Страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

26.21. a) $2 \cos (2\pi + x) + \sin \left(\frac{\pi}{2} + x\right) = 3;$

б) $\sin (\pi + x) + 2 \cos \left(\frac{\pi}{2} + x\right) = 3;$

в) $2 \sin (\pi + x) + \cos \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\frac{1}{2};$

г) $3 \sin \left(\frac{\pi}{2} + x\right) - \cos (2\pi + x) = 1.$

а) Исходное уравнение: $2 \cos(2\pi + x) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = 3$.
Применим формулы приведения. Функция косинус имеет период $2\pi$, поэтому $\cos(2\pi + x) = \cos(x)$.
Для $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)$ используем правило: так как угол $\frac{\pi}{2} + x$ находится во второй координатной четверти, где синус положителен, и аргумент содержит $\frac{\pi}{2}$, то функция меняется на кофункцию (косинус). Таким образом, $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos(x)$.
Подставим упрощенные выражения в уравнение:
$2 \cos(x) + \cos(x) = 3$
$3 \cos(x) = 3$
$\cos(x) = 1$
Решением этого уравнения является серия корней:
$x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $\sin(\pi + x) + 2 \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = 3$.
Применим формулы приведения.
Для $\sin(\pi + x)$: угол $\pi + x$ находится в третьей четверти, где синус отрицателен, функция не меняется. Следовательно, $\sin(\pi + x) = -\sin(x)$.
Для $\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right)$: угол $\frac{\pi}{2} + x$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен, функция меняется на синус. Следовательно, $\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin(x)$.
Подставим в уравнение:
$-\sin(x) + 2(-\sin(x)) = 3$
$-\sin(x) - 2\sin(x) = 3$
$-3\sin(x) = 3$
$\sin(x) = -1$
Решением этого уравнения является серия корней:
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $2 \sin(\pi + x) + \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\frac{1}{2}$.
Применим формулы приведения.
Как и в предыдущем пункте, $\sin(\pi + x) = -\sin(x)$.
Для $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$: угол $\frac{\pi}{2} - x$ находится в первой четверти, где косинус положителен, функция меняется на синус. Следовательно, $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x)$.
Подставим в уравнение:
$2(-\sin(x)) + \sin(x) = -\frac{1}{2}$
$-2\sin(x) + \sin(x) = -\frac{1}{2}$
$-\sin(x) = -\frac{1}{2}$
$\sin(x) = \frac{1}{2}$
Это уравнение имеет две серии решений:
$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Их можно объединить в одну формулу: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $3 \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) - \cos(2\pi + x) = 1$.
Применим формулы приведения.
Как и в пункте а), $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos(x)$ и $\cos(2\pi + x) = \cos(x)$.
Подставим в уравнение:
$3 \cos(x) - \cos(x) = 1$
$2 \cos(x) = 1$
$\cos(x) = \frac{1}{2}$
Решением этого уравнения является серия корней:
$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

26.22. a) $5 \sin \left(\frac{\pi}{2} + x\right) - \sin \left(\frac{3\pi}{2} + x\right) - 8 \cos (2\pi - x) = 1;$

б) $\sin (2\pi + x) - \cos \left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \sin (\pi - x) = 1.$

а) $5 \sin(\frac{\pi}{2} + x) - \sin(\frac{3\pi}{2} + x) - 8 \cos(2\pi - x) = 1$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулами приведения, которые позволяют упростить тригонометрические функции.

1. Упростим $\sin(\frac{\pi}{2} + x)$. Согласно формуле приведения, если в аргументе есть $\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию (синус на косинус). Угол $\frac{\pi}{2} + x$ находится во II четверти, где синус положителен. Таким образом, $\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos(x)$.

2. Упростим $\sin(\frac{3\pi}{2} + x)$. Функция также меняется на косинус. Угол $\frac{3\pi}{2} + x$ находится в IV четверти, где синус отрицателен. Таким образом, $\sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -\cos(x)$.

3. Упростим $\cos(2\pi - x)$. Если в аргументе есть $\pi$ или $2\pi$, функция не меняется. Угол $2\pi - x$ находится в IV четверти, где косинус положителен. Также можно использовать свойство периодичности косинуса. Таким образом, $\cos(2\pi - x) = \cos(x)$.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное уравнение:

$5(\cos x) - (-\cos x) - 8(\cos x) = 1$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$5\cos x + \cos x - 8\cos x = 1$

$6\cos x - 8\cos x = 1$

$-2\cos x = 1$

Разделим обе части уравнения на -2:

$\cos x = -\frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для $\cos x = a$ имеет вид $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$

Так как $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем решение:

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin(2\pi + x) - \cos(\frac{\pi}{2} - x) + \sin(\pi - x) = 1$

Аналогично предыдущему пункту, применим формулы приведения для каждого слагаемого.

1. Упростим $\sin(2\pi + x)$. В силу периодичности функции синус (период $2\pi$), имеем: $\sin(2\pi + x) = \sin(x)$.

2. Упростим $\cos(\frac{\pi}{2} - x)$. Функция меняется на синус. Угол $\frac{\pi}{2} - x$ находится в I четверти, где косинус положителен. Следовательно, $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$.

3. Упростим $\sin(\pi - x)$. Функция не меняется. Угол $\pi - x$ находится во II четверти, где синус положителен. Следовательно, $\sin(\pi - x) = \sin(x)$.

Подставим полученные выражения в уравнение:

$\sin x - \sin x + \sin x = 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$\sin x = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Его решение:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

26.23. a) $\sin^2(\pi + x) + \cos^2(2\pi - x) = 0;$

б) $\sin^2(\pi + x) + \cos^2(2\pi - x) = 1.$

а) $ \sin^2(\pi + x) + \cos^2(2\pi - x) = 0 $

Для решения этого уравнения воспользуемся формулами приведения, которые позволяют упростить тригонометрические функции.

1. Упростим выражение $ \sin^2(\pi + x) $. Согласно формуле приведения, $ \sin(\pi + x) = -\sin(x) $, так как угол $ \pi + x $ находится в III координатной четверти (если считать $x$ острым углом), где синус отрицателен. При возведении в квадрат получаем:

$ \sin^2(\pi + x) = (-\sin(x))^2 = \sin^2(x) $

2. Упростим выражение $ \cos^2(2\pi - x) $. Согласно формуле приведения, $ \cos(2\pi - x) = \cos(-x) $. Так как косинус является четной функцией, $ \cos(-x) = \cos(x) $. При возведении в квадрат получаем:

$ \cos^2(2\pi - x) = (\cos(x))^2 = \cos^2(x) $

3. Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 0 $

4. Из основного тригонометрического тождества мы знаем, что для любого действительного числа $x$ справедливо равенство $ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $.

5. Таким образом, наше уравнение сводится к неверному равенству $ 1 = 0 $. Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором исходное уравнение было бы верным.

Ответ: решений нет.

б) $ \sin^2(\pi + x) + \cos^2(2\pi - x) = 1 $

1. Как и в предыдущем пункте, используем формулы приведения для упрощения левой части уравнения:

$ \sin^2(\pi + x) = \sin^2(x) $

$ \cos^2(2\pi - x) = \cos^2(x) $

2. Подставляем упрощенные выражения обратно в уравнение:

$ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $

3. Полученное равенство является основным тригонометрическим тождеством. Оно справедливо для любого действительного значения $x$.

Следовательно, решением данного уравнения является любое действительное число.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$ (x — любое действительное число).

26.24. a) $ \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) = 0; $

б) $ 2 \sin(\pi - 3x) + \cos(2\pi - 3x) = 0. $

a) $ \sin(\frac{\pi}{2} + 2x) + \cos(\frac{\pi}{2} - 2x) = 0 $

Для решения данного уравнения воспользуемся формулами приведения, которые позволяют упростить тригонометрические выражения:

$ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\alpha) $

$ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha) $

Применив эти формулы к нашему уравнению, где в качестве $ \alpha $ выступает $ 2x $, получим следующее эквивалентное уравнение:

$ \cos(2x) + \sin(2x) = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение первого порядка. Для его решения разделим обе части уравнения на $ \cos(2x) $. Такое деление возможно, поскольку $ \cos(2x) $ не может быть равен нулю в решениях данного уравнения. Если предположить, что $ \cos(2x) = 0 $, то из уравнения $ \cos(2x) + \sin(2x) = 0 $ следовало бы, что и $ \sin(2x) = 0 $. Однако $ \sin(2x) $ и $ \cos(2x) $ не могут одновременно равняться нулю, так как это противоречит основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1 $.

Выполняем деление:

$ \frac{\cos(2x)}{\cos(2x)} + \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = 0 $

$ 1 + \tan(2x) = 0 $

$ \tan(2x) = -1 $

Теперь найдем общее решение для аргумента $ 2x $:

$ 2x = \arctan(-1) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Поскольку $ \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4} $, имеем:

$ 2x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Чтобы найти $ x $, разделим обе части равенства на 2:

$ x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.

б) $ 2\sin(\pi - 3x) + \cos(2\pi - 3x) = 0 $

Снова воспользуемся формулами приведения для упрощения исходного уравнения:

$ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $

$ \cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha) $

В данном случае $ \alpha = 3x $. Подставим упрощенные выражения в уравнение:

$ 2\sin(3x) + \cos(3x) = 0 $

Мы получили однородное тригонометрическое уравнение первого порядка. Разделим обе его части на $ \cos(3x) $. Как и в предыдущем пункте, $ \cos(3x) \neq 0 $, так как в противном случае из уравнения следовало бы, что $ \sin(3x) = 0 $, что невозможно.

$ \frac{2\sin(3x)}{\cos(3x)} + \frac{\cos(3x)}{\cos(3x)} = 0 $

$ 2\tan(3x) + 1 = 0 $

$ 2\tan(3x) = -1 $

$ \tan(3x) = -\frac{1}{2} $

Найдем общее решение для $ 3x $:

$ 3x = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Используя свойство нечетности арктангенса $ \arctan(-a) = -\arctan(a) $, перепишем выражение:

$ 3x = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Наконец, выразим $ x $, разделив обе части на 3:

$ x = -\frac{1}{3}\arctan\frac{1}{2} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\frac{1}{3}\arctan\frac{1}{2} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.

26.25. a) $cos (\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}) - 3 cos (\pi - \frac{x}{2}) = 0;$

б) $\sqrt{3} sin (\pi - \frac{x}{3}) + 3 sin (\frac{\pi}{2} - \frac{x}{3}) = 0.$

a) $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}\right) - 3\cos\left(\pi - \frac{x}{2}\right) = 0$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулами приведения:

1. $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin(\alpha)$. При $\alpha = \frac{x}{2}$, получаем $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}\right) = \sin\left(\frac{x}{2}\right)$.

2. $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$. При $\alpha = \frac{x}{2}$, получаем $\cos\left(\pi - \frac{x}{2}\right) = -\cos\left(\frac{x}{2}\right)$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$\sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3\left(-\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right) = 0$

$\sin\left(\frac{x}{2}\right) + 3\cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Чтобы его решить, разделим обе части на $\cos\left(\frac{x}{2}\right)$. Это действие является корректным, так как если $\cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0$, то из уравнения следовало бы, что $\sin\left(\frac{x}{2}\right) = 0$. Однако, одновременное равенство синуса и косинуса одного и того же угла нулю невозможно согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

$\frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos\left(\frac{x}{2}\right)} + \frac{3\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos\left(\frac{x}{2}\right)} = 0$

$\tan\left(\frac{x}{2}\right) + 3 = 0$

$\tan\left(\frac{x}{2}\right) = -3$

Теперь найдём $\frac{x}{2}$:

$\frac{x}{2} = \arctan(-3) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Используя свойство $\arctan(-a) = -\arctan(a)$, получаем:

$\frac{x}{2} = -\arctan(3) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$, умножив обе части на 2:

$x = -2\arctan(3) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -2\arctan(3) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

б) $\sqrt{3}\sin\left(\pi - \frac{x}{3}\right) + 3\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{3}\right) = 0$

Воспользуемся формулами приведения:

1. $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$. При $\alpha = \frac{x}{3}$, получаем $\sin\left(\pi - \frac{x}{3}\right) = \sin\left(\frac{x}{3}\right)$.

2. $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos(\alpha)$. При $\alpha = \frac{x}{3}$, получаем $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{3}\right) = \cos\left(\frac{x}{3}\right)$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$\sqrt{3}\sin\left(\frac{x}{3}\right) + 3\cos\left(\frac{x}{3}\right) = 0$

Это также однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части на $\cos\left(\frac{x}{3}\right) \neq 0$ (по аналогии с пунктом а).

$\frac{\sqrt{3}\sin\left(\frac{x}{3}\right)}{\cos\left(\frac{x}{3}\right)} + \frac{3\cos\left(\frac{x}{3}\right)}{\cos\left(\frac{x}{3}\right)} = 0$

$\sqrt{3}\tan\left(\frac{x}{3}\right) + 3 = 0$

$\sqrt{3}\tan\left(\frac{x}{3}\right) = -3$

$\tan\left(\frac{x}{3}\right) = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\frac{3\sqrt{3}}{3} = -\sqrt{3}$

Теперь найдём $\frac{x}{3}$:

$\frac{x}{3} = \arctan(-\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Так как $\arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, то:

$\frac{x}{3} = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$, умножив обе части на 3:

$x = 3\left(-\frac{\pi}{3} + \pi n\right)$

$x = -\pi + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\pi + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$

26.26. a) $\sin^2 x + \cos (\frac{\pi}{2} - x) \sin (\frac{\pi}{2} - x) - 2 \cos^2 x = 0;$

б) $\sin^2 3x + 3 \cos^2 3x - 4 \sin (\frac{\pi}{2} + 3x) \cos (\frac{\pi}{2} + 3x) = 0;$

в) $\sin^2 x + 2 \sin (\pi - x) \cos x - 3 \cos^2 (2\pi - x) = 0;$

г) $\sin^2 (2\pi - 3x) + 5 \sin (\pi - 3x) \cos 3x + 4 \sin^2 (\frac{3\pi}{2} - 3x) = 0.$

а) $sin^2 x + cos(\frac{\pi}{2} - x) sin(\frac{\pi}{2} - x) - 2 cos^2 x = 0$

Применим формулы приведения: $cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin x$ и $sin(\frac{\pi}{2} - x) = cos x$.

Подставим их в исходное уравнение:

$sin^2 x + sin x \cdot cos x - 2 cos^2 x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, являются ли решения уравнения $cos x = 0$ корнями данного уравнения. Если $cos x = 0$, то $sin^2 x = 1$. Подставив в уравнение, получим $1 + 0 - 0 = 1 \neq 0$. Значит, $cos x \neq 0$. Можем разделить обе части уравнения на $cos^2 x$:

$\frac{sin^2 x}{cos^2 x} + \frac{sin x \cdot cos x}{cos^2 x} - \frac{2 cos^2 x}{cos^2 x} = 0$

$tan^2 x + tan x - 2 = 0$

Сделаем замену $t = tan x$. Получим квадратное уравнение:

$t^2 + t - 2 = 0$

Корни этого уравнения (по теореме Виета): $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Вернемся к замене:

1) $tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $tan x = -2 \implies x = arctan(-2) + \pi k = -\arctan 2 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n; x = -\arctan 2 + \pi k, n, k \in \mathbb{Z}$.

б) $sin^2 3x + 3 cos^2 3x - 4 sin(\frac{\pi}{2} + 3x) cos(\frac{\pi}{2} + 3x) = 0$

Применим формулы приведения: $sin(\frac{\pi}{2} + 3x) = cos 3x$ и $cos(\frac{\pi}{2} + 3x) = -sin 3x$.

Подставим их в уравнение:

$sin^2 3x + 3 cos^2 3x - 4 (cos 3x)(-sin 3x) = 0$

$sin^2 3x + 4 sin 3x cos 3x + 3 cos^2 3x = 0$

Это однородное уравнение. Разделим обе части на $cos^2 3x$ (случай $cos 3x = 0$ не является решением, так как тогда $sin^2 3x=1$ и $1+0+0=1\neq 0$):

$\frac{sin^2 3x}{cos^2 3x} + \frac{4 sin 3x cos 3x}{cos^2 3x} + \frac{3 cos^2 3x}{cos^2 3x} = 0$

$tan^2 3x + 4 tan 3x + 3 = 0$

Сделаем замену $t = tan 3x$:

$t^2 + 4t + 3 = 0$

Корни уравнения: $t_1 = -1$ и $t_2 = -3$.

Вернемся к замене:

1) $tan 3x = -1 \implies 3x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

2) $tan 3x = -3 \implies 3x = arctan(-3) + \pi k \implies x = -\frac{\arctan 3}{3} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}; x = -\frac{\arctan 3}{3} + \frac{\pi k}{3}, n, k \in \mathbb{Z}$.

в) $sin^2 x + 2 sin(\pi - x) cos x - 3 cos^2 (2\pi - x) = 0$

Применим формулы приведения: $sin(\pi - x) = sin x$ и $cos(2\pi - x) = cos x$.

Подставим их в уравнение:

$sin^2 x + 2 sin x cos x - 3 cos^2 x = 0$

Это однородное уравнение. Разделим обе части на $cos^2 x$ (случай $cos x = 0$ не является решением, так как тогда $sin^2 x = 1$ и $1+0-0=1\neq 0$):

$\frac{sin^2 x}{cos^2 x} + \frac{2 sin x cos x}{cos^2 x} - \frac{3 cos^2 x}{cos^2 x} = 0$

$tan^2 x + 2 tan x - 3 = 0$

Сделаем замену $t = tan x$:

$t^2 + 2t - 3 = 0$

Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

Вернемся к замене:

1) $tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $tan x = -3 \implies x = arctan(-3) + \pi k = -\arctan 3 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n; x = -\arctan 3 + \pi k, n, k \in \mathbb{Z}$.

г) $sin^2 (2\pi - 3x) + 5 sin(\pi - 3x) cos 3x + 4 sin^2 (\frac{3\pi}{2} - 3x) = 0$

Применим формулы приведения:

$sin(2\pi - 3x) = -sin 3x \implies sin^2(2\pi - 3x) = sin^2 3x$

$sin(\pi - 3x) = sin 3x$

$sin(\frac{3\pi}{2} - 3x) = -cos 3x \implies sin^2(\frac{3\pi}{2} - 3x) = cos^2 3x$

Подставим их в уравнение:

$sin^2 3x + 5 sin 3x cos 3x + 4 cos^2 3x = 0$

Это однородное уравнение. Разделим обе части на $cos^2 3x$ (случай $cos 3x = 0$ не является решением, так как тогда $sin^2 3x=1$ и $1+0+0=1\neq 0$):

$\frac{sin^2 3x}{cos^2 3x} + \frac{5 sin 3x cos 3x}{cos^2 3x} + \frac{4 cos^2 3x}{cos^2 3x} = 0$

$tan^2 3x + 5 tan 3x + 4 = 0$

Сделаем замену $t = tan 3x$:

$t^2 + 5t + 4 = 0$

Корни уравнения: $t_1 = -1$ и $t_2 = -4$.

Вернемся к замене:

1) $tan 3x = -1 \implies 3x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

2) $tan 3x = -4 \implies 3x = arctan(-4) + \pi k \implies x = -\frac{\arctan 4}{3} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}; x = -\frac{\arctan 4}{3} + \frac{\pi k}{3}, n, k \in \mathbb{Z}$.

26.27. а) $3 \sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}\right) = 2;$

б) $2 \cos^2 \frac{x}{2} - 3 \sin \left(\pi - \frac{x}{2}\right) \cos \left(2\pi - \frac{x}{2}\right) + 7 \sin^2 \frac{x}{2} = 3;$

в) $4 \cos^2 \left(\frac{\pi}{2} + x\right) + \sqrt{3} \sin \left(\frac{3\pi}{2} - x\right) \sin (\pi + x) + 3 \cos^2 (\pi + x) = 3;$

г) $3 \sin^2 \left(x - \frac{3\pi}{2}\right) - 2 \cos \left(\frac{3\pi}{2} + x\right) \cos (\pi + x) + 2 \sin^2 (x - \pi) = 2.$

а) $3\sin^2\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}) = 2$

Используем формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha$. Тогда $\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}) = \cos\frac{x}{2}$.

Уравнение принимает вид:

$3\sin^2\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = 2$

Это однородное тригонометрическое уравнение. Для его решения заменим 2 на $2(\sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2})$:

$3\sin^2\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = 2\sin^2\frac{x}{2} + 2\cos^2\frac{x}{2}$

Перенесем все члены в левую часть:

$(3\sin^2\frac{x}{2} - 2\sin^2\frac{x}{2}) + \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} - 2\cos^2\frac{x}{2} = 0$

$\sin^2\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} - 2\cos^2\frac{x}{2} = 0$

Разделим обе части уравнения на $\cos^2\frac{x}{2}$, предполагая, что $\cos\frac{x}{2} \neq 0$. Если $\cos\frac{x}{2} = 0$, то $\sin^2\frac{x}{2} = 1$. Подставив в уравнение, получим $1 + 0 - 0 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos\frac{x}{2} \neq 0$.

$\frac{\sin^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}} + \frac{\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}} - \frac{2\cos^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}} = 0$

$\tan^2\frac{x}{2} + \tan\frac{x}{2} - 2 = 0$

Сделаем замену $t = \tan\frac{x}{2}$. Получим квадратное уравнение $t^2 + t - 2 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Возвращаемся к замене:

1) $\tan\frac{x}{2} = 1 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan\frac{x}{2} = -2 \implies \frac{x}{2} = \arctan(-2) + \pi n \implies x = -2\arctan(2) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -2\arctan(2) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $2\cos^2\frac{x}{2} - 3\sin(\pi - \frac{x}{2})\cos(2\pi - \frac{x}{2}) + 7\sin^2\frac{x}{2} = 3$

Применим формулы приведения: $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$ и $\cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha$.

$\sin(\pi - \frac{x}{2}) = \sin\frac{x}{2}$

$\cos(2\pi - \frac{x}{2}) = \cos\frac{x}{2}$

Подставим в исходное уравнение:

$2\cos^2\frac{x}{2} - 3\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} + 7\sin^2\frac{x}{2} = 3$

Заменим 3 на $3(\sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2})$:

$2\cos^2\frac{x}{2} - 3\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} + 7\sin^2\frac{x}{2} = 3\sin^2\frac{x}{2} + 3\cos^2\frac{x}{2}$

Перенесем все в левую часть:

$(7\sin^2\frac{x}{2} - 3\sin^2\frac{x}{2}) - 3\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} + (2\cos^2\frac{x}{2} - 3\cos^2\frac{x}{2}) = 0$

$4\sin^2\frac{x}{2} - 3\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} - \cos^2\frac{x}{2} = 0$

Разделим обе части на $\cos^2\frac{x}{2}$ (проверка $\cos\frac{x}{2} \neq 0$ аналогична пункту а):

$4\tan^2\frac{x}{2} - 3\tan\frac{x}{2} - 1 = 0$

Пусть $t = \tan\frac{x}{2}$. Уравнение $4t^2 - 3t - 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4(4)(-1) = 9 + 16 = 25$.

$t = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{8} = \frac{3 \pm 5}{8}$.

Корни: $t_1 = \frac{8}{8} = 1$ и $t_2 = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$.

Возвращаемся к замене:

1) $\tan\frac{x}{2} = 1 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan\frac{x}{2} = -\frac{1}{4} \implies \frac{x}{2} = \arctan(-\frac{1}{4}) + \pi n \implies x = -2\arctan(\frac{1}{4}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -2\arctan(\frac{1}{4}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $4\cos^2(\frac{\pi}{2} + x) + \sqrt{3}\sin(\frac{3\pi}{2} - x)\sin(\pi + x) + 3\cos^2(\pi + x) = 3$

Упростим выражение с помощью формул приведения:

$\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin x \implies \cos^2(\frac{\pi}{2} + x) = \sin^2 x$

$\sin(\frac{3\pi}{2} - x) = -\cos x$

$\sin(\pi + x) = -\sin x$

$\cos(\pi + x) = -\cos x \implies \cos^2(\pi + x) = \cos^2 x$

Подставим упрощенные выражения в уравнение:

$4\sin^2 x + \sqrt{3}(-\cos x)(-\sin x) + 3\cos^2 x = 3$

$4\sin^2 x + \sqrt{3}\sin x \cos x + 3\cos^2 x = 3$

Заменим 3 на $3(\sin^2 x + \cos^2 x)$:

$4\sin^2 x + \sqrt{3}\sin x \cos x + 3\cos^2 x = 3\sin^2 x + 3\cos^2 x$

$(4\sin^2 x - 3\sin^2 x) + \sqrt{3}\sin x \cos x + (3\cos^2 x - 3\cos^2 x) = 0$

$\sin^2 x + \sqrt{3}\sin x \cos x = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x(\sin x + \sqrt{3}\cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $\sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x + \sqrt{3}\cos x = 0$. Разделим на $\cos x \neq 0$:

$\tan x + \sqrt{3} = 0 \implies \tan x = -\sqrt{3}$

$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $3\sin^2(x - \frac{3\pi}{2}) - 2\cos(\frac{3\pi}{2} + x)\cos(\pi + x) + 2\sin^2(x - \pi) = 2$

Применим формулы приведения:

$\sin(x - \frac{3\pi}{2}) = \sin(-(\frac{3\pi}{2} - x)) = -\sin(\frac{3\pi}{2} - x) = -(-\cos x) = \cos x \implies \sin^2(x - \frac{3\pi}{2}) = \cos^2 x$

$\cos(\frac{3\pi}{2} + x) = \sin x$

$\cos(\pi + x) = -\cos x$

$\sin(x - \pi) = \sin(-(\pi - x)) = -\sin(\pi - x) = -\sin x \implies \sin^2(x - \pi) = \sin^2 x$

Подставим в уравнение:

$3\cos^2 x - 2(\sin x)(-\cos x) + 2\sin^2 x = 2$

$3\cos^2 x + 2\sin x \cos x + 2\sin^2 x = 2$

Заменим 2 на $2(\sin^2 x + \cos^2 x)$:

$3\cos^2 x + 2\sin x \cos x + 2\sin^2 x = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x$

$(3\cos^2 x - 2\cos^2 x) + 2\sin x \cos x + (2\sin^2 x - 2\sin^2 x) = 0$

$\cos^2 x + 2\sin x \cos x = 0$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$\cos x(\cos x + 2\sin x) = 0$

Получаем два случая:

1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x + 2\sin x = 0$. Разделим на $\cos x \neq 0$:

$1 + 2\tan x = 0 \implies \tan x = -\frac{1}{2}$

$x = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi n \implies x = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.