Страница 153, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Расскажите, как вы будете строить график функции $y = f(2x)$, если у вас имеется график функции $y = f(x)$.

1. Для построения графика функции $y = f(2x)$ на основе имеющегося графика функции $y = f(x)$ необходимо выполнить преобразование, которое называется горизонтальным сжатием графика.

Рассмотрим, как связаны точки на исходном и на новом графиках. Пусть точка с координатами $(x_0, y_0)$ принадлежит графику функции $y = f(x)$. Это означает, что выполняется равенство $y_0 = f(x_0)$.

Мы ищем точку $(x_1, y_1)$ на графике функции $y = f(2x)$, у которой ордината (значение по оси $y$) такая же, как у точки $(x_0, y_0)$, то есть $y_1 = y_0$. Это позволит нам увидеть, как смещается точка по горизонтали при сохранении ее высоты.

Для новой точки $(x_1, y_1)$ должно выполняться равенство $y_1 = f(2x_1)$. Подставив $y_1 = y_0$, получаем $y_0 = f(2x_1)$.

Теперь у нас есть два равенства для $y_0$:

1. $y_0 = f(x_0)$
2. $y_0 = f(2x_1)$

Сравнивая их, мы можем заключить, что аргументы функции $f$ должны быть равны: $x_0 = 2x_1$.

Выразим отсюда абсциссу новой точки $x_1$ через абсциссу исходной точки $x_0$: $x_1 = \frac{x_0}{2}$.

Таким образом, каждой точке $(x_0, y_0)$ на графике функции $y = f(x)$ соответствует точка $(\frac{x_0}{2}, y_0)$ на графике функции $y = f(2x)$. Это означает, что ордината каждой точки графика остается без изменений, а ее абсцисса уменьшается (делится) в 2 раза.

Алгоритм построения:

Чтобы построить график функции $y = f(2x)$, нужно взять график функции $y = f(x)$ и сжать его по горизонтали к оси ординат (оси $OY$) в 2 раза. Для этого:

1. 1. Выберите несколько характерных точек на графике $y = f(x)$ (например, точки пересечения с осями координат, точки экстремумов).
2. 2. Для каждой выбранной точки $(x, y)$ вычислите координаты новой точки, оставив ординату $y$ неизменной и разделив абсциссу $x$ на 2. Новая точка будет иметь координаты $(\frac{x}{2}, y)$.
3. 3. Отметьте полученные новые точки на координатной плоскости.
4. 4. Соедините новые точки плавной линией, сохраняя общую форму исходного графика.

Пример: Если на графике $y=f(x)$ есть точка $(4, 5)$, то на графике $y=f(2x)$ ей будет соответствовать точка $(\frac{4}{2}, 5) = (2, 5)$. Если была точка $(-6, 0)$, то новой точкой будет $(\frac{-6}{2}, 0) = (-3, 0)$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = f(2x)$, имея график функции $y = f(x)$, необходимо сжать исходный график вдоль оси абсцисс (горизонтально) к оси ординат в 2 раза. Для этого нужно каждую точку $(x, y)$ на исходном графике заменить точкой с координатами $(\frac{x}{2}, y)$.

2. Расскажите, как вы будете строить график функции $y = f(0.5x)$, если у вас имеется график функции $y = f(x)$.

Для построения графика функции $y = f(0,5x)$, имея график функции $y = f(x)$, необходимо выполнить преобразование, которое называется горизонтальным растяжением.

Общее правило

Преобразование вида $y = f(kx)$ изменяет график функции $y = f(x)$ по горизонтали. Если $0 < k < 1$, то происходит растяжение графика от оси ординат (оси OY) в $\frac{1}{k}$ раз. В данном случае $k=0,5$, поэтому коэффициент растяжения равен $\frac{1}{0,5} = 2$.

Пошаговый алгоритм

Чтобы построить новый график, нужно каждую точку $(x_0, y_0)$ исходного графика $y = f(x)$ заменить на точку $(2x_0, y_0)$. Это означает, что ордината (координата $y$) каждой точки остается прежней, а ее абсцисса (координата $x$) умножается на 2.

Обоснование

Пусть точка с координатами $(x_0, y_0)$ лежит на графике функции $y = f(x)$. Это значит, что выполняется равенство $y_0 = f(x_0)$.

Найдем, какая точка $(x_{new}, y_{new})$ на новом графике $y = f(0,5x)$ будет иметь ту же самую ординату, то есть $y_{new} = y_0$.

Для этой новой точки должно выполняться уравнение $y_{new} = f(0,5x_{new})$. Подставив $y_0$ вместо $y_{new}$, получаем $y_0 = f(0,5x_{new})$.

Так как у нас есть два равенства для $y_0$ ($y_0 = f(x_0)$ и $y_0 = f(0,5x_{new})$), мы можем приравнять их правые части: $f(x_0) = f(0,5x_{new})$.

Отсюда следует, что аргументы функции $f$ должны быть равны: $x_0 = 0,5x_{new}$.

Выразим новую абсциссу $x_{new}$ через старую $x_0$: $x_{new} = \frac{x_0}{0,5} = 2x_0$.

Таким образом, каждой точке $(x_0, y_0)$ исходного графика соответствует точка $(2x_0, y_0)$ на графике функции $y = f(0,5x)$, что и представляет собой растяжение графика от оси OY в 2 раза.

Ответ: Для построения графика функции $y = f(0,5x)$ из графика функции $y = f(x)$ необходимо растянуть исходный график в 2 раза вдоль оси абсцисс (горизонтально) относительно оси ординат. Это означает, что для каждой точки графика $y = f(x)$ нужно ее абсциссу умножить на 2, оставив ординату без изменений.

24.21. Решите уравнение:

а) $ \sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x = 1; $

б) $ \cos 3x \cos 5x = \sin 3x \sin 5x; $

в) $ \sin 6x \cos x + \cos 6x \sin x = \frac{1}{2}; $

г) $ \cos 5x \cos 7x - \sin 5x \sin 7x = -\frac{\sqrt{3}}{2}. $

а) $ \sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x = 1 $

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $.

В нашем случае $ \alpha = 2x $ и $ \beta = x $. Применим формулу к левой части уравнения:

$ \sin(2x + x) = 1 $

$ \sin(3x) = 1 $

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение находится по формуле для частного случая $ \sin t = 1 $, где $ t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.

Подставим $ 3x $ вместо $ t $:

$ 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $

Чтобы найти $ x $, разделим обе части уравнения на 3:

$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos 3x \cos 5x = \sin 3x \sin 5x $

Перенесем слагаемое из правой части уравнения в левую, изменив знак:

$ \cos 3x \cos 5x - \sin 3x \sin 5x = 0 $

Левая часть уравнения соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $. Порядок аргументов не важен, поэтому можно взять $ \alpha = 5x $ и $ \beta = 3x $.

Применяя формулу, получаем:

$ \cos(5x + 3x) = 0 $

$ \cos(8x) = 0 $

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Решение для частного случая $ \cos t = 0 $ имеет вид $ t = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Подставляем $ 8x $ вместо $ t $:

$ 8x = \frac{\pi}{2} + \pi n $

Разделим обе части на 8, чтобы найти $ x $:

$ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}, n \in \mathbb{Z} $.

в) $ \sin 6x \cos x + \cos 6x \sin x = -\frac{1}{2} $

Левая часть этого уравнения также соответствует формуле синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $.

Здесь $ \alpha = 6x $ и $ \beta = x $.

Уравнение преобразуется к виду:

$ \sin(6x + x) = -\frac{1}{2} $

$ \sin(7x) = -\frac{1}{2} $

Общее решение уравнения $ \sin t = a $ записывается как $ t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Найдем $ \arcsin(-\frac{1}{2}) $. Это значение равно $ -\frac{\pi}{6} $.

Подставляем в общую формулу:

$ 7x = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n $

$ 7x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n $

Разделим обе части на 7:

$ x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{42} + \frac{\pi n}{7} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{42} + \frac{\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z} $.

г) $ \cos 5x \cos 7x - \sin 5x \sin 7x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Левая часть уравнения представляет собой формулу косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $.

В данном уравнении $ \alpha = 5x $ и $ \beta = 7x $.

Применив формулу, получим:

$ \cos(5x + 7x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \cos(12x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Общее решение уравнения $ \cos t = a $ имеет вид $ t = \pm \arccos(a) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Найдем $ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) $. Это значение равно $ \frac{5\pi}{6} $.

Подставляем в общую формулу:

$ 12x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $

Разделим обе части на 12, чтобы выразить $ x $:

$ x = \pm \frac{5\pi}{72} + \frac{2\pi n}{12} $

Упростим дробь во втором слагаемом:

$ x = \pm \frac{5\pi}{72} + \frac{\pi n}{6} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm \frac{5\pi}{72} + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z} $.

24.22. Найдите наименьший (в градусах) положительный корень уравнения:

a) $ \sin x \cos 45^\circ + \cos x \sin 45^\circ = \cos 17^\circ \cos 13^\circ - \sin 17^\circ \sin 13^\circ; $

б) $ \cos x \cos 45^\circ + \sin x \sin 45^\circ = \sin 200^\circ \cos 80^\circ - \cos 200^\circ \sin 80^\circ. $

а)

Рассмотрим данное уравнение: $sin\,x\,cos\,45^\circ + cos\,x\,sin\,45^\circ = cos\,17^\circ\,cos\,13^\circ - sin\,17^\circ\,sin\,13^\circ$.

Левая часть уравнения представляет собой формулу синуса суммы двух углов: $sin(\alpha + \beta) = sin\,\alpha\,cos\,\beta + cos\,\alpha\,sin\,\beta$.

Применив эту формулу, получим: $sin\,x\,cos\,45^\circ + cos\,x\,sin\,45^\circ = sin(x + 45^\circ)$.

Правая часть уравнения представляет собой формулу косинуса суммы двух углов: $cos(\alpha + \beta) = cos\,\alpha\,cos\,\beta - sin\,\alpha\,sin\,\beta$.

Применив эту формулу, получим: $cos\,17^\circ\,cos\,13^\circ - sin\,17^\circ\,sin\,13^\circ = cos(17^\circ + 13^\circ) = cos(30^\circ)$.

Таким образом, исходное уравнение упрощается до вида: $sin(x + 45^\circ) = cos(30^\circ)$.

Используем формулу приведения $cos\,\alpha = sin(90^\circ - \alpha)$, чтобы привести уравнение к одному виду тригонометрической функции:

$cos(30^\circ) = sin(90^\circ - 30^\circ) = sin(60^\circ)$.

Получаем уравнение: $sin(x + 45^\circ) = sin(60^\circ)$.

Общее решение уравнения $sin\,A = sin\,B$ имеет вид: $A = n \cdot 180^\circ + (-1)^n B$, где $n$ – целое число.

В нашем случае $A = x + 45^\circ$ и $B = 60^\circ$.

$x + 45^\circ = n \cdot 180^\circ + (-1)^n \cdot 60^\circ$

$x = n \cdot 180^\circ + (-1)^n \cdot 60^\circ - 45^\circ$

Чтобы найти наименьший положительный корень, будем подставлять различные целые значения $n$.

При $n=0$: $x = 0 \cdot 180^\circ + (-1)^0 \cdot 60^\circ - 45^\circ = 60^\circ - 45^\circ = 15^\circ$.

При $n=1$: $x = 1 \cdot 180^\circ + (-1)^1 \cdot 60^\circ - 45^\circ = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$.

При $n=-1$: $x = -1 \cdot 180^\circ + (-1)^{-1} \cdot 60^\circ - 45^\circ = -180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = -285^\circ$.

Наименьший положительный корень получается при $n=0$ и равен $15^\circ$.

Ответ: $15^\circ$.

б)

Рассмотрим данное уравнение: $cos\,x\,cos\,45^\circ + sin\,x\,sin\,45^\circ = sin\,200^\circ\,cos\,80^\circ - cos\,200^\circ\,sin\,80^\circ$.

Левая часть уравнения представляет собой формулу косинуса разности двух углов: $cos(\alpha - \beta) = cos\,\alpha\,cos\,\beta + sin\,\alpha\,sin\,\beta$.

Применив эту формулу, получим: $cos\,x\,cos\,45^\circ + sin\,x\,sin\,45^\circ = cos(x - 45^\circ)$.

Правая часть уравнения представляет собой формулу синуса разности двух углов: $sin(\alpha - \beta) = sin\,\alpha\,cos\,\beta - cos\,\alpha\,sin\,\beta$.

Применив эту формулу, получим: $sin\,200^\circ\,cos\,80^\circ - cos\,200^\circ\,sin\,80^\circ = sin(200^\circ - 80^\circ) = sin(120^\circ)$.

Таким образом, исходное уравнение упрощается до вида: $cos(x - 45^\circ) = sin(120^\circ)$.

Используем формулу приведения $sin\,\alpha = cos(90^\circ - \alpha)$, чтобы привести уравнение к одному виду тригонометрической функции:

$sin(120^\circ) = cos(90^\circ - 120^\circ) = cos(-30^\circ)$.

Так как косинус – четная функция, $cos(-30^\circ) = cos(30^\circ)$.

Получаем уравнение: $cos(x - 45^\circ) = cos(30^\circ)$.

Общее решение уравнения $cos\,A = cos\,B$ имеет вид: $A = n \cdot 360^\circ \pm B$, где $n$ – целое число.

В нашем случае $A = x - 45^\circ$ и $B = 30^\circ$.

$x - 45^\circ = n \cdot 360^\circ \pm 30^\circ$

$x = n \cdot 360^\circ \pm 30^\circ + 45^\circ$

Рассмотрим два случая:

1) $x = n \cdot 360^\circ + 30^\circ + 45^\circ = n \cdot 360^\circ + 75^\circ$.

При $n=0$: $x = 75^\circ$.

2) $x = n \cdot 360^\circ - 30^\circ + 45^\circ = n \cdot 360^\circ + 15^\circ$.

При $n=0$: $x = 15^\circ$.

При других целых значениях $n$ корни будут либо отрицательными, либо больше $75^\circ$ и $15^\circ$.

Сравнивая полученные положительные корни $75^\circ$ и $15^\circ$, выбираем наименьший.

Наименьший положительный корень равен $15^\circ$.

Ответ: $15^\circ$.

24.23. Решите уравнение:

a) $ \cos 6x \cos 5x + \sin 6x \sin 5x = -1 $;

б) $ \sin 3x \cos 5x - \sin 5x \cos 3x = 0,5 $.

а) $ \cos 6x \cos 5x + \sin 6x \sin 5x = -1 $

Левая часть уравнения представляет собой формулу косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $. Применим эту формулу, приняв $ \alpha = 6x $ и $ \beta = 5x $:

$ \cos(6x - 5x) = -1 $

$ \cos x = -1 $

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решением является серия корней, для которой косинус равен -1:

$ x = \pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \sin 3x \cos 5x - \sin 5x \cos 3x = 0,5 $

Левая часть уравнения является формулой синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $. Применим эту формулу, приняв $ \alpha = 3x $ и $ \beta = 5x $:

$ \sin(3x - 5x) = 0,5 $

$ \sin(-2x) = 0,5 $

Поскольку синус — нечетная функция ($ \sin(-\theta) = -\sin \theta $), уравнение можно переписать в виде:

$ -\sin(2x) = 0,5 $

Домножив обе части на -1, получаем:

$ \sin(2x) = -0,5 $

Общее решение уравнения $ \sin y = a $ записывается как $ y = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $. В нашем случае $ y = 2x $, $ a = -0,5 $. Так как $ \arcsin(-0,5) = -\frac{\pi}{6} $, получаем:

$ 2x = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k $

$ 2x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k $

Чтобы найти $ x $, разделим обе части уравнения на 2:

$ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

24.24. Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

a) $ \sin 0.2x \cos 0.8x + \cos 0.2x \sin 0.8x = $

$ = \cos 3x \cos 2x + \sin 3x \sin 2x, x \in [0, 3\pi]; $

б) $ \cos 0.7x \cos 1.3x - \sin 0.7x \sin 1.3x = $

$ = \sin 7x \cos 9x - \sin 9x \cos 7x, x \in [-\pi, \pi]. $

а) $\sin 0,2x \cos 0,8x + \cos 0,2x \sin 0,8x = \cos 3x \cos 2x + \sin 3x \sin 2x, x \in [0; 3\pi]$

Для упрощения левой и правой частей уравнения воспользуемся тригонометрическими формулами сложения:

• Формула синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$
• Формула косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

Применим формулу синуса суммы к левой части уравнения, где $\alpha = 0,2x$ и $\beta = 0,8x$:

$\sin 0,2x \cos 0,8x + \cos 0,2x \sin 0,8x = \sin(0,2x + 0,8x) = \sin x$

Применим формулу косинуса разности к правой части уравнения, где $\alpha = 3x$ и $\beta = 2x$:

$\cos 3x \cos 2x + \sin 3x \sin 2x = \cos(3x - 2x) = \cos x$

Таким образом, исходное уравнение сводится к простейшему тригонометрическому уравнению:

$\sin x = \cos x$

Разделим обе части уравнения на $\cos x$, при условии, что $\cos x \neq 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$, и равенство $0 = \pm 1$ невозможно. Следовательно, деление на $\cos x$ не приводит к потере корней.

$\frac{\sin x}{\cos x} = 1$

$\tan x = 1$

Общее решение этого уравнения имеет вид: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем корни, принадлежащие заданному промежутку $x \in [0; 3\pi]$. Для этого решим двойное неравенство:

$0 \le \frac{\pi}{4} + \pi n \le 3\pi$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$0 \le \frac{1}{4} + n \le 3$

Вычтем $\frac{1}{4}$ из всех частей:

$-\frac{1}{4} \le n \le 3 - \frac{1}{4}$

$-0,25 \le n \le 2,75$

Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n = 0, 1, 2$.

Найдем соответствующие значения $x$:

• При $n=0$: $x = \frac{\pi}{4} + 0 \cdot \pi = \frac{\pi}{4}$
• При $n=1$: $x = \frac{\pi}{4} + 1 \cdot \pi = \frac{5\pi}{4}$
• При $n=2$: $x = \frac{\pi}{4} + 2 \cdot \pi = \frac{9\pi}{4}$

Все найденные значения принадлежат отрезку $[0; 3\pi]$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}$.

б) $\cos 0,7x \cos 1,3x - \sin 0,7x \sin 1,3x = \sin 7x \cos 9x - \sin 9x \cos 7x, x \in [-\pi; \pi]$

Для упрощения уравнения воспользуемся следующими тригонометрическими формулами:

• Формула косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$
• Формула синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$

Применим формулу косинуса суммы к левой части уравнения, где $\alpha = 0,7x$ и $\beta = 1,3x$:

$\cos 0,7x \cos 1,3x - \sin 0,7x \sin 1,3x = \cos(0,7x + 1,3x) = \cos(2x)$

Применим формулу синуса разности к правой части уравнения, где $\alpha = 7x$ и $\beta = 9x$:

$\sin 7x \cos 9x - \sin 9x \cos 7x = \sin(7x - 9x) = \sin(-2x)$

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-\theta) = -\sin\theta$, получаем: $\sin(-2x) = -\sin(2x)$.

Исходное уравнение принимает вид:

$\cos(2x) = -\sin(2x)$

Разделим обе части на $\cos(2x)$, убедившись, что $\cos(2x) \neq 0$. Если $\cos(2x) = 0$, то $\sin(2x) = \pm 1$, и равенство $0 = \mp 1$ неверно. Значит, деление возможно.

$1 = -\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}$

$\tan(2x) = -1$

Общее решение этого уравнения:

$2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Теперь найдем корни, принадлежащие заданному промежутку $x \in [-\pi; \pi]$. Решим двойное неравенство:

$-\pi \le -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} \le \pi$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-1 \le -\frac{1}{8} + \frac{k}{2} \le 1$

Прибавим $\frac{1}{8}$ ко всем частям:

$-1 + \frac{1}{8} \le \frac{k}{2} \le 1 + \frac{1}{8}$

$-\frac{7}{8} \le \frac{k}{2} \le \frac{9}{8}$

Умножим все части на 2:

$-\frac{14}{8} \le k \le \frac{18}{8}$

$-1,75 \le k \le 2,25$

Целочисленные значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству: $k = -1, 0, 1, 2$.

Найдем соответствующие значения $x$:

• При $k=-1$: $x = -\frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{8} - \frac{4\pi}{8} = -\frac{5\pi}{8}$
• При $k=0$: $x = -\frac{\pi}{8} + 0 = -\frac{\pi}{8}$
• При $k=1$: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{8} + \frac{4\pi}{8} = \frac{3\pi}{8}$
• При $k=2$: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{2\pi}{2} = -\frac{\pi}{8} + \pi = \frac{7\pi}{8}$

Все найденные значения принадлежат отрезку $[-\pi; \pi]$.

Ответ: $-\frac{5\pi}{8}, -\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}$.

24.25. a) $\sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}-x\right)-\cos x=0,5;$

б) $\sqrt{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)+\sin \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

a) $\sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right) - \cos x = 0,5$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$.

Применим эту формулу к выражению $\cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right)$:

$\cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \cos\frac{\pi}{4} \cos x + \sin\frac{\pi}{4} \sin x$

Поскольку $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$\cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x + \sin x)$

Теперь подставим это в исходное уравнение:

$\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x + \sin x) - \cos x = 0,5$

Упростим выражение:

$\frac{2}{2}(\cos x + \sin x) - \cos x = 0,5$

$\cos x + \sin x - \cos x = 0,5$

Приведя подобные слагаемые, получаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$\sin x = 0,5$

Решениями этого уравнения являются две серии корней, которые можно записать в виде одной общей формулы:

$x = (-1)^k \arcsin(0,5) + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{2} \sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) + \sin\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Для решения этого уравнения используем формулу синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.

Применим эту формулу к выражению $\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)$:

$\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = \sin\frac{\pi}{4} \cos\frac{x}{2} - \cos\frac{\pi}{4} \sin\frac{x}{2}$

Зная, что $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\frac{x}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}\right)$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}\right) + \sin\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Упростим левую часть уравнения:

$\frac{2}{2}\left(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}\right) + \sin\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Приведя подобные слагаемые, получаем:

$\cos\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решим это простейшее тригонометрическое уравнение относительно $\frac{x}{2}$:

$\frac{x}{2} = \pm\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

Теперь найдем $x$, умножив обе части на 2:

$x = 2 \cdot \left(\pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n\right)$

$x = \pm\frac{\pi}{3} + 4\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

24.26. а) $ \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1; $

б) $ \sin x - \cos x = 1; $

В) $ \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x = 1; $

Г) $ \sqrt{3} \cos x + \sin x = 1. $

a) Исходное уравнение: $\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1$.

Данное уравнение можно преобразовать, используя формулу синуса разности. Заметим, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим эти значения в уравнение:

$\sin x \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Левая часть уравнения представляет собой развернутую формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.

Сворачивая левую часть, получаем:

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 1$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$:

$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$.

$x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $\sin x - \cos x = 1$.

Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a=1, b=-1, c=1$. Решим его методом введения вспомогательного угла. Для этого разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Как и в предыдущем пункте, заменим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\cos(\frac{\pi}{4})$ и $\sin(\frac{\pi}{4})$:

$\sin x \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Применяя формулу синуса разности, получаем:

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение этого уравнения распадается на две серии:

1) $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $x - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x = 1$.

Это уравнение уже подготовлено для применения формулы косинуса разности. Заметим, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Подставим эти значения в уравнение:

$\cos x \cos(\frac{\pi}{6}) + \sin x \sin(\frac{\pi}{6}) = 1$.

Левая часть уравнения является развернутой формулой косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.

Сворачивая левую часть, получаем:

$\cos(x - \frac{\pi}{6}) = 1$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$x - \frac{\pi}{6} = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$:

$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $\sqrt{3} \cos x + \sin x = 1$.

Перепишем уравнение в стандартном виде: $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 1$. Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a=1, b=\sqrt{3}, c=1$. Применим метод вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

$\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = \frac{1}{2}$.

Заметим, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим эти значения:

$\sin x \cos(\frac{\pi}{3}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, получаем:

$\sin(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Общее решение этого уравнения состоит из двух серий:

1) $x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $x + \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k \implies x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{3\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

24.27. a) $\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1;$

б) $\sin x + \cos x = 1;$

В) $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = 1;$

Г) $\sqrt{3} \cos x - \sin x = 1.$

Данное уравнение $\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = 1$ является уравнением вида $a \sin x + b \cos x = c$. Для его решения можно использовать формулы сложения аргументов.

Заметим, что коэффициенты при $\sin x$ и $\cos x$ равны $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Мы знаем, что $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим эти значения в уравнение:

$\cos\frac{\pi}{4} \sin x + \sin\frac{\pi}{4} \cos x = 1$

Левая часть уравнения представляет собой развернутую формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.

Свернем левую часть по этой формуле:

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Синус равен единице, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$:

$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.$

Для решения уравнения $\sin x + \cos x = 1$ воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a=1, b=1, c=1$.

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Преобразуем коэффициенты:

$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Как и в предыдущем задании, заменим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\cos\frac{\pi}{4}$ и $\sin\frac{\pi}{4}$:

$\cos\frac{\pi}{4}\sin x + \sin\frac{\pi}{4}\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Применим формулу синуса суммы:

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это уравнение имеет две серии решений:

1) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{2\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x=2\pi k, x=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.$

Рассмотрим уравнение $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x = 1$.

Заметим, что $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$. Подставим эти значения в уравнение:

$\cos\frac{\pi}{6} \cos x - \sin\frac{\pi}{6} \sin x = 1$

Левая часть уравнения является развернутой формулой косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.

Свернем левую часть по этой формуле:

$\cos(x + \frac{\pi}{6}) = 1$

Косинус равен единице, когда его аргумент равен $2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

$x + \frac{\pi}{6} = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$:

$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.$

Решим уравнение $\sqrt{3}\cos x - \sin x = 1$ методом введения вспомогательного угла. Это уравнение вида $a \cos x + b \sin x = c$, где $a=\sqrt{3}, b=-1, c=1$.

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$:

$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x = \frac{1}{2}$

Как и в задании в), заменим коэффициенты на тригонометрические функции угла $\frac{\pi}{6}$:

$\cos\frac{\pi}{6}\cos x - \sin\frac{\pi}{6}\sin x = \frac{1}{2}$

Применим формулу косинуса суммы:

$\cos(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Общее решение для такого уравнения имеет вид $x + \frac{\pi}{6} = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k$. Так как $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$x + \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Разобьем решение на две серии:

1) $x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $x + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{3\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x=\frac{\pi}{6} + 2\pi k, x=-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.$