Страница 145, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Найдите $y_{\text{наим}}$, $y_{\text{наиб}}$ для функции $y=\sin x$.

1.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \sin x$, необходимо проанализировать ее область значений.

Функция синуса, $y = \sin x$, является одной из основных тригонометрических функций. Ее значение по определению равно ординате (координате $y$) точки на единичной окружности, которая соответствует углу $x$.

Радиус единичной окружности равен 1. Координаты точек на ней изменяются в следующих пределах:

• координата по оси абсцисс (косинус) изменяется от $-1$ до $1$;
• координата по оси ординат (синус) также изменяется от $-1$ до $1$.

Наименьшее значение ординаты на единичной окружности равно $-1$. Это значение достигается в самой нижней точке окружности, когда угол $x$ равен $-\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$, и повторяется с периодом $2\pi$. То есть, $\sin x = -1$ при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число. Следовательно, наименьшее значение функции (обозначается как $y_{наим}$) равно $-1$.

Наибольшее значение ординаты на единичной окружности равно $1$. Это значение достигается в самой верхней точке окружности, когда угол $x$ равен $\frac{\pi}{2}$, и также повторяется с периодом $2\pi$. То есть, $\sin x = 1$ при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число. Следовательно, наибольшее значение функции (обозначается как $y_{наиб}$) равно $1$.

Таким образом, область значений функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1; 1]$, что можно записать в виде двойного неравенства: $-1 \le \sin x \le 1$.

Ответ: $y_{наим} = -1$, $y_{наиб} = 1$.

2. Найдите $E(f)$ для функции $y = \sin x$.

2.

В задаче требуется найти область значений $E(f)$ для функции $y = \sin x$. Областью значений функции называется множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная $y$ при всех допустимых значениях независимой переменной $x$.

Функция $y = \sin x$ является тригонометрической. Её значение для любого угла $x$ можно определить с помощью единичной окружности. Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1.

Синус угла $x$ по определению равен ординате (координате $y$) точки на единичной окружности, которая соответствует данному углу.

Поскольку радиус окружности равен 1, максимальное значение ординаты точки на ней равно 1 (в точке $(0, 1)$, что соответствует углу $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — целое число), а минимальное значение ординаты равно -1 (в точке $(0, -1)$, что соответствует углу $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ или $\frac{3\pi}{2} + 2\pi k$).

Таким образом, для любого действительного числа $x$, значение $\sin x$ заключено между -1 и 1. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$-1 \le \sin x \le 1$

Функция $y = \sin x$ является непрерывной, а значит, она принимает все значения между своим минимумом и максимумом. Следовательно, множество всех значений, которые может принимать функция, — это отрезок от -1 до 1.

Ответ: $E(f) = [-1; 1]$.

3. Объясните, почему для функции $y = \sin x$ на любом числовом промежутке длиной 7 справедливы соотношения $y_{\text{наим}} = -1$, $y_{\text{наиб}} = 1$.

Функция $y = \sin x$ является периодической. Ее основной (наименьший положительный) период равен $T = 2\pi$. Область значений функции — отрезок $[-1, 1]$, следовательно, ее глобальное наименьшее значение равно -1, а глобальное наибольшее значение равно 1.

Наибольшее значение $y_{наиб} = 1$ функция принимает в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число. Наименьшее значение $y_{наим} = -1$ функция принимает в точках $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.

Чтобы гарантировать, что на некотором числовом промежутке функция примет и свое наибольшее, и свое наименьшее значение, длина этого промежутка должна быть не меньше, чем расстояние между точкой максимума и точкой минимума, а чтобы это было верно для любого промежутка, его длина должна быть не меньше периода. За один период функция проходит полный цикл и принимает все возможные значения из своей области значений.

В задаче указана длина числового промежутка, равная 7. Сравним эту длину с периодом функции $y = \sin x$.

Период $T = 2\pi$. Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3.14159...$

$T = 2\pi \approx 2 \times 3.14159 = 6.28318...$

Сравнивая длину промежутка 7 и период $2\pi$, получаем:

$7 > 6.28318...$, то есть $7 > 2\pi$.

Поскольку длина любого рассматриваемого промежутка (7) больше, чем период функции $\sin x$ ($2\pi$), такой промежуток всегда будет содержать в себе как минимум один полный цикл функции. В течение одного полного цикла функция $\sin x$ гарантированно достигает своего максимума (1) и минимума (-1). Следовательно, на любом числовом промежутке длиной 7 всегда найдутся точки, в которых $y = 1$ и $y = -1$.

Ответ: Соотношения $y_{наим} = -1$ и $y_{наиб} = 1$ справедливы, потому что длина заданного промежутка (7) больше, чем период функции $y = \sin x$, который равен $2\pi \approx 6.28$. Это гарантирует, что на любом таком промежутке функция успеет принять все значения из своей области [-1, 1], включая наименьшее и наибольшее.

4. Можно ли утверждать, что функция $y = \sin x$ ограничена снизу? ограничена сверху?

ограничена снизу?

Функция называется ограниченной снизу на некотором множестве, если существует такое число $m$, что для любого аргумента $x$ из этого множества выполняется неравенство $y(x) \ge m$.

Для функции $y = \sin x$ областью определения являются все действительные числа. Известно, что область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ значение $\sin x$ находится в пределах от $-1$ до $1$ включительно. Формально это записывается в виде двойного неравенства: $$-1 \le \sin x \le 1$$ Из левой части этого неравенства, $\sin x \ge -1$, видно, что все значения функции не могут быть меньше $-1$. Таким образом, существует число $m = -1$, которое является нижней границей для значений функции.

Ответ: Да, можно утверждать, что функция $y = \sin x$ ограничена снизу, так как для любого $x$ выполняется неравенство $\sin x \ge -1$.

ограничена сверху?

Функция называется ограниченной сверху на некотором множестве, если существует такое число $M$, что для любого аргумента $x$ из этого множества выполняется неравенство $y(x) \le M$.

Аналогично рассуждениям для ограниченности снизу, обратимся к области значений функции $y = \sin x$, которая представляет собой отрезок $[-1, 1]$. Из двойного неравенства: $$-1 \le \sin x \le 1$$ рассмотрим его правую часть: $\sin x \le 1$. Это неравенство показывает, что ни одно из значений функции не может превышать $1$. Таким образом, существует число $M = 1$, которое является верхней границей для значений функции.

Ответ: Да, можно утверждать, что функция $y = \sin x$ ограничена сверху, так как для любого $x$ выполняется неравенство $\sin x \le 1$.

5. Можно ли утверждать, что функция $y = \sin x$ монотонна на отрезке $[4; 5]$?

Для того чтобы определить, является ли функция $y = \sin x$ монотонной на отрезке $[4; 5]$, необходимо исследовать ее поведение на этом отрезке. Функция является монотонной, если на всем заданном отрезке она только возрастает или только убывает.

Наиболее надежный способ проверки монотонности — это анализ знака ее производной. Если производная функции сохраняет свой знак на всем отрезке (то есть она либо везде неотрицательна, либо везде неположительна), то функция на этом отрезке монотонна.

Найдем производную функции $y = \sin x$:
$y' = (\sin x)' = \cos x$

Теперь исследуем знак производной $y' = \cos x$ на отрезке $[4; 5]$. Важно помнить, что аргументы тригонометрических функций здесь заданы в радианах.

Нам нужно определить, меняет ли $\cos x$ знак на интервале от 4 до 5. Знак косинуса меняется в точках, где он равен нулю, то есть в точках вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое число. Найдем, попадает ли какая-либо из этих точек в наш отрезок.

Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$:
При $k=0, x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$ (не в отрезке $[4; 5]$)
При $k=1, x = \frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \cdot 3.14159}{2} \approx 4.712$
При $k=2, x = \frac{5\pi}{2} \approx \frac{5 \cdot 3.14159}{2} \approx 7.854$ (не в отрезке $[4; 5]$)

Мы видим, что точка $x = \frac{3\pi}{2}$ принадлежит отрезку $[4; 5]$, так как $4 < 4.712 < 5$.

В точке $x = \frac{3\pi}{2}$ производная $y' = \cos x$ равна нулю и меняет свой знак.
- Для $x \in [4, \frac{3\pi}{2})$, аргумент находится в третьей координатной четверти ($\pi \approx 3.14 < x < \frac{3\pi}{2} \approx 4.712$), где $\cos x < 0$. Следовательно, функция $y = \sin x$ на этом промежутке убывает.
- Для $x \in (\frac{3\pi}{2}, 5]$, аргумент находится в четвертой координатной четверти ($\frac{3\pi}{2} \approx 4.712 < x < 2\pi \approx 6.28$), где $\cos x > 0$. Следовательно, функция $y = \sin x$ на этом промежутке возрастает.

Поскольку на отрезке $[4; 5]$ функция $y = \sin x$ сначала убывает, а затем возрастает (то есть имеет точку экстремума внутри отрезка), она не является монотонной.

Ответ: нет, утверждать, что функция $y = \sin x$ монотонна на отрезке $[4; 5]$, нельзя, так как на этом отрезке содержится точка локального минимума $x=\frac{3\pi}{2}$, в которой характер монотонности функции меняется с убывания на возрастание.

6. Найдите $y_{\text{наим}}$, $y_{\text{наиб}}$ для функции $y = \cos x$.

Чтобы найти наименьшее ($y_{наим}$) и наибольшее ($y_{наиб}$) значения для функции $y = \cos x$, необходимо рассмотреть ее область значений.

Функция косинуса определена для всех действительных чисел $x$. По определению, значения функции $y = \cos x$ лежат в отрезке от $-1$ до $1$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $$-1 \le \cos x \le 1$$ Данное неравенство справедливо для любого значения аргумента $x$. Из него напрямую следуют искомые значения.

y_наим

Наименьшее значение функции $y = \cos x$ — это нижняя граница ее области значений. Как видно из неравенства, это значение равно $-1$. Функция достигает этого значения, когда ее аргумент $x$ равен $\pi + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Например, при $x = \pi$, имеем $\cos(\pi) = -1$.
Ответ: $y_{наим} = -1$.

y_наиб

Наибольшее значение функции $y = \cos x$ — это верхняя граница ее области значений. Из неравенства следует, что это значение равно $1$. Функция достигает этого значения, когда ее аргумент $x$ равен $2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Например, при $x = 0$, имеем $\cos(0) = 1$.
Ответ: $y_{наиб} = 1$.

7. Найдите $E(f)$ для функции $y = \cos x$.

Обозначение $E(f)$ используется для указания области значений функции $f(x)$. Задача состоит в том, чтобы найти все возможные значения, которые может принимать функция $y = \cos x$.

Функция косинус, $y = \cos x$, является периодической тригонометрической функцией. Её значение можно определить через единичную окружность (окружность с радиусом 1 и центром в начале координат). Для любого угла $x$ (в радианах), значение $\cos x$ равно абсциссе (координате по оси X) точки на единичной окружности, соответствующей этому углу.

Поскольку любая точка на единичной окружности имеет координаты $(a, b)$, где $a^2 + b^2 = 1$, её абсцисса $a$ (которая и есть $\cos x$) не может быть больше 1 или меньше -1.

Таким образом, для любого действительного значения аргумента $x$, значение функции $\cos x$ всегда будет находиться в пределах от -1 до 1, включая конечные точки. Это можно записать в виде двойного неравенства:
$-1 \le \cos x \le 1$

Функция достигает своего максимального значения, равного 1, при $x = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число (например, $\cos(0) = 1$).
Функция достигает своего минимального значения, равного -1, при $x = \pi + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число (например, $\cos(\pi) = -1$).

Так как функция $y = \cos x$ является непрерывной, она принимает все без исключения значения между своим минимумом (-1) и максимумом (1). Следовательно, область значений функции — это отрезок $[-1, 1]$.

Ответ: $E(f) = [-1, 1]$.

8. Объясните, почему для функции $y = \sin x$ на любом числовом промежутке длиной 10 справедливы соотношения $y_{\text{наим}} = -1$, $y_{\text{наиб}} = 1$.

Функция $y = \sin x$ является периодической функцией, область значений которой — отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ справедливо неравенство $-1 \le \sin x \le 1$. Следовательно, глобальное наибольшее значение функции равно 1, а глобальное наименьшее значение равно -1.

Основной период функции $y = \sin x$ равен $T = 2\pi$. Это значит, что график функции и все ее значения повторяются через каждый интервал длиной $2\pi$. На любом отрезке длиной $2\pi$ функция $\sin x$ принимает все свои значения от -1 до 1 включительно.

Рассмотрим произвольный числовой промежуток длиной 10. Нам нужно доказать, что на любом таком промежутке функция $y = \sin x$ достигает своих значений 1 и -1. Для этого сравним длину промежутка с периодом функции.

Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3.14159$. Тогда период $T = 2\pi \approx 2 \cdot 3.14159 = 6.28318$.

Длина нашего промежутка равна 10. Очевидно, что $10 > 6.28318$, то есть $10 > 2\pi$.

Поскольку длина рассматриваемого промежутка больше, чем период функции $y = \sin x$, на этом промежутке функция гарантированно совершит как минимум одно полное колебание. В течение одного полного колебания функция $\sin x$ проходит через все значения из своей области значений $[-1, 1]$. Следовательно, на этом промежутке она обязательно достигнет своего наибольшего значения $y_{наиб} = 1$ и своего наименьшего значения $y_{наим} = -1$.

Можно доказать это и более строго. Наибольшее значение, равное 1, функция $\sin x$ принимает в точках вида $x_k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Расстояние между двумя соседними такими точками максимума равно $2\pi$. Поскольку длина промежутка, равная 10, больше, чем расстояние между точками максимума ($10 > 2\pi$), в любой такой промежуток обязательно попадет хотя бы одна точка, в которой $\sin x = 1$. Аналогично, наименьшее значение, равное -1, функция принимает в точках вида $x_m = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Расстояние между соседними точками минимума также равно $2\pi$. Так как $10 > 2\pi$, в любой промежуток длиной 10 обязательно попадет и точка, в которой $\sin x = -1$.

Таким образом, для функции $y=\sin x$ на любом числовом промежутке длиной 10 справедливы соотношения $y_{наим} = -1$ и $y_{наиб} = 1$.

Ответ: Длина заданного промежутка, равная 10, больше периода функции $y = \sin x$, который равен $2\pi \approx 6.28$. Любой интервал, длина которого превышает период функции, обязательно содержит в себе все возможные значения функции. Поскольку область значений функции синуса — это отрезок $[-1, 1]$, на любом промежутке длиной 10 функция достигнет как своего наибольшего значения 1, так и наименьшего значения -1.

9. Можно ли утверждать, что функция $y = \cos x$ ограничена снизу? ограничена сверху?

ограничена снизу?

Функция называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge m$. Рассмотрим функцию $y = \cos x$. Область значений этой функции — отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ значение функции $\cos x$ всегда не меньше $-1$. Таким образом, для всех $x \in \mathbb{R}$ выполняется неравенство: $y = \cos x \ge -1$. Мы нашли число $m = -1$, которое является нижней границей для функции. Следовательно, функция ограничена снизу.
Ответ: да, можно утверждать, что функция $y = \cos x$ ограничена снизу.

ограничена сверху?

Функция называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \le M$. Как уже упоминалось, область значений функции $y = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ значение функции $\cos x$ всегда не больше $1$. Таким образом, для всех $x \in \mathbb{R}$ выполняется неравенство: $y = \cos x \le 1$. Мы нашли число $M = 1$, которое является верхней границей для функции. Следовательно, функция ограничена сверху.
Ответ: да, можно утверждать, что функция $y = \cos x$ ограничена сверху.

10. Объясните, почему уравнение $\vert\cos x\vert = 1$ имеет решения на любом числовом промежутке длиной 4.

Для начала решим уравнение $|\cos x| = 1$. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $\cos x = 1$ или $\cos x = -1$.

Решения первого уравнения, $\cos x = 1$, имеют вид $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Решения второго уравнения, $\cos x = -1$, имеют вид $x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти два множества решений, мы получаем все точки, в которых модуль косинуса равен единице. Это точки вида $x = \pi m$, где $m$ — любое целое число ($m \in \mathbb{Z}$). Например, это точки $\ldots, -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, 3\pi, \ldots$.

Теперь рассмотрим расстояние между двумя любыми соседними решениями. Возьмем два соседних решения $\pi m$ и $\pi(m+1)$. Расстояние между ними равно $|\pi(m+1) - \pi m| = |\pi m + \pi - \pi m| = \pi$. Таким образом, решения уравнения расположены на числовой оси на постоянном расстоянии $\pi$ друг от друга.

Нам нужно доказать, что на любом числовом промежутке длиной 4 есть хотя бы одно такое решение. Рассмотрим произвольный числовой промежуток длиной 4, например, интервал $[a, a+4]$. Длина этого промежутка равна 4. Как мы установили, расстояние между соседними корнями уравнения равно $\pi \approx 3.14159$.

Поскольку длина рассматриваемого промежутка, равная 4, больше, чем расстояние между соседними корнями, равное $\pi$, то такой промежуток не может целиком поместиться между двумя соседними корнями. Докажем это от противного. Предположим, что существует промежуток $[a, a+4]$, на котором нет ни одного решения уравнения $|\cos x| = 1$. Это означает, что данный промежуток целиком лежит между двумя соседними решениями, скажем $\pi m$ и $\pi(m+1)$ для некоторого целого $m$.

Математически это означает, что должны выполняться неравенства: $\pi m < a$ и $a+4 < \pi(m+1)$. Из этих двух неравенств следует, что длина промежутка $[a, a+4]$ должна быть меньше, чем расстояние между точками $\pi m$ и $\pi(m+1)$. Длина промежутка $[a, a+4]$ равна 4, а расстояние между точками $\pi m$ и $\pi(m+1)$ равно $\pi$. Следовательно, мы получаем неравенство $4 < \pi$.

Однако это неравенство является ложным, так как мы знаем, что $\pi \approx 3.14159 < 4$. Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, не существует числового промежутка длиной 4, который не содержит решений уравнения $|\cos x| = 1$. Это и доказывает, что на любом числовом промежутке длиной 4 всегда найдется хотя бы одно решение данного уравнения.

Ответ: Решениями уравнения $|\cos x| = 1$ являются числа вида $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Расстояние между двумя последовательными решениями на числовой оси постоянно и равно $\pi$. Так как любой числовой промежуток длиной 4 имеет длину, большую, чем расстояние между соседними решениями ($4 > \pi \approx 3.14159$), он не может оказаться целиком в промежутке между двумя соседними решениями. Следовательно, такой промежуток обязательно содержит хотя бы одно решение.

Решите уравнение:

23.2. a) $6 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0;$

б) $2 \cos^2 3x - 5 \cos 3x - 3 = 0;$

в) $2 \cos^2 x - \cos x - 3 = 0;$

г) $2 \cos^2 \frac{x}{3} + 3 \cos \frac{x}{3} - 2 = 0.$

а) $6 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $\cos x$. Выполним замену переменной. Пусть $t = \cos x$, при этом необходимо учесть, что область значений функции косинус - это отрезок $[-1, 1]$, следовательно $|t| \le 1$.

Подставив $t$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение:

$6t^2 + t - 1 = 0$

Для его решения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25 = 5^2$

Теперь найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Оба найденных значения $t_1 = -1/2$ и $t_2 = 1/3$ удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Следовательно, возвращаемся к исходной переменной $x$, решая два простейших тригонометрических уравнения:

1) $\cos x = -\frac{1}{2}$

$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos x = \frac{1}{3}$

$x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $2 \cos^2 3x - 5 \cos 3x - 3 = 0$

Введем замену переменной $t = \cos 3x$, с условием $|t| \le 1$.

Уравнение принимает вид: $2t^2 - 5t - 3 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Найдем корни:

$t_1 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

Проверим корни. $t_1 = -1/2$ удовлетворяет условию $|t| \le 1$. Корень $t_2 = 3$ не удовлетворяет этому условию, так как $\cos 3x$ не может быть равен 3.

Следовательно, решаем уравнение:

$\cos 3x = -\frac{1}{2}$

$3x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$3x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 3:

$x = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

в) $2 \cos^2 x - \cos x - 3 = 0$

Введем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

Получим уравнение: $2t^2 - t - 3 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

Найдем корни:

$t_1 = \frac{1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$

$t_2 = \frac{1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Корень $t_1 = -1$ удовлетворяет условию $|t| \le 1$. Корень $t_2 = 3/2 = 1.5$ не удовлетворяет условию, поэтому он является посторонним.

Решаем уравнение:

$\cos x = -1$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения.

$x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $2 \cos^2 \frac{x}{3} + 3 \cos \frac{x}{3} - 2 = 0$

Введем замену переменной $t = \cos \frac{x}{3}$, с условием $|t| \le 1$.

Уравнение принимает вид: $2t^2 + 3t - 2 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Найдем корни:

$t_1 = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$

$t_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Корень $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$. Корень $t_2 = 1/2$ удовлетворяет этому условию.

Решаем уравнение:

$\cos \frac{x}{3} = \frac{1}{2}$

$\frac{x}{3} = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Умножим обе части на 3:

$x = \pm \pi + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \pi + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

23.3. a) $2 \sin^2 x + 3 \cos x = 0;$

б) $8 \sin^2 2x + \cos 2x + 1 = 0;$

в) $5 \cos^2 x + 6 \sin x - 6 = 0;$

г) $4 \sin 3x + \cos^2 3x = 4.$

а) $2 \sin^2 x + 3 \cos x = 0$

Для решения данного тригонометрического уравнения приведем его к одной функции. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого выразим $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:$2(1 - \cos^2 x) + 3 \cos x = 0$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:$2 - 2 \cos^2 x + 3 \cos x = 0$
Умножим уравнение на -1 для удобства и расположим слагаемые в стандартном для квадратного уравнения порядке:$2 \cos^2 x - 3 \cos x - 2 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$, при этом необходимо учесть, что область значений косинуса $[-1, 1]$, то есть $|t| \le 1$.Получаем квадратное уравнение:$2t^2 - 3t - 2 = 0$
Найдем его корни с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$
Теперь вернемся к исходной переменной $x$.
1) $\cos x = t_1 = 2$. Данное уравнение не имеет решений, так как $2 > 1$, что не входит в область значений функции косинуса.
2) $\cos x = t_2 = -\frac{1}{2}$. Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решение:$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем:$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $8 \sin^2 2x + \cos 2x + 1 = 0$

В данном уравнении аргумент у обеих тригонометрических функций одинаковый ($2x$). Приведем уравнение к одной функции, используя тождество $\sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x$.
$8(1 - \cos^2 2x) + \cos 2x + 1 = 0$
$8 - 8 \cos^2 2x + \cos 2x + 1 = 0$
$-8 \cos^2 2x + \cos 2x + 9 = 0$
$8 \cos^2 2x - \cos 2x - 9 = 0$
Сделаем замену $t = \cos 2x$, где $|t| \le 1$.$8t^2 - t - 9 = 0$
Решим квадратное уравнение:$D = (-1)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-9) = 1 + 288 = 289 = 17^2$
$t_1 = \frac{1 + 17}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$
$t_2 = \frac{1 - 17}{16} = -\frac{16}{16} = -1$
Вернемся к замене:
1) $\cos 2x = \frac{9}{8}$. Уравнение не имеет решений, так как $\frac{9}{8} > 1$.
2) $\cos 2x = -1$. Это частный случай, решение которого:$2x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $5 \cos^2 x + 6 \sin x - 6 = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество, чтобы выразить $\cos^2 x$ через $\sin^2 x$: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.
$5(1 - \sin^2 x) + 6 \sin x - 6 = 0$
$5 - 5 \sin^2 x + 6 \sin x - 6 = 0$
$-5 \sin^2 x + 6 \sin x - 1 = 0$
$5 \sin^2 x - 6 \sin x + 1 = 0$
Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.$5t^2 - 6t + 1 = 0$
Решим квадратное уравнение:$D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16 = 4^2$
$t_1 = \frac{6 + 4}{10} = \frac{10}{10} = 1$
$t_2 = \frac{6 - 4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Вернемся к замене:
1) $\sin x = 1$. Частный случай, решение:$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin x = \frac{1}{5}$. Общая формула для решения:$x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{5}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Общее решение является объединением решений для обоих случаев.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^k \arcsin\frac{1}{5} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $4 \sin 3x + \cos^2 3x = 4$

Приведем уравнение к одной тригонометрической функции. Аргумент $3x$ одинаков. Используем тождество $\cos^2 3x = 1 - \sin^2 3x$.
$4 \sin 3x + (1 - \sin^2 3x) = 4$
Перенесем все слагаемые в одну часть и приведем подобные:$-\sin^2 3x + 4 \sin 3x + 1 - 4 = 0$
$-\sin^2 3x + 4 \sin 3x - 3 = 0$
$\sin^2 3x - 4 \sin 3x + 3 = 0$
Сделаем замену $t = \sin 3x$, где $|t| \le 1$.$t^2 - 4t + 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.
Проверим корни:$t_1 + t_2 = 1 + 3 = 4$ (соответствует $-b/a$)
$t_1 \cdot t_2 = 1 \cdot 3 = 3$ (соответствует $c/a$)
Вернемся к замене:
1) $\sin 3x = 3$. Уравнение не имеет решений, так как $3 > 1$.
2) $\sin 3x = 1$. Частный случай, решение:$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Найдем $x$, разделив обе части на 3:$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

23.4. a) $3 \text{tg}^2 x + 2 \text{tg} x - 1 = 0$;

б) $\text{ctg}^2 2x - 6 \text{ctg} 2x + 5 = 0$;

в) $2 \text{tg}^2 x + 3 \text{tg} x - 2 = 0$;

г) $7 \text{ctg}^2 \frac{x}{2} + 2 \text{ctg} \frac{x}{2} = 5$.

а) $3 \text{tg}^2 x + 2 \text{tg} x - 1 = 0$
Это уравнение является квадратным относительно $\text{tg} x$. Сделаем замену переменной: пусть $y = \text{tg} x$.
Тогда уравнение примет вид:
$3y^2 + 2y - 1 = 0$
Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
Найдем корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$.
$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$.
1) $\text{tg} x = -1$
$x = \arctan(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\text{tg} x = \frac{1}{3}$
$x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\text{ctg}^2 2x - 6 \text{ctg} 2x + 5 = 0$
Это уравнение является квадратным относительно $\text{ctg} 2x$. Сделаем замену переменной: пусть $y = \text{ctg} 2x$.
Уравнение примет вид:
$y^2 - 6y + 5 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения $y_1 = 1$ и $y_2 = 5$.
Вернемся к переменной $x$.
1) $\text{ctg} 2x = 1$
$2x = \text{arcctg}(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$.
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\text{ctg} 2x = 5$
$2x = \text{arcctg}(5) + \pi k$.
$x = \frac{1}{2}\text{arcctg}(5) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{1}{2}\text{arcctg}(5) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

в) $2 \text{tg}^2 x + 3 \text{tg} x - 2 = 0$
Сделаем замену переменной: пусть $y = \text{tg} x$.
$2y^2 + 3y - 2 = 0$
Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
Найдем корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$.
$y_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Вернемся к переменной $x$.
1) $\text{tg} x = -2$
$x = \arctan(-2) + \pi n = -\arctan(2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\text{tg} x = \frac{1}{2}$
$x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $7 \text{ctg}^2 \frac{x}{2} + 2 \text{ctg} \frac{x}{2} = 5$
Перенесем 5 в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:
$7 \text{ctg}^2 \frac{x}{2} + 2 \text{ctg} \frac{x}{2} - 5 = 0$
Сделаем замену переменной: пусть $y = \text{ctg} \frac{x}{2}$.
$7y^2 + 2y - 5 = 0$
Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-5) = 4 + 140 = 144$.
Найдем корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-2 - \sqrt{144}}{2 \cdot 7} = \frac{-2 - 12}{14} = \frac{-14}{14} = -1$.
$y_2 = \frac{-2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 7} = \frac{-2 + 12}{14} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$.
Вернемся к переменной $x$.
1) $\text{ctg} \frac{x}{2} = -1$
$\frac{x}{2} = \text{arcctg}(-1) + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n$.
$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\text{ctg} \frac{x}{2} = \frac{5}{7}$
$\frac{x}{2} = \text{arcctg}\left(\frac{5}{7}\right) + \pi k$.
$x = 2 \text{arcctg}\left(\frac{5}{7}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = 2 \text{arcctg}\left(\frac{5}{7}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

23.5. a) $\text{tg } x - 2 \text{ctg } x + 1 = 0;$

б) $\frac{\text{tg } x + 5}{2} = \frac{1}{\cos^2 x};$

в) $2 \text{ctg } x - 3 \text{tg } x + 5 = 0;$

г) $\frac{7 - \text{ctg } x}{4} = \frac{1}{\sin^2 x}.$

а)

Решим уравнение $\operatorname{tg} x - 2 \operatorname{ctg} x + 1 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется тем, что тангенс и котангенс должны быть определены. Это значит, что $\cos x \neq 0$ и $\sin x \neq 0$. Объединив эти условия, получаем $x \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Воспользуемся тождеством $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$ (это возможно, так как из ОДЗ следует, что $\operatorname{tg} x \neq 0$). Подставим его в исходное уравнение:

$\operatorname{tg} x - \frac{2}{\operatorname{tg} x} + 1 = 0$

Введем замену переменной: пусть $t = \operatorname{tg} x$. Тогда уравнение примет вид:

$t - \frac{2}{t} + 1 = 0$

Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$):

$t^2 + t - 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета. Сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Корнями являются $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Теперь выполним обратную замену:

1. $t_1 = 1 \implies \operatorname{tg} x = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2. $t_2 = -2 \implies \operatorname{tg} x = -2$

$x = \arctan(-2) + \pi n = -\arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Оба полученных семейства корней удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $-\arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Решим уравнение $\frac{\operatorname{tg} x + 5}{2} = \frac{1}{\cos^2 x}$.

ОДЗ: $\cos x \neq 0$, следовательно, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используем тригонометрическое тождество $\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \operatorname{tg}^2 x$. Подставим его в уравнение:

$\frac{\operatorname{tg} x + 5}{2} = 1 + \operatorname{tg}^2 x$

Введем замену $t = \operatorname{tg} x$:

$\frac{t + 5}{2} = 1 + t^2$

Умножим обе части на 2:

$t + 5 = 2(1 + t^2)$

$t + 5 = 2 + 2t^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$2t^2 - t - 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$. $\sqrt{D}=5$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$t_2 = \frac{1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$

Выполним обратную замену:

1. $t_1 = \frac{3}{2} \implies \operatorname{tg} x = \frac{3}{2}$

$x = \arctan\left(\frac{3}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2. $t_2 = -1 \implies \operatorname{tg} x = -1$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Оба решения входят в ОДЗ.

Ответ: $\arctan\left(\frac{3}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $-\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Решим уравнение $2 \operatorname{ctg} x - 3 \operatorname{tg} x + 5 = 0$.

ОДЗ: $\cos x \neq 0$ и $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Используем тождество $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$:

$\frac{2}{\operatorname{tg} x} - 3 \operatorname{tg} x + 5 = 0$

Сделаем замену $t = \operatorname{tg} x$ ($t \neq 0$):

$\frac{2}{t} - 3t + 5 = 0$

Умножим на $t$:

$2 - 3t^2 + 5t = 0$

Умножим на $-1$ и переставим члены для удобства:

$3t^2 - 5t - 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$. $\sqrt{D}=7$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

$t_2 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Выполним обратную замену:

1. $t_1 = 2 \implies \operatorname{tg} x = 2$

$x = \arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2. $t_2 = -\frac{1}{3} \implies \operatorname{tg} x = -\frac{1}{3}$

$x = \arctan\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi n = -\arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Оба решения входят в ОДЗ.

Ответ: $\arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $-\arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Решим уравнение $\frac{7 - \operatorname{ctg} x}{4} = \frac{1}{\sin^2 x}$.

ОДЗ: $\sin x \neq 0$, следовательно, $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используем тригонометрическое тождество $\frac{1}{\sin^2 x} = 1 + \operatorname{ctg}^2 x$.

$\frac{7 - \operatorname{ctg} x}{4} = 1 + \operatorname{ctg}^2 x$

Введем замену $t = \operatorname{ctg} x$:

$\frac{7 - t}{4} = 1 + t^2$

Умножим обе части на 4:

$7 - t = 4(1 + t^2)$

$7 - t = 4 + 4t^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$4t^2 + t - 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$. $\sqrt{D}=7$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

$t_2 = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$

Выполним обратную замену:

1. $t_1 = \frac{3}{4} \implies \operatorname{ctg} x = \frac{3}{4}$

$x = \operatorname{arcctg}\left(\frac{3}{4}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2. $t_2 = -1 \implies \operatorname{ctg} x = -1$

$x = \operatorname{arcctg}(-1) + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Оба решения входят в ОДЗ.

Ответ: $\operatorname{arcctg}\left(\frac{3}{4}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $\frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

23.6. a) $ \sin^2 x - \frac{12 - \sqrt{2}}{2}\sin x - 3\sqrt{2} = 0; $

б) $ \cos^2 x - \frac{8 - \sqrt{3}}{2}\cos x - 2\sqrt{3} = 0. $

а) $ \sin^2 x - \frac{12 - \sqrt{2}}{2}\sin x - 3\sqrt{2} = 0 $

Данное уравнение является квадратным относительно $ \sin x $. Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \sin x $, при этом по определению синуса $ |t| \le 1 $.

Уравнение принимает вид:

$ t^2 - \frac{12 - \sqrt{2}}{2}t - 3\sqrt{2} = 0 $

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 2:

$ 2t^2 - (12 - \sqrt{2})t - 6\sqrt{2} = 0 $

Решим это квадратное уравнение относительно $ t $, используя формулу корней. Найдем дискриминант $ D $:

$ D = b^2 - 4ac = (-(12 - \sqrt{2}))^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6\sqrt{2}) = (12 - \sqrt{2})^2 + 48\sqrt{2} $

$ D = (12^2 - 2 \cdot 12 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) + 48\sqrt{2} = (144 - 24\sqrt{2} + 2) + 48\sqrt{2} = 146 + 24\sqrt{2} $

Чтобы найти корень из дискриминанта, представим подкоренное выражение в виде полного квадрата:

$ 146 + 24\sqrt{2} = 144 + 2 \cdot 12 \cdot \sqrt{2} + 2 = 12^2 + 2 \cdot 12 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (12 + \sqrt{2})^2 $

Тогда $ \sqrt{D} = \sqrt{(12 + \sqrt{2})^2} = 12 + \sqrt{2} $.

Найдем корни уравнения для $ t $:

$ t_1 = \frac{(12 - \sqrt{2}) + (12 + \sqrt{2})}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6 $

$ t_2 = \frac{(12 - \sqrt{2}) - (12 + \sqrt{2})}{2 \cdot 2} = \frac{12 - \sqrt{2} - 12 - \sqrt{2}}{4} = \frac{-2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Теперь выполним обратную замену $ t = \sin x $.

1) $ \sin x = t_1 = 6 $. Данное уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $ [-1; 1] $, а $ 6 > 1 $.

2) $ \sin x = t_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Решения этого тригонометрического уравнения имеют вид:

$ x = (-1)^{k} \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi k = (-1)^{k} \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos^2 x - \frac{8 - \sqrt{3}}{2}\cos x - 2\sqrt{3} = 0 $

Это уравнение является квадратным относительно $ \cos x $. Сделаем замену переменной. Пусть $ y = \cos x $, где $ |y| \le 1 $.

Уравнение примет вид:

$ y^2 - \frac{8 - \sqrt{3}}{2}y - 2\sqrt{3} = 0 $

Умножим обе части уравнения на 2:

$ 2y^2 - (8 - \sqrt{3})y - 4\sqrt{3} = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $ D $:

$ D = b^2 - 4ac = (-(8 - \sqrt{3}))^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4\sqrt{3}) = (8 - \sqrt{3})^2 + 32\sqrt{3} $

$ D = (8^2 - 2 \cdot 8 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) + 32\sqrt{3} = (64 - 16\sqrt{3} + 3) + 32\sqrt{3} = 67 + 16\sqrt{3} $

Представим дискриминант в виде полного квадрата:

$ 67 + 16\sqrt{3} = 64 + 2 \cdot 8 \cdot \sqrt{3} + 3 = 8^2 + 2 \cdot 8 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (8 + \sqrt{3})^2 $

Тогда $ \sqrt{D} = \sqrt{(8 + \sqrt{3})^2} = 8 + \sqrt{3} $.

Найдем корни уравнения для $ y $:

$ y_1 = \frac{(8 - \sqrt{3}) + (8 + \sqrt{3})}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4 $

$ y_2 = \frac{(8 - \sqrt{3}) - (8 + \sqrt{3})}{2 \cdot 2} = \frac{8 - \sqrt{3} - 8 - \sqrt{3}}{4} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Выполним обратную замену $ y = \cos x $.

1) $ \cos x = y_1 = 4 $. Уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $ [-1; 1] $, а $ 4 > 1 $.

2) $ \cos x = y_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Решения этого уравнения находим по формуле:

$ x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Используя свойство арккосинуса $ \arccos(-a) = \pi - \arccos(a) $, получаем:

$ \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $

Следовательно, $ x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

23.7. a) $ \operatorname{tg}^3 x + \operatorname{tg}^2 x - 3 \operatorname{tg} x = 3; $

б) $ \operatorname{ctg}^4 2x - 4 \operatorname{ctg}^2 2x + 3 = 0. $

а)

Исходное уравнение: $ \text{tg}^3 x + \text{tg}^2 x - 3 \text{tg} x = 3 $.

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$ \text{tg}^3 x + \text{tg}^2 x - 3 \text{tg} x - 3 = 0 $

Это кубическое уравнение относительно $ \text{tg} x $. Решим его методом группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$ (\text{tg}^3 x + \text{tg}^2 x) - (3 \text{tg} x + 3) = 0 $

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$ \text{tg}^2 x (\text{tg} x + 1) - 3 (\text{tg} x + 1) = 0 $

Теперь вынесем общий множитель $ (\text{tg} x + 1) $ за скобки:

$ (\text{tg}^2 x - 3)(\text{tg} x + 1) = 0 $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $ \text{tg} x + 1 = 0 \implies \text{tg} x = -1 $

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:
$ x = \text{arctg}(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \text{tg}^2 x - 3 = 0 \implies \text{tg}^2 x = 3 \implies \text{tg} x = \pm\sqrt{3} $

Это дает еще две серии корней:
- Если $ \text{tg} x = \sqrt{3} $, то $ x = \text{arctg}(\sqrt{3}) + \pi k = \frac{\pi}{3} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
- Если $ \text{tg} x = -\sqrt{3} $, то $ x = \text{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi m = -\frac{\pi}{3} + \pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $.
Эти две серии можно записать в виде одной: $ x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Область определения тангенса $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $. Все найденные корни удовлетворяют этому условию.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi k $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

б)

Исходное уравнение: $ \text{ctg}^4 2x - 4 \text{ctg}^2 2x + 3 = 0 $.

Данное уравнение является биквадратным относительно $ \text{ctg} 2x $. Для его решения введем новую переменную. Пусть $ y = \text{ctg}^2 2x $. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $ y \ge 0 $.

После замены уравнение принимает вид стандартного квадратного уравнения:

$ y^2 - 4y + 3 = 0 $

Решим его. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Отсюда легко найти корни: $ y_1 = 1 $ и $ y_2 = 3 $. Оба корня удовлетворяют условию $ y \ge 0 $.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1) $ \text{ctg}^2 2x = 1 \implies \text{ctg} 2x = \pm 1 $

Это уравнение распадается на два:
- $ \text{ctg} 2x = 1 \implies 2x = \text{arcctg}(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} $.
- $ \text{ctg} 2x = -1 \implies 2x = \text{arcctg}(-1) + \pi k = \frac{3\pi}{4} + \pi k \implies x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} $.
Эти две серии корней можно объединить в одну: $ 2x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2} $, откуда $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{4} $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

2) $ \text{ctg}^2 2x = 3 \implies \text{ctg} 2x = \pm\sqrt{3} $

Это уравнение также распадается на два:
- $ \text{ctg} 2x = \sqrt{3} \implies 2x = \text{arcctg}(\sqrt{3}) + \pi p = \frac{\pi}{6} + \pi p \implies x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi p}{2} $.
- $ \text{ctg} 2x = -\sqrt{3} \implies 2x = \text{arcctg}(-\sqrt{3}) + \pi q = \frac{5\pi}{6} + \pi q \implies x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi q}{2} $.
Эти две серии можно объединить в одну: $ 2x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi r $, откуда $ x = \pm\frac{\pi}{12} + \frac{\pi r}{2} $, где $ p, q, r \in \mathbb{Z} $.

Область определения котангенса $ 2x \neq \pi k $, то есть $ x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $. Все найденные серии корней удовлетворяют этому условию.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad x = \pm\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

23.8. Сколько корней заданного уравнения принадлежит указанному промежутку:

а) $4 \sin^2 \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) - 1 = 0, x \in [0; 3];$

б) $\sqrt{3} \operatorname{tg}^2 3x - 3 \operatorname{tg} 3x = 0, x \in (-1,5; 1,5);$

в) $4 \cos^2 \left( x - \frac{\pi}{6} \right) - 3 = 0, x \in [-5,5; \pi];$

г) $2 \cos^2 \frac{x}{2} + \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} = 0, x \in (-16; 10)?$

а)

Сначала решим уравнение $4 \sin^2(2x + \frac{\pi}{3}) - 1 = 0$.

$\sin^2(2x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{4}$

$\sin(2x + \frac{\pi}{3}) = \pm\frac{1}{2}$

Это равносильно совокупности двух уравнений:

$2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi k$ и $2x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Можно объединить эти серии решений: $2x + \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим случай, когда $2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi n$:

$2x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n$

$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$

Рассмотрим случай, когда $2x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + \pi n$:

$2x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi n = -\frac{3\pi}{6} + \pi n = -\frac{\pi}{2} + \pi n$

$x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$

Теперь найдем количество корней, принадлежащих промежутку $x \in [0; 3]$. Будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

Для серии $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$: $0 \le -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} \le 3$.

$0 \le -\frac{1}{12} + \frac{n}{2} \le \frac{3}{\pi} \implies \frac{1}{12} \le \frac{n}{2} \le \frac{3}{\pi} + \frac{1}{12} \implies \frac{1}{6} \le n \le \frac{6}{\pi} + \frac{1}{6}$.

$\frac{6}{3,14} + \frac{1}{6} \approx 1,91 + 0,17 = 2,08$.

$0,17 \le n \le 2,08$. Целые значения $n$: 1, 2. (2 корня)

Для серии $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$: $0 \le -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \le 3$.

$0 \le -\frac{1}{4} + \frac{n}{2} \le \frac{3}{\pi} \implies \frac{1}{4} \le \frac{n}{2} \le \frac{3}{\pi} + \frac{1}{4} \implies \frac{1}{2} \le n \le \frac{6}{\pi} + \frac{1}{2}$.

$\frac{6}{3,14} + \frac{1}{2} \approx 1,91 + 0,5 = 2,41$.

$0,5 \le n \le 2,41$. Целые значения $n$: 1, 2. (2 корня)

Всего корней: $2 + 2 = 4$.

Ответ: 4

б)

Решим уравнение $\sqrt{3} \operatorname{tg}^2 3x - 3 \operatorname{tg} 3x = 0$.

Вынесем общий множитель $\operatorname{tg} 3x$:

$\operatorname{tg} 3x (\sqrt{3} \operatorname{tg} 3x - 3) = 0$.

Получаем два случая:

1) $\operatorname{tg} 3x = 0$

$3x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi k}{3}$

2) $\sqrt{3} \operatorname{tg} 3x - 3 = 0$

$\operatorname{tg} 3x = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

$3x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$

Теперь найдем количество корней на промежутке $x \in (-1,5; 1,5)$.

Для серии $x = \frac{\pi k}{3}$: $-1,5 < \frac{\pi k}{3} < 1,5 \implies -4,5 < \pi k < 4,5 \implies -\frac{4,5}{\pi} < k < \frac{4,5}{\pi}$.

Так как $\pi \approx 3,14$, то $-\frac{4,5}{3,14} \approx -1,43$ и $\frac{4,5}{3,14} \approx 1,43$.

$-1,43 < k < 1,43$. Целые значения $k$: -1, 0, 1. (3 корня)

Для серии $x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$: $-1,5 < \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3} < 1,5 \implies -\frac{13,5}{\pi} < 1+3n < \frac{13,5}{\pi}$.

$\frac{13,5}{3,14} \approx 4,3$.

$-4,3 < 1+3n < 4,3 \implies -5,3 < 3n < 3,3 \implies -1,77 < n < 1,1$.

Целые значения $n$: -1, 0, 1. (3 корня)

Всего корней: $3 + 3 = 6$.

Ответ: 6

в)

Решим уравнение $4 \cos^2(x - \frac{\pi}{6}) - 3 = 0$.

$\cos^2(x - \frac{\pi}{6}) = \frac{3}{4}$

$\cos(x - \frac{\pi}{6}) = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$

Это приводит к решениям вида:

$x - \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

1) $x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi k$

2) $x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + \pi k \implies x = \pi k$

Найдем количество корней на промежутке $x \in [-5,5; \pi]$.

Для серии $x = \pi k$: $-5,5 \le \pi k \le \pi \implies -\frac{5,5}{\pi} \le k \le 1$.

$-\frac{5,5}{3,14} \approx -1,75$.

$-1,75 \le k \le 1$. Целые значения $k$: -1, 0, 1. (3 корня)

Для серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$: $-5,5 \le \frac{\pi}{3} + \pi k \le \pi \implies -\frac{5,5}{\pi} \le \frac{1}{3} + k \le 1 \implies -\frac{5,5}{\pi} - \frac{1}{3} \le k \le 1 - \frac{1}{3}$.

$-1,75 - 0,33 \le k \le 0,67 \implies -2,08 \le k \le 0,67$.

Целые значения $k$: -2, -1, 0. (3 корня)

Всего корней: $3 + 3 = 6$.

Ответ: 6

г)

Решим уравнение $2 \cos^2 \frac{x}{2} + \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} = 0$.

Вынесем общий множитель $\cos \frac{x}{2}$:

$\cos \frac{x}{2} (2 \cos \frac{x}{2} + \sqrt{3}) = 0$.

Получаем два случая:

1) $\cos \frac{x}{2} = 0$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \pi + 2\pi k = \pi(1+2k)$

2) $2 \cos \frac{x}{2} + \sqrt{3} = 0$

$\cos \frac{x}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{x}{2} = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{5\pi}{3} + 4\pi n$

Найдем количество корней на промежутке $x \in (-16; 10)$.

Для серии $x = \pi(1+2k)$: $-16 < \pi(1+2k) < 10 \implies -\frac{16}{\pi} < 1+2k < \frac{10}{\pi}$.

$-\frac{16}{3,14} \approx -5,09$, $\frac{10}{3,14} \approx 3,18$.

$-5,09 < 1+2k < 3,18 \implies -6,09 < 2k < 2,18 \implies -3,045 < k < 1,09$.

Целые значения $k$: -3, -2, -1, 0, 1. (5 корней)

Для серии $x = \frac{5\pi}{3} + 4\pi n$: $-16 < \frac{5\pi}{3} + 4\pi n < 10 \implies -\frac{16}{\pi} < \frac{5}{3} + 4n < \frac{10}{\pi}$.

$-5,09 < 1,67 + 4n < 3,18 \implies -6,76 < 4n < 1,51 \implies -1,69 < n < 0,38$.

Целые значения $n$: -1, 0. (2 корня)

Для серии $x = -\frac{5\pi}{3} + 4\pi n$: $-16 < -\frac{5\pi}{3} + 4\pi n < 10 \implies -\frac{16}{\pi} < -\frac{5}{3} + 4n < \frac{10}{\pi}$.

$-5,09 < -1,67 + 4n < 3,18 \implies -3,42 < 4n < 4,85 \implies -0,855 < n < 1,21$.

Целые значения $n$: 0, 1. (2 корня)

Всего корней: $5 + 2 + 2 = 9$.

Ответ: 9