Страница 150, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

24.1. Представив $105^\circ$ как сумму $60^\circ + 45^\circ$, вычислите:

а) $\sin 105^\circ$;

б) $\cos 105^\circ$.

а) sin 105°

Для вычисления синуса 105 градусов, представим этот угол как сумму двух стандартных углов, значения синусов и косинусов которых известны: $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$.

Далее воспользуемся тригонометрической формулой синуса суммы двух углов:

$sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$

Подставим в эту формулу $\alpha = 60^\circ$ и $\beta = 45^\circ$:

$sin(105^\circ) = sin(60^\circ + 45^\circ) = sin(60^\circ)cos(45^\circ) + cos(60^\circ)sin(45^\circ)$

Мы знаем табличные значения тригонометрических функций для этих углов:

$sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, $sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим эти значения в наше выражение:

$sin(105^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{4} + \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Ответ: $sin(105^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

б) cos 105°

Аналогично пункту а), для вычисления косинуса 105 градусов используем представление $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$.

Воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов:

$cos(\alpha + \beta)

24.2. Вычислите:

а) $ \sin 15^\circ $;

б) $ \cos 15^\circ $;

в) $ \sin 15^\circ \cos 15^\circ $;

г) $ \cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ $.

а)

Для вычисления $ \sin 15^\circ $ представим $ 15^\circ $ как разность двух известных углов, например, $ 45^\circ $ и $ 30^\circ $.

Воспользуемся формулой синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $.

Подставим $ \alpha = 45^\circ $ и $ \beta = 30^\circ $:

$ \sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ $

Мы знаем значения тригонометрических функций для этих углов:

$ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $.

Подставим эти значения в наше выражение:

$ \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $

б)

Аналогично, для вычисления $ \cos 15^\circ $ используем представление $ 15^\circ = 45^\circ - 30^\circ $.

Воспользуемся формулой косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $.

Подставим $ \alpha = 45^\circ $ и $ \beta = 30^\circ $:

$ \cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ $

Подставляем известные значения:

$ \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $

в)

Для вычисления выражения $ \sin 15^\circ \cos 15^\circ $ удобно использовать формулу синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha $.

Из этой формулы можно выразить произведение синуса на косинус: $ \sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha) $.

В нашем случае $ \alpha = 15^\circ $, тогда $ 2\alpha = 2 \cdot 15^\circ = 30^\circ $.

$ \sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \sin(30^\circ) $

Так как $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $, получаем:

$ \sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $.

Ответ: $ \frac{1}{4} $

г)

Для вычисления выражения $ \cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ $ используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $.

В нашем случае $ \alpha = 15^\circ $, тогда $ 2\alpha = 2 \cdot 15^\circ = 30^\circ $.

$ \cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = \cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos 30^\circ $

Так как $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, то:

$ \cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

Упростите выражение:

24.3. a) $\sin (\alpha + \beta) - \sin \alpha \cos \beta;$

б) $\sin \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) - \frac{1}{2} \sin \alpha;$

в) $\sin \alpha \sin \beta + \cos (\alpha + \beta);$

г) $\cos \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha.$

а) Для упрощения выражения $ \sin(\alpha + \beta) - \sin\alpha \cos\beta $ воспользуемся формулой синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $.
Подставим эту формулу в исходное выражение:
$ (\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta) - \sin\alpha \cos\beta $
Приведем подобные слагаемые:
$ \sin\alpha \cos\beta - \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta = \cos\alpha \sin\beta $
Ответ: $ \cos\alpha \sin\beta $

б) Для упрощения выражения $ \sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) - \frac{1}{2}\sin\alpha $ воспользуемся формулой синуса суммы: $ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $.
Раскроем $ \sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{3} \cos\alpha + \cos\frac{\pi}{3} \sin\alpha $.
Зная, что $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $, подставим эти значения:
$ \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\alpha + \frac{1}{2} \sin\alpha $
Теперь подставим это в исходное выражение:
$ \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos\alpha + \frac{1}{2} \sin\alpha\right) - \frac{1}{2}\sin\alpha $
Приведем подобные слагаемые:
$ \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\alpha + \frac{1}{2} \sin\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\alpha $
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\alpha $

в) Для упрощения выражения $ \sin\alpha \sin\beta + \cos(\alpha + \beta) $ воспользуемся формулой косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $.
Подставим эту формулу в исходное выражение:
$ \sin\alpha \sin\beta + (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta) $
Приведем подобные слагаемые:
$ \sin\alpha \sin\beta - \sin\alpha \sin\beta + \cos\alpha \cos\beta = \cos\alpha \cos\beta $
Ответ: $ \cos\alpha \cos\beta $

г) Для упрощения выражения $ \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha $ воспользуемся формулой косинуса суммы: $ \cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $.
Раскроем $ \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\alpha \cos\frac{\pi}{4} - \sin\alpha \sin\frac{\pi}{4} $.
Зная, что $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, подставим эти значения:
$ \cos\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} $
Теперь подставим это в исходное выражение:
$ \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\alpha\right) + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha $
Приведем подобные слагаемые:
$ \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\alpha $
Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\alpha $

24.4. a) $\sin\left(\frac{5\pi}{6} - \alpha\right) - \frac{1}{2}\cos\alpha;$

б) $\sqrt{3}\cos\alpha - 2\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right);$

в) $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha + \cos\left(\alpha - \frac{5\pi}{3}\right);$

г) $\sqrt{2}\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) - \sin\alpha.$

а) Чтобы упростить выражение $ \sin(\frac{5\pi}{6} - \alpha) - \frac{1}{2}\cos\alpha $, воспользуемся формулой синуса разности: $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $.
Применим эту формулу к первому слагаемому, где $ A = \frac{5\pi}{6} $ и $ B = \alpha $:
$ \sin(\frac{5\pi}{6} - \alpha) = \sin(\frac{5\pi}{6})\cos\alpha - \cos(\frac{5\pi}{6})\sin\alpha $.
Вычислим значения синуса и косинуса для угла $ \frac{5\pi}{6} $:
$ \sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $
$ \cos(\frac{5\pi}{6}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $
Подставим найденные значения в раскрытое выражение:
$ \sin(\frac{5\pi}{6} - \alpha) = \frac{1}{2}\cos\alpha - (-\frac{\sqrt{3}}{2})\sin\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $.
Теперь подставим результат в исходное выражение и выполним упрощение:
$ (\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha) - \frac{1}{2}\cos\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $.

б) Для упрощения выражения $ \sqrt{3}\cos\alpha - 2\cos(\alpha - \frac{\pi}{6}) $ используем формулу косинуса разности: $ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $.
Применим ее ко второму слагаемому, где $ A = \alpha $ и $ B = \frac{\pi}{6} $:
$ \cos(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \cos\alpha\cos(\frac{\pi}{6}) + \sin\alpha\sin(\frac{\pi}{6}) $.
Значения тригонометрических функций для $ \frac{\pi}{6} $ известны:
$ \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $
$ \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $
Подставим эти значения:
$ \cos(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \cos\alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin\alpha \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha $.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$ \sqrt{3}\cos\alpha - 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha) $.
Раскроем скобки и упростим:
$ \sqrt{3}\cos\alpha - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - 2 \cdot \frac{1}{2}\sin\alpha = \sqrt{3}\cos\alpha - \sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha = -\sin\alpha $.
Ответ: $ -\sin\alpha $.

в) Рассмотрим выражение $ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha + \cos(\alpha - \frac{5\pi}{3}) $. Для его упрощения снова применим формулу косинуса разности: $ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $.
Здесь $ A = \alpha $ и $ B = \frac{5\pi}{3} $:
$ \cos(\alpha - \frac{5\pi}{3}) = \cos\alpha\cos(\frac{5\pi}{3}) + \sin\alpha\sin(\frac{5\pi}{3}) $.
Вычислим значения для угла $ \frac{5\pi}{3} $, который находится в IV четверти:
$ \cos(\frac{5\pi}{3}) = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $
$ \sin(\frac{5\pi}{3}) = \sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $
Подставим значения в раскрытое выражение:
$ \cos(\alpha - \frac{5\pi}{3}) = \cos\alpha \cdot \frac{1}{2} + \sin\alpha \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $.
Подставим результат в исходное выражение:
$ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha + (\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha + \frac{1}{2}\cos\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha $.
Ответ: $ \frac{1}{2}\cos\alpha $.

г) Упростим выражение $ \sqrt{2}\sin(\alpha - \frac{\pi}{4}) - \sin\alpha $. Используем формулу синуса разности: $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $.
В нашем случае $ A = \alpha $ и $ B = \frac{\pi}{4} $:
$ \sin(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \sin\alpha\cos(\frac{\pi}{4}) - \cos\alpha\sin(\frac{\pi}{4}) $.
Значения синуса и косинуса для $ \frac{\pi}{4} $ равны:
$ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Подставляем их в формулу:
$ \sin(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha - \cos\alpha) $.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$ \sqrt{2} \cdot [\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha - \cos\alpha)] - \sin\alpha $.
Выполним умножение и упростим:
$ \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2}(\sin\alpha - \cos\alpha) - \sin\alpha = \frac{2}{2}(\sin\alpha - \cos\alpha) - \sin\alpha = 1 \cdot (\sin\alpha - \cos\alpha) - \sin\alpha $.
$ \sin\alpha - \cos\alpha - \sin\alpha = -\cos\alpha $.
Ответ: $ -\cos\alpha $.

24.5. a) $\cos(\alpha - \beta) - \cos\alpha \cos\beta$;

б) $\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$;

в) $\sin\alpha \cos\beta - \sin(\alpha - \beta)$;

г) $\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$.

а) Чтобы упростить выражение $cos(\alpha - \beta) - cos \alpha cos \beta$, воспользуемся формулой косинуса разности двух углов:
$cos(\alpha - \beta) = cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta$.
Подставим это разложение в исходное выражение:
$(cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta) - cos \alpha cos \beta$.
Сокращаем подобные слагаемые $cos \alpha cos \beta$ и $-cos \alpha cos \beta$:
$cos \alpha cos \beta - cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta = sin \alpha sin \beta$.
Ответ: $sin \alpha sin \beta$.

б) Чтобы упростить выражение $sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta)$, используем формулы синуса суммы и синуса разности двух углов:
$sin(\alpha + \beta) = sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta$
$sin(\alpha - \beta) = sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta$
Подставим эти формулы в исходное выражение:
$(sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta) + (sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Члены $cos \alpha sin \beta$ и $-cos \alpha sin \beta$ взаимно уничтожаются:
$sin \alpha cos \beta + sin \alpha cos \beta = 2 sin \alpha cos \beta$.
Ответ: $2 sin \alpha cos \beta$.

в) Чтобы упростить выражение $sin \alpha cos \beta - sin(\alpha - \beta)$, воспользуемся формулой синуса разности двух углов:
$sin(\alpha - \beta) = sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta$.
Подставим это разложение в исходное выражение:
$sin \alpha cos \beta - (sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta)$.
Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых внутри них:
$sin \alpha cos \beta - sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta$.
Сокращаем подобные слагаемые $sin \alpha cos \beta$ и $-sin \alpha cos \beta$:
$cos \alpha sin \beta$.
Ответ: $cos \alpha sin \beta$.

г) Чтобы упростить выражение $cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta)$, используем формулы косинуса разности и косинуса суммы двух углов:
$cos(\alpha - \beta) = cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta$
$cos(\alpha + \beta) = cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta$
Подставим эти формулы в исходное выражение:
$(cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta) - (cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta)$.
Раскроем скобки. Обратите внимание на смену знака перед вторым слагаемым во второй скобке:
$cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta - cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta$.
Члены $cos \alpha cos \beta$ и $-cos \alpha cos \beta$ взаимно уничтожаются, а члены $sin \alpha sin \beta$ складываются:
$sin \alpha sin \beta + sin \alpha sin \beta = 2 sin \alpha sin \beta$.
Ответ: $2 sin \alpha sin \beta$.

24.6. а) $\frac{\sin (\alpha + \beta) - \cos \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha - \beta) + \cos \alpha \sin \beta}$

б) $\frac{\sin (\alpha - \beta) + 2 \cos \alpha \sin \beta}{2 \cos \alpha \cos \beta - \cos (\alpha - \beta)}$

в) $\frac{\cos (\alpha + \beta) + \sin \alpha \sin \beta}{\cos (\alpha - \beta) - \sin \alpha \sin \beta}$

г) $\frac{\cos (\alpha - \beta) - 2 \sin \alpha \sin \beta}{2 \sin \alpha \cos \beta - \sin (\alpha - \beta)}$

а) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами синуса суммы и разности двух углов: $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$.
Рассмотрим числитель дроби:
$\sin(\alpha + \beta) - \cos\alpha\sin\beta = (\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta) - \cos\alpha\sin\beta = \sin\alpha\cos\beta$.
Теперь рассмотрим знаменатель дроби:
$\sin(\alpha - \beta) + \cos\alpha\sin\beta = (\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta) + \cos\alpha\sin\beta = \sin\alpha\cos\beta$.
Таким образом, исходное выражение равно:
$\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\cos\beta} = 1$.
Ответ: $1$.

б) Используем формулы синуса и косинуса разности, а также формулы синуса и косинуса суммы: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$, $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$, $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ и $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.
Упростим числитель:
$\sin(\alpha - \beta) + 2\cos\alpha\sin\beta = (\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta) + 2\cos\alpha\sin\beta = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \sin(\alpha + \beta)$.
Упростим знаменатель:
$2\cos\alpha\cos\beta - \cos(\alpha - \beta) = 2\cos\alpha\cos\beta - (\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) = 2\cos\alpha\cos\beta - \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha + \beta)$.
Получаем дробь:
$\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \text{tg}(\alpha + \beta)$.
Ответ: $\text{tg}(\alpha + \beta)$.

в) Для упрощения этого выражения применим формулы косинуса суммы и разности: $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$.
Преобразуем числитель:
$\cos(\alpha + \beta) + \sin\alpha\sin\beta = (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + \sin\alpha\sin\beta = \cos\alpha\cos\beta$.
Преобразуем знаменатель:
$\cos(\alpha - \beta) - \sin\alpha\sin\beta = (\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) - \sin\alpha\sin\beta = \cos\alpha\cos\beta$.
В результате получаем:
$\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = 1$.
Ответ: $1$.

г) Используем те же формулы тригонометрии, что и в предыдущих пунктах.
Упростим числитель дроби:
$\cos(\alpha - \beta) - 2\sin\alpha\sin\beta = (\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) - 2\sin\alpha\sin\beta = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha + \beta)$.
Упростим знаменатель дроби:
$2\sin\alpha\cos\beta - \sin(\alpha - \beta) = 2\sin\alpha\cos\beta - (\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta) = 2\sin\alpha\cos\beta - \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \sin(\alpha + \beta)$.
В итоге выражение принимает вид:
$\frac{\cos(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha + \beta)} = \text{ctg}(\alpha + \beta)$.
Ответ: $\text{ctg}(\alpha + \beta)$.