Страница 166, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Вычислите:

27.3. а) $2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ$;

б) $(\cos 75^\circ - \sin 75^\circ)^2$;

в) $\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ$;

г) $(\cos 15^\circ + \sin 15^\circ)^2.$

а) Для вычисления выражения $2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

В данном случае $\alpha = 15^\circ$.

Подставим значение $\alpha$ в формулу:

$2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin(30^\circ)$.

Значение синуса 30 градусов является табличным: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Для вычисления выражения $(\cos 75^\circ - \sin 75^\circ)^2$ раскроем скобки, используя формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(\cos 75^\circ - \sin 75^\circ)^2 = \cos^2 75^\circ - 2 \cos 75^\circ \sin 75^\circ + \sin^2 75^\circ$.

Сгруппируем слагаемые: $(\cos^2 75^\circ + \sin^2 75^\circ) - 2 \sin 75^\circ \cos 75^\circ$.

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

Получаем: $1 - \sin(2 \cdot 75^\circ) = 1 - \sin(150^\circ)$.

Чтобы найти значение $\sin(150^\circ)$, используем формулу приведения: $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Подставим это значение в выражение: $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) Выражение $\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ$ соответствует формуле косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.

В данном случае $\alpha = 15^\circ$.

Подставим значение $\alpha$ в формулу:

$\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = \cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos(30^\circ)$.

Значение косинуса 30 градусов является табличным: $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

г) Для вычисления выражения $(\cos 15^\circ + \sin 15^\circ)^2$ раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(\cos 15^\circ + \sin 15^\circ)^2 = \cos^2 15^\circ + 2 \cos 15^\circ \sin 15^\circ + \sin^2 15^\circ$.

Сгруппируем слагаемые: $(\cos^2 15^\circ + \sin^2 15^\circ) + 2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ$.

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

Получаем: $1 + \sin(2 \cdot 15^\circ) = 1 + \sin(30^\circ)$.

Мы знаем, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Подставим это значение в выражение: $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$

27.4. a) $2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8};$

б) $\sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4};$

В) $\cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8};$

Г) $\frac{\sqrt{2}}{2} - \left(\cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8}\right)^2.$

а) Для вычисления значения выражения $2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{8}$. Применяя формулу, получаем:
$2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8} = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \sin(\frac{2\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{4})$.
Значение синуса угла $\frac{\pi}{4}$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) Рассмотрим выражение $\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}$.
Для преобразования произведения $\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}$ используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, из которой следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.
Пусть $\alpha = \frac{\pi}{8}$, тогда:
$\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8} = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.
Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение:
$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{2} + 1}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2} + 1}{4}$.

в) Выражение $\cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8}$ соответствует формуле косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
В данном случае $\alpha = \frac{\pi}{8}$. Применим формулу:
$\cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8} = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{2\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{4})$.
Значение косинуса угла $\frac{\pi}{4}$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) Рассмотрим выражение $\frac{\sqrt{2}}{2} - (\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8})^2$.
Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8})^2 = \cos^2\frac{\pi}{8} + 2\cos\frac{\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8} + \sin^2\frac{\pi}{8}$.
Сгруппируем слагаемые: $(\cos^2\frac{\pi}{8} + \sin^2\frac{\pi}{8}) + 2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$.
Получаем: $1 + \sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = 1 + \sin(\frac{\pi}{4}) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$\frac{\sqrt{2}}{2} - (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = -1$.
Ответ: $-1$.

27.5. a) $\frac{\operatorname{tg} 75^{\circ}}{1-\operatorname{tg}^2 75^{\circ}}$;

б) $\frac{2 \operatorname{tg} \frac{5 \pi}{12}}{\operatorname{tg}^2 \frac{5 \pi}{12}-1}$.

а)

Для решения данного примера воспользуемся формулой тангенса двойного угла: $ \text{tg}(2\alpha) = \frac{2 \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} $.

Заметим, что исходное выражение $ \frac{\text{tg } 75^\circ}{1 - \text{tg}^2 75^\circ} $ очень похоже на правую часть этой формулы. Чтобы привести его к нужному виду, умножим и разделим выражение на 2, или, что то же самое, вынесем множитель $ \frac{1}{2} $:

$ \frac{\text{tg } 75^\circ}{1 - \text{tg}^2 75^\circ} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \text{tg } 75^\circ}{1 - \text{tg}^2 75^\circ} $

Теперь выражение $ \frac{2 \text{tg } 75^\circ}{1 - \text{tg}^2 75^\circ} $ в точности соответствует правой части формулы тангенса двойного угла при $ \alpha = 75^\circ $. Применим формулу:

$ \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \text{tg } 75^\circ}{1 - \text{tg}^2 75^\circ} = \frac{1}{2} \text{tg}(2 \cdot 75^\circ) = \frac{1}{2} \text{tg}(150^\circ) $

Далее, вычислим значение $ \text{tg}(150^\circ) $, используя формулу приведения $ \text{tg}(180^\circ - \beta) = -\text{tg}(\beta) $:

$ \text{tg}(150^\circ) = \text{tg}(180^\circ - 30^\circ) = -\text{tg}(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $

Подставим полученное значение обратно в наше выражение:

$ \frac{1}{2} \text{tg}(150^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{6} $

Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{6} $

б)

Как и в предыдущем пункте, используем формулу тангенса двойного угла: $ \text{tg}(2\alpha) = \frac{2 \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} $.

Рассмотрим выражение $ \frac{2 \text{tg} \frac{5\pi}{12}}{\text{tg}^2 \frac{5\pi}{12} - 1} $. Сравним его с формулой. Мы видим, что знаменатель $ \text{tg}^2 \frac{5\pi}{12} - 1 $ является противоположным по знаку знаменателю в формуле $ 1 - \text{tg}^2 \alpha $. Вынесем знак минус из знаменателя дроби:

$ \frac{2 \text{tg} \frac{5\pi}{12}}{\text{tg}^2 \frac{5\pi}{12} - 1} = \frac{2 \text{tg} \frac{5\pi}{12}}{-(1 - \text{tg}^2 \frac{5\pi}{12})} = - \frac{2 \text{tg} \frac{5\pi}{12}}{1 - \text{tg}^2 \frac{5\pi}{12}} $

Теперь дробь полностью соответствует формуле тангенса двойного угла при $ \alpha = \frac{5\pi}{12} $. Применим формулу:

$ - \frac{2 \text{tg} \frac{5\pi}{12}}{1 - \text{tg}^2 \frac{5\pi}{12}} = - \text{tg}\left(2 \cdot \frac{5\pi}{12}\right) = - \text{tg}\left(\frac{10\pi}{12}\right) = - \text{tg}\left(\frac{5\pi}{6}\right) $

Вычислим значение $ \text{tg}\left(\frac{5\pi}{6}\right) $, используя формулу приведения $ \text{tg}(\pi - \beta) = -\text{tg}(\beta) $:

$ \text{tg}\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \text{tg}\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\text{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $

Подставим это значение в наше выражение:

$ - \text{tg}\left(\frac{5\pi}{6}\right) = - \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{3} $

27.6. a) $\frac{\sin 2t - 2 \sin t}{\cos t - 1}$;

б) $\frac{\cos 2t - \cos^2 t}{1 - \cos^2 t}$;

В) $\sin 2t \operatorname{ctg} t - 1$;

Г) $2 \cos^2 \frac{\pi + t}{4} - 2 \sin^2 \frac{\pi + t}{4}$.

а) Упростим выражение $ \frac{\sin 2t - 2 \sin t}{\cos t - 1} $.
Для начала воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $. Подставим это выражение в числитель дроби:
$ \frac{2 \sin t \cos t - 2 \sin t}{\cos t - 1} $
Теперь вынесем общий множитель $ 2 \sin t $ за скобки в числителе:
$ \frac{2 \sin t (\cos t - 1)}{\cos t - 1} $
Сократим дробь на общий множитель $ (\cos t - 1) $, при условии, что $ \cos t - 1 \neq 0 $, то есть $ \cos t \neq 1 $.
В результате получаем:
$ 2 \sin t $
Ответ: $ 2 \sin t $

б) Упростим выражение $ \frac{\cos 2t - \cos^2 t}{1 - \cos^2 t} $.
Воспользуемся одной из формул косинуса двойного угла: $ \cos 2t = 2\cos^2 t - 1 $. Подставим ее в числитель. В знаменателе используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $, из которого следует, что $ 1 - \cos^2 t = \sin^2 t $.
Выражение примет вид:
$ \frac{(2\cos^2 t - 1) - \cos^2 t}{\sin^2 t} $
Упростим числитель:
$ \frac{\cos^2 t - 1}{\sin^2 t} $
Из основного тригонометрического тождества также следует, что $ \cos^2 t - 1 = -\sin^2 t $. Подставим это в числитель:
$ \frac{-\sin^2 t}{\sin^2 t} = -1 $
Сокращение возможно при условии, что $ \sin^2 t \neq 0 $, то есть $ \sin t \neq 0 $.
Ответ: $ -1 $

в) Упростим выражение $ \sin 2t \operatorname{ctg} t - 1 $.
Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $ и определение котангенса $ \operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t} $:
$ (2 \sin t \cos t) \cdot \frac{\cos t}{\sin t} - 1 $
Сократим на $ \sin t $ (при условии, что $ \sin t \neq 0 $, что необходимо для существования $ \operatorname{ctg} t $):
$ 2 \cos t \cdot \cos t - 1 = 2\cos^2 t - 1 $
Полученное выражение является формулой косинуса двойного угла:
$ 2\cos^2 t - 1 = \cos 2t $
Ответ: $ \cos 2t $

г) Упростим выражение $ 2 \cos^2 \frac{\pi + t}{4} - 2 \sin^2 \frac{\pi + t}{4} $.
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$ 2 \left( \cos^2 \frac{\pi + t}{4} - \sin^2 \frac{\pi + t}{4} \right) $
Выражение в скобках соответствует формуле косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $, где в нашем случае $ \alpha = \frac{\pi + t}{4} $.
Применим эту формулу:
$ 2 \cos \left( 2 \cdot \frac{\pi + t}{4} \right) = 2 \cos \left( \frac{\pi + t}{2} \right) $
Представим аргумент косинуса в виде суммы:
$ 2 \cos \left( \frac{\pi}{2} + \frac{t}{2} \right) $
Теперь используем формулу приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin x $:
$ 2 \left( -\sin \frac{t}{2} \right) = -2 \sin \frac{t}{2} $
Ответ: $ -2 \sin \frac{t}{2} $

27.7. a) $ \frac{2}{\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t} $;

б) $ \frac{2}{\operatorname{tg} t - \operatorname{ctg} t} $;

В) $ (1 - \operatorname{tg}^2 t) \cos^2 t $;

Г) $ (\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t) \sin 2t $.

а)

Упростим выражение $\frac{2}{\tg t + \ctg t}$.

Сначала представим тангенс и котангенс через синус и косинус: $\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$ и $\ctg t = \frac{\cos t}{\sin t}$.

Подставим эти выражения в знаменатель:

$\tg t + \ctg t = \frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin t \cos t$:

$\frac{\sin t \cdot \sin t + \cos t \cdot \cos t}{\sin t \cos t} = \frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin t \cos t}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, получаем:

$\frac{1}{\sin t \cos t}$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$\frac{2}{\frac{1}{\sin t \cos t}} = 2 \sin t \cos t$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$, окончательно получаем:

$\sin 2t$

Ответ: $\sin 2t$

б)

Упростим выражение $\frac{2}{\tg t - \ctg t}$.

Аналогично предыдущему пункту, заменим тангенс и котангенс:

$\tg t - \ctg t = \frac{\sin t}{\cos t} - \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\sin^2 t - \cos^2 t}{\sin t \cos t}$

Вынесем минус за скобки в числителе, чтобы использовать формулу косинуса двойного угла $\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t$:

$\frac{-(\cos^2 t - \sin^2 t)}{\sin t \cos t} = \frac{-\cos 2t}{\sin t \cos t}$

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{2}{\frac{-\cos 2t}{\sin t \cos t}} = \frac{2 \sin t \cos t}{-\cos 2t}$

В числителе используем формулу синуса двойного угла $2 \sin t \cos t = \sin 2t$:

$\frac{\sin 2t}{-\cos 2t} = -\tg 2t$

Ответ: $-\tg 2t$

в)

Упростим выражение $(1 - \tg^2 t) \cos^2 t$.

Заменим $\tg^2 t$ на $\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$:

$(1 - \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}) \cos^2 t$

Раскроем скобки, умножив каждый член на $\cos^2 t$:

$1 \cdot \cos^2 t - \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} \cdot \cos^2 t = \cos^2 t - \sin^2 t$

Полученное выражение является формулой косинуса двойного угла:

$\cos^2 t - \sin^2 t = \cos 2t$

Ответ: $\cos 2t$

г)

Упростим выражение $(\tg t + \ctg t) \sin 2t$.

Из решения пункта а) мы знаем, что $\tg t + \ctg t = \frac{1}{\sin t \cos t}$. Подставим это в выражение:

$(\frac{1}{\sin t \cos t}) \sin 2t$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$:

$\frac{1}{\sin t \cos t} \cdot (2 \sin t \cos t)$

Сократим $\sin t \cos t$ в числителе и знаменателе:

$2$

Ответ: $2$

Докажите тождество:

27.8. a) $(\sin t - \cos t)^2 = 1 - \sin 2t;$

б) $\cos^4 t - \sin^4 t = \cos 2t;$

в) $(\sin t + \cos t)^2 = 1 + \sin 2t;$

г) $\cos^4 t - \sin^4 t = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2t.$

а) Докажем тождество $(\sin t - \cos t)^2 = 1 - \sin 2t$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sin t - \cos t)^2 = \sin^2 t - 2\sin t \cos t + \cos^2 t$

Сгруппируем слагаемые:

$(\sin^2 t + \cos^2 t) - 2\sin t \cos t$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2t = 2\sin t \cos t$.

Подставив эти значения в выражение, получаем:

$1 - \sin 2t$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Докажем тождество $\cos^4 t - \sin^4 t = \cos 2t$.

Преобразуем левую часть, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В нашем случае $a = \cos^2 t$ и $b = \sin^2 t$.

$\cos^4 t - \sin^4 t = (\cos^2 t)^2 - (\sin^2 t)^2 = (\cos^2 t - \sin^2 t)(\cos^2 t + \sin^2 t)$

Теперь применим два тригонометрических тождества:

1. Формула косинуса двойного угла: $\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t$.

2. Основное тригонометрическое тождество: $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$.

Подставив их в наше выражение, получаем:

$(\cos 2t) \cdot 1 = \cos 2t$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в) Докажем тождество $(\sin t + \cos t)^2 = 1 + \sin 2t$.

Преобразуем левую часть равенства. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + 2\sin t \cos t + \cos^2 t$

Сгруппируем слагаемые:

$(\sin^2 t + \cos^2 t) + 2\sin t \cos t$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2t = 2\sin t \cos t$.

Подставив эти значения в выражение, получаем:

$1 + \sin 2t$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

г) Рассмотрим равенство $\cos^4 t - \sin^4 t = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2t$.

В пункте б) мы уже доказали, что левая часть этого равенства, $\cos^4 t - \sin^4 t$, тождественно равна $\cos 2t$. Следовательно, данное равенство можно переписать в виде:

$\cos 2t = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2t$

Проверим, является ли это равенство тождеством. Для этого подставим в него какое-либо значение $t$, например, $t = \frac{\pi}{4}$.

Левая часть: $\cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Правая часть: $1 - \frac{1}{2}\sin^2(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(\frac{\pi}{2}) = 1 - \frac{1}{2}(1)^2 = \frac{1}{2}$.

Поскольку $0 \neq \frac{1}{2}$, данное равенство не является тождеством. В условии задачи, скорее всего, допущена опечатка. Наиболее вероятным является тождество $\cos^4 t + \sin^4 t = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2t$. Докажем его.

Преобразуем левую часть $\cos^4 t + \sin^4 t$, выделив полный квадрат:

$\cos^4 t + \sin^4 t = (\cos^4 t + 2\cos^2 t \sin^2 t + \sin^4 t) - 2\cos^2 t \sin^2 t$

Первые три слагаемых образуют квадрат суммы:

$(\cos^2 t + \sin^2 t)^2 - 2\cos^2 t \sin^2 t$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$, получаем:

$1^2 - 2\cos^2 t \sin^2 t = 1 - 2(\sin t \cos t)^2$

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin 2t = 2\sin t \cos t$. Из нее следует, что $\sin t \cos t = \frac{1}{2}\sin 2t$. Подставим это в наше выражение:

$1 - 2\left(\frac{1}{2}\sin 2t\right)^2 = 1 - 2\left(\frac{1}{4}\sin^2 2t\right) = 1 - \frac{2}{4}\sin^2 2t = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2t$

Таким образом, мы доказали тождество $\cos^4 t + \sin^4 t = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2t$.

Ответ: Равенство, представленное в условии, не является тождеством. Вероятно, в условии опечатка, и правильное тождество $\cos^4 t + \sin^4 t = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2t$ доказано выше.

27.9. a) $sin^2 2t = \frac{1 - \cos 4t}{2}$;

б) $2 sin^2 \frac{t}{2} + \cos t = 1$;

В) $2 sin^2 2t = 1 + sin \left(\frac{3\pi}{2} - 4t\right)$;

Г) $2 \cos^2 t - \cos 2t = 1$.

а) Требуется доказать тождество $ \sin^2 2t = \frac{1 - \cos 4t}{2} $.

Для доказательства воспользуемся формулой понижения степени для синуса, которая является следствием формулы косинуса двойного угла $ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $. Из этой формулы выразим $ \sin^2 x $:

$ 2\sin^2 x = 1 - \cos 2x $

$ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} $

Применим эту формулу для нашего случая, подставив $ x = 2t $. Тогда $ 2x = 2 \cdot 2t = 4t $.

Получаем:

$ \sin^2 2t = \frac{1 - \cos(2 \cdot 2t)}{2} = \frac{1 - \cos 4t}{2} $

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Это означает, что равенство является тождеством и выполняется для любых действительных значений $ t $.

Ответ: Равенство является тождеством, верным для любого $ t \in \mathbb{R} $.

б) Требуется решить уравнение $ 2\sin^2\frac{t}{2} + \cos t = 1 $.

Воспользуемся формулой понижения степени для синуса (или формулой синуса половинного угла):

$ \sin^2 \frac{t}{2} = \frac{1 - \cos t}{2} $

Умножим обе части на 2:

$ 2\sin^2 \frac{t}{2} = 1 - \cos t $

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

$ (1 - \cos t) + \cos t = 1 $

Упрощая левую часть, получаем:

$ 1 = 1 $

Это верное равенство, не зависящее от переменной $ t $. Следовательно, исходное уравнение является тождеством и справедливо для любого действительного значения $ t $.

Ответ: Равенство является тождеством, верным для любого $ t \in \mathbb{R} $.

в) Требуется решить уравнение $ 2\sin^2 2t = 1 + \sin(\frac{3\pi}{2} - 4t) $.

Сначала преобразуем правую часть уравнения, используя формулу приведения для синуса:

$ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos \alpha $

В нашем случае $ \alpha = 4t $, поэтому:

$ \sin(\frac{3\pi}{2} - 4t) = -\cos 4t $

Подставим это в исходное уравнение:

$ 2\sin^2 2t = 1 - \cos 4t $

Теперь воспользуемся формулой косинуса двойного угла $ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $. Применим ее для аргумента $ 2t $, то есть $ x = 2t $:

$ \cos(2 \cdot 2t) = \cos 4t = 1 - 2\sin^2 2t $

Из этой формулы выразим $ 2\sin^2 2t $:

$ 2\sin^2 2t = 1 - \cos 4t $

Мы видим, что полученное уравнение является тождеством. Следовательно, и исходное уравнение является тождеством, верным для любых действительных значений $ t $.

Ответ: Равенство является тождеством, верным для любого $ t \in \mathbb{R} $.

г) Требуется решить уравнение $ 2\cos^2 t - \cos 2t = 1 $.

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

$ \cos 2t = 2\cos^2 t - 1 $

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$ 2\cos^2 t - (2\cos^2 t - 1) = 1 $

Раскроем скобки в левой части:

$ 2\cos^2 t - 2\cos^2 t + 1 = 1 $

Упрощая, получаем:

$ 1 = 1 $

Полученное равенство истинно и не зависит от переменной $ t $. Это означает, что исходное уравнение является тождеством и выполняется для любых действительных значений $ t $.

Ответ: Равенство является тождеством, верным для любого $ t \in \mathbb{R} $.

27.10. a) $\cos^2 3t = \frac{1 + \sin \left(\frac{\pi}{2} - 6t\right)}{2}$ ;

Б) $\frac{1 - \cos t}{1 + \cos t} = \text{tg}^2 \frac{t}{2}$ ;

В) $\sin^2 \left(\frac{3\pi}{4} + 2t\right) = \frac{1 - \sin 4t}{2}$ ;

Г) $\frac{1 - \cos t}{\sin t} = \text{tg} \frac{t}{2}$ .

а) Требуется доказать тождество: $ \cos^2 3t = \frac{1 + \sin(\frac{\pi}{2} - 6t)}{2} $.

Для доказательства преобразуем правую часть равенства.

1. Применим формулу приведения для синуса: $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha $. В нашем случае $ \alpha = 6t $, поэтому $ \sin(\frac{\pi}{2} - 6t) = \cos(6t) $. Правая часть принимает вид: $ \frac{1 + \cos(6t)}{2} $.

2. Теперь рассмотрим левую часть равенства. Применим формулу понижения степени (или косинуса двойного угла): $ \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} $. В нашем случае $ x = 3t $, тогда $ 2x = 6t $. Следовательно, $ \cos^2 3t = \frac{1 + \cos(6t)}{2} $.

3. Сравнивая результаты, видим, что левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению: $ \frac{1 + \cos(6t)}{2} = \frac{1 + \cos(6t)}{2} $. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б) Требуется доказать тождество: $ \frac{1 - \cos t}{1 + \cos t} = \operatorname{tg}^2 \frac{t}{2} $.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства.

1. Используем формулы половинного угла, которые следуют из формул понижения степени: $ 1 - \cos t = 2 \sin^2 \frac{t}{2} $ $ 1 + \cos t = 2 \cos^2 \frac{t}{2} $

2. Подставим эти выражения в числитель и знаменатель дроби в левой части: $ \frac{1 - \cos t}{1 + \cos t} = \frac{2 \sin^2 \frac{t}{2}}{2 \cos^2 \frac{t}{2}} $.

3. Сократим двойки в числителе и знаменателе: $ \frac{\sin^2 \frac{t}{2}}{\cos^2 \frac{t}{2}} $.

4. По определению тангенса, $ \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} $, следовательно $ \operatorname{tg}^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} $. Применяя это к нашему выражению, получаем: $ \frac{\sin^2 \frac{t}{2}}{\cos^2 \frac{t}{2}} = \operatorname{tg}^2 \frac{t}{2} $.

5. Левая часть преобразована к виду правой части, следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

в) Требуется доказать тождество: $ \sin^2(\frac{3\pi}{4} + 2t) = \frac{1 - \sin 4t}{2} $.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства.

1. Применим формулу понижения степени для синуса: $ \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} $. В нашем случае $ x = \frac{3\pi}{4} + 2t $. Тогда $ 2x = 2(\frac{3\pi}{4} + 2t) = \frac{3\pi}{2} + 4t $.

2. Подставим это в формулу понижения степени: $ \sin^2(\frac{3\pi}{4} + 2t) = \frac{1 - \cos(\frac{3\pi}{2} + 4t)}{2} $.

3. Теперь воспользуемся формулой приведения для косинуса: $ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin \alpha $. При $ \alpha = 4t $ получаем $ \cos(\frac{3\pi}{2} + 4t) = \sin 4t $.

4. Подставим полученное выражение обратно в наше равенство: $ \frac{1 - \sin 4t}{2} $.

5. Мы преобразовали левую часть тождества и получили в точности правую часть. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

г) Требуется доказать тождество: $ \frac{1 - \cos t}{\sin t} = \operatorname{tg} \frac{t}{2} $.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства.

1. Используем формулу для числителя, следующую из формулы косинуса двойного угла: $ 1 - \cos t = 2 \sin^2 \frac{t}{2} $.

2. Используем формулу синуса двойного угла для знаменателя: $ \sin t = \sin(2 \cdot \frac{t}{2}) = 2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2} $.

3. Подставим эти выражения в левую часть тождества: $ \frac{1 - \cos t}{\sin t} = \frac{2 \sin^2 \frac{t}{2}}{2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}} $.

4. Сократим общий множитель $ 2 \sin \frac{t}{2} $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ \sin \frac{t}{2} \neq 0 $): $ \frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} $.

5. По определению тангенса, полученное выражение равно $ \operatorname{tg} \frac{t}{2} $. Таким образом, левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

27.11. a) $1 + \sin \alpha = 2 \cos^2 \left(45^\circ - \frac{\alpha}{2}\right);$

б) $2 \sin^2(45^\circ - \alpha) + \sin 2\alpha = 1;$

в) $1 - \sin \alpha = 2 \sin^2 \left(45^\circ - \frac{\alpha}{2}\right);$

г) $2 \cos^2(45^\circ + \alpha) + \sin 2\alpha = 1.$

а) Докажем тождество $1 + \sin \alpha = 2 \cos^2(45^\circ - \frac{\alpha}{2})$.

Для доказательства преобразуем правую часть равенства. Воспользуемся формулой понижения степени для косинуса (или формулой косинуса двойного угла): $2\cos^2(x) = 1 + \cos(2x)$.

В данном случае, аргумент $x = 45^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Подставим его в формулу:

$2 \cos^2(45^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 1 + \cos(2 \cdot (45^\circ - \frac{\alpha}{2}))$.

Упростим выражение в аргументе косинуса:

$2 \cdot (45^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 90^\circ - \alpha$.

Таким образом, правая часть преобразуется к виду:

$1 + \cos(90^\circ - \alpha)$.

По формуле приведения, $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$.

В итоге получаем:

$1 + \sin \alpha$.

Мы преобразовали правую часть тождества к левой. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б) Докажем тождество $2 \sin^2(45^\circ - \alpha) + \sin 2\alpha = 1$.

Преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся формулой понижения степени для синуса (или формулой косинуса двойного угла): $2\sin^2(x) = 1 - \cos(2x)$.

Здесь аргумент $x = 45^\circ - \alpha$. Подставим его в формулу:

$2 \sin^2(45^\circ - \alpha) = 1 - \cos(2 \cdot (45^\circ - \alpha))$.

Упростим выражение в аргументе косинуса:

$2 \cdot (45^\circ - \alpha) = 90^\circ - 2\alpha$.

Тогда первое слагаемое левой части равно:

$1 - \cos(90^\circ - 2\alpha)$.

Используя формулу приведения $\cos(90^\circ - \beta) = \sin \beta$, где $\beta = 2\alpha$, получаем:

$1 - \sin 2\alpha$.

Теперь подставим это выражение обратно в левую часть исходного тождества:

$(1 - \sin 2\alpha) + \sin 2\alpha = 1 - \sin 2\alpha + \sin 2\alpha = 1$.

Левая часть равна правой. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

в) Докажем тождество $1 - \sin \alpha = 2 \sin^2(45^\circ - \frac{\alpha}{2})$.

Преобразуем правую часть равенства, используя формулу понижения степени для синуса: $2\sin^2(x) = 1 - \cos(2x)$.

В данном случае, $x = 45^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Подставляем в формулу:

$2 \sin^2(45^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 1 - \cos(2 \cdot (45^\circ - \frac{\alpha}{2}))$.

Упрощаем аргумент косинуса:

$2 \cdot (45^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 90^\circ - \alpha$.

Правая часть принимает вид:

$1 - \cos(90^\circ - \alpha)$.

По формуле приведения, $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$.

В итоге получаем:

$1 - \sin \alpha$.

Правая часть тождества преобразована к левой. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

г) Докажем тождество $2 \cos^2(45^\circ + \alpha) + \sin 2\alpha = 1$.

Преобразуем левую часть равенства. Применим формулу понижения степени для косинуса: $2\cos^2(x) = 1 + \cos(2x)$.

Здесь $x = 45^\circ + \alpha$. Подставляем в формулу:

$2 \cos^2(45^\circ + \alpha) = 1 + \cos(2 \cdot (45^\circ + \alpha))$.

Упрощаем аргумент косинуса:

$2 \cdot (45^\circ + \alpha) = 90^\circ + 2\alpha$.

Первое слагаемое левой части равно:

$1 + \cos(90^\circ + 2\alpha)$.

Используя формулу приведения $\cos(90^\circ + \beta) = -\sin \beta$, где $\beta = 2\alpha$, получаем:

$1 - \sin 2\alpha$.

Подставим полученное выражение в левую часть исходного равенства:

$(1 - \sin 2\alpha) + \sin 2\alpha = 1 - \sin 2\alpha + \sin 2\alpha = 1$.

Левая часть равна правой. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.