Страница 155, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

24.35. Зная, что $ \sin \alpha = \frac{4}{5} $, $ \cos \beta = -\frac{15}{17} $, $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $, $ \frac{\pi}{2} < \beta < \pi $,

вычислите:

a) $ \sin(\alpha - \beta) $;

б) $ \cos(\alpha - \beta) $.

Для вычисления значений выражений нам необходимо сначала найти $\cos \alpha$ и $\sin \beta$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и заданные интервалы для углов.

1. Найдем $\cos \alpha$.Известно, что $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Это означает, что угол $\alpha$ находится во второй координатной четверти, где значения косинуса отрицательны.$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25}$.Так как $\cos \alpha < 0$, получаем $\cos \alpha = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$.

2. Найдем $\sin \beta$.Известно, что $\cos \beta = -\frac{15}{17}$ и $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$. Это означает, что угол $\beta$ также находится во второй координатной четверти, где значения синуса положительны.$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - (-\frac{15}{17})^2 = 1 - \frac{225}{289} = \frac{289 - 225}{289} = \frac{64}{289}$.Так как $\sin \beta > 0$, получаем $\sin \beta = \sqrt{\frac{64}{289}} = \frac{8}{17}$.

Теперь, имея все четыре значения ($\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\sin \beta$, $\cos \beta$), мы можем вычислить требуемые выражения.

Используем формулу синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.Подставляем найденные и данные значения:$\sin(\alpha - \beta) = (\frac{4}{5}) \cdot (-\frac{15}{17}) - (-\frac{3}{5}) \cdot (\frac{8}{17}) = -\frac{4 \cdot 15}{5 \cdot 17} + \frac{3 \cdot 8}{5 \cdot 17} = -\frac{60}{85} + \frac{24}{85} = \frac{-60 + 24}{85} = -\frac{36}{85}$.

Ответ: $-\frac{36}{85}$.

Используем формулу косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.Подставляем найденные и данные значения:$\cos(\alpha - \beta) = (-\frac{3}{5}) \cdot (-\frac{15}{17}) + (\frac{4}{5}) \cdot (\frac{8}{17}) = \frac{3 \cdot 15}{5 \cdot 17} + \frac{4 \cdot 8}{5 \cdot 17} = \frac{45}{85} + \frac{32}{85} = \frac{45 + 32}{85} = \frac{77}{85}$.

Ответ: $\frac{77}{85}$.

24.36. Зная, что $\sin \beta = -\frac{12}{13}$, $\cos \alpha = -0,8$, $ < \beta < \frac{3\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$,
вычислите:

a) $\sin (\alpha - \beta)$;

б) $\cos (\alpha - \beta)$.

Для решения задачи нам необходимо найти значения $sin \alpha$ и $cos \beta$. Мы воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2x + cos^2x = 1$ и данными о том, в каких координатных четвертях находятся углы $\alpha$ и $\beta$.

1. Найдем $sin \alpha$.

По условию $cos \alpha = -0,8 = -\frac{4}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Это значит, что угол $\alpha$ находится во II четверти, где значения синуса положительны.

Из основного тригонометрического тождества выразим $sin \alpha$:

$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$

$sin^2\alpha = 1 - (-\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

Так как $\alpha$ находится во II четверти, $sin \alpha > 0$, следовательно:

$sin \alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

2. Найдем $cos \beta$.

По условию $sin \beta = -\frac{12}{13}$ и $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$. Это значит, что угол $\beta$ находится в III четверти, где значения косинуса отрицательны.

Из основного тригонометрического тождества выразим $cos \beta$:

$cos^2\beta = 1 - sin^2\beta$

$cos^2\beta = 1 - (-\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$

Так как $\beta$ находится в III четверти, $cos \beta < 0$, следовательно:

$cos \beta = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$

Теперь у нас есть все необходимые значения для вычислений:

• $sin \alpha = \frac{3}{5}$
• $cos \alpha = -\frac{4}{5}$
• $sin \beta = -\frac{12}{13}$
• $cos \beta = -\frac{5}{13}$

а) Вычислим $sin(\alpha - \beta)$, используя формулу синуса разности углов: $sin(\alpha - \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta - cos\alpha \cdot sin\beta$.

Подставим известные значения в формулу:

$sin(\alpha - \beta) = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{5}{13}) - (-\frac{4}{5}) \cdot (-\frac{12}{13}) = -\frac{15}{65} - \frac{48}{65} = -\frac{15 + 48}{65} = -\frac{63}{65}$

Ответ: $-\frac{63}{65}$

б) Вычислим $cos(\alpha - \beta)$, используя формулу косинуса разности углов: $cos(\alpha - \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta$.

Подставим известные значения в формулу:

$cos(\alpha - \beta) = (-\frac{4}{5}) \cdot (-\frac{5}{13}) + \frac{3}{5} \cdot (-\frac{12}{13}) = \frac{20}{65} - \frac{36}{65} = \frac{20 - 36}{65} = -\frac{16}{65}$

Ответ: $-\frac{16}{65}$

Решите неравенство:

24.37. a) $ \sin 5x \cos 3x - \cos 5x \sin 3x > \frac{1}{2}; $

б) $ \cos x \cos \frac{x}{2} + \sin x \sin \frac{x}{2} < -\frac{2}{7}; $

в) $ \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{4} \sin \frac{x}{2} < \frac{1}{3}; $

г) $ \sin 2x \sin 5x + \cos 2x \cos 5x > -\frac{\sqrt{3}}{2}. $

а) $ \sin 5x \cos 3x - \cos 5x \sin 3x > \frac{1}{2} $

Левая часть неравенства соответствует формуле синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.

Применим эту формулу, где $ \alpha = 5x $ и $ \beta = 3x $:

$ \sin(5x - 3x) > \frac{1}{2} $

$ \sin(2x) > \frac{1}{2} $

Решим это простейшее тригонометрическое неравенство. Обозначим $ t = 2x $. Неравенство примет вид $ \sin t > \frac{1}{2} $.

Решением этого неравенства является интервал $ \frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Сделаем обратную замену $ t = 2x $:

$ \frac{\pi}{6} + 2\pi n < 2x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $

Разделим все части неравенства на 2:

$ \frac{\pi}{12} + \pi n < x < \frac{5\pi}{12} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (\frac{\pi}{12} + \pi n; \frac{5\pi}{12} + \pi n), n \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos x \cos \frac{x}{2} + \sin x \sin \frac{x}{2} < -\frac{2}{7} $

Левая часть неравенства соответствует формуле косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $.

Применим эту формулу, где $ \alpha = x $ и $ \beta = \frac{x}{2} $:

$ \cos(x - \frac{x}{2}) < -\frac{2}{7} $

$ \cos(\frac{x}{2}) < -\frac{2}{7} $

Обозначим $ t = \frac{x}{2} $. Неравенство примет вид $ \cos t < -\frac{2}{7} $.

Решением этого неравенства является интервал $ \arccos(-\frac{2}{7}) + 2\pi n < t < 2\pi - \arccos(-\frac{2}{7}) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Сделаем обратную замену $ t = \frac{x}{2} $:

$ \arccos(-\frac{2}{7}) + 2\pi n < \frac{x}{2} < 2\pi - \arccos(-\frac{2}{7}) + 2\pi n $

Умножим все части неравенства на 2:

$ 2\arccos(-\frac{2}{7}) + 4\pi n < x < 4\pi - 2\arccos(-\frac{2}{7}) + 4\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (2\arccos(-\frac{2}{7}) + 4\pi n; 4\pi - 2\arccos(-\frac{2}{7}) + 4\pi n), n \in \mathbb{Z} $.

в) $ \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{4} \sin \frac{x}{2} < -\frac{1}{3} $

Левая часть неравенства соответствует формуле синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.

Применим эту формулу, где $ \alpha = \frac{x}{4} $ и $ \beta = \frac{x}{2} $:

$ \sin(\frac{x}{4} - \frac{x}{2}) < -\frac{1}{3} $

$ \sin(-\frac{x}{4}) < -\frac{1}{3} $

Используя свойство нечетности синуса $ \sin(-u) = -\sin u $, получим:

$ -\sin(\frac{x}{4}) < -\frac{1}{3} $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$ \sin(\frac{x}{4}) > \frac{1}{3} $

Обозначим $ t = \frac{x}{4} $. Неравенство примет вид $ \sin t > \frac{1}{3} $.

Решением этого неравенства является интервал $ \arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi n < t < \pi - \arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Сделаем обратную замену $ t = \frac{x}{4} $:

$ \arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi n < \frac{x}{4} < \pi - \arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi n $

Умножим все части неравенства на 4:

$ 4\arcsin(\frac{1}{3}) + 8\pi n < x < 4\pi - 4\arcsin(\frac{1}{3}) + 8\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (4\arcsin(\frac{1}{3}) + 8\pi n; 4\pi - 4\arcsin(\frac{1}{3}) + 8\pi n), n \in \mathbb{Z} $.

г) $ \sin 2x \sin 5x + \cos 2x \cos 5x > -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Левая часть неравенства соответствует формуле косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $. Перепишем левую часть в стандартном виде: $ \cos 5x \cos 2x + \sin 5x \sin 2x $.

Применим эту формулу, где $ \alpha = 5x $ и $ \beta = 2x $:

$ \cos(5x - 2x) > -\frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \cos(3x) > -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Обозначим $ t = 3x $. Неравенство примет вид $ \cos t > -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Решением этого неравенства является интервал $ -\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n < t < \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n $. Так как $ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6} $, получаем:

$ -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Сделаем обратную замену $ t = 3x $:

$ -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < 3x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $

Разделим все части неравенства на 3:

$ -\frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (-\frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}), n \in \mathbb{Z} $.

24.38. a) $ \sin x \cos 3x + \cos x \sin 3x > \frac{1}{2} $

б) $ \cos 2x \cos 5x - \sin 2x \sin 5x < -\frac{1}{3} $

в) $ \sin x \cos \frac{x}{2} + \cos x \sin \frac{x}{2} \le -\frac{2}{7} $

г) $ \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{4} - \sin \frac{x}{2} \sin \frac{x}{4} > \frac{\sqrt{2}}{2} $

а)

Исходное неравенство: $\sin x \cos 3x + \cos x \sin 3x > \frac{1}{2}$.

Левая часть неравенства соответствует формуле синуса суммы углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.

Применим эту формулу для $\alpha = x$ и $\beta = 3x$. Неравенство преобразуется к виду: $\sin(x + 3x) > \frac{1}{2}$, что эквивалентно $\sin(4x) > \frac{1}{2}$.

Для решения этого неравенства сначала найдём значения, при которых $\sin(4x) = \frac{1}{2}$. Это происходит при $4x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $4x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Неравенство $\sin(4x) > \frac{1}{2}$ выполняется, когда аргумент $4x$ находится в интервале между этими значениями. Таким образом, получаем двойное неравенство: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k < 4x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.

Разделив все части неравенства на 4, получаем решение для $x$: $\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2} < x < \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}; \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2})$, $k \in \mathbb{Z}$.

б)

Исходное неравенство: $\cos 2x \cos 5x - \sin 2x \sin 5x < -\frac{1}{3}$.

Левая часть неравенства представляет собой формулу косинуса суммы углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.

Применим эту формулу для $\alpha = 2x$ и $\beta = 5x$. Неравенство преобразуется к виду: $\cos(2x + 5x) < -\frac{1}{3}$, то есть $\cos(7x) < -\frac{1}{3}$.

Решение неравенства $\cos t < c$ (где $t=7x$ и $c = -1/3$) имеет вид $\arccos(c) + 2\pi k < t < 2\pi - \arccos(c) + 2\pi k$.

Подставляя $c = -\frac{1}{3}$, получаем: $\arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi k < 7x < 2\pi - \arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi k$.

Используем свойство арккосинуса: $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$. Тогда неравенство принимает вид: $\pi - \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k < 7x < 2\pi - (\pi - \arccos(\frac{1}{3})) + 2\pi k$, что упрощается до $\pi - \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k < 7x < \pi + \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k$.

Разделив все части на 7, находим решение для $x$: $\frac{\pi - \arccos(\frac{1}{3})}{7} + \frac{2\pi k}{7} < x < \frac{\pi + \arccos(\frac{1}{3})}{7} + \frac{2\pi k}{7}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{7} - \frac{1}{7}\arccos\frac{1}{3} + \frac{2\pi k}{7}; \frac{\pi}{7} + \frac{1}{7}\arccos\frac{1}{3} + \frac{2\pi k}{7})$, $k \in \mathbb{Z}$.

в)

Исходное неравенство: $\sin x \cos \frac{x}{2} + \cos x \sin \frac{x}{2} \le -\frac{2}{7}$.

Применяем формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ для $\alpha = x$ и $\beta = \frac{x}{2}$: $\sin(x + \frac{x}{2}) \le -\frac{2}{7}$, что равносильно $\sin(\frac{3x}{2}) \le -\frac{2}{7}$.

Решение неравенства $\sin t \le c$ (где $t = \frac{3x}{2}$ и $c = -\frac{2}{7}$) имеет вид $\pi - \arcsin(c) + 2\pi k \le t \le 2\pi + \arcsin(c) + 2\pi k$.

Подставляя $c = -\frac{2}{7}$ и используя свойство $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$, получаем: $\pi - \arcsin(-\frac{2}{7}) + 2\pi k \le \frac{3x}{2} \le 2\pi + \arcsin(-\frac{2}{7}) + 2\pi k$.

Это неравенство преобразуется к виду: $\pi + \arcsin(\frac{2}{7}) + 2\pi k \le \frac{3x}{2} \le 2\pi - \arcsin(\frac{2}{7}) + 2\pi k$.

Умножим все части неравенства на $\frac{2}{3}$, чтобы выразить $x$: $\frac{2}{3}(\pi + \arcsin(\frac{2}{7})) + \frac{4\pi k}{3} \le x \le \frac{2}{3}(2\pi - \arcsin(\frac{2}{7})) + \frac{4\pi k}{3}$.

Упрощая, получаем окончательное решение: $\frac{2\pi}{3} + \frac{2}{3}\arcsin(\frac{2}{7}) + \frac{4\pi k}{3} \le x \le \frac{4\pi}{3} - \frac{2}{3}\arcsin(\frac{2}{7}) + \frac{4\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{2\pi}{3} + \frac{2}{3}\arcsin\frac{2}{7} + \frac{4\pi k}{3}; \frac{4\pi}{3} - \frac{2}{3}\arcsin\frac{2}{7} + \frac{4\pi k}{3}]$, $k \in \mathbb{Z}$.

г)

Исходное неравенство: $\cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{4} - \sin \frac{x}{2} \sin \frac{x}{4} > \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используем формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ для $\alpha = \frac{x}{2}$ и $\beta = \frac{x}{4}$: $\cos(\frac{x}{2} + \frac{x}{4}) > \frac{\sqrt{2}}{2}$, что равносильно $\cos(\frac{3x}{4}) > \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решение неравенства $\cos t > c$ (где $t=\frac{3x}{4}$ и $c=\frac{\sqrt{2}}{2}$) имеет вид $-\arccos(c) + 2\pi k < t < \arccos(c) + 2\pi k$.

Так как $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, получаем: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k < \frac{3x}{4} < \frac{\pi}{4} + 2\pi k$.

Умножим все части неравенства на $\frac{4}{3}$, чтобы найти $x$: $\frac{4}{3}(-\frac{\pi}{4} + 2\pi k) < x < \frac{4}{3}(\frac{\pi}{4} + 2\pi k)$.

После упрощения получаем: $-\frac{\pi}{3} + \frac{8\pi k}{3} < x < \frac{\pi}{3} + \frac{8\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{3} + \frac{8\pi k}{3}; \frac{\pi}{3} + \frac{8\pi k}{3})$, $k \in \mathbb{Z}$.

24.39. Докажите, что для любого действительного значения x справедливо неравенство:

a) $sin (5 + x) cos x < cos (5 + x) sin x;$

б) $cos (7 - 2x) cos 2x > sin (7 - 2x) sin 2x.$

а) Докажем неравенство $sin(5 + x) \cos x < \cos(5 + x) \sin x$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$sin(5 + x) \cos x - \cos(5 + x) \sin x < 0$

Левая часть этого неравенства является формулой синуса разности двух углов: $sin(\alpha - \beta) = sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.

В нашем случае, пусть $\alpha = 5 + x$ и $\beta = x$. Тогда неравенство принимает вид:

$sin((5 + x) - x) < 0$

$sin(5) < 0$

Чтобы проверить истинность этого неравенства, определим знак $sin(5)$, где угол 5 задан в радианах. Мы знаем, что $\pi \approx 3.14$ и $2\pi \approx 6.28$. Также $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$.

Поскольку $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$, угол в 5 радиан находится в IV координатной четверти. В этой четверти синус имеет отрицательное значение, следовательно, неравенство $sin(5) < 0$ является верным.

Так как исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству, оно справедливо для любого действительного значения $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: Исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству $sin(5) < 0$, следовательно, оно справедливо для любого действительного значения $x$.

б) Докажем неравенство $\cos(7 - 2x) \cos 2x > \sin(7 - 2x) \sin 2x$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\cos(7 - 2x) \cos 2x - \sin(7 - 2x) \sin 2x > 0$

Левая часть этого неравенства является формулой косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.

В нашем случае, пусть $\alpha = 7 - 2x$ и $\beta = 2x$. Тогда неравенство принимает вид:

$\cos((7 - 2x) + 2x) > 0$

$\cos(7) > 0$

Чтобы проверить истинность этого неравенства, определим знак $\cos(7)$, где угол 7 задан в радианах. Мы знаем, что $2\pi \approx 6.28$ и $\frac{5\pi}{2} = 2.5\pi \approx 7.85$.

Поскольку $2\pi < 7 < \frac{5\pi}{2}$, угол в 7 радиан находится в I координатной четверти (после полного оборота в $2\pi$). В этой четверти косинус имеет положительное значение, следовательно, неравенство $\cos(7) > 0$ является верным.

Так как исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству, оно справедливо для любого действительного значения $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: Исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству $\cos(7) > 0$, следовательно, оно справедливо для любого действительного значения $x$.

24.40. а) Зная, что $\sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = 0,6$ и $\frac{2\pi}{3} < x < \frac{7\pi}{6}$, вычислите $\sin x$.

б) Зная, что $\cos \left( x + \frac{2\pi}{3} \right) = -0,8$ и $\frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{6}$, вычислите $\cos x$.

а)

По условию задачи дано: $ \sin(x - \frac{\pi}{6}) = 0,6 $ и $ \frac{2\pi}{3} < x < \frac{7\pi}{6} $.

1. Введем замену: пусть $ \alpha = x - \frac{\pi}{6} $. Тогда $ \sin(\alpha) = 0,6 $.

2. Найдем $ \cos(\alpha) $, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $:

$ \cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64 $.

Отсюда $ \cos(\alpha) = \pm\sqrt{0,64} = \pm 0,8 $.

3. Чтобы определить знак $ \cos(\alpha) $, найдем, в какой четверти находится угол $ \alpha $. Для этого используем данное неравенство для $ x $:

$ \frac{2\pi}{3} < x < \frac{7\pi}{6} $

Вычтем $ \frac{\pi}{6} $ из всех частей неравенства:

$ \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} < x - \frac{\pi}{6} < \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{6} $

$ \frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} < \alpha < \frac{6\pi}{6} $

$ \frac{3\pi}{6} < \alpha < \pi $

$ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $

Этот интервал соответствует второй координатной четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, $ \cos(\alpha) = -0,8 $.

4. Теперь вычислим $ \sin(x) $. Так как $ \alpha = x - \frac{\pi}{6} $, то $ x = \alpha + \frac{\pi}{6} $.

Применим формулу синуса суммы: $ \sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) $.

$ \sin(x) = \sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) = \sin(\alpha)\cos(\frac{\pi}{6}) + \cos(\alpha)\sin(\frac{\pi}{6}) $.

5. Подставим известные значения: $ \sin(\alpha) = 0,6 $, $ \cos(\alpha) = -0,8 $, $ \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $.

$ \sin(x) = 0,6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + (-0,8) \cdot \frac{1}{2} = 0,3\sqrt{3} - 0,4 $.

Ответ: $ 0,3\sqrt{3} - 0,4 $.

б)

По условию задачи дано: $ \cos(x + \frac{2\pi}{3}) = -0,8 $ и $ \frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{6} $.

1. Введем замену: пусть $ \beta = x + \frac{2\pi}{3} $. Тогда $ \cos(\beta) = -0,8 $.

2. Найдем $ \sin(\beta) $, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1 $:

$ \sin^2(\beta) = 1 - \cos^2(\beta) = 1 - (-0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36 $.

Отсюда $ \sin(\beta) = \pm\sqrt{0,36} = \pm 0,6 $.

3. Чтобы определить знак $ \sin(\beta) $, найдем, в какой четверти находится угол $ \beta $. Для этого используем данное неравенство для $ x $:

$ \frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{6} $

Прибавим $ \frac{2\pi}{3} $ ко всем частям неравенства:

$ \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} < x + \frac{2\pi}{3} < \frac{5\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} $

$ \frac{3\pi}{3} < \beta < \frac{5\pi}{6} + \frac{4\pi}{6} $

$ \pi < \beta < \frac{9\pi}{6} $

$ \pi < \beta < \frac{3\pi}{2} $

Этот интервал соответствует третьей координатной четверти, где синус отрицателен. Следовательно, $ \sin(\beta) = -0,6 $.

4. Теперь вычислим $ \cos(x) $. Так как $ \beta = x + \frac{2\pi}{3} $, то $ x = \beta - \frac{2\pi}{3} $.

Применим формулу косинуса разности: $ \cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b) $.

$ \cos(x) = \cos(\beta - \frac{2\pi}{3}) = \cos(\beta)\cos(\frac{2\pi}{3}) + \sin(\beta)\sin(\frac{2\pi}{3}) $.

5. Подставим известные значения: $ \cos(\beta) = -0,8 $, $ \sin(\beta) = -0,6 $, $ \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} $, $ \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

$ \cos(x) = (-0,8) \cdot (-\frac{1}{2}) + (-0,6) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 0,4 - 0,3\sqrt{3} $.

Ответ: $ 0,4 - 0,3\sqrt{3} $.

24.41. Определите знак числа $a$:

a) $a = (\\cos 1 + \\cos 2)^2 + (\\sin 1 - \\sin 2)^2 - 2;$

б) $a = (\\sin 3 + \\cos 4)^2 + (\\cos 3 + \\sin 4)^2 - 1.$

а) $a = (\cos 1 + \cos 2)^2 + (\sin 1 - \sin 2)^2 - 2$

Для определения знака числа a, упростим данное выражение. Сначала раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ и $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$a = (\cos^2 1 + 2 \cos 1 \cos 2 + \cos^2 2) + (\sin^2 1 - 2 \sin 1 \sin 2 + \sin^2 2) - 2$

Сгруппируем слагаемые, чтобы использовать основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$a = (\cos^2 1 + \sin^2 1) + (\cos^2 2 + \sin^2 2) + 2 \cos 1 \cos 2 - 2 \sin 1 \sin 2 - 2$

$a = 1 + 1 + 2(\cos 1 \cos 2 - \sin 1 \sin 2) - 2$

Теперь применим формулу косинуса суммы двух углов $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.

$a = 2 + 2\cos(1+2) - 2$

$a = 2 \cos 3$

Знак числа a зависит от знака $\cos 3$. Аргументы тригонометрических функций даны в радианах. Определим, в какой четверти находится угол в 3 радиана. Мы знаем, что $\pi \approx 3.14159$, тогда $\pi/2 \approx 1.57$.

Так как $\pi/2 < 3 < \pi$, угол в 3 радиана находится во второй координатной четверти. Косинус во второй четверти имеет отрицательный знак, следовательно, $\cos 3 < 0$.

Поскольку $a = 2 \cos 3$, а $\cos 3 < 0$, то и число a отрицательно.

Ответ: $a < 0$ (число отрицательное).

б) $a = (\sin 3 + \cos 4)^2 + (\cos 3 + \sin 4)^2 - 1$

Упростим выражение, раскрыв скобки по формуле квадрата суммы.

$a = (\sin^2 3 + 2 \sin 3 \cos 4 + \cos^2 4) + (\cos^2 3 + 2 \cos 3 \sin 4 + \sin^2 4) - 1$

Сгруппируем слагаемые, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$a = (\sin^2 3 + \cos^2 3) + (\sin^2 4 + \cos^2 4) + 2 \sin 3 \cos 4 + 2 \cos 3 \sin 4 - 1$

$a = 1 + 1 + 2(\sin 3 \cos 4 + \cos 3 \sin 4) - 1$

Применим формулу синуса суммы двух углов $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.

$a = 2 + 2\sin(3+4) - 1$

$a = 1 + 2 \sin 7$

Теперь определим знак числа a. Знак зависит от значения выражения $1 + 2 \sin 7$. Определим, в какой четверти находится угол в 7 радиан. Мы знаем, что $2\pi \approx 2 \times 3.14159 = 6.28318$, а $5\pi/2 = 2.5\pi \approx 2.5 \times 3.14159 = 7.853975$.

Так как $2\pi < 7 < 5\pi/2$, угол в 7 радиан находится в первой координатной четверти. Синус в первой четверти имеет положительный знак, следовательно, $\sin 7 > 0$.

Поскольку $\sin 7 > 0$, то $2 \sin 7 > 0$. Сумма положительного числа $2 \sin 7$ и 1 также будет положительной.

$a = 1 + 2 \sin 7 > 1 + 0 = 1$.

Следовательно, число a положительно.

Ответ: $a > 0$ (число положительное).