Страница 212, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

37.13. a) $y = (x + 1)^{-2}, x \in N;$

б) $y = 3x - x^2, x \in N;$

в) $y = -\frac{18}{x + 2}, x \in N;$

г) $y = \sqrt{x + 3}, x \in N.$

а) $y = (x + 1)^{-2}, x \in \mathbb{N}$

Поскольку область определения функции — это множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ (т.е. $x = 1, 2, 3, \ldots$), график будет состоять не из сплошной линии, а из набора отдельных точек. Преобразуем формулу: $y = \frac{1}{(x+1)^2}$. Вычислим координаты нескольких первых точек графика, подставляя натуральные значения $x$:
При $x=1$ получаем $y = \frac{1}{(1+1)^2} = \frac{1}{4}$. Координаты точки: $(1; 1/4)$.
При $x=2$ получаем $y = \frac{1}{(2+1)^2} = \frac{1}{9}$. Координаты точки: $(2; 1/9)$.
При $x=3$ получаем $y = \frac{1}{(3+1)^2} = \frac{1}{16}$. Координаты точки: $(3; 1/16)$.
Все точки графика находятся в первой координатной четверти. С увеличением $x$ знаменатель дроби $(x+1)^2$ быстро растет, поэтому значение $y$ уменьшается, стремясь к нулю. Точки графика приближаются к оси абсцисс.

Ответ: График функции — это множество точек с координатами $(x, \frac{1}{(x+1)^2})$, где $x \in \mathbb{N}$. Например, точки $(1; 1/4)$, $(2; 1/9)$, $(3; 1/16)$, ... .

б) $y = 3x - x^2, x \in \mathbb{N}$

График данной функции состоит из множества отдельных точек, так как ее область определения — натуральные числа $x = 1, 2, 3, \ldots$. Вычислим координаты нескольких точек:
При $x=1$: $y = 3(1) - 1^2 = 3 - 1 = 2$. Точка $(1; 2)$.
При $x=2$: $y = 3(2) - 2^2 = 6 - 4 = 2$. Точка $(2; 2)$.
При $x=3$: $y = 3(3) - 3^2 = 9 - 9 = 0$. Точка $(3; 0)$.
При $x=4$: $y = 3(4) - 4^2 = 12 - 16 = -4$. Точка $(4; -4)$.
Эти точки лежат на параболе $y = -x^2 + 3x$, ветви которой направлены вниз. Вершина этой параболы имеет абсциссу $x_v = -\frac{3}{2(-1)} = 1.5$. Наибольшее значение среди натуральных $x$ функция принимает в точках $x=1$ и $x=2$. При $x \ge 3$ значения $y$ убывают.

Ответ: График функции — это множество точек с координатами $(x, 3x - x^2)$, где $x \in \mathbb{N}$. Например, точки $(1; 2)$, $(2; 2)$, $(3; 0)$, $(4; -4)$, ... .

в) $y = -\frac{18}{x+2}, x \in \mathbb{N}$

Область определения функции — множество натуральных чисел, поэтому ее график — это последовательность точек. Вычислим координаты нескольких из них:
При $x=1$: $y = -\frac{18}{1+2} = -\frac{18}{3} = -6$. Точка $(1; -6)$.
При $x=2$: $y = -\frac{18}{2+2} = -\frac{18}{4} = -4.5$. Точка $(2; -4.5)$.
При $x=4$: $y = -\frac{18}{4+2} = -\frac{18}{6} = -3$. Точка $(4; -3)$.
При $x=7$: $y = -\frac{18}{7+2} = -\frac{18}{9} = -2$. Точка $(7; -2)$.
Так как $x$ — натуральное число, $x+2$ всегда положительно, а значит $y$ всегда отрицателен. Все точки графика лежат в четвертой координатной четверти на ветви гиперболы. С ростом $x$ значение $y$ увеличивается (становится менее отрицательным) и стремится к нулю.

Ответ: График функции — это множество точек с координатами $(x, -\frac{18}{x+2})$, где $x \in \mathbb{N}$. Например, точки $(1; -6)$, $(2; -4.5)$, $(4; -3)$, $(7; -2)$, ... .

г) $y = \sqrt{x+3}, x \in \mathbb{N}$

Область определения для функции $y=\sqrt{f(x)}$ задается условием $f(x) \ge 0$. В нашем случае $x+3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$. Все натуральные числа удовлетворяют этому условию. График функции представляет собой набор изолированных точек. Найдем координаты некоторых из них:
При $x=1$: $y = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(1; 2)$.
При $x=2$: $y = \sqrt{2+3} = \sqrt{5}$. Точка $(2; \sqrt{5})$.
При $x=6$: $y = \sqrt{6+3} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(6; 3)$.
При $x=13$: $y = \sqrt{13+3} = \sqrt{16} = 4$. Точка $(13; 4)$.
Все точки графика лежат в первой координатной четверти. С увеличением $x$ значение $y$ также возрастает. Эти точки лежат на верхней ветви параболы $x=y^2-3$.

Ответ: График функции — это множество точек с координатами $(x, \sqrt{x+3})$, где $x \in \mathbb{N}$. Например, точки $(1; 2)$, $(2; \sqrt{5})$, $(6; 3)$, $(13; 4)$, ... .

37.14. a) $y = 2 - x, x \in \mathbb{N}$;

б) $y = 3x - x^2, x \in \mathbb{N}$;

В) $y = \frac{x + 5}{2}, x \in \mathbb{N}$;

Г) $y = x^2 - 4x, x \in \mathbb{N}$.

а) Дана функция $y = 2 - x$, где $x$ принадлежит множеству натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, \dots\}$. Чтобы найти множество значений функции (область значений), необходимо подставить значения $x$ из множества натуральных чисел и найти соответствующие значения $y$.
При $x=1$, $y = 2 - 1 = 1$.
При $x=2$, $y = 2 - 2 = 0$.
При $x=3$, $y = 2 - 3 = -1$.
При $x=4$, $y = 2 - 4 = -2$.
Как видно, с увеличением $x$ на 1, значение $y$ уменьшается на 1. Таким образом, функция принимает все целочисленные значения, начиная с 1 и убывая до бесконечности. Множество значений функции — это множество всех целых чисел, не превосходящих 1.
Ответ: $\{1, 0, -1, -2, \dots\}$.

б) Дана функция $y = 3x - x^2$, где $x \in N$. Данная зависимость является квадратичной функцией $y = -x^2 + 3x$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный. Следовательно, функция имеет максимальное значение.
Координата $x$ вершины параболы вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{3}{2 \cdot (-1)} = 1.5$.
Так как область определения $x$ — натуральные числа, наибольшее значение функции будет достигаться в натуральных числах, ближайших к $x_0=1.5$, то есть при $x=1$ и $x=2$.
Вычислим значения $y$ для нескольких первых натуральных $x$:
При $x=1$, $y = 3(1) - 1^2 = 2$.
При $x=2$, $y = 3(2) - 2^2 = 2$.
При $x=3$, $y = 3(3) - 3^2 = 0$.
При $x=4$, $y = 3(4) - 4^2 = -4$.
Максимальное значение функции равно 2. При $x > 2$ значения функции убывают. Множество значений представляет собой дискретный набор целых чисел.
Ответ: $\{2, 0, -4, -10, \dots\}$.

в) Дана функция $y = \frac{x+5}{2}$, где $x \in N$. Это линейная функция, определенная на множестве натуральных чисел. Вычислим значения $y$ для нескольких первых натуральных $x$:
При $x=1$, $y = \frac{1+5}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
При $x=2$, $y = \frac{2+5}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$.
При $x=3$, $y = \frac{3+5}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
При $x=4$, $y = \frac{4+5}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$.
Значения $y$ образуют арифметическую прогрессию, где первый член равен 3, а разность прогрессии равна 0.5. Множество значений функции начинается с 3 и неограниченно возрастает с шагом 0.5.
Ответ: $\{3, 3.5, 4, 4.5, 5, \dots\}$.

г) Дана функция $y = x^2 - 4x$, где $x \in N$. Данная зависимость является квадратичной функцией. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положительный. Следовательно, функция имеет минимальное значение.
Координата $x$ вершины параболы вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
Так как $x_0 = 2$ является натуральным числом, то минимальное значение функции достигается именно при $x=2$.
Вычислим значения $y$ для нескольких первых натуральных $x$, начиная с $x=1$:
При $x=1$, $y = 1^2 - 4(1) = -3$.
При $x=2$, $y = 2^2 - 4(2) = -4$ (это минимальное значение).
При $x=3$, $y = 3^2 - 4(3) = -3$.
При $x=4$, $y = 4^2 - 4(4) = 0$.
При $x=5$, $y = 5^2 - 4(5) = 5$.
Множество значений представляет собой дискретный набор целых чисел, наименьшее из которых равно -4.
Ответ: $\{-4, -3, 0, 5, 12, \dots\}$.

37.15. а) $y = \sin \frac{\pi}{6} x$, $x \in N$;

б) $y = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}(2x+1)$, $x \in N$;

В) $y = \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} x$, $x \in N$;

Г) $y = \cos \pi x$, $x \in N$.

а)

Дана функция $y = \sin(\frac{\pi}{6}x)$, где $x \in \mathbb{N}$. Чтобы найти множество значений функции (область значений), мы должны определить, какие значения принимает $y$ для всех натуральных $x$.

Вычислим значения функции для первых нескольких натуральных $x$:
При $x=1: y = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
При $x=2: y = \sin(\frac{2\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
При $x=3: y = \sin(\frac{3\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
При $x=4: y = \sin(\frac{4\pi}{6}) = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
При $x=5: y = \sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
При $x=6: y = \sin(\frac{6\pi}{6}) = \sin(\pi) = 0$.
При $x=7: y = \sin(\frac{7\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.
При $x=8: y = \sin(\frac{8\pi}{6}) = \sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
При $x=9: y = \sin(\frac{9\pi}{6}) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.
При $x=10: y = \sin(\frac{10\pi}{6}) = \sin(\frac{5\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
При $x=11: y = \sin(\frac{11\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.
При $x=12: y = \sin(\frac{12\pi}{6}) = \sin(2\pi) = 0$.

При $x=13$ значение повторяется: $y = \sin(\frac{13\pi}{6}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Последовательность значений является периодической. Найдем ее наименьший натуральный период $T$. Для этого приращение аргумента $\frac{\pi}{6}T$ должно быть кратно основному периоду синуса $2\pi$. $\frac{\pi T}{6} = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. $T = 12k$. Наименьший натуральный период $T$ равен 12 (при $k=1$). Следовательно, множество значений функции состоит из всех уникальных значений для $x$ от 1 до 12. Это значения: $\{ -1, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 \}$.

Ответ: $\{ -1; -\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}; 0; \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 1 \}$.

б)

Дана функция $y = \text{ctg}(\frac{\pi}{4}(2x+1))$, где $x \in \mathbb{N}$. Найдем значения функции для первых нескольких натуральных $x$:
При $x=1: y = \text{ctg}(\frac{\pi}{4}(2 \cdot 1+1)) = \text{ctg}(\frac{3\pi}{4}) = -1$.
При $x=2: y = \text{ctg}(\frac{\pi}{4}(2 \cdot 2+1)) = \text{ctg}(\frac{5\pi}{4}) = \text{ctg}(\pi + \frac{\pi}{4}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.
При $x=3: y = \text{ctg}(\frac{\pi}{4}(2 \cdot 3+1)) = \text{ctg}(\frac{7\pi}{4}) = \text{ctg}(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -1$.
При $x=4: y = \text{ctg}(\frac{\pi}{4}(2 \cdot 4+1)) = \text{ctg}(\frac{9\pi}{4}) = \text{ctg}(2\pi + \frac{\pi}{4}) = 1$.

Значения функции циклически чередуются: -1, 1, -1, 1, ... Найдем период $T$ последовательности. Период котангенса равен $\pi$. Приращение аргумента должно быть кратно $\pi$. $\frac{\pi}{4}(2(x+T)+1) - \frac{\pi}{4}(2x+1) = \frac{\pi}{4}(2T) = \frac{\pi T}{2}$. $\frac{\pi T}{2} = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. $T = 2k$. Наименьший натуральный период $T=2$ (при $k=1$). Множество значений состоит из значений для $x=1$ и $x=2$. Проверим, определена ли функция для всех $x \in \mathbb{N}$. Аргумент котангенса не должен быть равен $\pi n$ для $n \in \mathbb{Z}$. $\frac{\pi}{4}(2x+1) = \pi n \implies 2x+1 = 4n \implies 2x = 4n-1$. Слева стоит четное число, а справа — нечетное. Равенство невозможно, значит, функция определена для всех $x \in \mathbb{N}$.

Ответ: $\{ -1; 1 \}$.

в)

Дана функция $y = \text{tg}(\frac{\pi}{3}x)$, где $x \in \mathbb{N}$. Вычислим значения функции:
При $x=1: y = \text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
При $x=2: y = \text{tg}(\frac{2\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.
При $x=3: y = \text{tg}(\frac{3\pi}{3}) = \text{tg}(\pi) = 0$.
При $x=4: y = \text{tg}(\frac{4\pi}{3}) = \text{tg}(\pi + \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.

Значения повторяются. Период тангенса равен $\pi$. Найдем период $T$ последовательности. $\frac{\pi}{3}(x+T) - \frac{\pi}{3}x = \frac{\pi T}{3}$. $\frac{\pi T}{3} = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. $T = 3k$. Наименьший натуральный период $T=3$. Множество значений состоит из значений для $x=1, 2, 3$. Проверим область определения. Аргумент тангенса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$ для $n \in \mathbb{Z}$. $\frac{\pi x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies \frac{x}{3} = \frac{1}{2} + n \implies x = \frac{3}{2} + 3n = \frac{3+6n}{2}$. Число $3+6n$ является нечетным для любого целого $n$, поэтому $x$ не может быть целым, а значит и натуральным числом. Функция определена для всех $x \in \mathbb{N}$.

Ответ: $\{ -\sqrt{3}; 0; \sqrt{3} \}$.

г)

Дана функция $y = \cos(\pi x)$, где $x \in \mathbb{N}$. Вычислим значения функции:
При $x=1: y = \cos(\pi) = -1$.
При $x=2: y = \cos(2\pi) = 1$.
При $x=3: y = \cos(3\pi) = -1$.
При $x=4: y = \cos(4\pi) = 1$.

Можно заметить, что если $x$ — нечетное натуральное число, то аргумент $\pi x$ является нечетным кратным $\pi$, и $y = -1$. Если $x$ — четное натуральное число, то аргумент $\pi x$ является четным кратным $\pi$, и $y = 1$. Таким образом, функцию можно записать в виде $y = (-1)^x$ для $x \in \mathbb{N}$. Следовательно, функция принимает только два значения.

Ответ: $\{ -1; 1 \}$.