Страница 220, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Постройте график последовательности $(y_n)$ и составьте, если можно, уравнение горизонтальной асимптоты графика:

38.7. a) $y_n = \frac{2}{n}$;

б) $y_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n$;

в) $y_n = \frac{4}{n}$;

г) $y_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

а) Для последовательности $y_n = \frac{2}{n}$ ее график состоит из набора точек с координатами $(n, y_n)$, где $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$).

Чтобы построить график, вычислим значения первых нескольких членов последовательности:
При $n=1$, $y_1 = \frac{2}{1} = 2$. Точка на графике: $(1, 2)$.
При $n=2$, $y_2 = \frac{2}{2} = 1$. Точка на графике: $(2, 1)$.
При $n=3$, $y_3 = \frac{2}{3}$. Точка на графике: $(3, \frac{2}{3})$.
При $n=4$, $y_4 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Точка на графике: $(4, \frac{1}{2})$.
График представляет собой набор дискретных точек, которые с ростом $n$ приближаются к оси абсцисс, оставаясь в первой координатной четверти.

Горизонтальная асимптота графика последовательности — это прямая $y = L$, где $L$ является пределом последовательности при $n \to \infty$. Найдем этот предел:
$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0$.
Поскольку предел существует и равен 0, уравнение горизонтальной асимптоты — $y=0$ (ось абсцисс).
Ответ: График последовательности — это набор точек $(1, 2), (2, 1), (3, \frac{2}{3}), \dots$, которые приближаются к оси $Ox$. Уравнение горизонтальной асимптоты: $y = 0$.

б) Для последовательности $y_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n$ ее график состоит из набора точек с координатами $(n, y_n)$, где $n \in \mathbb{N}$.

Вычислим значения первых нескольких членов последовательности:
При $n=1$, $y_1 = \left(\frac{1}{3}\right)^1 = \frac{1}{3}$. Точка на графике: $(1, \frac{1}{3})$.
При $n=2$, $y_2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$. Точка на графике: $(2, \frac{1}{9})$.
При $n=3$, $y_3 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$. Точка на графике: $(3, \frac{1}{27})$.
График представляет собой набор дискретных точек в первой четверти, которые с ростом $n$ очень быстро приближаются к оси абсцисс.

Найдем предел последовательности для определения горизонтальной асимптоты:
$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = 0$.
Предел равен нулю, так как это предел геометрической прогрессии со знаменателем $|q| = \frac{1}{3} < 1$. Уравнение горизонтальной асимптоты — $y=0$.
Ответ: График последовательности — это набор точек $(1, \frac{1}{3}), (2, \frac{1}{9}), (3, \frac{1}{27}), \dots$, которые приближаются к оси $Ox$. Уравнение горизонтальной асимптоты: $y = 0$.

в) Для последовательности $y_n = \frac{4}{n}$ ее график состоит из набора точек с координатами $(n, y_n)$, где $n \in \mathbb{N}$.

Вычислим значения первых нескольких членов последовательности:
При $n=1$, $y_1 = \frac{4}{1} = 4$. Точка на графике: $(1, 4)$.
При $n=2$, $y_2 = \frac{4}{2} = 2$. Точка на графике: $(2, 2)$.
При $n=3$, $y_3 = \frac{4}{3}$. Точка на графике: $(3, \frac{4}{3})$.
При $n=4$, $y_4 = \frac{4}{4} = 1$. Точка на графике: $(4, 1)$.
График представляет собой набор дискретных точек, которые с ростом $n$ приближаются к оси абсцисс, оставаясь в первой координатной четверти.

Найдем предел последовательности для определения горизонтальной асимптоты:
$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{n} = 0$.
Поскольку предел существует и равен 0, уравнение горизонтальной асимптоты — $y=0$.
Ответ: График последовательности — это набор точек $(1, 4), (2, 2), (3, \frac{4}{3}), \dots$, которые приближаются к оси $Ox$. Уравнение горизонтальной асимптоты: $y = 0$.

г) Для последовательности $y_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ ее график состоит из набора точек с координатами $(n, y_n)$, где $n \in \mathbb{N}$.

Вычислим значения первых нескольких членов последовательности:
При $n=1$, $y_1 = \left(\frac{1}{2}\right)^{1-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1$. Точка на графике: $(1, 1)$.
При $n=2$, $y_2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{2-1} = \frac{1}{2}$. Точка на графике: $(2, \frac{1}{2})$.
При $n=3$, $y_3 = \left(\frac{1}{2}\right)^{3-1} = \frac{1}{4}$. Точка на графике: $(3, \frac{1}{4})$.
При $n=4$, $y_4 = \left(\frac{1}{2}\right)^{4-1} = \frac{1}{8}$. Точка на графике: $(4, \frac{1}{8})$.
График представляет собой набор дискретных точек в первой четверти, которые с ростом $n$ приближаются к оси абсцисс.

Найдем предел последовательности для определения горизонтальной асимптоты:
$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 0$.
Предел равен нулю, так как при $n \to \infty$ показатель степени $n-1 \to \infty$, а основание $\frac{1}{2}$ по модулю меньше единицы. Уравнение горизонтальной асимптоты — $y=0$.
Ответ: График последовательности — это набор точек $(1, 1), (2, \frac{1}{2}), (3, \frac{1}{4}), \dots$, которые приближаются к оси $Ox$. Уравнение горизонтальной асимптоты: $y = 0$.

38.8. а) $y_n = -1 + \frac{1}{n};$

б) $y_n = 2 - \frac{1}{n^2};$

В) $y_n = 2 - \frac{2}{n};$

Г) $y_n = -3 + \frac{1}{n^2}.$

а) $y_n = -1 + \frac{1}{n}$

Для полного исследования данной числовой последовательности определим ее монотонность, ограниченность и найдем ее предел.

1. Монотонность.
Чтобы определить, является ли последовательность возрастающей или убывающей, сравним $y_{n+1}$ и $y_n$.
$y_{n+1} = -1 + \frac{1}{n+1}$.
Рассмотрим разность $y_{n+1} - y_n$:
$y_{n+1} - y_n = \left(-1 + \frac{1}{n+1}\right) - \left(-1 + \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{n - (n+1)}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)}$.
Поскольку $n$ — натуральное число, $n > 0$ и $n+1 > 0$, то знаменатель $n(n+1) > 0$. Следовательно, вся дробь $\frac{-1}{n(n+1)} < 0$.
Так как $y_{n+1} - y_n < 0$, то $y_{n+1} < y_n$. Последовательность является строго убывающей.

2. Ограниченность и предел.
Найдем предел последовательности при $n \to \infty$ с использованием свойств пределов:
$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \left(-1 + \frac{1}{n}\right) = \lim_{n \to \infty} (-1) + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}$.
Известно, что $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$, поэтому:
$\lim_{n \to \infty} y_n = -1 + 0 = -1$.
Поскольку предел существует, последовательность сходится. Так как последовательность убывающая, она ограничена сверху своим первым членом $y_1 = -1 + \frac{1}{1} = 0$. Она ограничена снизу своим пределом. Таким образом, для всех $n$ выполняется неравенство $-1 < y_n \le 0$. Следовательно, последовательность ограничена.

Ответ: Последовательность является строго убывающей, ограниченной ($-1 < y_n \le 0$), ее предел равен -1.

б) $y_n = 2 - \frac{1}{n^2}$

Проведем исследование последовательности: найдем ее предел, определим монотонность и ограниченность.

1. Монотонность.
Рассмотрим разность $y_{n+1} - y_n$:
$y_{n+1} - y_n = \left(2 - \frac{1}{(n+1)^2}\right) - \left(2 - \frac{1}{n^2}\right) = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} = \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2(n+1)^2} = \frac{n^2+2n+1-n^2}{n^2(n+1)^2} = \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}$.
Для любого натурального $n$ числитель $2n+1 > 0$ и знаменатель $n^2(n+1)^2 > 0$, следовательно, $y_{n+1} - y_n > 0$, что означает $y_{n+1} > y_n$.
Последовательность является строго возрастающей.

2. Ограниченность и предел.
Найдем предел последовательности при $n \to \infty$:
$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \left(2 - \frac{1}{n^2}\right) = \lim_{n \to \infty} 2 - \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}$.
Поскольку $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$, получаем:
$\lim_{n \to \infty} y_n = 2 - 0 = 2$.
Последовательность сходится. Так как она возрастающая, то ограничена снизу своим первым членом $y_1 = 2 - \frac{1}{1^2} = 1$. Сверху она ограничена своим пределом. Таким образом, $1 \le y_n < 2$. Последовательность ограничена.

Ответ: Последовательность является строго возрастающей, ограниченной ($1 \le y_n < 2$), ее предел равен 2.

в) $y_n = 2 - \frac{2}{n}$

Проведем исследование последовательности: найдем ее предел, определим монотонность и ограниченность.

1. Монотонность.
Рассмотрим разность $y_{n+1} - y_n$:
$y_{n+1} - y_n = \left(2 - \frac{2}{n+1}\right) - \left(2 - \frac{2}{n}\right) = \frac{2}{n} - \frac{2}{n+1} = \frac{2(n+1) - 2n}{n(n+1)} = \frac{2n+2-2n}{n(n+1)} = \frac{2}{n(n+1)}$.
Для любого натурального $n$ выражение $\frac{2}{n(n+1)} > 0$, следовательно $y_{n+1} > y_n$.
Последовательность является строго возрастающей.

2. Ограниченность и предел.
Найдем предел последовательности при $n \to \infty$:
$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \left(2 - \frac{2}{n}\right) = \lim_{n \to \infty} 2 - \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 2 - 0 = 2$.
Последовательность сходится. Так как она возрастающая, то ограничена снизу своим первым членом $y_1 = 2 - \frac{2}{1} = 0$. Сверху она ограничена своим пределом. Таким образом, $0 \le y_n < 2$. Последовательность ограничена.

Ответ: Последовательность является строго возрастающей, ограниченной ($0 \le y_n < 2$), ее предел равен 2.

г) $y_n = -3 + \frac{1}{n^2}$

Проведем исследование последовательности: найдем ее предел, определим монотонность и ограниченность.

1. Монотонность.
Рассмотрим разность $y_{n+1} - y_n$:
$y_{n+1} - y_n = \left(-3 + \frac{1}{(n+1)^2}\right) - \left(-3 + \frac{1}{n^2}\right) = \frac{1}{(n+1)^2} - \frac{1}{n^2} = \frac{n^2 - (n+1)^2}{n^2(n+1)^2} = \frac{n^2 - (n^2+2n+1)}{n^2(n+1)^2} = \frac{-2n-1}{n^2(n+1)^2}$.
Для любого натурального $n$ числитель $-2n-1 < 0$ и знаменатель $n^2(n+1)^2 > 0$, следовательно, $y_{n+1} - y_n < 0$, что означает $y_{n+1} < y_n$.
Последовательность является строго убывающей.

2. Ограниченность и предел.
Найдем предел последовательности при $n \to \infty$:
$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \left(-3 + \frac{1}{n^2}\right) = \lim_{n \to \infty} (-3) + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = -3 + 0 = -3$.
Последовательность сходится. Так как она убывающая, то ограничена сверху своим первым членом $y_1 = -3 + \frac{1}{1^2} = -2$. Снизу она ограничена своим пределом. Таким образом, $-3 < y_n \le -2$. Последовательность ограничена.

Ответ: Последовательность является строго убывающей, ограниченной ($-3 < y_n \le -2$), ее предел равен -3.

38.9. а) $y_n = 2 + (-1)^n \frac{1}{n}$;

б) $y_n = (-1)^n 2 + \frac{1}{n}$;

В) $y_n = -3 + (-1)^n \frac{2}{n}$;

Г) $y_n = (-1)^{n+1} \cdot 3 - \frac{2}{n}$.

а)

Рассмотрим последовательность $y_n = 2 + (-1)^n\frac{1}{n}$. Для исследования её сходимости найдём пределы её подпоследовательностей для чётных и нечётных номеров $n$.

1. Пусть $n = 2k$ (чётные номера), где $k \in \mathbb{N}$. Тогда подпоследовательность имеет вид:
$y_{2k} = 2 + (-1)^{2k}\frac{1}{2k} = 2 + 1 \cdot \frac{1}{2k} = 2 + \frac{1}{2k}$.
Найдём её предел при $k \to \infty$ (что эквивалентно $n \to \infty$):
$\lim_{k \to \infty} y_{2k} = \lim_{k \to \infty} (2 + \frac{1}{2k}) = 2 + 0 = 2$.

2. Пусть $n = 2k-1$ (нечётные номера), где $k \in \mathbb{N}$. Тогда подпоследовательность имеет вид:
$y_{2k-1} = 2 + (-1)^{2k-1}\frac{1}{2k-1} = 2 + (-1) \cdot \frac{1}{2k-1} = 2 - \frac{1}{2k-1}$.
Найдём её предел при $k \to \infty$:
$\lim_{k \to \infty} y_{2k-1} = \lim_{k \to \infty} (2 - \frac{1}{2k-1}) = 2 - 0 = 2$.

Так как пределы подпоследовательностей для чётных и нечётных номеров совпадают и равны 2, то исходная последовательность сходится, и её предел равен 2.

Ответ: последовательность сходится, $\lim_{n \to \infty} y_n = 2$.

б)

Рассмотрим последовательность $y_n = (-1)^n 2 + \frac{1}{n}$. Для исследования её сходимости найдём пределы её подпоследовательностей для чётных и нечётных номеров $n$.

1. Пусть $n = 2k$ (чётные номера). Тогда подпоследовательность имеет вид:
$y_{2k} = (-1)^{2k} 2 + \frac{1}{2k} = 1 \cdot 2 + \frac{1}{2k} = 2 + \frac{1}{2k}$.
Найдём её предел при $k \to \infty$:
$\lim_{k \to \infty} y_{2k} = \lim_{k \to \infty} (2 + \frac{1}{2k}) = 2 + 0 = 2$.

2. Пусть $n = 2k-1$ (нечётные номера). Тогда подпоследовательность имеет вид:
$y_{2k-1} = (-1)^{2k-1} 2 + \frac{1}{2k-1} = (-1) \cdot 2 + \frac{1}{2k-1} = -2 + \frac{1}{2k-1}$.
Найдём её предел при $k \to \infty$:
$\lim_{k \to \infty} y_{2k-1} = \lim_{k \to \infty} (-2 + \frac{1}{2k-1}) = -2 + 0 = -2$.

Так как существуют две подпоследовательности, сходящиеся к разным пределам (2 и -2), исходная последовательность не имеет предела, то есть расходится. Числа 2 и -2 являются её частичными пределами.

Ответ: последовательность расходится, её частичные пределы равны 2 и -2.

в)

Рассмотрим последовательность $y_n = -3 + (-1)^n \frac{2}{n}$. Для исследования её сходимости найдём пределы её подпоследовательностей для чётных и нечётных номеров $n$.

1. Пусть $n = 2k$ (чётные номера). Тогда подпоследовательность имеет вид:
$y_{2k} = -3 + (-1)^{2k} \frac{2}{2k} = -3 + 1 \cdot \frac{1}{k} = -3 + \frac{1}{k}$.
Найдём её предел при $k \to \infty$:
$\lim_{k \to \infty} y_{2k} = \lim_{k \to \infty} (-3 + \frac{1}{k}) = -3 + 0 = -3$.

2. Пусть $n = 2k-1$ (нечётные номера). Тогда подпоследовательность имеет вид:
$y_{2k-1} = -3 + (-1)^{2k-1} \frac{2}{2k-1} = -3 + (-1) \cdot \frac{2}{2k-1} = -3 - \frac{2}{2k-1}$.
Найдём её предел при $k \to \infty$:
$\lim_{k \to \infty} y_{2k-1} = \lim_{k \to \infty} (-3 - \frac{2}{2k-1}) = -3 - 0 = -3$.

Так как пределы подпоследовательностей для чётных и нечётных номеров совпадают и равны -3, то исходная последовательность сходится, и её предел равен -3.

Ответ: последовательность сходится, $\lim_{n \to \infty} y_n = -3$.

г)

Рассмотрим последовательность $y_n = (-1)^{n+1} \cdot 3 - \frac{2}{n}$. Для исследования её сходимости найдём пределы её подпоследовательностей для чётных и нечётных номеров $n$.

1. Пусть $n = 2k$ (чётные номера). Тогда $n+1 = 2k+1$ (нечётное). Подпоследовательность имеет вид:
$y_{2k} = (-1)^{2k+1} \cdot 3 - \frac{2}{2k} = (-1) \cdot 3 - \frac{1}{k} = -3 - \frac{1}{k}$.
Найдём её предел при $k \to \infty$:
$\lim_{k \to \infty} y_{2k} = \lim_{k \to \infty} (-3 - \frac{1}{k}) = -3 - 0 = -3$.

2. Пусть $n = 2k-1$ (нечётные номера). Тогда $n+1 = 2k$ (чётное). Подпоследовательность имеет вид:
$y_{2k-1} = (-1)^{(2k-1)+1} \cdot 3 - \frac{2}{2k-1} = (-1)^{2k} \cdot 3 - \frac{2}{2k-1} = 1 \cdot 3 - \frac{2}{2k-1} = 3 - \frac{2}{2k-1}$.
Найдём её предел при $k \to \infty$:
$\lim_{k \to \infty} y_{2k-1} = \lim_{k \to \infty} (3 - \frac{2}{2k-1}) = 3 - 0 = 3$.

Так как существуют две подпоследовательности, сходящиеся к разным пределам (3 и -3), исходная последовательность не имеет предела, то есть расходится. Числа 3 и -3 являются её частичными пределами.

Ответ: последовательность расходится, её частичные пределы равны 3 и -3.

38.10. Верно ли утверждение:

а) если последовательность имеет предел, то она монотонна;

б) если последовательность монотонна, то она имеет предел;

в) если последовательность ограничена, то она имеет предел;

г) если последовательность не монотонна, то она не имеет предела?

а) если последовательность имеет предел, то она монотонна;

Утверждение неверно. Последовательность, которая имеет предел, не обязательно является монотонной. Для опровержения этого утверждения достаточно привести один контрпример.

Рассмотрим последовательность, заданную формулой $x_n = \frac{(-1)^n}{n}$.

Эта последовательность имеет предел, так как $\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$.

Однако она не является монотонной. Выпишем несколько ее первых членов: $x_1 = -1$, $x_2 = \frac{1}{2}$, $x_3 = -\frac{1}{3}$, $x_4 = \frac{1}{4}$, и т.д. Поскольку $x_1 < x_2$, но $x_2 > x_3$, последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей. Таким образом, мы нашли последовательность, которая имеет предел, но не является монотонной. Ответ: неверно.

б) если последовательность монотонна, то она имеет предел;

Утверждение неверно. Согласно теореме Вейерштрасса, монотонная последовательность имеет конечный предел тогда и только тогда, когда она ограничена. Если монотонная последовательность не является ограниченной, она не имеет конечного предела.

Рассмотрим в качестве контрпримера последовательность натуральных чисел $x_n = n$.

Эта последовательность является монотонно возрастающей, так как для любого натурального $n$ выполняется неравенство $x_{n+1} = n+1 > n = x_n$.

При этом последовательность не ограничена сверху, и ее предел равен бесконечности: $\lim_{n \to \infty} n = +\infty$. Поскольку предел не является конечным числом, говорят, что последовательность расходится, то есть не имеет предела. Ответ: неверно.

в) если последовательность ограничена, то она имеет предел;

Утверждение неверно. Ограниченность последовательности является необходимым, но не достаточным условием для существования предела. Теорема Больцано-Вейерштрасса утверждает, что из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, но сама последовательность может и не сходиться.

Рассмотрим в качестве контрпримера последовательность $x_n = (-1)^n$.

Ее члены: -1, 1, -1, 1, ... Эта последовательность ограничена, так как все ее значения принадлежат отрезку $[-1, 1]$.

Однако она не имеет предела, так как ее члены колеблются между -1 и 1 и не стремятся ни к какому одному числу. У нее есть две предельные точки (-1 и 1), а для существования предела он должен быть единственным. Ответ: неверно.

г) если последовательность не монотонна, то она не имеет предела?

Утверждение неверно. Отсутствие монотонности не является препятствием для существования предела. Можно привести тот же контрпример, что и в пункте а).

Рассмотрим последовательность $x_n = \frac{(-1)^n}{n}$.

Как было показано ранее, эта последовательность не является монотонной.

Тем не менее, она имеет предел, равный нулю: $\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$.

Следовательно, существует последовательность, которая не является монотонной, но при этом имеет предел. Ответ: неверно.

Пользуясь теоремой о пределе монотонной ограниченной последовательности, докажите, что последовательность имеет предел:

38.11. a) $x_n = \frac{3n^2 + 2}{n^2}$;

б) $x_n = \frac{n^2 - 5}{n^2 + 5}$.

В основе решения лежит теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности: всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет конечный предел. Чтобы доказать, что последовательность имеет предел, нужно установить ее монотонность (возрастание или убывание) и ограниченность (сверху и снизу).

а) $x_n = \frac{3n^2 + 2}{n^2}$

1. Исследование на монотонность.

Сначала преобразуем выражение для n-го члена последовательности, разделив числитель на знаменатель почленно:

$x_n = \frac{3n^2}{n^2} + \frac{2}{n^2} = 3 + \frac{2}{n^2}$.

Теперь сравним $(n+1)$-й и $n$-й члены последовательности. Рассмотрим их разность:

$x_{n+1} - x_n = \left(3 + \frac{2}{(n+1)^2}\right) - \left(3 + \frac{2}{n^2}\right) = \frac{2}{(n+1)^2} - \frac{2}{n^2}$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$x_{n+1} - x_n = \frac{2n^2 - 2(n+1)^2}{n^2(n+1)^2} = \frac{2n^2 - 2(n^2 + 2n + 1)}{n^2(n+1)^2} = \frac{2n^2 - 2n^2 - 4n - 2}{n^2(n+1)^2} = \frac{-(4n + 2)}{n^2(n+1)^2}$.

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), числитель $-(4n + 2)$ всегда отрицателен, а знаменатель $n^2(n+1)^2$ всегда положителен. Следовательно, вся дробь отрицательна:

$x_{n+1} - x_n < 0$, что означает $x_{n+1} < x_n$ для любого $n \ge 1$.

Таким образом, последовательность $\{x_n\}$ является строго убывающей, а значит, она монотонна.

2. Исследование на ограниченность.

Так как последовательность является убывающей, она ограничена сверху своим первым членом:

$x_1 = 3 + \frac{2}{1^2} = 5$. Значит, $x_n \le 5$ для всех $n \ge 1$.

Теперь докажем, что последовательность ограничена снизу. Для любого натурального $n$ справедливо $n^2 > 0$, а значит, и дробь $\frac{2}{n^2} > 0$.

Следовательно, $x_n = 3 + \frac{2}{n^2} > 3$.

Мы показали, что для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется двойное неравенство $3 < x_n \le 5$, что означает, что последовательность $\{x_n\}$ ограничена.

Поскольку последовательность $\{x_n\}$ является монотонной (убывает) и ограниченной, по теореме Вейерштрасса она имеет предел.

Ответ: Последовательность монотонно убывает и ограничена снизу, следовательно, имеет предел.

б) $x_n = \frac{n^2 - 5}{n^2 + 5}$

1. Исследование на монотонность.

Преобразуем выражение для n-го члена, выделив целую часть:

$x_n = \frac{n^2 + 5 - 10}{n^2 + 5} = \frac{n^2 + 5}{n^2 + 5} - \frac{10}{n^2 + 5} = 1 - \frac{10}{n^2 + 5}$.

Рассмотрим разность $(n+1)$-го и $n$-го членов:

$x_{n+1} - x_n = \left(1 - \frac{10}{(n+1)^2 + 5}\right) - \left(1 - \frac{10}{n^2 + 5}\right) = \frac{10}{n^2 + 5} - \frac{10}{(n+1)^2 + 5}$.

Приведем к общему знаменателю:

$x_{n+1} - x_n = \frac{10((n+1)^2 + 5) - 10(n^2 + 5)}{(n^2 + 5)((n+1)^2 + 5)} = \frac{10(n^2 + 2n + 1 + 5) - 10(n^2 + 5)}{(n^2 + 5)((n+1)^2 + 5)} = \frac{10n^2 + 20n + 60 - 10n^2 - 50}{(n^2 + 5)((n+1)^2 + 5)} = \frac{20n + 10}{(n^2 + 5)((n+1)^2 + 5)}$.

Для любого натурального $n \ge 1$ числитель $20n + 10$ положителен. Знаменатель $(n^2 + 5)((n+1)^2 + 5)$ также всегда положителен. Значит, вся дробь положительна:

$x_{n+1} - x_n > 0$, что означает $x_{n+1} > x_n$ для любого $n \ge 1$.

Таким образом, последовательность $\{x_n\}$ является строго возрастающей, а значит, она монотонна.

2. Исследование на ограниченность.

Так как последовательность возрастает, она ограничена снизу своим первым членом:

$x_1 = \frac{1^2 - 5}{1^2 + 5} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$. Значит, $x_n \ge -\frac{2}{3}$ для всех $n \ge 1$.

Теперь докажем, что последовательность ограничена сверху. Для любого натурального $n$ имеем $n^2 + 5 > 0$, следовательно, дробь $\frac{10}{n^2 + 5} > 0$.

Тогда $x_n = 1 - \frac{10}{n^2 + 5} < 1$.

Мы показали, что для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $-\frac{2}{3} \le x_n < 1$, что означает, что последовательность $\{x_n\}$ ограничена.

Поскольку последовательность $\{x_n\}$ является монотонной (возрастает) и ограниченной, по теореме Вейерштрасса она имеет предел.

Ответ: Последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, следовательно, имеет предел.

38.12. a) $x_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^n};$

б) $x_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n}.$

а) Последовательность $x_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{2^n}$ представляет собой сумму первых $n+1$ членов геометрической прогрессии.
Первый член этой прогрессии $b_1 = 1$, а знаменатель $q = \frac{1}{2}$.
Сумма конечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_k = b_1 \frac{1-q^k}{1-q}$.
В нашем случае число членов равно $n+1$, поэтому выражение для $x_n$ можно записать в замкнутой форме:
$x_n = 1 \cdot \frac{1 - (\frac{1}{2})^{n+1}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - \frac{1}{2^{n+1}}}{\frac{1}{2}} = 2 \left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right) = 2 - \frac{2}{2^{n+1}} = 2 - \frac{1}{2^n}$.
Теперь найдем предел последовательности $x_n$ при $n \to \infty$:
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left(2 - \frac{1}{2^n}\right)$.
Поскольку $\lim_{n \to \infty} 2^n = \infty$, то $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = 0$.
Следовательно, предел последовательности равен: $\lim_{n \to \infty} x_n = 2 - 0 = 2$.
Ответ: $\lim_{n \to \infty} x_n = 2$.

б) Рассмотрим последовательность $x_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n}$.
Эту сумму можно записать с помощью знака суммирования: $x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}$.
Преобразуем выражение, чтобы оно соответствовало форме интегральной суммы Римана:
$x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n(1 + \frac{k}{n})} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}$.
Данное выражение является интегральной суммой для функции $f(x) = \frac{1}{1+x}$ на отрезке $[0, 1]$. Отрезок разбит на $n$ равных частей длиной $\Delta x = \frac{1}{n}$, а в качестве точек для вычисления функции выбраны правые концы подынтервалов $x_k = \frac{k}{n}$.
Согласно определению определенного интеграла, предел такой суммы при $n \to \infty$ равен интегралу от функции $f(x)$ на соответствующем отрезке:
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{k}{n}} = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} dx$.
Вычислим полученный интеграл:
$\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} dx = [\ln|1+x|]_{0}^{1} = \ln(1+1) - \ln(1+0) = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2) - 0 = \ln(2)$.
Ответ: $\lim_{n \to \infty} x_n = \ln(2)$.