(-x)$

Воспользуемся свойством нечетности функции синус, согласно которому $\sin(-x) = -\sin x$.

$f(-x) = 3 \cdot (-\sin x) = -3 \sin x$.

Ответ: $-3 \sin x$.

б) 2f(x)

Чтобы найти $2f(x)$, умножим выражение для $f(x)$ на 2:

$2f(x) = 2 \cdot (3 \sin x) = 6 \sin x$.

Ответ: $6 \sin x$.

в) 2f(x) + 1

Используем результат, полученный в пункте б), где мы нашли, что $2f(x) = 6 \sin x$. Теперь к этому выражению прибавим 1:

$2f(x) + 1 = 6 \sin x + 1$.

Ответ: $6 \sin x + 1$.

г) f(-x) + f(x)

Сложим выражения для $f(x)$ и $f(-x)$. Из пункта а) мы знаем, что $f(-x) = -3 \sin x$.

$f(-x) + f(x) = (-3 \sin x) + (3 \sin x)$

$-3 \sin x + 3 \sin x = 0$.

Так как исходная функция $f(x)=3\sin x$ является нечетной (поскольку $\sin x$ — нечетная функция), для нее выполняется свойство $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, сумма $f(-x) + f(x) = -f(x) + f(x) = 0$.

Ответ: $0$.

16.15. Известно, что $f(x) = \sin 2x$. Найдите:

а) $f(-x)$;

б) $2f(x)$;

в) $f\left(-\frac{x}{2}\right)$;

г) $f(-x) + f(x)$.

а) Чтобы найти $f(-x)$, необходимо в выражение для функции $f(x) = \sin 2x$ подставить $-x$ вместо аргумента $x$.
$f(-x) = \sin(2(-x)) = \sin(-2x)$.
Функция синус является нечетной, что означает $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$ для любого аргумента $\alpha$. Применим это свойство:
$\sin(-2x) = -\sin(2x)$.
Ответ: $f(-x) = -\sin(2x)$.

б) Чтобы найти $2f(x)$, нужно умножить выражение для функции $f(x)$ на 2.
$2f(x) = 2 \cdot (\sin 2x) = 2\sin 2x$.
Ответ: $2f(x) = 2\sin 2x$.

в) Чтобы найти $f(-\frac{x}{2})$, необходимо в выражение для функции $f(x) = \sin 2x$ подставить $-\frac{x}{2}$ вместо аргумента $x$.
$f\left(-\frac{x}{2}\right) = \sin\left(2 \cdot \left(-\frac{x}{2}\right)\right) = \sin\left(-\frac{2x}{2}\right) = \sin(-x)$.
Используя свойство нечетности функции синус, получаем:
$\sin(-x) = -\sin(x)$.
Ответ: $f\left(-\frac{x}{2}\right) = -\sin(x)$.

г) Для нахождения суммы $f(-x) + f(x)$ воспользуемся результатом, полученным в пункте а).
Мы установили, что $f(-x) = -\sin(2x)$.
Исходная функция: $f(x) = \sin(2x)$.
Тогда сумма равна:
$f(-x) + f(x) = (-\sin(2x)) + (\sin(2x)) = 0$.
Этот результат также следует из того, что функция $f(x) = \sin 2x$ является нечетной, а для любой нечетной функции по определению выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, откуда $f(-x) + f(x) = 0$.
Ответ: $f(-x) + f(x) = 0$.

16.16. Исследуйте функцию $y = \sin x$ на монотонность на заданном промежутке:

a) $ \left[\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}\right]; $

б) $ \left[-\frac{7\pi}{6}; \frac{\pi}{6}\right]; $

в) $ \left(\frac{11\pi}{3}; \frac{25\pi}{6}\right); $

г) $ \left(\frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}\right). $

Для исследования функции $y = \sin x$ на монотонность, необходимо найти ее производную и определить знаки производной на заданных промежутках.

Производная функции $y = \sin x$ равна $y' = \cos x$.

• Если $y' = \cos x > 0$ на промежутке, то функция $y = \sin x$ на этом промежутке возрастает.
• Если $y' = \cos x < 0$ на промежутке, то функция $y = \sin x$ на этом промежутке убывает.

Общие промежутки монотонности для $y = \sin x$ (где $k \in \mathbb{Z}$):

• Промежутки возрастания: $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$
• Промежутки убывания: $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$

а) Исследуем промежуток $[\frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}]$.

Преобразуем концы промежутка:$\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$,$\frac{7\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2}$.Таким образом, мы рассматриваем промежуток $[2\pi + \frac{\pi}{2}, 2\pi + \frac{3\pi}{2}]$.

Этот промежуток соответствует общему промежутку убывания $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$ при $k=1$.На этом промежутке производная $y' = \cos x \le 0$, следовательно, функция $y = \sin x$ убывает.

Ответ: функция убывает на всем промежутке $[\frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}]$.

б) Исследуем промежуток $[-\frac{7\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$.

Найдем точки, в которых производная $y' = \cos x$ равна нулю и которые принадлежат данному промежутку. Это точки вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.При $k=-1$, получаем $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$.Поскольку $-\frac{7\pi}{6} < -\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{6}$, эта точка делит наш промежуток на два.

1. Промежуток $[-\frac{7\pi}{6}, -\frac{\pi}{2}]$. Возьмем пробную точку $x = -\pi$, которая лежит левее $-\frac{\pi}{2}$. $\cos(-\pi) = -1 < 0$. Значит, на этом промежутке $y' = \cos x \le 0$ и функция убывает.
2. Промежуток $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}]$. Этот промежуток является частью интервала возрастания $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. На этом промежутке $y' = \cos x \ge 0$, значит, функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $[-\frac{7\pi}{6}, -\frac{\pi}{2}]$ и возрастает на промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}]$.

в) Исследуем промежуток $(\frac{11\pi}{3}, \frac{25\pi}{6})$.

Упростим концы промежутка, вычтя период $4\pi = 2 \cdot 2\pi$:$\frac{11\pi}{3} = \frac{12\pi - \pi}{3} = 4\pi - \frac{\pi}{3}$.$\frac{25\pi}{6} = \frac{24\pi + \pi}{6} = 4\pi + \frac{\pi}{6}$.Исследование монотонности на промежутке $(\frac{11\pi}{3}, \frac{25\pi}{6})$ эквивалентно исследованию на промежутке $(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6})$.

Промежуток $(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6})$ полностью содержится в промежутке возрастания $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, на котором $y' = \cos x > 0$. Следовательно, функция $y = \sin x$ возрастает на всем заданном промежутке.

Ответ: функция возрастает на всем промежутке $(\frac{11\pi}{3}, \frac{25\pi}{6})$.

г) Исследуем промежуток $(\frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{3})$.

Длина промежутка равна $\frac{7\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi$.Найдем точки экстремума ($y' = \cos x = 0$) внутри этого промежутка.$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.При $k=0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Точка $\frac{\pi}{2}$ принадлежит промежутку $(\frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{3})$.При $k=1$, $x = \frac{3\pi}{2}$. Точка $\frac{3\pi}{2}$ принадлежит промежутку $(\frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{3})$.Эти точки делят заданный промежуток на три части.

1. Промежуток $(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$. На этом промежутке $y' = \cos x > 0$, так как он является частью интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Функция возрастает.
2. Промежуток $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$. Это стандартный промежуток убывания, на нем $y' = \cos x \le 0$. Функция убывает.
3. Промежуток $[\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{3})$. Этот промежуток является частью интервала возрастания $[\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$. На нем $y' = \cos x \ge 0$. Функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$ и $[\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{3})$, убывает на промежутке $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

16.17. На каких промежутках функция $y = \sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right):$

а) возрастает;

б) убывает?

Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{3})$, мы можем проанализировать стандартную функцию синуса $y = \sin(t)$ и затем учесть сдвиг аргумента.

Функция $y = \sin(t)$ является периодической с периодом $2\pi$. Её монотонность на одном периоде определяет её монотонность на всей числовой прямой.

а) возрастает;

Функция $y = \sin(t)$ возрастает на промежутках, где её значение увеличивается от -1 до 1. Стандартный промежуток возрастания для синуса — это $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Учитывая периодичность, все промежутки возрастания имеют вид $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае аргумент $t = x - \frac{\pi}{3}$. Чтобы найти промежутки возрастания для исходной функции, мы должны решить двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x - \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Для нахождения $x$, прибавим $\frac{\pi}{3}$ ко всем частям неравенства:

$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$-\frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2\pi k$

В результате получаем:

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$

Таким образом, функция $y = \sin(x - \frac{\pi}{3})$ возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $[-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) убывает?

Функция $y = \sin(t)$ убывает на промежутках, где её значение уменьшается от 1 до -1. Стандартный промежуток убывания для синуса — это $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$. С учетом периодичности, все промежутки убывания имеют вид $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим наш аргумент $t = x - \frac{\pi}{3}$ и решим соответствующее двойное неравенство:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x - \frac{\pi}{3} \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$

Прибавим $\frac{\pi}{3}$ ко всем частям неравенства:

$\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{9\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2\pi k$

В результате получаем:

$\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$

Таким образом, функция $y = \sin(x - \frac{\pi}{3})$ убывает на промежутках $[\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \frac{11\pi}{6} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $[\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \frac{11\pi}{6} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.