Страница 218, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

37.54. Если $(x_n)$ — возрастающая последовательность с положительными членами, то что можно сказать о монотонности последовательности $(y_n)$:

a) $y_n = 5x_n + 7;$

б) $y_n = \frac{7}{3 + x_n};$

в) $y_n = 2 - 3x_n;$

г) $y_n = (x_n)^2 + 2?$

По условию, последовательность ($x_n$) является возрастающей, то есть для любого натурального $n$ выполняется неравенство $x_{n+1} > x_n$. Также все члены последовательности положительны: $x_n > 0$.

Для определения монотонности последовательности ($y_n$) найдем знак разности ее соседних членов $y_{n+1} - y_n$.

а) $y_n = 5x_n + 7$

Найдем разность $y_{n+1} - y_n$:

$y_{n+1} - y_n = (5x_{n+1} + 7) - (5x_n + 7) = 5x_{n+1} + 7 - 5x_n - 7 = 5(x_{n+1} - x_n)$.

Так как последовательность ($x_n$) возрастающая, то $x_{n+1} - x_n > 0$. Поскольку $5 > 0$, произведение $5(x_{n+1} - x_n)$ также будет положительным.

Следовательно, $y_{n+1} - y_n > 0$, что означает, что последовательность ($y_n$) является возрастающей.

Ответ: последовательность возрастающая.

б) $y_n = \frac{7}{3 + x_n}$

Найдем разность $y_{n+1} - y_n$:

$y_{n+1} - y_n = \frac{7}{3 + x_{n+1}} - \frac{7}{3 + x_n} = \frac{7(3 + x_n) - 7(3 + x_{n+1})}{(3 + x_{n+1})(3 + x_n)} = \frac{21 + 7x_n - 21 - 7x_{n+1}}{(3 + x_{n+1})(3 + x_n)} = \frac{7(x_n - x_{n+1})}{(3 + x_{n+1})(3 + x_n)}$.

Проанализируем знак полученного выражения:

1. Числитель: $7(x_n - x_{n+1})$. Так как $x_{n+1} > x_n$, то $x_n - x_{n+1} < 0$. Значит, числитель отрицателен.

2. Знаменатель: $(3 + x_{n+1})(3 + x_n)$. По условию $x_n > 0$, следовательно $3 + x_n > 0$ и $3 + x_{n+1} > 0$. Произведение двух положительных чисел положительно, значит, знаменатель положителен.

Отношение отрицательного числителя к положительному знаменателю является отрицательным числом.

Следовательно, $y_{n+1} - y_n < 0$, что означает, что последовательность ($y_n$) является убывающей.

Ответ: последовательность убывающая.

в) $y_n = 2 - 3x_n$

Найдем разность $y_{n+1} - y_n$:

$y_{n+1} - y_n = (2 - 3x_{n+1}) - (2 - 3x_n) = 2 - 3x_{n+1} - 2 + 3x_n = 3x_n - 3x_{n+1} = -3(x_{n+1} - x_n)$.

Так как последовательность ($x_n$) возрастающая, то $x_{n+1} - x_n > 0$. Поскольку $-3 < 0$, произведение $-3(x_{n+1} - x_n)$ будет отрицательным.

Следовательно, $y_{n+1} - y_n < 0$, что означает, что последовательность ($y_n$) является убывающей.

Ответ: последовательность убывающая.

г) $y_n = (x_n)^2 + 2$

Найдем разность $y_{n+1} - y_n$:

$y_{n+1} - y_n = ((x_{n+1})^2 + 2) - ((x_n)^2 + 2) = (x_{n+1})^2 - (x_n)^2$.

Используем формулу разности квадратов:

$(x_{n+1})^2 - (x_n)^2 = (x_{n+1} - x_n)(x_{n+1} + x_n)$.

Проанализируем знак полученного выражения:

1. Первый множитель: $(x_{n+1} - x_n)$. Так как ($x_n$) — возрастающая последовательность, $x_{n+1} - x_n > 0$.

2. Второй множитель: $(x_{n+1} + x_n)$. Так как все члены последовательности ($x_n$) положительны, $x_n > 0$ и $x_{n+1} > 0$, их сумма также положительна: $x_{n+1} + x_n > 0$.

Произведение двух положительных множителей является положительным числом.

Следовательно, $y_{n+1} - y_n > 0$, что означает, что последовательность ($y_n$) является возрастающей.

Ответ: последовательность возрастающая.

37.55. При каких значениях параметра $p$ последовательность

$(y_n)$ будет возрастающей:

a) $y_n = pn - 5;$

б) $y_n = -\frac{p - 1}{n};$

в) $y_n = 2 - pn;$

г) $y_n = \frac{p + 2}{n + 1}?$

а)Последовательность $(y_n)$ является возрастающей, если для любого натурального $n$ выполняется строгое неравенство $y_{n+1} > y_n$. Это условие равносильно тому, что разность $y_{n+1} - y_n$ положительна.
Для последовательности $y_n = pn - 5$ найдем эту разность.
Сначала запишем $(n+1)$-й член последовательности: $y_{n+1} = p(n+1) - 5 = pn + p - 5$.
Теперь найдем разность:
$y_{n+1} - y_n = (pn + p - 5) - (pn - 5) = pn + p - 5 - pn + 5 = p$.
Для того чтобы последовательность была возрастающей, должно выполняться неравенство $y_{n+1} - y_n > 0$, что в данном случае означает:
$p > 0$.
Это условие не зависит от $n$, поэтому последовательность возрастает при всех $p > 0$.
Ответ: $p > 0$.

б)Для последовательности $y_n = -\frac{p-1}{n}$ найдем разность $y_{n+1} - y_n$.
Запишем $(n+1)$-й член: $y_{n+1} = -\frac{p-1}{n+1}$.
Найдем разность:
$y_{n+1} - y_n = \left(-\frac{p-1}{n+1}\right) - \left(-\frac{p-1}{n}\right) = (p-1) \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$.
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:
$y_{n+1} - y_n = (p-1) \left(\frac{n+1-n}{n(n+1)}\right) = \frac{p-1}{n(n+1)}$.
Условие возрастания $y_{n+1} - y_n > 0$ принимает вид:
$\frac{p-1}{n(n+1)} > 0$.
Поскольку $n$ — натуральное число, знаменатель $n(n+1)$ всегда положителен. Следовательно, знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство будет выполняться, если:
$p - 1 > 0$,
$p > 1$.
Ответ: $p > 1$.

в)Для последовательности $y_n = 2 - pn$ найдем разность $y_{n+1} - y_n$.
Запишем $(n+1)$-й член: $y_{n+1} = 2 - p(n+1) = 2 - pn - p$.
Найдем разность:
$y_{n+1} - y_n = (2 - pn - p) - (2 - pn) = 2 - pn - p - 2 + pn = -p$.
Условие возрастания $y_{n+1} - y_n > 0$ принимает вид:
$-p > 0$.
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак на противоположный:
$p < 0$.
Ответ: $p < 0$.

г)Для последовательности $y_n = \frac{p+2}{n+1}$ найдем разность $y_{n+1} - y_n$.
Запишем $(n+1)$-й член: $y_{n+1} = \frac{p+2}{n+2}$.
Найдем разность:
$y_{n+1} - y_n = \frac{p+2}{n+2} - \frac{p+2}{n+1} = (p+2) \left(\frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+1}\right)$.
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:
$y_{n+1} - y_n = (p+2) \left(\frac{n+1 - (n+2)}{(n+1)(n+2)}\right) = (p+2) \left(\frac{-1}{(n+1)(n+2)}\right) = \frac{-(p+2)}{(n+1)(n+2)}$.
Условие возрастания $y_{n+1} - y_n > 0$ принимает вид:
$\frac{-(p+2)}{(n+1)(n+2)} > 0$.
Поскольку $n$ — натуральное число, знаменатель $(n+1)(n+2)$ всегда положителен. Следовательно, знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство будет выполняться, если:
$-(p+2) > 0$.
$p+2 < 0$.
$p < -2$.
Ответ: $p < -2$.

37.56. При каких значениях параметра $p$ последовательность $(y_n)$ будет убывающей:

а) $y_n = \frac{2}{pn};$

б) $y_n = \frac{pn + 2}{pn + 3};$

в) $y_n = \frac{p}{\sin \frac{1}{n}};$

г) $y_n = \frac{5n^2 - p}{n^2}?$

а) Последовательность $(y_n)$ является убывающей, если для любого натурального $n$ выполняется неравенство $y_{n+1} < y_n$. Запишем общий член последовательности $y_n = \frac{2}{pn}$. Для того чтобы члены последовательности были определены для всех $n \ge 1$, необходимо, чтобы $p \neq 0$. Следующий член последовательности: $y_{n+1} = \frac{2}{p(n+1)}$. Составим неравенство $y_{n+1} < y_n$: $\frac{2}{p(n+1)} < \frac{2}{pn}$ Разделим обе части на 2: $\frac{1}{p(n+1)} < \frac{1}{pn}$ Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{1}{p(n+1)} - \frac{1}{pn} < 0$ $\frac{n - (n+1)}{pn(n+1)} < 0$ $\frac{-1}{pn(n+1)} < 0$ Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $\frac{1}{pn(n+1)} > 0$ Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$, и, следовательно, произведение $n(n+1)$ всегда положительно. Таким образом, знак всей дроби зависит только от знака параметра $p$. Для выполнения неравенства необходимо, чтобы знаменатель был положителен, то есть $p > 0$.
Ответ: $p \in (0, +\infty)$.

б) Общий член последовательности $y_n = \frac{pn + 2}{pn + 3}$. Для удобства преобразуем выражение, выделив целую часть: $y_n = \frac{pn + 3 - 1}{pn + 3} = 1 - \frac{1}{pn + 3}$ Последовательность $(y_n)$ убывает, если $y_{n+1} < y_n$: $1 - \frac{1}{p(n+1) + 3} < 1 - \frac{1}{pn + 3}$ $-\frac{1}{pn + p + 3} < -\frac{1}{pn + 3}$ Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $\frac{1}{pn + p + 3} > \frac{1}{pn + 3}$ Пусть $z_n = pn + 3$. Тогда $z_{n+1} = p(n+1) + 3 = pn + p + 3$. Неравенство принимает вид $\frac{1}{z_{n+1}} > \frac{1}{z_n}$. Рассмотрим два случая в зависимости от знака $p$. 1. Если $p > 0$, то последовательность $z_n = pn + 3$ является возрастающей ($z_{n+1} > z_n$). При $p>0$ все члены $z_n$ положительны. Если $z_{n+1} > z_n > 0$, то $\frac{1}{z_{n+1}} < \frac{1}{z_n}$. Это противоречит требуемому неравенству. Значит, $p>0$ не является решением. 2. Если $p < 0$, то последовательность $z_n = pn + 3$ является убывающей ($z_{n+1} < z_n$). Неравенство $\frac{1}{z_{n+1}} > \frac{1}{z_n}$ выполняется, если оба члена $z_n$ и $z_{n+1}$ отрицательны. Для этого необходимо, чтобы $z_n = pn+3 < 0$ для всех натуральных $n \ge 1$. Так как при $p<0$ последовательность $z_n$ убывает, достаточно потребовать, чтобы ее первый член был отрицательным: $z_1 = p(1) + 3 < 0 \implies p < -3$. При $p < -3$ все члены $z_n$ отрицательны (и не равны нулю), и так как $z_{n+1} < z_n < 0$, неравенство $\frac{1}{z_{n+1}} > \frac{1}{z_n}$ выполняется. При $p=0$ последовательность постоянна, $y_n = 2/3$.
Ответ: $p \in (-\infty, -3)$.

в) Общий член последовательности $y_n = \frac{p}{\sin(1/n)}$. Последовательность является убывающей, если $y_{n+1} < y_n$: $\frac{p}{\sin\frac{1}{n+1}} < \frac{p}{\sin\frac{1}{n}}$ Рассмотрим последовательность $S_n = \sin\frac{1}{n}$. Так как $n \ge 1$, аргумент $\frac{1}{n}$ находится в промежутке $(0, 1]$. Поскольку $1 < \frac{\pi}{2}$, на этом промежутке функция $\sin(x)$ является строго возрастающей. Последовательность $x_n = \frac{1}{n}$ является убывающей. Следовательно, композиция $S_n = \sin(\frac{1}{n})$ также является убывающей последовательностью положительных чисел: $0 < \sin\frac{1}{n+1} < \sin\frac{1}{n}$. Рассмотрим неравенство в зависимости от знака $p$. 1. Если $p > 0$, разделив на $p$, получим: $\frac{1}{\sin\frac{1}{n+1}} < \frac{1}{\sin\frac{1}{n}}$. Так как обе части положительны, это эквивалентно $\sin\frac{1}{n+1} > \sin\frac{1}{n}$, что противоречит тому, что $S_n$ убывает. 2. Если $p < 0$, разделив на $p$ и изменив знак неравенства, получим: $\frac{1}{\sin\frac{1}{n+1}} > \frac{1}{\sin\frac{1}{n}}$. Это эквивалентно $\sin\frac{1}{n+1} < \sin\frac{1}{n}$, что является верным. При $p=0$ последовательность постоянна, $y_n = 0$.
Ответ: $p \in (-\infty, 0)$.

г) Общий член последовательности $y_n = \frac{5n^2 - p}{n^2}$. Преобразуем выражение: $y_n = \frac{5n^2}{n^2} - \frac{p}{n^2} = 5 - \frac{p}{n^2}$. Последовательность $(y_n)$ убывает, если $y_{n+1} < y_n$: $5 - \frac{p}{(n+1)^2} < 5 - \frac{p}{n^2}$ $-\frac{p}{(n+1)^2} < -\frac{p}{n^2}$ Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $\frac{p}{(n+1)^2} > \frac{p}{n^2}$ Последовательность $x_n = n^2$ является возрастающей для $n \ge 1$, поэтому последовательность $\frac{1}{n^2}$ является убывающей, то есть $\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n^2}$ для всех $n \ge 1$. Рассмотрим неравенство в зависимости от знака $p$. 1. Если $p > 0$, разделив на $p$, получим: $\frac{1}{(n+1)^2} > \frac{1}{n^2}$. Это неверно. 2. Если $p < 0$, разделив на $p$ и изменив знак неравенства, получим: $\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n^2}$. Это верно для всех $n \ge 1$. При $p=0$ последовательность постоянна, $y_n = 5$.
Ответ: $p \in (-\infty, 0)$.

37.57. Дана последовательность $x_n = n^2 - 1$. Исследуйте на ограниченность и монотонность последовательность $(y_n)$:

а) $y_n = x_n$;

б) $y_n = x_{n+1} - x_n$;

в) $y_n = \frac{x_{n+2}}{x_{n+1}}$;

г) $y_n = \frac{1}{x_{n+1}}$.

Дана последовательность $x_n = n^2 - 1$, где $n \in \mathbb{N}$ (натуральные числа, $n \ge 1$).

а) $y_n = x_n$
Последовательность имеет вид $y_n = n^2 - 1$.
Исследование на монотонность:
Найдем разность $(n+1)$-го и $n$-го членов последовательности:
$y_{n+1} - y_n = ((n+1)^2 - 1) - (n^2 - 1) = (n^2 + 2n + 1 - 1) - (n^2 - 1) = n^2 + 2n - n^2 + 1 = 2n + 1$.
Так как $n \ge 1$, выражение $2n+1$ всегда положительно ($2n+1 \ge 3$).
Поскольку $y_{n+1} - y_n > 0$, то $y_{n+1} > y_n$. Следовательно, последовательность является строго возрастающей.
Исследование на ограниченность:
Так как последовательность строго возрастает, она ограничена снизу своим первым членом: $y_1 = 1^2 - 1 = 0$.
Найдем предел последовательности при $n \to \infty$:
$\lim_{n \to \infty} (n^2 - 1) = +\infty$.
Так как предел равен бесконечности, последовательность не ограничена сверху.
Ответ: последовательность строго возрастающая, ограничена снизу.

б) $y_n = x_{n+1} - x_n$
Как мы уже вычислили в пункте а), $x_{n+1} - x_n = 2n + 1$.
Таким образом, последовательность имеет вид $y_n = 2n + 1$.
Исследование на монотонность:
Найдем разность $(n+1)$-го и $n$-го членов последовательности:
$y_{n+1} - y_n = (2(n+1) + 1) - (2n + 1) = (2n + 3) - (2n + 1) = 2$.
Так как $y_{n+1} - y_n = 2 > 0$, последовательность является строго возрастающей.
Исследование на ограниченность:
Так как последовательность строго возрастает, она ограничена снизу своим первым членом: $y_1 = 2(1) + 1 = 3$.
Найдем предел последовательности при $n \to \infty$:
$\lim_{n \to \infty} (2n + 1) = +\infty$.
Последовательность не ограничена сверху.
Ответ: последовательность строго возрастающая, ограничена снизу.

в) $y_n = \frac{x_{n+2}}{x_{n+1}}$
Найдем явный вид для членов последовательности:
$x_{n+2} = (n+2)^2 - 1 = n^2 + 4n + 4 - 1 = n^2 + 4n + 3$.
$x_{n+1} = (n+1)^2 - 1 = n^2 + 2n + 1 - 1 = n^2 + 2n$.
Таким образом, $y_n = \frac{n^2 + 4n + 3}{n^2 + 2n}$. При $n \ge 1$ знаменатель не равен нулю.
Исследование на монотонность:
Для исследования монотонности рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x^2 + 4x + 3}{x^2 + 2x}$ при $x \ge 1$ и найдем ее производную:
$f'(x) = \frac{(2x+4)(x^2+2x) - (x^2+4x+3)(2x+2)}{(x^2+2x)^2} = \frac{(2x^3+4x^2+4x^2+8x) - (2x^3+8x^2+6x+2x^2+8x+6)}{(x^2+2x)^2}$
$f'(x) = \frac{2x^3+8x^2+8x - (2x^3+10x^2+14x+6)}{(x^2+2x)^2} = \frac{-2x^2-6x-6}{(x^2+2x)^2} = -\frac{2(x^2+3x+3)}{(x^2+2x)^2}$.
Так как при $x \ge 1$ числитель $2(x^2+3x+3)$ и знаменатель $(x^2+2x)^2$ всегда положительны, вся дробь со знаком минус будет отрицательной: $f'(x) < 0$.
Следовательно, функция убывает, а значит, и последовательность $y_n$ является строго убывающей.
Исследование на ограниченность:
Так как последовательность строго убывает, она ограничена сверху своим первым членом: $y_1 = \frac{1^2+4(1)+3}{1^2+2(1)} = \frac{8}{3}$.
Найдем предел последовательности при $n \to \infty$:
$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2+4n+3}{n^2+2n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1+4/n+3/n^2}{1+2/n} = 1$.
Так как последовательность убывает и стремится к 1, она ограничена снизу числом 1.
Имеем $1 < y_n \le \frac{8}{3}$. Следовательно, последовательность ограничена.
Ответ: последовательность строго убывающая, ограничена.

г) $y_n = \frac{1}{x_{n+1}}$
Найдем явный вид для $y_n$:
$x_{n+1} = (n+1)^2 - 1 = n^2 + 2n$.
$y_n = \frac{1}{n^2 + 2n}$.
Исследование на монотонность:
Рассмотрим последовательность знаменателя $z_n = n^2 + 2n$.
$z_{n+1} - z_n = ((n+1)^2 + 2(n+1)) - (n^2 + 2n) = (n^2 + 2n + 1 + 2n + 2) - (n^2 + 2n) = 2n + 3$.
Так как $2n+3 > 0$ при $n \ge 1$, последовательность $z_n$ является строго возрастающей.
Поскольку $y_n = \frac{1}{z_n}$ и $z_n$ — это строго возрастающая последовательность положительных чисел, то последовательность $y_n$ является строго убывающей.
Исследование на ограниченность:
Так как последовательность строго убывает, она ограничена сверху своим первым членом: $y_1 = \frac{1}{1^2+2(1)} = \frac{1}{3}$.
Поскольку $n^2+2n > 0$ для всех $n \ge 1$, то $y_n = \frac{1}{n^2+2n} > 0$. Следовательно, последовательность ограничена снизу нулем.
Имеем $0 < y_n \le \frac{1}{3}$. Следовательно, последовательность ограничена.
Ответ: последовательность строго убывающая, ограничена.

37.58. Исследуйте последовательность $ (x_n) $ на ограниченность и монотонность:

а) $ x_n = \frac{n}{n+2}; $

б) $ x_n = \frac{n^2+1}{n^2}. $

а) $x_n = \frac{n}{n+2}$

Исследование на монотонность:

Чтобы исследовать последовательность на монотонность, сравним её соседние члены $x_n$ и $x_{n+1}$.

$x_n = \frac{n}{n+2}$

$x_{n+1} = \frac{n+1}{(n+1)+2} = \frac{n+1}{n+3}$

Рассмотрим разность $x_{n+1} - x_n$:

$x_{n+1} - x_n = \frac{n+1}{n+3} - \frac{n}{n+2} = \frac{(n+1)(n+2) - n(n+3)}{(n+3)(n+2)}$

Преобразуем числитель:

$(n+1)(n+2) - n(n+3) = (n^2 + 2n + n + 2) - (n^2 + 3n) = n^2 + 3n + 2 - n^2 - 3n = 2$

Знаменатель $(n+3)(n+2)$ положителен для любого натурального $n$ (так как $n \ge 1$).

Таким образом, разность равна:

$x_{n+1} - x_n = \frac{2}{(n+3)(n+2)}$

Поскольку и числитель (2), и знаменатель $((n+3)(n+2))$ положительны, то $x_{n+1} - x_n > 0$ для всех $n \in \mathbb{N}$.

Это означает, что $x_{n+1} > x_n$, следовательно, последовательность является строго возрастающей (монотонно возрастает).

Исследование на ограниченность:

Поскольку последовательность монотонно возрастает, она ограничена снизу своим первым членом:

$x_1 = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$.

Таким образом, для всех $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $x_n \ge \frac{1}{3}$.

Для проверки ограниченности сверху преобразуем выражение для $x_n$:

$x_n = \frac{n}{n+2} = \frac{n+2-2}{n+2} = \frac{n+2}{n+2} - \frac{2}{n+2} = 1 - \frac{2}{n+2}$.

Так как $n \ge 1$, то $n+2 > 0$, и, следовательно, дробь $\frac{2}{n+2}$ всегда положительна.

Поэтому $x_n = 1 - \frac{2}{n+2} < 1$ для всех $n \in \mathbb{N}$.

Последовательность ограничена сверху числом 1.

Так как последовательность ограничена и снизу (например, числом $\frac{1}{3}$), и сверху (числом 1), она является ограниченной.

Ответ: последовательность является монотонно возрастающей и ограниченной.

б) $x_n = \frac{n^2+1}{n^2}$

Исследование на монотонность:

Преобразуем выражение для $x_n$, разделив числитель на знаменатель почленно:

$x_n = \frac{n^2}{n^2} + \frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{n^2}$.

Запишем выражение для следующего члена последовательности $x_{n+1}$:

$x_{n+1} = 1 + \frac{1}{(n+1)^2}$.

Сравним $x_n$ и $x_{n+1}$. Для любого натурального $n$ справедливо неравенство $n+1 > n$.

Поскольку обе части положительны, можно возвести их в квадрат: $(n+1)^2 > n^2$.

При взятии обратных величин от положительных чисел знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n^2}$.

Прибавим 1 к обеим частям неравенства:

$1 + \frac{1}{(n+1)^2} < 1 + \frac{1}{n^2}$.

Это означает, что $x_{n+1} < x_n$ для всех $n \in \mathbb{N}$.

Следовательно, последовательность является строго убывающей (монотонно убывает).

Исследование на ограниченность:

Поскольку последовательность монотонно убывает, она ограничена сверху своим первым членом:

$x_1 = \frac{1^2+1}{1^2} = \frac{2}{1} = 2$.

Таким образом, для всех $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $x_n \le 2$.

Для проверки ограниченности снизу снова воспользуемся преобразованным выражением $x_n = 1 + \frac{1}{n^2}$.

Так как $n \ge 1$, то $n^2 > 0$, и, следовательно, дробь $\frac{1}{n^2}$ всегда положительна.

Поэтому $x_n = 1 + \frac{1}{n^2} > 1$ для всех $n \in \mathbb{N}$.

Последовательность ограничена снизу числом 1.

Так как последовательность ограничена и сверху (числом 2), и снизу (числом 1), она является ограниченной.

Ответ: последовательность является монотонно убывающей и ограниченной.

37.59. Приведите примеры последовательностей:

а) возрастающих и ограниченных снизу;

б) возрастающих и не ограниченных сверху;

в) убывающих и ограниченных снизу;

г) убывающих и не ограниченных снизу.

а) возрастающих и ограниченных снизу;

Рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена $a_n = n$ для $n \in \mathbb{N}$.
Ее первые члены: $1, 2, 3, 4, ...$

1. Возрастание: Последовательность является возрастающей, если каждый следующий ее член больше предыдущего, то есть $a_{n+1} > a_n$.
В нашем случае $a_n = n$ и $a_{n+1} = n+1$. Так как $n+1 > n$ для любого натурального $n$, то условие $a_{n+1} > a_n$ выполняется. Следовательно, последовательность возрастающая.

2. Ограниченность снизу: Последовательность ограничена снизу, если существует такое число $M$, что все члены последовательности больше или равны $M$, то есть $a_n \ge M$.
Так как последовательность возрастающая, ее наименьший член — первый, $a_1 = 1$. Все остальные члены больше 1. Таким образом, для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $a_n = n \ge 1$. Значит, последовательность ограничена снизу, например, числом 1.

Ответ: последовательность $a_n = n$.

б) возрастающих и не ограниченных сверху;

Рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена $a_n = n^2$ для $n \in \mathbb{N}$.
Ее первые члены: $1, 4, 9, 16, ...$

1. Возрастание: Проверим условие $a_{n+1} > a_n$.
$a_n = n^2$ и $a_{n+1} = (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$.
Так как $2n+1 > 0$ для всех натуральных $n$, то $n^2 + 2n + 1 > n^2$, то есть $a_{n+1} > a_n$. Последовательность является возрастающей.

2. Неограниченность сверху: Последовательность не ограничена сверху, если для любого, сколь угодно большого числа $M$, найдется такой член последовательности $a_n$, который будет больше $M$.
Какое бы большое число $M > 0$ мы ни взяли, всегда можно найти такое натуральное число $n$, что $n > \sqrt{M}$. Тогда $n^2 > M$, то есть $a_n > M$. Это означает, что последовательность не ограничена сверху.

Ответ: последовательность $a_n = n^2$.

в) убывающих и ограниченных снизу;

Рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена $a_n = \frac{1}{n}$ для $n \in \mathbb{N}$.
Ее первые члены: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ...$

1. Убывание: Последовательность является убывающей, если каждый следующий ее член меньше предыдущего, то есть $a_{n+1} < a_n$.
$a_n = \frac{1}{n}$ и $a_{n+1} = \frac{1}{n+1}$.
Так как для натуральных $n$ верно неравенство $n+1 > n$, то, разделив обе части на $n(n+1) > 0$, получим $\frac{1}{n} > \frac{1}{n+1}$. Следовательно, $a_n > a_{n+1}$, и последовательность является убывающей.

2. Ограниченность снизу: Все члены последовательности являются положительными числами, так как $n$ — натуральное число. То есть для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется $a_n = \frac{1}{n} > 0$. Это означает, что последовательность ограничена снизу, например, числом 0.

Ответ: последовательность $a_n = \frac{1}{n}$.

г) убывающих и не ограниченных снизу.

Рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена $a_n = -n$ для $n \in \mathbb{N}$.
Ее первые члены: $-1, -2, -3, -4, ...$

1. Убывание: Проверим условие $a_{n+1} < a_n$.
$a_n = -n$ и $a_{n+1} = -(n+1) = -n - 1$.
Так как $-n-1 < -n$, то $a_{n+1} < a_n$. Последовательность является убывающей.

2. Неограниченность снизу: Последовательность не ограничена снизу, если для любого числа $M$ (в данном случае, сколь угодно малого, то есть большого по модулю отрицательного числа) найдется такой член последовательности $a_n$, который будет меньше $M$.
Какое бы число $M$ мы ни взяли, всегда можно найти натуральное число $n$ такое, что $n > -M$. Умножив это неравенство на -1, получим $-n < M$, то есть $a_n < M$. Это означает, что последовательность не ограничена снизу.

Ответ: последовательность $a_n = -n$.

37.60. Приведите пример последовательности:

а) возрастающей, ограниченной сверху, все члены которой положительные числа;

б) убывающей, все члены которой принадлежат интервалу $(0; 7)$;

в) возрастающей, имеющей ровно три отрицательных члена;

г) неограниченной, немонотонной.

а) возрастающей, ограниченной сверху, все члены которой положительные числа;

Рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена $a_n = \frac{n}{n+1}$.

Проверим, удовлетворяет ли она заданным условиям:

1. Все члены положительные: для любого натурального $n \geq 1$ числитель $n$ и знаменатель $n+1$ являются положительными числами. Следовательно, их частное $a_n = \frac{n}{n+1}$ всегда будет положительным числом.
2. Возрастающая: для доказательства того, что последовательность является возрастающей, нужно показать, что $a_{n+1} > a_n$ для любого $n$. Рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n$: $a_{n+1} - a_n = \frac{n+1}{(n+1)+1} - \frac{n}{n+1} = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{n^2 + 2n + 1 - n^2 - 2n}{(n+2)(n+1)} = \frac{1}{(n+2)(n+1)}$. Так как для любого натурального $n$ знаменатель $(n+2)(n+1)$ положителен, то и вся дробь положительна. Отсюда следует, что $a_{n+1} - a_n > 0$, то есть $a_{n+1} > a_n$. Последовательность возрастает.
3. Ограниченная сверху: представим общий член в виде $a_n = \frac{n+1-1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}$. Так как $\frac{1}{n+1}$ — это положительное число при любом натуральном $n$, то $a_n$ всегда будет меньше 1. Таким образом, последовательность ограничена сверху, например, числом 1.

Все условия выполнены.

Ответ: $a_n = \frac{n}{n+1}$.

б) убывающей, все члены которой принадлежат интервалу (0; 7);

Рассмотрим последовательность, заданную формулой $a_n = 6 + \frac{1}{n+1}$.

Проверим, удовлетворяет ли она заданным условиям:

1. Убывающая: нужно показать, что $a_{n+1} < a_n$. $a_{n+1} = 6 + \frac{1}{(n+1)+1} = 6 + \frac{1}{n+2}$. Поскольку для натуральных $n$ верно неравенство $n+2 > n+1$, то $\frac{1}{n+2} < \frac{1}{n+1}$. Прибавив 6 к обеим частям неравенства, получим $6 + \frac{1}{n+2} < 6 + \frac{1}{n+1}$, что означает $a_{n+1} < a_n$. Последовательность является убывающей.
2. Все члены принадлежат интервалу (0; 7): Первый член последовательности $a_1 = 6 + \frac{1}{1+1} = 6.5$. Так как последовательность убывает, все ее члены будут меньше или равны $a_1=6.5$. Следовательно, $a_n < 7$ для всех $n$. Предел последовательности при $n \to \infty$ равен $\lim_{n \to \infty} (6 + \frac{1}{n+1}) = 6$. Так как последовательность убывает, все ее члены будут больше ее предела. Следовательно, $a_n > 6$ для всех $n$. Таким образом, для всех $n$ выполняется неравенство $6 < a_n \leq 6.5$, что означает, что все члены последовательности принадлежат интервалу (0; 7).

Все условия выполнены.

Ответ: $a_n = 6 + \frac{1}{n+1}$.

в) возрастающей, имеющей ровно три отрицательных члена;

Рассмотрим последовательность, заданную формулой $a_n = n - 4$.

Проверим, удовлетворяет ли она заданным условиям:

1. Возрастающая: рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n = ((n+1) - 4) - (n - 4) = n - 3 - n + 4 = 1$. Так как разность положительна, то $a_{n+1} > a_n$, и последовательность является возрастающей.
2. Имеет ровно три отрицательных члена: найдем несколько первых членов последовательности:
   • $a_1 = 1 - 4 = -3$ (отрицательный)
   • $a_2 = 2 - 4 = -2$ (отрицательный)
   • $a_3 = 3 - 4 = -1$ (отрицательный)
   • $a_4 = 4 - 4 = 0$ (не является отрицательным)
   • $a_5 = 5 - 4 = 1$ (положительный)
   Так как последовательность возрастает, все члены, начиная с $a_4$, будут неотрицательными. Следовательно, отрицательными являются только первые три члена.

Все условия выполнены.

Ответ: $a_n = n - 4$.

г) неограниченной, немонотонной.

Рассмотрим последовательность, заданную формулой $a_n = (-1)^n \cdot n$.

Проверим, удовлетворяет ли она заданным условиям:

1. Немонотонная: выпишем несколько первых членов: $a_1 = -1, a_2 = 2, a_3 = -3, a_4 = 4, \dots$ Поскольку $a_1 < a_2$, последовательность не является убывающей. Поскольку $a_2 > a_3$, последовательность не является возрастающей. Следовательно, последовательность немонотонная.
2. Неограниченная: последовательность является неограниченной, если для любого числа $M > 0$ найдется член последовательности $a_n$ такой, что $|a_n| > M$. В нашем случае $|a_n| = |(-1)^n \cdot n| = |n| = n$. Для любого, сколь угодно большого, числа $M$ мы всегда можем найти натуральное число $n$ (например, $n = \lfloor M \rfloor + 1$), которое будет больше $M$. Для этого $n$ будет выполняться $|a_n| = n > M$. Это означает, что последовательность не является ограниченной.

Все условия выполнены.

Ответ: $a_n = (-1)^n \cdot n$.