Страница 125, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

20.14. Исследуйте функцию $y = f(x)$ на чётность, если:

а) $f(x) = \sin x + \operatorname{ctg} x$;

б) $f(x) = \frac{2 \operatorname{ctg} x}{x^3}$;

в) $f(x) = \frac{x^4 \operatorname{ctg} x}{x^2 - 4}$;

г) $f(x) = \operatorname{ctg} x - x \cos x$.

а) $f(x) = \sin x + \operatorname{ctg} x$
1. Найдем область определения функции $D(f)$. Функция $\sin x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Функция $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ определена при условии $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Таким образом, область определения $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$. Эта область симметрична относительно начала координат, так как если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ ей принадлежит.
2. Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \sin(-x) + \operatorname{ctg}(-x)$.
3. Используем свойства тригонометрических функций: синус — нечетная функция ($\sin(-x) = -\sin x$), котангенс — нечетная функция ($\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$).
$f(-x) = -\sin x - \operatorname{ctg} x = -(\sin x + \operatorname{ctg} x) = -f(x)$.
4. Поскольку для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

б) $f(x) = \frac{2 \operatorname{ctg} x}{x^3}$
1. Область определения функции $D(f)$ определяется условиями: $x^3 \neq 0$ (знаменатель не равен нулю), то есть $x \neq 0$, и $\operatorname{ctg} x$ должен быть определен, то есть $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Объединяя эти условия, получаем $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$. Эта область симметрична относительно начала координат.
2. Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \frac{2 \operatorname{ctg}(-x)}{(-x)^3}$.
3. Используем свойства функций: $\operatorname{ctg} x$ — нечетная функция ($\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$), а $x^3$ — нечетная степенная функция ($(-x)^3 = -x^3$).
$f(-x) = \frac{2(-\operatorname{ctg} x)}{-x^3} = \frac{-2 \operatorname{ctg} x}{-x^3} = \frac{2 \operatorname{ctg} x}{x^3} = f(x)$.
4. Поскольку для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

в) $f(x) = \frac{x^4 \operatorname{ctg} x}{x^2 - 4}$
1. Область определения функции $D(f)$ определяется условиями: $x^2 - 4 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 2$, и $\operatorname{ctg} x$ должен быть определен, то есть $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Область определения $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pm 2 \text{ и } x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$. Эта область симметрична относительно начала координат.
2. Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \frac{(-x)^4 \operatorname{ctg}(-x)}{(-x)^2 - 4}$.
3. Используем свойства функций: $x^4$ — четная функция ($(-x)^4 = x^4$), $\operatorname{ctg} x$ — нечетная функция ($\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$), $x^2 - 4$ — четная функция ($(-x)^2 - 4 = x^2 - 4$).
$f(-x) = \frac{x^4 (-\operatorname{ctg} x)}{x^2 - 4} = -\frac{x^4 \operatorname{ctg} x}{x^2 - 4} = -f(x)$.
4. Поскольку для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

г) $f(x) = \operatorname{ctg} x - x \cos x$
1. Область определения функции $D(f)$ определяется условием существования $\operatorname{ctg} x$, то есть $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Функция $x \cos x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Таким образом, $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$. Эта область симметрична относительно начала координат.
2. Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \operatorname{ctg}(-x) - (-x)\cos(-x)$.
3. Используем свойства тригонометрических функций: $\operatorname{ctg} x$ — нечетная функция ($\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$), $\cos x$ — четная функция ($\cos(-x) = \cos x$).
$f(-x) = -\operatorname{ctg} x - (-x)(\cos x) = -\operatorname{ctg} x + x \cos x = -(\operatorname{ctg} x - x \cos x) = -f(x)$.
4. Поскольку для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

20.15. Найдите основной период функции:

a) $y = \tan x + \sin 2x - \tan 3x - \cos 4x;$

б) $y = \sin 3x + \cos 5x + \cot x - 2 \tan 2x.$

а) $y = \operatorname{tg} x + \sin 2x - \operatorname{tg} 3x - \cos 4x$

Чтобы найти основной период функции, которая является суммой или разностью нескольких периодических функций, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) основных периодов каждой из этих функций.

Сначала определим основной период для каждого слагаемого в выражении:

• Основной период функции $y_1 = \operatorname{tg} x$ (с коэффициентом $k=1$) равен $T_1 = \frac{\pi}{|1|} = \pi$.
• Основной период функции $y_2 = \sin 2x$ (с коэффициентом $k=2$) равен $T_2 = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.
• Основной период функции $y_3 = \operatorname{tg} 3x$ (с коэффициентом $k=3$) равен $T_3 = \frac{\pi}{|3|} = \frac{\pi}{3}$.
• Основной период функции $y_4 = \cos 4x$ (с коэффициентом $k=4$) равен $T_4 = \frac{2\pi}{|4|} = \frac{\pi}{2}$.

Теперь нам нужно найти наименьшее общее кратное этих периодов: $T = \text{НОК}(\pi, \pi, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})$.

Для нахождения НОК чисел, являющихся рациональными множителями $\pi$, можно найти НОК их коэффициентов, а затем умножить результат на $\pi$. Ищем $\text{НОК}(1, 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{2})$.

Для нахождения НОК дробей $\frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}, \dots$ используется формула: $\text{НОК} = \frac{\text{НОК}(a_1, a_2, \dots)}{\text{НОД}(b_1, b_2, \dots)}$, где НОД — наибольший общий делитель.

В нашем случае коэффициенты это дроби $\frac{1}{1}, \frac{1}{1}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}$.

Находим НОК числителей: $\text{НОК}(1, 1, 1, 1) = 1$.

Находим НОД знаменателей: $\text{НОД}(1, 1, 3, 2) = 1$.

Тогда НОК коэффициентов равно $\frac{1}{1} = 1$.

Следовательно, основной период всей функции равен $T = 1 \cdot \pi = \pi$.

Ответ: $\pi$.

б) $y = \sin 3x + \cos 5x + \operatorname{ctg} x - 2 \operatorname{tg} 2x$

Действуем аналогично предыдущему пункту: находим периоды каждого слагаемого и затем их наименьшее общее кратное.

Основные периоды слагаемых:

• Для функции $y_1 = \sin 3x$ (с коэффициентом $k=3$) основной период $T_1 = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$.
• Для функции $y_2 = \cos 5x$ (с коэффициентом $k=5$) основной период $T_2 = \frac{2\pi}{|5|} = \frac{2\pi}{5}$.
• Для функции $y_3 = \operatorname{ctg} x$ (с коэффициентом $k=1$) основной период $T_3 = \frac{\pi}{|1|} = \pi$.
• Для функции $y_4 = -2\operatorname{tg} 2x$ (с коэффициентом $k=2$, множитель -2 не влияет на период) основной период $T_4 = \frac{\pi}{|2|} = \frac{\pi}{2}$.

Теперь найдем наименьшее общее кратное этих периодов: $T = \text{НОК}(\frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{5}, \pi, \frac{\pi}{2})$.

Находим НОК коэффициентов при $\pi$: $\text{НОК}(\frac{2}{3}, \frac{2}{5}, 1, \frac{1}{2})$.

Представим коэффициенты в виде дробей: $\frac{2}{3}, \frac{2}{5}, \frac{1}{1}, \frac{1}{2}$.

Используем формулу для НОК дробей: $\text{НОК} = \frac{\text{НОК}(\text{числителей})}{\text{НОД}(\text{знаменателей})}$.

Находим НОК числителей: $\text{НОК}(2, 2, 1, 1) = 2$.

Находим НОД знаменателей: $\text{НОД}(3, 5, 1, 2) = 1$.

Тогда НОК коэффициентов равно $\frac{2}{1} = 2$.

Следовательно, основной период всей функции равен $T = 2 \cdot \pi = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$.

20.16. Известно, что $tg(9\pi - x) = -\frac{3}{4}$. Найдите: $tg x$, $ctg x$.

Для решения данной задачи мы воспользуемся свойствами тригонометрических функций, а именно формулами приведения и связью между тангенсом и котангенсом.

Найдите: tg x

Исходное уравнение: $tg(9\pi - x) = -\frac{3}{4}$.

Функция тангенс имеет период $\pi$. Это означает, что $tg(\alpha + k\pi) = tg(\alpha)$ для любого целого числа $k$.
Мы можем переписать аргумент функции $9\pi - x$ как $8\pi + \pi - x$.
$tg(9\pi - x) = tg(8\pi + (\pi - x))$.

Поскольку $8\pi$ является целым кратным периода $\pi$ (здесь $k=8$), мы можем упростить выражение:
$tg(8\pi + (\pi - x)) = tg(\pi - x)$.

Теперь применим формулу приведения для $tg(\pi - x)$. Углы вида $\pi \pm \alpha$ приводят к той же функции, но знак зависит от четверти. Угол $\pi - x$ (при малом положительном $x$) находится во второй четверти, где тангенс отрицателен. Поэтому:
$tg(\pi - x) = -tg x$.

Подставим это упрощенное выражение обратно в исходное уравнение:
$-tg x = -\frac{3}{4}$.

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы найти $tg x$:
$tg x = \frac{3}{4}$.

Ответ: $tg x = \frac{3}{4}$.

Найдите: ctg x

Тангенс и котангенс являются взаимно обратными функциями, то есть $ctg x = \frac{1}{tg x}$.

Мы уже определили, что $tg x = \frac{3}{4}$. Подставим это значение в формулу для котангенса:
$ctg x = \frac{1}{\frac{3}{4}}$.

Выполним деление:
$ctg x = 1 \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $ctg x = \frac{4}{3}$.

20.17. Известно, что $\operatorname{ctg}(7\pi - x) = \frac{5}{7}$. Найдите: $\operatorname{tg} x, \operatorname{ctg} x$.

ctg x

Для решения задачи необходимо сначала упростить выражение $ctg(7\pi - x)$. Воспользуемся свойством периодичности котангенса, период которого равен $\pi$. Это свойство выражается формулой $ctg(\alpha + k\pi) = ctg(\alpha)$ для любого целого числа $k$.

Представим аргумент функции $7\pi - x$ в виде $6\pi + (\pi - x)$. Так как $6\pi$ является кратным $\pi$ (при $k=6$), мы можем записать:$ctg(7\pi - x) = ctg(6\pi + \pi - x) = ctg(\pi - x)$

Далее применим формулу приведения: $ctg(\pi - x) = -ctg(x)$.Таким образом, мы установили, что $ctg(7\pi - x) = -ctg(x)$.

Согласно условию задачи, $ctg(7\pi - x) = \frac{5}{7}$. Подставляя это значение в полученное равенство, получаем:$-ctg(x) = \frac{5}{7}$

Отсюда, умножая обе части на -1, находим $ctg(x)$:$ctg(x) = -\frac{5}{7}$
Ответ: $ctg(x) = -\frac{5}{7}$.

tg x

Значения тангенса и котангенса для одного и того же угла связаны соотношением $tg(x) = \frac{1}{ctg(x)}$.

Зная, что $ctg(x) = -\frac{5}{7}$, мы можем найти $tg(x)$:$tg(x) = \frac{1}{-\frac{5}{7}} = -\frac{7}{5}$
Ответ: $tg(x) = -\frac{7}{5}$.

Постройте график функции:

20.18. а) $y = \text{ctg} \left(x + \frac{\pi}{2}\right)$;

б) $y = \text{ctg} x + 1$;

в) $y = \text{ctg} \left(x - \frac{\pi}{3}\right)$;

г) $y = \text{ctg} x - 2$.

а) Для построения графика функции $y = \operatorname{ctg}(x + \frac{\pi}{2})$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \operatorname{ctg} x$.

Данное преобразование имеет вид $y = f(x + a)$, где $f(x) = \operatorname{ctg} x$ и $a = \frac{\pi}{2}$. Это соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ вдоль оси абсцисс (оси Ox) на $a$ единиц влево, так как $a > 0$.

Таким образом, чтобы построить график функции $y = \operatorname{ctg}(x + \frac{\pi}{2})$, необходимо сдвинуть график функции $y = \operatorname{ctg} x$ на $\frac{\pi}{2}$ влево.

При этом:

• Вертикальные асимптоты графика $y = \operatorname{ctg} x$, имеющие вид $x = k\pi, k \in \mathbb{Z}$, смещаются влево на $\frac{\pi}{2}$ и становятся $x = k\pi - \frac{\pi}{2}$.
• Нули функции, находившиеся в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$, смещаются в точки $x = \frac{\pi}{2} + k\pi - \frac{\pi}{2} = k\pi$.

Также можно использовать формулу приведения: $\operatorname{ctg}(x + \frac{\pi}{2}) = -\operatorname{tg} x$. Это означает, что искомый график является графиком функции $y = \operatorname{tg} x$, отраженным симметрично относительно оси Ox.
Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg}(x + \frac{\pi}{2})$ получается путем сдвига графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ на $\frac{\pi}{2}$ единиц влево вдоль оси Ox.

б) Для построения графика функции $y = \operatorname{ctg} x + 1$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \operatorname{ctg} x$.

Данное преобразование имеет вид $y = f(x) + b$, где $f(x) = \operatorname{ctg} x$ и $b = 1$. Это соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ вдоль оси ординат (оси Oy) на $b$ единиц вверх, так как $b > 0$.

Таким образом, чтобы построить график функции $y = \operatorname{ctg} x + 1$, необходимо сдвинуть график функции $y = \operatorname{ctg} x$ на 1 единицу вверх.

При этом:

• Вертикальные асимптоты $x = k\pi, k \in \mathbb{Z}$ не изменяются.
• Каждая точка графика смещается на 1 единицу вверх. Например, точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ перейдет в точку $(\frac{\pi}{2}, 1)$, а точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ перейдет в точку $(\frac{\pi}{4}, 2)$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg} x + 1$ получается путем сдвига графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

в) Для построения графика функции $y = \operatorname{ctg}(x - \frac{\pi}{3})$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \operatorname{ctg} x$.

Данное преобразование имеет вид $y = f(x - a)$, где $f(x) = \operatorname{ctg} x$ и $a = \frac{\pi}{3}$. Это соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ вдоль оси абсцисс (оси Ox) на $a$ единиц вправо, так как $a > 0$.

Таким образом, чтобы построить график функции $y = \operatorname{ctg}(x - \frac{\pi}{3})$, необходимо сдвинуть график функции $y = \operatorname{ctg} x$ на $\frac{\pi}{3}$ вправо.

При этом:

• Вертикальные асимптоты графика $y = \operatorname{ctg} x$, имеющие вид $x = k\pi, k \in \mathbb{Z}$, смещаются вправо на $\frac{\pi}{3}$ и становятся $x = k\pi + \frac{\pi}{3}$.
• Нули функции, находившиеся в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$, смещаются в точки $x = \frac{\pi}{2} + k\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + k\pi$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg}(x - \frac{\pi}{3})$ получается путем сдвига графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ на $\frac{\pi}{3}$ единиц вправо вдоль оси Ox.

г) Для построения графика функции $y = \operatorname{ctg} x - 2$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \operatorname{ctg} x$.

Данное преобразование имеет вид $y = f(x) + b$, где $f(x) = \operatorname{ctg} x$ и $b = -2$. Это соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ вдоль оси ординат (оси Oy) на $|b|$ единиц вниз, так как $b < 0$.

Таким образом, чтобы построить график функции $y = \operatorname{ctg} x - 2$, необходимо сдвинуть график функции $y = \operatorname{ctg} x$ на 2 единицы вниз.

При этом:

• Вертикальные асимптоты $x = k\pi, k \in \mathbb{Z}$ не изменяются.
• Каждая точка графика смещается на 2 единицы вниз. Например, точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ перейдет в точку $(\frac{\pi}{2}, -2)$, а точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ перейдет в точку $(\frac{\pi}{4}, -1)$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg} x - 2$ получается путем сдвига графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

20.19. a) $y = 2 \operatorname{tg} x;$

б) $y = -0,5 \operatorname{ctg} x;$

В) $y = \operatorname{tg} 2x;$

Г) $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{2}.$

а) $y = 2 \tg x$

Данная функция является преобразованием основной функции тангенса $y = \tg x$. График функции $y = 2 \tg x$ получается из графика $y = \tg x$ путем растяжения вдоль оси ординат (оси OY) в 2 раза.

Основные свойства функции:

• Область определения: Функция определена для всех $x$, кроме тех, где $\cos x = 0$. $D(y): x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: Растяжение по оси Y не меняет область значений тангенса. $E(y): (-\infty; +\infty)$.
• Период: Период функции $y = A \tg(kx)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$. В данном случае $A=2, k=1$, поэтому период не изменяется. $T = \pi$.
• Нули функции: $y = 0$ при $2 \tg x = 0$, то есть $\tg x = 0$. $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Четность: Функция является нечетной, так как $y(-x) = 2 \tg(-x) = -2 \tg x = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Промежутки монотонности: Функция возрастает на всей области определения.
• Асимптоты: Вертикальные асимптоты — прямые $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Область определения: $x \in \mathbb{R}, x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$. Период: $T=\pi$. Нули функции: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Функция нечетная, возрастающая. Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $y = -0,5 \ctg x$

Данная функция является преобразованием основной функции котангенса $y = \ctg x$. График функции $y = -0,5 \ctg x$ получается из графика $y = \ctg x$ путем сжатия вдоль оси ординат в 2 раза (коэффициент 0,5) и последующего зеркального отражения относительно оси абсцисс (оси OX) из-за знака минус.

Основные свойства функции:

• Область определения: Функция определена для всех $x$, кроме тех, где $\sin x = 0$. $D(y): x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: Преобразования не меняют область значений котангенса. $E(y): (-\infty; +\infty)$.
• Период: Период функции $y = A \ctg(kx)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$. В данном случае $A=-0,5, k=1$, поэтому период не изменяется. $T = \pi$.
• Нули функции: $y = 0$ при $-0,5 \ctg x = 0$, то есть $\ctg x = 0$. $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Четность: Функция является нечетной, так как $y(-x) = -0,5 \ctg(-x) = -0,5(-\ctg x) = 0,5 \ctg x = -y(x)$ (ошибка в рассуждении, $y(-x) = -0.5(-\ctg x) = 0.5 \ctg x$. А $-y(x) = -(-0.5 \ctg x) = 0.5 \ctg x$. Значит $y(-x)=-y(x)$ верно). Функция нечетная. График симметричен относительно начала координат.
• Промежутки монотонности: Функция $y = \ctg x$ является убывающей. Из-за умножения на отрицательный коэффициент (-0,5) функция $y = -0,5 \ctg x$ становится возрастающей на всей области определения.
• Асимптоты: Вертикальные асимптоты — прямые $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Область определения: $x \in \mathbb{R}, x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$. Период: $T=\pi$. Нули функции: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Функция нечетная, возрастающая. Вертикальные асимптоты: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $y = \tg 2x$

Данная функция является преобразованием основной функции тангенса $y = \tg x$. График функции $y = \tg 2x$ получается из графика $y = \tg x$ путем сжатия вдоль оси абсцисс (оси OX) в 2 раза.

Основные свойства функции:

• Область определения: Функция определена, когда аргумент тангенса $2x$ не равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$. $2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: Сжатие по оси OX не меняет область значений. $E(y): (-\infty; +\infty)$.
• Период: Период функции $y = \tg(kx)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$. В данном случае $k=2$. $T = \frac{\pi}{2}$.
• Нули функции: $y = 0$ при $\tg 2x = 0$, то есть $2x = \pi n$. $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.
• Четность: Функция является нечетной, так как $y(-x) = \tg(2(-x)) = \tg(-2x) = -\tg(2x) = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Промежутки монотонности: Функция возрастает на всей области определения.
• Асимптоты: Вертикальные асимптоты — прямые $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Область определения: $x \in \mathbb{R}, x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$. Период: $T=\frac{\pi}{2}$. Нули функции: $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$. Функция нечетная, возрастающая. Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

г) $y = \ctg \frac{x}{2}$

Данная функция является преобразованием основной функции котангенса $y = \ctg x$. График функции $y = \ctg \frac{x}{2}$ получается из графика $y = \ctg x$ путем растяжения вдоль оси абсцисс (оси OX) в 2 раза.

Основные свойства функции:

• Область определения: Функция определена, когда аргумент котангенса $\frac{x}{2}$ не равен $\pi n$. $\frac{x}{2} \neq \pi n \Rightarrow x \neq 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: Растяжение по оси OX не меняет область значений. $E(y): (-\infty; +\infty)$.
• Период: Период функции $y = \ctg(kx)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$. В данном случае $k=\frac{1}{2}$. $T = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$.
• Нули функции: $y = 0$ при $\ctg \frac{x}{2} = 0$, то есть $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$. $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Четность: Функция является нечетной, так как $y(-x) = \ctg\left(\frac{-x}{2}\right) = \ctg\left(-\frac{x}{2}\right) = -\ctg\left(\frac{x}{2}\right) = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Промежутки монотонности: Функция убывает на всей области определения.
• Асимптоты: Вертикальные асимптоты — прямые $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Область определения: $x \in \mathbb{R}, x \neq 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$. Период: $T=2\pi$. Нули функции: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Функция нечетная, убывающая. Вертикальные асимптоты: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

20.20. Исследуйте заданную функцию на монотонность:

а) $y = 2\operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 1;$

в) $y = -\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - 3;$

б) $y = \operatorname{ctg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 2;$

г) $y = -2\operatorname{ctg}\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1,5.$

а) $y = 2 \operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 1$

Для исследования функции на монотонность воспользуемся свойствами базовой функции $y=\operatorname{tg}(t)$ и влиянием преобразований. Функция $y=\operatorname{tg}(t)$ является возрастающей на каждом интервале своей области определения. Данная функция получена из $y=\operatorname{tg}(t)$ с помощью сдвигов и растяжения вдоль оси Oy с коэффициентом $k=2$. Так как коэффициент $k=2 > 0$, характер монотонности сохраняется. Сдвиги по осям не влияют на характер монотонности. Следовательно, функция $y = 2 \operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 1$ является возрастающей на каждом интервале своей области определения. Найдем область определения. Аргумент тангенса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$: $x - \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ $x \neq \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} + \pi n$ $x \neq \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Интервалы, на которых функция определена и возрастает, находятся из условия: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x - \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} + \pi n$. Перенеся $\frac{\pi}{3}$ в левую и правую части, получаем: $-\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на каждом из интервалов вида $\left(-\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{5\pi}{6} + \pi n\right), n \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \operatorname{ctg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 2$

Базовая функция $y=\operatorname{ctg}(t)$ является убывающей на каждом интервале своей области определения. Данная функция получена из $y=\operatorname{ctg}(t)$ с помощью сдвигов. Коэффициент перед котангенсом равен $k=1 > 0$, поэтому характер монотонности не изменяется. Следовательно, функция $y = \operatorname{ctg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 2$ является убывающей на каждом интервале своей области определения. Найдем область определения. Аргумент котангенса не должен быть равен $\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$: $x + \frac{\pi}{3} \neq \pi n$ $x \neq -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Интервалы, на которых функция определена и убывает, находятся из условия: $\pi n < x + \frac{\pi}{3} < \pi + \pi n$. Перенеся $\frac{\pi}{3}$ в левую и правую части, получаем: $-\frac{\pi}{3} + \pi n < x < \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция убывает на каждом из интервалов вида $\left(-\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{2\pi}{3} + \pi n\right), n \in \mathbb{Z}$.

в) $y = -\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - 3$

Базовая функция $y=\operatorname{tg}(t)$ является возрастающей. Данная функция получена из $y=\operatorname{tg}(t)$ с помощью сдвигов и умножения на коэффициент $k=-1$. Так как коэффициент $k=-1 < 0$, характер монотонности меняется на противоположный, то есть функция становится убывающей. Сдвиги на характер монотонности не влияют. Следовательно, функция $y = -\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - 3$ является убывающей на каждом интервале своей области определения. Найдем область определения. Аргумент тангенса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$: $x + \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ $x \neq \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n$ $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Интервалы убывания: $\left(-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n\right)$, то есть $\left(-\frac{3\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n\right), n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция убывает на каждом из интервалов вида $\left(-\frac{3\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n\right), n \in \mathbb{Z}$.

г) $y = -2 \operatorname{ctg}\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1,5$

Базовая функция $y=\operatorname{ctg}(t)$ является убывающей. Данная функция получена из $y=\operatorname{ctg}(t)$ с помощью сдвигов и умножения на коэффициент $k=-2$. Так как коэффициент $k=-2 < 0$, характер монотонности меняется на противоположный. Убывающая функция становится возрастающей. Следовательно, функция $y = -2 \operatorname{ctg}\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1,5$ является возрастающей на каждом интервале своей области определения. Найдем область определения. Аргумент котангенса не должен быть равен $\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$: $x - \frac{\pi}{6} \neq \pi n$ $x \neq \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Интервалы возрастания: $\left(0 + \frac{\pi}{6} + \pi n; \pi + \frac{\pi}{6} + \pi n\right)$, то есть $\left(\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{7\pi}{6} + \pi n\right), n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на каждом из интервалов вида $\left(\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{7\pi}{6} + \pi n\right), n \in \mathbb{Z}$.

Постройте график функции:

20.21. а) $y = |\operatorname{tg} x|;$

б) $y = \operatorname{tg} |x|;$

в) $y = |\operatorname{ctg} x|;$

г) $y = \operatorname{ctg} |x|.$

а) $y = |\tg x|$

Для построения графика функции $y = |\tg x|$ необходимо выполнить преобразование графика функции $y = \tg x$.

1. Сначала построим график функции $y = \tg x$. Это периодическая функция (тангенсоида) с периодом $T = \pi$. Она имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целые числа), и пересекает ось абсцисс в точках $x = \pi n$.
2. Правило построения графика функции $y = |f(x)|$ из графика $y = f(x)$ заключается в следующем:
   • Части графика, которые лежат на оси абсцисс или выше неё (где $f(x) \ge 0$), остаются без изменений.
   • Части графика, которые лежат ниже оси абсцисс (где $f(x) < 0$), отражаются симметрично относительно оси абсцисс.
3. Применим это правило к тангенсоиде. На интервалах вида $[\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$ тангенс неотрицателен, поэтому эти участки графика остаются на месте. На интервалах вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n)$ тангенс отрицателен, поэтому эти участки графика, лежащие под осью Ох, отражаются симметрично вверх.

Ответ: График функции $y = |\tg x|$ получается из графика $y = \tg x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс всех его частей, лежащих ниже этой оси. В результате весь график располагается в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ и период $T=\pi$ сохраняются.

б) $y = \tg |x|$

Для построения графика функции $y = \tg |x|$ необходимо выполнить преобразование графика функции $y = \tg x$.

1. Данная функция является четной, так как $y(-x) = \tg|-x| = \tg|x| = y(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (Оу).
2. Правило построения графика функции $y = f(|x|)$ из графика $y = f(x)$ заключается в следующем:
   • Строится график функции $y = f(x)$ для $x \ge 0$.
   • Построенная часть графика отражается симметрично относительно оси Оу. При этом часть исходного графика для $x < 0$ удаляется.
3. Применим это правило. Сначала строим график $y = \tg x$ для $x \ge 0$. Эта часть графика проходит через начало координат и имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \dots$ (то есть $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ при $n \ge 0$).
4. Затем отражаем эту часть графика симметрично относительно оси Оу. Асимптоты также отразятся, и появятся асимптоты в точках $x = -\frac{\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2}, \dots$.

Ответ: График функции $y = \tg|x|$ получается так: строится график $y = \tg x$ для $x \ge 0$, а затем эта часть отражается симметрично относительно оси Оу. Итоговый график симметричен относительно оси ординат, проходит через точку $(0,0)$ и имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \pm(\frac{\pi}{2} + \pi n)$ для $n = 0, 1, 2, \dots$.

в) $y = |\ctg x|$

Построение этого графика аналогично пункту а). Используется преобразование $y = |f(x)|$ для функции $y = \ctg x$.

1. Сначала построим график функции $y = \ctg x$. Это периодическая функция (котангенсоида) с периодом $T = \pi$. Она имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$, и пересекает ось абсцисс в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.
2. Применяем преобразование $y = |f(x)|$. Части графика $y = \ctg x$, лежащие на оси Ох или выше неё, остаются на месте. Части графика, лежащие ниже оси Ох, отражаются симметрично относительно этой оси.
3. На интервалах вида $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n]$ котангенс неотрицателен, поэтому эти участки графика остаются без изменений. На интервалах вида $(\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi (n+1))$ котангенс отрицателен, и эти участки отражаются симметрично вверх.

Ответ: График функции $y = |\ctg x|$ получается из графика $y = \ctg x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс тех его частей, которые лежат ниже этой оси. Полученный график полностью расположен в верхней полуплоскости ($y \ge 0$), имеет те же вертикальные асимптоты $x = \pi n$ и период $T=\pi$, что и котангенсоида.

г) $y = \ctg |x|$

Построение этого графика аналогично пункту б). Используется преобразование $y = f(|x|)$ для функции $y = \ctg x$.

1. Функция $y = \ctg |x|$ является четной, так как $y(-x) = \ctg|-x| = \ctg|x| = y(x)$. Её график симметричен относительно оси ординат (Оу).
2. Для построения графика сначала строим график функции $y = \ctg x$ для $x > 0$. (При $x=0$ функция не определена). Эта часть графика имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \pi, 2\pi, 3\pi, \dots$ (то есть $x = \pi n$ при $n > 0$), а также в точке $x=0$.
3. Затем отражаем построенную для $x > 0$ часть графика симметрично относительно оси Оу. Асимптота $x=0$ останется на месте, а асимптоты $x = \pi n$ для $n > 0$ отразятся в асимптоты $x = -\pi n$.

Ответ: График функции $y = \ctg|x|$ строится следующим образом: строится график $y = \ctg x$ для $x > 0$, а затем эта часть графика симметрично отражается относительно оси Оу. Итоговый график симметричен относительно оси ординат и имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \pi n$ для всех целых $n \in \mathbb{Z}$ (включая $x=0$).

20.22. a) $y = \operatorname{tg} x + |\operatorname{tg} x|;$

б) $y = |\operatorname{ctg} x| - \operatorname{ctg} x.$

20.23. a) $y = \operatorname{tg} x |\operatorname{ctg} x|$;

б) $y = |\operatorname{tg} x| \operatorname{ctg} x.$

а) $y = \tg x |\ctg x|$

1. Найдём область определения функции (ОДЗ).
Для существования функции $\tg x$ необходимо, чтобы $\cos x \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Для существования функции $\ctg x$ необходимо, чтобы $\sin x \neq 0$, что означает $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Объединяя эти два условия, получаем, что функция определена при $x \neq \frac{\pi m}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

2. Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $\ctg x$.

Случай 1: $\ctg x > 0$.
Это неравенство справедливо для углов в I и III координатных четвертях, то есть при $x \in (\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $|\ctg x| = \ctg x$.
Функция принимает вид: $y = \tg x \cdot \ctg x$.
На всей области определения справедливо тождество $\tg x \cdot \ctg x = 1$.
Следовательно, в этом случае $y = 1$.

Случай 2: $\ctg x < 0$.
Это неравенство справедливо для углов во II и IV координатных четвертях, то есть при $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k; \pi(k+1))$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $|\ctg x| = -\ctg x$.
Функция принимает вид: $y = \tg x \cdot (-\ctg x) = -(\tg x \cdot \ctg x)$.
Используя тождество $\tg x \cdot \ctg x = 1$, получаем $y = -1$.

Таким образом, мы получили кусочно-постоянную функцию. Её можно представить в виде системы.

Ответ: $y = \begin{cases} 1, & \text{если } x \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k) \\ -1, & \text{если } x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi(k+1)) \end{cases}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = |\tg x| \ctg x$

1. Найдём область определения функции (ОДЗ).
Как и в предыдущем пункте, функция определена, когда одновременно существуют $\tg x$ и $\ctg x$.
ОДЗ: $x \neq \frac{\pi m}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

2. Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $\tg x$.

Случай 1: $\tg x > 0$.
Это неравенство, как и $\ctg x > 0$, справедливо для углов в I и III координатных четвертях, то есть при $x \in (\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $|\tg x| = \tg x$.
Функция принимает вид: $y = \tg x \cdot \ctg x = 1$.

Случай 2: $\tg x < 0$.
Это неравенство, как и $\ctg x < 0$, справедливо для углов во II и IV координатных четвертях, то есть при $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k; \pi(k+1))$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $|\tg x| = -\tg x$.
Функция принимает вид: $y = (-\tg x) \cdot \ctg x = -(\tg x \cdot \ctg x) = -1$.

Знаки функций $\tg x$ и $\ctg x$ совпадают на всей их общей области определения. Поэтому условия $\tg x > 0$ и $\ctg x > 0$ определяют одни и те же интервалы, так же как и условия $\tg x < 0$ и $\ctg x < 0$. Это означает, что данная функция идентична функции из пункта а).

Ответ: $y = \begin{cases} 1, & \text{если } x \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k) \\ -1, & \text{если } x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi(k+1)) \end{cases}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

20.24. a) $y = 2 \operatorname{tg}x \operatorname{ctg}x + |x|;$б) $y = \operatorname{tg}x \operatorname{ctg}x + \sqrt{x}.$

Рассмотрим функцию $y = 2\tg x \ctg x + |x|$.

Первым шагом найдем область определения данной функции (ОДЗ). Функция $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ определена, когда ее знаменатель не равен нулю, то есть $\cos x \neq 0$. Это выполняется при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$. Функция $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$ определена, когда ее знаменатель не равен нулю, то есть $\sin x \neq 0$. Это выполняется при $x \neq \pi m, m \in \mathbb{Z}$. Функция $|x|$ определена для всех действительных чисел $x$.

Для того чтобы исходная функция была определена, должны одновременно существовать $\tg x$ и $\ctg x$. Объединяя два условия для тригонометрических функций, получаем, что $x$ не должен принимать значения вида $\frac{\pi m}{2}$ для любого целого числа $m$.

Итак, область определения функции: $D(y): x \neq \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.

Теперь упростим выражение для функции. На всей области определения справедливо основное тригонометрическое тождество $\tg x \cdot \ctg x = 1$. Подставив это в исходное уравнение, получаем:

$y = 2(1) + |x| = 2 + |x|$.

Таким образом, исходная функция эквивалентна функции $y = 2 + |x|$, но рассматривается на более узкой области определения $x \neq \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$. График этой функции представляет собой график модуля $y = |x|$, смещенный на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$, с выколотыми точками, абсциссы которых равны $\frac{\pi m}{2}$ (например, ..., $-\pi$, $-\frac{\pi}{2}$, $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, ...). В частности, точка $(0, 2)$ выколота.

Ответ: $y = 2 + |x|$ при $x \neq \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим функцию $y = \tg x \ctg x + \sqrt{x}$.

Найдем область определения функции. Как и в пункте а), существование произведения $\tg x \cdot \ctg x$ требует, чтобы $x \neq \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$. Кроме того, выражение $\sqrt{x}$ определено только для неотрицательных значений аргумента, то есть $x \ge 0$.

Объединим все условия. С одной стороны, $x \ge 0$. С другой стороны, $x \neq \frac{\pi m}{2}$ для целых $m$. Учитывая, что $x$ должен быть неотрицательным, $m$ может принимать только неотрицательные целые значения: $m = 0, 1, 2, 3, ...$. При $m=0$ получаем $x \neq 0$. Таким образом, область определения состоит из всех положительных чисел, за исключением чисел вида $\frac{\pi n}{2}$, где $n$ — натуральное число.

Итак, область определения функции: $D(y): x > 0, x \neq \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{N}$.

Упростим выражение. На найденной области определения $\tg x \cdot \ctg x = 1$. Подставив это в исходное уравнение, получаем:

$y = 1 + \sqrt{x}$.

Следовательно, исходная функция эквивалентна функции $y = 1 + \sqrt{x}$ при $x > 0$ и $x \neq \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{N}$. График этой функции — это график квадратного корня $y = \sqrt{x}$, смещенный на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$. При этом из графика исключается начальная точка $(0,1)$ и все точки с абсциссами вида $\frac{\pi n}{2}$ для натуральных $n$.

Ответ: $y = 1 + \sqrt{x}$ при $x > 0, x \neq \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{N}$.

20.25. a) $y = \sin^2(\operatorname{tg} x) + \cos^2(\operatorname{tg} x)$;

б) $y = 3 \cos^2(\operatorname{ctg} x) + 3 \sin^2(\operatorname{ctg} x)$.

а) Дана функция $y = \sin^2(\operatorname{tg} x) + \cos^2(\operatorname{tg} x)$.
Для упрощения этого выражения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, которое гласит, что для любого действительного аргумента $\alpha$ справедливо равенство: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.
В данном случае в качестве аргумента $\alpha$ выступает выражение $\operatorname{tg} x$.
Подставив $\alpha = \operatorname{tg} x$ в тождество, получаем:
$y = \sin^2(\operatorname{tg} x) + \cos^2(\operatorname{tg} x) = 1$.
Это равенство выполняется для всех значений $x$, для которых определена функция $\operatorname{tg} x$. Область определения тангенса — все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Таким образом, на всей своей области определения функция тождественно равна 1.
Ответ: $y = 1$.

б) Дана функция $y = 3\cos^2(\operatorname{ctg} x) + 3\sin^2(\operatorname{ctg} x)$.
Для упрощения выражения сначала вынесем общий множитель 3 за скобки:
$y = 3(\cos^2(\operatorname{ctg} x) + \sin^2(\operatorname{ctg} x))$.
Выражение в скобках, $\cos^2(\operatorname{ctg} x) + \sin^2(\operatorname{ctg} x)$, является частным случаем основного тригонометрического тождества $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$, где в качестве аргумента $\alpha$ выступает $\operatorname{ctg} x$.
Следовательно, выражение в скобках равно 1.
Подставив это значение в наше уравнение, получаем:
$y = 3 \cdot 1 = 3$.
Это равенство выполняется для всех значений $x$, для которых определена функция $\operatorname{ctg} x$. Область определения котангенса — все действительные числа, кроме $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Таким образом, на всей своей области определения функция тождественно равна 3.
Ответ: $y = 3$.

20.26. a) $y = -\operatorname{tg}(\cos x) \cdot \operatorname{ctg}(\cos x);$

б) $y = -2\operatorname{tg}(\sin x) \cdot \operatorname{ctg}(\sin x).$

Дана функция $y = -\tg(\cos x) \cdot \ctg(\cos x)$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и котангенс одного и того же аргумента: $\tg(\alpha) \cdot \ctg(\alpha) = 1$.

Это тождество справедливо только в области определения обеих функций, то есть когда $\tg(\alpha)$ и $\ctg(\alpha)$ существуют.

В данном случае аргументом является $\alpha = \cos x$.

Найдем область определения данной функции (ОДЗ). Для этого необходимо, чтобы существовали $\tg(\cos x)$ и $\ctg(\cos x)$.

1. Функция $\tg(\cos x)$ определена, если ее знаменатель в определении $\frac{\sin(\cos x)}{\cos(\cos x)}$ не равен нулю, то есть $\cos(\cos x) \neq 0$. Это означает, что $\cos x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Поскольку область значений косинуса $[-1, 1]$, а $|\frac{\pi}{2} + \pi k| \ge \frac{\pi}{2} \approx 1.57$ для любого целого $k$, то равенство $\cos x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ никогда не выполняется. Следовательно, $\tg(\cos x)$ определен для любого действительного $x$.

2. Функция $\ctg(\cos x)$ определена, если ее знаменатель в определении $\frac{\cos(\cos x)}{\sin(\cos x)}$ не равен нулю, то есть $\sin(\cos x) \neq 0$. Это означает, что $\cos x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Учитывая, что $|\cos x| \le 1$, единственное значение из множества $\pi k$, которое может принимать $\cos x$, — это $0$ (при $k=0$).

Таким образом, единственное ограничение для области определения исходной функции — это $\cos x \neq 0$.

Решая уравнение $\cos x = 0$, получаем $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Значит, область определения функции: все $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

На всей области определения справедливо равенство $\tg(\cos x) \cdot \ctg(\cos x) = 1$.

Тогда исходная функция упрощается: $y = -1 \cdot 1 = -1$.

Ответ: $y = -1$ при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Дана функция $y = -2\tg(\sin x) \cdot \ctg(\sin x)$.

Аналогично предыдущему пункту, используем тождество $\tg(\alpha) \cdot \ctg(\alpha) = 1$, где на этот раз $\alpha = \sin x$.

Найдем область определения данной функции (ОДЗ). Выражение имеет смысл, когда определены $\tg(\sin x)$ и $\ctg(\sin x)$.

1. Функция $\tg(\sin x)$ определена, если $\cos(\sin x) \neq 0$. Это означает, что $\sin x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Поскольку область значений синуса $[-1, 1]$, а $|\frac{\pi}{2} + \pi k| \ge \frac{\pi}{2} \approx 1.57$ для любого целого $k$, равенство $\sin x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ никогда не достигается. Следовательно, $\tg(\sin x)$ определен для всех действительных $x$.

2. Функция $\ctg(\sin x)$ определена, если $\sin(\sin x) \neq 0$. Это означает, что $\sin x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Учитывая, что $|\sin x| \le 1$, единственное значение из множества $\pi k$, которое может принимать $\sin x$, — это $0$ (при $k=0$).

Следовательно, для существования функции необходимо, чтобы $\sin x \neq 0$.

Решая уравнение $\sin x = 0$, получаем $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, область определения функции: все $x$, кроме $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

На всей области определения выполняется равенство $\tg(\sin x) \cdot \ctg(\sin x) = 1$.

Тогда исходную функцию можно упростить: $y = -2 \cdot 1 = -2$.

Ответ: $y = -2$ при $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.