Страница 219, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

38.1. Запишите окрестность точки $a$ радиуса $r$ в виде интервала, если:

а) $a = 0, r = 0,1;$

б) $a = -3, r = 0,5;$

в) $a = 2, r = 1;$

г) $a = 0,2, r = 0,3.$

Окрестностью точки $a$ радиуса $r$ называется множество всех точек, расстояние от которых до точки $a$ меньше, чем $r$. Это множество представляет собой открытый интервал, который находится по формуле $(a - r; a + r)$. Чтобы записать окрестность в виде интервала, нужно вычислить его левую и правую границы.

а) Дано: $a = 0$, $r = 0,1$.

Находим левую границу интервала: $a - r = 0 - 0,1 = -0,1$.

Находим правую границу интервала: $a + r = 0 + 0,1 = 0,1$.

Таким образом, окрестность точки $a = 0$ радиуса $r = 0,1$ — это интервал $(-0,1; 0,1)$.

Ответ: $(-0,1; 0,1)$

б) Дано: $a = -3$, $r = 0,5$.

Находим левую границу интервала: $a - r = -3 - 0,5 = -3,5$.

Находим правую границу интервала: $a + r = -3 + 0,5 = -2,5$.

Таким образом, окрестность точки $a = -3$ радиуса $r = 0,5$ — это интервал $(-3,5; -2,5)$.

Ответ: $(-3,5; -2,5)$

в) Дано: $a = 2$, $r = 1$.

Находим левую границу интервала: $a - r = 2 - 1 = 1$.

Находим правую границу интервала: $a + r = 2 + 1 = 3$.

Таким образом, окрестность точки $a = 2$ радиуса $r = 1$ — это интервал $(1; 3)$.

Ответ: $(1; 3)$

г) Дано: $a = 0,2$, $r = 0,3$.

Находим левую границу интервала: $a - r = 0,2 - 0,3 = -0,1$.

Находим правую границу интервала: $a + r = 0,2 + 0,3 = 0,5$.

Таким образом, окрестность точки $a = 0,2$ радиуса $r = 0,3$ — это интервал $(-0,1; 0,5)$.

Ответ: $(-0,1; 0,5)$

38.2. Окрестностью какой точки и какого радиуса является интервал:

а) $(1, 3)$;

б) $(-0.2, 0.2)$;

в) $(2.1, 2.3)$;

г) $(-7, -5)?$

Окрестностью точки $c$ радиуса $r > 0$ называется интервал $(c-r; c+r)$. Для любого заданного интервала $(a; b)$ можно найти соответствующую точку $c$, которая является центром окрестности, и радиус $r$. Центр $c$ является серединой интервала, а радиус $r$ — половиной его длины. Их можно вычислить по формулам:
Центр: $c = \frac{a+b}{2}$
Радиус: $r = \frac{b-a}{2}$

а)

Для интервала $(1; 3)$ имеем $a=1$ и $b=3$.
Центр окрестности: $c = \frac{1+3}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Радиус окрестности: $r = \frac{3-1}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Ответ: точка 2, радиус 1.

б)

Для интервала $(-0,2; 0,2)$ имеем $a=-0,2$ и $b=0,2$.
Центр окрестности: $c = \frac{-0,2+0,2}{2} = \frac{0}{2} = 0$.
Радиус окрестности: $r = \frac{0,2-(-0,2)}{2} = \frac{0,2+0,2}{2} = \frac{0,4}{2} = 0,2$.
Ответ: точка 0, радиус 0,2.

в)

Для интервала $(2,1; 2,3)$ имеем $a=2,1$ и $b=2,3$.
Центр окрестности: $c = \frac{2,1+2,3}{2} = \frac{4,4}{2} = 2,2$.
Радиус окрестности: $r = \frac{2,3-2,1}{2} = \frac{0,2}{2} = 0,1$.
Ответ: точка 2,2, радиус 0,1.

г)

Для интервала $(-7; -5)$ имеем $a=-7$ и $b=-5$.
Центр окрестности: $c = \frac{-7+(-5)}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.
Радиус окрестности: $r = \frac{-5-(-7)}{2} = \frac{-5+7}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Ответ: точка -6, радиус 1.

38.3. Принадлежит ли точка $x_1$ окрестности точки $a$ радиуса $r$, если:

а) $x_1 = 1, a = 2, r = 0,5;$

б) $x_1 = 1,1, a = 1, r = 0,2;$

в) $x_1 = -0,2, a = 0, r = 0,3;$

г) $x_1 = 2,75, a = 2,5, r = 0,3?$

Окрестностью точки $a$ радиуса $r$ называется интервал $(a-r, a+r)$. Точка $x_1$ принадлежит этой окрестности, если расстояние от $x_1$ до $a$ меньше радиуса $r$, то есть выполняется неравенство $|x_1 - a| < r$. Проверим это условие для каждого случая.

а) Для $x_1 = 1$, $a = 2$, $r = 0,5$.
Вычислим расстояние между точками: $|x_1 - a| = |1 - 2| = |-1| = 1$.
Проверим неравенство: $1 < 0,5$. Неравенство неверно.
Следовательно, точка $x_1$ не принадлежит окрестности точки $a$.
Ответ: нет, не принадлежит.

б) Для $x_1 = 1,1$, $a = 1$, $r = 0,2$.
Вычислим расстояние между точками: $|x_1 - a| = |1,1 - 1| = |0,1| = 0,1$.
Проверим неравенство: $0,1 < 0,2$. Неравенство верно.
Следовательно, точка $x_1$ принадлежит окрестности точки $a$.
Ответ: да, принадлежит.

в) Для $x_1 = -0,2$, $a = 0$, $r = 0,3$.
Вычислим расстояние между точками: $|x_1 - a| = |-0,2 - 0| = |-0,2| = 0,2$.
Проверим неравенство: $0,2 < 0,3$. Неравенство верно.
Следовательно, точка $x_1$ принадлежит окрестности точки $a$.
Ответ: да, принадлежит.

г) Для $x_1 = 2,75$, $a = 2,5$, $r = 0,3$.
Вычислим расстояние между точками: $|x_1 - a| = |2,75 - 2,5| = |0,25| = 0,25$.
Проверим неравенство: $0,25 < 0,3$. Неравенство верно.
Следовательно, точка $x_1$ принадлежит окрестности точки $a$.
Ответ: да, принадлежит.

38.4. Существует ли номер $n_0$, начиная с которого все члены последовательности $(x_n)$ попадают в окрестность точки $a$ радиуса $r = 0,1$, если:

а) $x_n = \frac{1}{n^2}$, $a = 0$;

б) $x_n = \frac{1}{n^2}$, $a = 1$;

в) $x_n = \frac{n}{n+1}$, $a = 0$;

г) $x_n = \frac{n}{n+1}$, $a = 1?

Вопрос заключается в том, чтобы для каждой последовательности $(x_n)$ и точки $a$ определить, существует ли такой номер $n_0$, что для всех номеров $n \ge n_0$ выполняется неравенство $|x_n - a| < r$, где $r = 0,1$. Это условие означает, что все члены последовательности, начиная с $n_0$, лежат в интервале $(a - r, a + r)$, то есть в окрестности точки $a$ радиуса $r$.

а)

Дана последовательность $x_n = \frac{1}{n^2}$ и точка $a = 0$. Проверим, существует ли номер $n_0$, начиная с которого все члены последовательности попадают в окрестность точки $a=0$ радиуса $r=0,1$. Окрестность представляет собой интервал $(0 - 0,1; 0 + 0,1)$, то есть $(-0,1; 0,1)$. Условие попадания члена $x_n$ в эту окрестность записывается в виде неравенства: $|x_n - a| < 0,1$ $|\frac{1}{n^2} - 0| < 0,1$ Поскольку $n$ — натуральное число, $n \ge 1$, то $\frac{1}{n^2}$ всегда положительно. Следовательно, знак модуля можно убрать: $\frac{1}{n^2} < 0,1$ $\frac{1}{n^2} < \frac{1}{10}$ Из этого неравенства следует, что $n^2 > 10$. Чтобы найти, с какого номера $n$ это неравенство выполняется, решим его относительно $n$: $n > \sqrt{10}$. Так как $\sqrt{9} = 3$ и $\sqrt{16} = 4$, то $\sqrt{10}$ находится между 3 и 4 ($\sqrt{10} \approx 3,16$). Наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее условию $n > \sqrt{10}$, это $n=4$. Таким образом, для всех $n \ge 4$ неравенство будет выполняться. Значит, искомый номер $n_0$ существует, и можно взять $n_0 = 4$.

Ответ: да, существует, например, $n_0 = 4$.

б)

Дана последовательность $x_n = \frac{1}{n^2}$ и точка $a = 1$. Окрестность точки $a=1$ радиуса $r=0,1$ — это интервал $(1 - 0,1; 1 + 0,1)$, то есть $(0,9; 1,1)$. Проверим выполнение неравенства: $|x_n - a| < 0,1$ $|\frac{1}{n^2} - 1| < 0,1$ Поскольку для $n \ge 1$, $0 < \frac{1}{n^2} \le 1$, то выражение $\frac{1}{n^2} - 1$ является неположительным. Поэтому $|\frac{1}{n^2} - 1| = -( \frac{1}{n^2} - 1 ) = 1 - \frac{1}{n^2}$. Неравенство принимает вид: $1 - \frac{1}{n^2} < 0,1$ $1 - 0,1 < \frac{1}{n^2}$ $0,9 < \frac{1}{n^2}$ $\frac{9}{10} < \frac{1}{n^2}$ $9n^2 < 10$ $n^2 < \frac{10}{9}$ Так как $\frac{10}{9} \approx 1,11$, единственное натуральное число $n$, для которого выполняется $n^2 < \frac{10}{9}$, это $n=1$ (поскольку $1^2 = 1 < \frac{10}{9}$). Для $n=2$ уже $2^2=4 > \frac{10}{9}$. Таким образом, условие выполняется только для $n=1$, но не для всех $n$, начиная с какого-либо номера $n_0$. Следовательно, такой номер $n_0$ не существует.

Ответ: нет, не существует.

в)

Дана последовательность $x_n = \frac{n}{n+1}$ и точка $a = 0$. Окрестность точки $a=0$ радиуса $r=0,1$ — это интервал $(-0,1; 0,1)$. Проверим выполнение неравенства: $|x_n - a| < 0,1$ $|\frac{n}{n+1} - 0| < 0,1$ Так как $n \ge 1$, дробь $\frac{n}{n+1}$ всегда положительна. $\frac{n}{n+1} < 0,1$ $\frac{n}{n+1} < \frac{1}{10}$ $10n < n+1$ $9n < 1$ $n < \frac{1}{9}$ Не существует натурального числа $n$, которое было бы меньше $\frac{1}{9}$. Следовательно, ни один член последовательности не попадает в заданную окрестность, и номера $n_0$ не существует.

Ответ: нет, не существует.

г)

Дана последовательность $x_n = \frac{n}{n+1}$ и точка $a = 1$. Окрестность точки $a=1$ радиуса $r=0,1$ — это интервал $(0,9; 1,1)$. Проверим выполнение неравенства: $|x_n - a| < 0,1$ $|\frac{n}{n+1} - 1| < 0,1$ Упростим выражение под знаком модуля: $\frac{n}{n+1} - 1 = \frac{n - (n+1)}{n+1} = \frac{-1}{n+1}$ Неравенство принимает вид: $|\frac{-1}{n+1}| < 0,1$ $\frac{1}{n+1} < 0,1$ $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{10}$ $10 < n+1$ $n > 9$ Это неравенство выполняется для всех натуральных чисел $n$, которые больше 9, то есть для $n = 10, 11, 12, \dots$. Следовательно, мы можем выбрать $n_0 = 10$. Начиная с этого номера, все члены последовательности будут попадать в заданную окрестность.

Ответ: да, существует, например, $n_0 = 10$.

Укажите номер $n_0$ того члена последовательности $(x_n)$, начиная с которого все члены последовательности попадут в окрестность точки $a$ радиуса $r$ :

38.5. а) $x_n = \frac{1}{2n}, a = 0, r = 0,1$;

б) $x_n = 3 + \frac{1}{n^2}, a = 3, r = 0,2$;

в) $x_n = 1 + \frac{2}{n^2}, a = 1, r = 0,01$;

г) $x_n = -\frac{3}{n}, a = 0, r = 0,1$.

а) Условие, что член последовательности $x_n$ попадает в окрестность точки $a$ радиуса $r$, записывается в виде неравенства $|x_n - a| < r$. Нам нужно найти номер $n_0$, начиная с которого это неравенство будет выполняться для всех $n \ge n_0$.
Подставим в неравенство данные из условия: $x_n = \frac{1}{2n}$, $a = 0$, $r = 0,1$.
$|\frac{1}{2n} - 0| < 0,1$
Поскольку номер члена последовательности $n$ является натуральным числом ($n \ge 1$), то $2n > 0$, и выражение $\frac{1}{2n}$ всегда положительно. Следовательно, знак модуля можно опустить.
$\frac{1}{2n} < 0,1$
Представим $0,1$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{10}$:
$\frac{1}{2n} < \frac{1}{10}$
Так как обе части неравенства положительны, мы можем "перевернуть" дроби, изменив знак неравенства на противоположный:
$2n > 10$
$n > \frac{10}{2}$
$n > 5$
Неравенство выполняется для всех натуральных чисел $n$, которые строго больше 5, то есть для $n = 6, 7, 8, \dots$. Наименьший такой номер — это 6. Таким образом, $n_0=6$.
Ответ: $n_0 = 6$.

б) Решим неравенство $|x_n - a| < r$ для заданных значений: $x_n = 3 + \frac{1}{n^2}$, $a = 3$, $r = 0,2$.
$|(3 + \frac{1}{n^2}) - 3| < 0,2$
$|\frac{1}{n^2}| < 0,2$
Так как $n \ge 1$, то $n^2 > 0$, и выражение $\frac{1}{n^2}$ всегда положительно. Знак модуля можно опустить.
$\frac{1}{n^2} < 0,2$
Представим $0,2$ в виде дроби $\frac{2}{10}$ или $\frac{1}{5}$:
$\frac{1}{n^2} < \frac{1}{5}$
Перевернем дроби, изменив знак неравенства:
$n^2 > 5$
Извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как $n$ — натуральное число, оно положительно.
$n > \sqrt{5}$
Мы знаем, что $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, значит $2 < \sqrt{5} < 3$. Приблизительное значение $\sqrt{5} \approx 2,236$. Нам нужно найти наименьшее натуральное число $n$, которое больше $\sqrt{5}$. Этим числом является 3.
Ответ: $n_0 = 3$.

в) Решим неравенство $|x_n - a| < r$ для заданных значений: $x_n = 1 + \frac{2}{n^2}$, $a = 1$, $r = 0,01$.
$|(1 + \frac{2}{n^2}) - 1| < 0,01$
$|\frac{2}{n^2}| < 0,01$
Выражение под модулем положительно, так как $n \ge 1$.
$\frac{2}{n^2} < 0,01$
Представим $0,01$ в виде дроби $\frac{1}{100}$:
$\frac{2}{n^2} < \frac{1}{100}$
Умножим обе части на $100n^2$ (это положительное число, знак неравенства не меняется):
$2 \cdot 100 < n^2$
$200 < n^2$
$n > \sqrt{200}$
Оценим значение $\sqrt{200}$. Мы знаем, что $14^2 = 196$ и $15^2 = 225$. Следовательно, $14 < \sqrt{200} < 15$. Приблизительное значение $\sqrt{200} \approx 14,14$. Наименьшее натуральное число $n$, которое больше $\sqrt{200}$, это 15.
Ответ: $n_0 = 15$.

г) Решим неравенство $|x_n - a| < r$ для заданных значений: $x_n = -\frac{3}{n}$, $a = 0$, $r = 0,1$.
$|-\frac{3}{n} - 0| < 0,1$
$|-\frac{3}{n}| < 0,1$
Поскольку $n \ge 1$, то $n$ положи

38.6. a) $x_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n$, $a = 0$, $r = \frac{1}{27}$;

б) $x_n = (-1)^n \frac{1}{2^n}$, $a = 0$, $r = \frac{1}{64}$;

В) $x_n = 2 + \left(\frac{1}{2}\right)^n$, $a = 2$, $r = \frac{1}{128}$;

Г) $x_n = 3 - \left(\frac{1}{3}\right)^n$, $a = 3$, $r = \frac{1}{81}$.

а)

По условию, требуется найти все натуральные числа $n$, для которых выполняется неравенство $|x_n - a| < r$. Подставим в него заданные значения $x_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n$, $a = 0$ и $r = \frac{1}{27}$:

$|\left(\frac{1}{3}\right)^n - 0| < \frac{1}{27}$

Упростим выражение в левой части:

$|\left(\frac{1}{3}\right)^n| < \frac{1}{27}$

Так как для любого натурального $n$ выражение $\left(\frac{1}{3}\right)^n$ всегда положительно, знак модуля можно убрать:

$\left(\frac{1}{3}\right)^n < \frac{1}{27}$

Представим правую часть неравенства как степень с основанием $\frac{1}{3}$. Поскольку $27 = 3^3$, получаем $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = \left(\frac{1}{3}\right)^3$.

Неравенство принимает вид:

$\left(\frac{1}{3}\right)^n < \left(\frac{1}{3}\right)^3$

Основание степени $\frac{1}{3}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому показательная функция с таким основанием является убывающей. Это значит, что большему значению функции соответствует меньшее значение показателя. Следовательно, чтобы неравенство выполнялось, показатель степени $n$ должен быть больше 3.

$n > 3$

Таким образом, неравенство справедливо для всех натуральных чисел $n$, строго больших 3.

Ответ: $n > 3$.

б)

Необходимо найти все натуральные $n$, удовлетворяющие неравенству $|x_n - a| < r$. Подставим $x_n = (-1)^n \frac{1}{2^n}$, $a = 0$ и $r = \frac{1}{64}$:

$|(-1)^n \frac{1}{2^n} - 0| < \frac{1}{64}$

Упростим левую часть:

$|(-1)^n \frac{1}{2^n}| < \frac{1}{64}$

Воспользуемся свойством модуля $|ab| = |a||b|$:

$|(-1)^n| \cdot |\frac{1}{2^n}| < \frac{1}{64}$

Поскольку $|(-1)^n| = 1$ для любого целого $n$ и $\frac{1}{2^n} > 0$ для любого натурального $n$, неравенство сводится к следующему:

$\frac{1}{2^n} < \frac{1}{64}$

Представим $64$ как степень двойки: $64 = 2^6$. Тогда $\frac{1}{64} = \frac{1}{2^6}$.

$\frac{1}{2^n} < \frac{1}{2^6}$

Это неравенство эквивалентно неравенству $2^n > 2^6$. Так как основание степени 2 больше 1, показательная функция является возрастающей. Значит, большему значению функции соответствует большее значение показателя.

$n > 6$

Неравенство выполняется для всех натуральных чисел $n$, строго больших 6.

Ответ: $n > 6$.

в)

Найдем все натуральные $n$, для которых $|x_n - a| < r$. Подставим значения $x_n = 2 + \left(\frac{1}{2}\right)^n$, $a = 2$ и $r = \frac{1}{128}$:

$|(2 + \left(\frac{1}{2}\right)^n) - 2| < \frac{1}{128}$

Упростим выражение под знаком модуля:

$|\left(\frac{1}{2}\right)^n| < \frac{1}{128}$

Выражение $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ всегда положительно, поэтому модуль можно опустить:

$\left(\frac{1}{2}\right)^n < \frac{1}{128}$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{1}{2}$. Так как $128 = 2^7$, то $\frac{1}{128} = \left(\frac{1}{2}\right)^7$.

$\left(\frac{1}{2}\right)^n < \left(\frac{1}{2}\right)^7$

Основание степени $\frac{1}{2}$ меньше 1, следовательно, функция является убывающей. Поэтому для выполнения неравенства показатель степени в левой части должен быть больше показателя в правой части.

$n > 7$

Неравенство справедливо для всех натуральных чисел $n$, строго больших 7.

Ответ: $n > 7$.

г)

Найдем все натуральные $n$, для которых $|x_n - a| < r$. Подставим $x_n = 3 - \left(\frac{1}{3}\right)^n$, $a = 3$ и $r = \frac{1}{81}$:

$|(3 - \left(\frac{1}{3}\right)^n) - 3| < \frac{1}{81}$

Упростим выражение под модулем:

$|-\left(\frac{1}{3}\right)^n| < \frac{1}{81}$

Модуль отрицательного числа равен самому числу без знака минус:

$\left(\frac{1}{3}\right)^n < \frac{1}{81}$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{1}{3}$. Так как $81 = 3^4$, то $\frac{1}{81} = \left(\frac{1}{3}\right)^4$.

$\left(\frac{1}{3}\right)^n < \left(\frac{1}{3}\right)^4$

Так как основание степени $\frac{1}{3}$ меньше 1, показательная функция убывает. Следовательно, показатель степени слева должен быть больше показателя справа.

$n > 4$

Неравенство выполняется для всех натуральных чисел $n$, строго больших 4.

Ответ: $n > 4$.