Страница 221, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

38.13. a) $x_n = \frac{5}{n^2}$;

б) $x_n = \frac{-17}{n^3}$;

В) $x_n = \frac{-15}{n^2}$;

Г) $x_n = \frac{3}{\sqrt{n}}$.

а) Дана последовательность $x_n = \frac{5}{n^2}$.

Для нахождения предела данной последовательности при $n \to \infty$, воспользуемся основным свойством пределов. Мы можем вынести константу за знак предела:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^2} = 5 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}$

Поскольку при $n \to \infty$ знаменатель $n^2$ также стремится к бесконечности, то значение дроби $\frac{1}{n^2}$ стремится к нулю. Таким образом, $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$.

Подставляя это значение обратно, получаем:

$5 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0.

б) Дана последовательность $x_n = \frac{-17}{n^3}$.

Найдем предел этой последовательности при $n \to \infty$. Вынесем константу $-17$ за знак предела:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{-17}{n^3} = -17 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3}$

Так как знаменатель $n^3$ неограниченно возрастает при $n \to \infty$, то обратная ему величина $\frac{1}{n^3}$ стремится к нулю. То есть, $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} = 0$.

Следовательно, предел последовательности равен:

$-17 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0.

в) Дана последовательность $x_n = \frac{-15}{n^2}$.

Для нахождения предела последовательности при $n \to \infty$, применим свойство вынесения константы за знак предела:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{-15}{n^2} = -15 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}$

Знаменатель $n^2$ стремится к бесконечности при $n \to \infty$, поэтому дробь $\frac{1}{n^2}$ стремится к нулю. Мы знаем, что $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$.

Тогда искомый предел равен:

$-15 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0.

г) Дана последовательность $x_n = \frac{3}{\sqrt{n}}$.

Найдем предел этой последовательности, когда $n$ стремится к бесконечности. Вынесем множитель 3 за знак предела:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}} = 3 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$

Так как $\sqrt{n}$ неограниченно возрастает при $n \to \infty$, то величина $\frac{1}{\sqrt{n}}$ стремится к нулю. Формально, $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$.

Таким образом, предел всей последовательности равен:

$3 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0.

38.14. a) $x_n = \frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}} + \frac{9}{n^3};$

Б) $x_n = 6 - \frac{7}{n^2} - \frac{3}{n} - \frac{3}{\sqrt{n}};$

В) $x_n = \frac{3}{n} + \frac{7}{n^2} - \frac{5}{n^3} + \frac{13}{n^4};$

Г) $x_n = \frac{1}{n} + \frac{3}{\sqrt{n}} - 4 + \frac{7}{n^2}.$

а) Чтобы найти предел последовательности $x_n = \frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}} + \frac{9}{n^3}$, нужно вычислить $\lim_{n \to \infty} x_n$.

Используя свойство предела суммы, которое гласит, что предел суммы равен сумме пределов, получаем:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}} + \frac{9}{n^3} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{7}{n} + \lim_{n \to \infty} \frac{8}{\sqrt{n}} + \lim_{n \to \infty} \frac{9}{n^3}$.

Далее воспользуемся известным фактом, что предел вида $\lim_{n \to \infty} \frac{c}{n^p}$ равен нулю при любом постоянном $c$ и $p > 0$.

Для каждого слагаемого имеем:

• $\lim_{n \to \infty} \frac{7}{n} = 0$ (здесь $p=1 > 0$)
• $\lim_{n \to \infty} \frac{8}{\sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^{1/2}} = 0$ (здесь $p=1/2 > 0$)
• $\lim_{n \to \infty} \frac{9}{n^3} = 0$ (здесь $p=3 > 0$)

Складывая эти пределы, получаем:

$\lim_{n \to \infty} x_n = 0 + 0 + 0 = 0$.

Ответ: 0

б) Найдем предел последовательности $x_n = 6 - \frac{7}{n^2} - \frac{3}{n} - \frac{3}{\sqrt{n}}$.

Применим свойство предела разности:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( 6 - \frac{7}{n^2} - \frac{3}{n} - \frac{3}{\sqrt{n}} \right) = \lim_{n \to \infty} 6 - \lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} - \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} - \lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}}$.

Предел постоянной величины равен самой этой величине: $\lim_{n \to \infty} 6 = 6$.

Пределы остальных слагаемых равны нулю, так как $n$ в знаменателе находится в положительной степени:

• $\lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} = 0$
• $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} = 0$
• $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}} = 0$

Таким образом, предел последовательности равен:

$\lim_{n \to \infty} x_n = 6 - 0 - 0 - 0 = 6$.

Ответ: 6

в) Найдем предел последовательности $x_n = \frac{3}{n} + \frac{7}{n^2} - \frac{5}{n^3} + \frac{13}{n^4}$.

По свойству линейности предела:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3}{n} + \frac{7}{n^2} - \frac{5}{n^3} + \frac{13}{n^4} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} + \lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} - \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^3} + \lim_{n \to \infty} \frac{13}{n^4}$.

Каждое слагаемое является дробью с константой в числителе и $n$ в положительной степени в знаменателе. Предел каждого такого слагаемого при $n \to \infty$ равен 0.

$\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} = 0$, $\lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} = 0$, $\lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^3} = 0$, $\lim_{n \to \infty} \frac{13}{n^4} = 0$.

Следовательно, итоговый предел равен:

$\lim_{n \to \infty} x_n = 0 + 0 - 0 + 0 = 0$.

Ответ: 0

г) Найдем предел последовательности $x_n = \frac{1}{n} + \frac{3}{\sqrt{n}} - 4 + \frac{7}{n^2}$.

Для удобства перегруппируем члены: $x_n = -4 + \frac{1}{n} + \frac{3}{\sqrt{n}} + \frac{7}{n^2}$.

Применим свойство предела суммы:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( -4 + \frac{1}{n} + \frac{3}{\sqrt{n}} + \frac{7}{n^2} \right) = \lim_{n \to \infty} (-4) + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} + \lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}} + \lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2}$.

Предел константы равен самой константе: $\lim_{n \to \infty} (-4) = -4$.

Пределы остальных слагаемых, как и в предыдущих пунктах, равны нулю:

• $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$
• $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}} = 0$
• $\lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} = 0$

В результате получаем:

$\lim_{n \to \infty} x_n = -4 + 0 + 0 + 0 = -4$.

Ответ: -4

38.15. a) $x_n = \frac{5}{2^n};$

б) $x_n = \frac{1}{2} \cdot 5^{-n};$

В) $x_n = 7 \cdot 3^{-n};$

Г) $x_n = \frac{4}{3^{n+1}}.$

а)

Дана последовательность $x_n = \frac{5}{2^n}$. Чтобы определить, является ли она геометрической прогрессией, найдем отношение ее $(n+1)$-го члена к $n$-му члену. Это отношение должно быть постоянной величиной (знаменателем прогрессии $q$).

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$x_{n+1} = \frac{5}{2^{n+1}}$

Теперь вычислим отношение $q = \frac{x_{n+1}}{x_n}$:

$q = \frac{\frac{5}{2^{n+1}}}{\frac{5}{2^n}} = \frac{5}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{5} = \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{2^n}{2^n \cdot 2} = \frac{1}{2}$

Поскольку отношение $q = \frac{1}{2}$ является константой, не зависящей от $n$, данная последовательность является геометрической прогрессией.

Найдем ее первый член, подставив $n=1$ в исходную формулу:

$x_1 = \frac{5}{2^1} = \frac{5}{2}$

Ответ: последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $x_1 = \frac{5}{2}$ и знаменателем $q = \frac{1}{2}$.

б)

Рассмотрим последовательность, заданную формулой $x_n = \frac{1}{2} \cdot 5^{-n}$. Преобразуем выражение: $x_n = \frac{1}{2 \cdot 5^n}$.

Проверим, является ли последовательность геометрической прогрессией. Для этого найдем отношение $q = \frac{x_{n+1}}{x_n}$.

$(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = \frac{1}{2} \cdot 5^{-(n+1)} = \frac{1}{2 \cdot 5^{n+1}}$.

Найдем знаменатель $q$:

$q = \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\frac{1}{2 \cdot 5^{n+1}}}{\frac{1}{2 \cdot 5^n}} = \frac{1}{2 \cdot 5^{n+1}} \cdot \frac{2 \cdot 5^n}{1} = \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}$.

Так как $q = \frac{1}{5}$ — постоянная величина, последовательность является геометрической прогрессией.

Найдем ее первый член при $n=1$:

$x_1 = \frac{1}{2} \cdot 5^{-1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{10}$.

Ответ: последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $x_1 = \frac{1}{10}$ и знаменателем $q = \frac{1}{5}$.

в)

Дана последовательность $x_n = 7 \cdot 3^{-n}$. Это можно записать как $x_n = \frac{7}{3^n}$.

Чтобы доказать, что это геометрическая прогрессия, найдем отношение $q = \frac{x_{n+1}}{x_n}$.

$(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = 7 \cdot 3^{-(n+1)} = \frac{7}{3^{n+1}}$.

Вычислим знаменатель $q$:

$q = \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\frac{7}{3^{n+1}}}{\frac{7}{3^n}} = \frac{7}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{7} = \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}$.

Поскольку $q = \frac{1}{3}$ является постоянной величиной, последовательность является геометрической прогрессией.

Найдем первый член последовательности при $n=1$:

$x_1 = 7 \cdot 3^{-1} = \frac{7}{3}$.

Ответ: последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $x_1 = \frac{7}{3}$ и знаменателем $q = \frac{1}{3}$.

г)

Рассмотрим последовательность $x_n = \frac{4}{3^{n+1}}$.

Проверим, является ли она геометрической прогрессией, найдя отношение $q = \frac{x_{n+1}}{x_n}$.

$(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = \frac{4}{3^{(n+1)+1}} = \frac{4}{3^{n+2}}$.

Найдем знаменатель $q$:

$q = \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\frac{4}{3^{n+2}}}{\frac{4}{3^{n+1}}} = \frac{4}{3^{n+2}} \cdot \frac{3^{n+1}}{4} = \frac{3^{n+1}}{3^{n+2}} = \frac{1}{3}$.

Так как $q = \frac{1}{3}$ — постоянное число, последовательность является геометрической прогрессией.

Найдем первый член прогрессии при $n=1$:

$x_1 = \frac{4}{3^{1+1}} = \frac{4}{3^2} = \frac{4}{9}$.

Ответ: последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $x_1 = \frac{4}{9}$ и знаменателем $q = \frac{1}{3}$.

38.16. a) $x_n = \frac{5n + 3}{n + 1}$;

б) $x_n = \frac{7n - 5}{n + 2}$;

В) $x_n = \frac{3n + 1}{n + 2}$,

Г) $x_n = \frac{2n + 1}{3n - 1}$.

а) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{5n + 3}{n + 1}$ при $n \to \infty$, необходимо вычислить предел $\lim_{n \to \infty} \frac{5n + 3}{n + 1}$. Это неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы ее раскрыть, разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной $n$, то есть на $n$:
$\lim_{n \to \infty} \frac{5n + 3}{n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{5n}{n} + \frac{3}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{5 + \frac{3}{n}}{1 + \frac{1}{n}}$.
Поскольку при $n \to \infty$ дроби $\frac{3}{n}$ и $\frac{1}{n}$ стремятся к нулю ($\lim_{n \to \infty} \frac{k}{n} = 0$), получаем:
$\frac{5 + 0}{1 + 0} = \frac{5}{1} = 5$.
Ответ: 5

б) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{7n - 5}{n + 2}$ при $n \to \infty$, разделим числитель и знаменатель дроби на $n$:
$\lim_{n \to \infty} \frac{7n - 5}{n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{7n}{n} - \frac{5}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{2}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{7 - \frac{5}{n}}{1 + \frac{2}{n}}$.
Так как при $n \to \infty$ дроби $\frac{5}{n}$ и $\frac{2}{n}$ стремятся к нулю, имеем:
$\frac{7 - 0}{1 + 0} = \frac{7}{1} = 7$.
Ответ: 7

в) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{3n + 1}{n + 2}$ при $n \to \infty$, разделим числитель и знаменатель дроби на $n$:
$\lim_{n \to \infty} \frac{3n + 1}{n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3n}{n} + \frac{1}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{2}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}}$.
При $n \to \infty$ дроби $\frac{1}{n}$ и $\frac{2}{n}$ стремятся к нулю, поэтому:
$\frac{3 + 0}{1 + 0} = \frac{3}{1} = 3$.
Ответ: 3

г) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{2n + 1}{3n - 1}$ при $n \to \infty$, разделим числитель и знаменатель дроби на $n$:
$\lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{3n - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n}{n} + \frac{1}{n}}{\frac{3n}{n} - \frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{n}}{3 - \frac{1}{n}}$.
Поскольку при $n \to \infty$ дробь $\frac{1}{n}$ стремится к нулю в числителе и знаменателе, получаем:
$\frac{2 + 0}{3 - 0} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$

38.17. a) $x_n = \frac{2n^2 - 1}{n^2}$;

б) $x_n = \frac{1 + 2n + n^2}{n^2}$;

В) $x_n = \frac{3 - n^2}{n^2}$;

Г) $x_n = \frac{3n - 4 - 2n^2}{n^2}$.

а) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{2n^2 - 1}{n^2}$ при $n \to \infty$, преобразуем выражение, разделив числитель почленно на знаменатель:
$x_n = \frac{2n^2}{n^2} - \frac{1}{n^2} = 2 - \frac{1}{n^2}$
Теперь найдем предел этой последовательности:
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left(2 - \frac{1}{n^2}\right)$
Поскольку при $n \to \infty$ слагаемое $\frac{1}{n^2}$ стремится к нулю, то есть $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$, предел последовательности равен:
$\lim_{n \to \infty} x_n = 2 - 0 = 2$
Ответ: 2

б) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{1 + 2n + n^2}{n^2}$ при $n \to \infty$, заметим, что выражение в числителе является полным квадратом суммы: $1 + 2n + n^2 = (1+n)^2$.
Тогда выражение для $x_n$ можно переписать в следующем виде:
$x_n = \frac{(n+1)^2}{n^2} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^2 = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2$
Найдем предел:
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2$
Так как при $n \to \infty$ слагаемое $\frac{1}{n}$ стремится к нулю ($\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$), получаем:
$\lim_{n \to \infty} x_n = (1 + 0)^2 = 1^2 = 1$
Ответ: 1

в) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{3 - n^2}{n^2}$ при $n \to \infty$, разделим числитель почленно на знаменатель:
$x_n = \frac{3}{n^2} - \frac{n^2}{n^2} = \frac{3}{n^2} - 1$
Вычислим предел полученного выражения:
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{n^2} - 1\right)$
При $n \to \infty$ слагаемое $\frac{3}{n^2}$ стремится к нулю ($\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^2} = 0$), следовательно, предел последовательности равен:
$\lim_{n \to \infty} x_n = 0 - 1 = -1$
Ответ: -1

г) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{3n - 4 - 2n^2}{n^2}$ при $n \to \infty$, преобразуем выражение, разделив каждый член числителя на знаменатель $n^2$:
$x_n = \frac{3n}{n^2} - \frac{4}{n^2} - \frac{2n^2}{n^2} = \frac{3}{n} - \frac{4}{n^2} - 2$
Теперь найдем предел:
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{n} - \frac{4}{n^2} - 2\right)$
При $n \to \infty$ слагаемые $\frac{3}{n}$ и $\frac{4}{n^2}$ стремятся к нулю ($\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} = 0$ и $\lim_{n \to \infty} \frac{4}{n^2} = 0$). В результате получаем:
$\lim_{n \to \infty} x_n = 0 - 0 - 2 = -2$
Ответ: -2

38.18. a) $x_n = \frac{(2n + 1)(n - 3)}{n^2}$;

б) $x_n = \frac{(3n + 1)(4n - 1)}{(n + 1)^2}$;

В) $x_n = \frac{(3n - 2)(2n + 3)}{n^2}$;

Г) $x_n = \frac{(1 - 2n)(1 + n)}{(n + 2)^2}$.

а) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{(2n + 1)(n - 3)}{n^2}$ при $n \to \infty$, сначала раскроем скобки в числителе: $(2n + 1)(n - 3) = 2n^2 - 6n + n - 3 = 2n^2 - 5n - 3$. Таким образом, нам нужно найти предел $\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 - 5n - 3}{n^2}$. Поскольку степени многочленов в числителе и знаменателе равны (старшая степень $n^2$), предел равен отношению коэффициентов при этой старшей степени. Коэффициент при $n^2$ в числителе равен 2, а в знаменателе - 1. Следовательно, предел равен $\frac{2}{1} = 2$.
Ответ: 2.

б) Рассмотрим предел последовательности $x_n = \frac{(3n + 1)(4n - 1)}{(n + 1)^2}$. Раскроем скобки в числителе и знаменателе. Числитель: $(3n + 1)(4n - 1) = 12n^2 - 3n + 4n - 1 = 12n^2 + n - 1$. Знаменатель: $(n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1$. Теперь предел имеет вид $\lim_{n \to \infty} \frac{12n^2 + n - 1}{n^2 + 2n + 1}$. Степени многочленов в числителе и знаменателе совпадают и равны 2. Предел такой дроби равен отношению коэффициентов при старшей степени $n^2$. В числителе это 12, в знаменателе - 1. Таким образом, предел равен $\frac{12}{1} = 12$.
Ответ: 12.

в) Найдем предел последовательности $x_n = \frac{(3n - 2)(2n + 3)}{n^2}$. Преобразуем числитель, раскрыв скобки: $(3n - 2)(2n + 3) = 6n^2 + 9n - 4n - 6 = 6n^2 + 5n - 6$. Вычисляем предел: $\lim_{n \to \infty} \frac{6n^2 + 5n - 6}{n^2}$. Степень числителя (2) равна степени знаменателя (2). Следовательно, предел равен отношению коэффициентов при $n^2$, то есть $\frac{6}{1} = 6$.
Ответ: 6.

г) Найдем предел последовательности $x_n = \frac{(1 - 2n)(1 + n)}{(n + 2)^2}$. Преобразуем числитель и знаменатель. Числитель: $(1 - 2n)(1 + n) = 1 + n - 2n - 2n^2 = -2n^2 - n + 1$. Знаменатель: $(n + 2)^2 = n^2 + 4n + 4$. Искомый предел: $\lim_{n \to \infty} \frac{-2n^2 - n + 1}{n^2 + 4n + 4}$. Так как степени многочленов в числителе и знаменателе равны 2, предел равен отношению коэффициентов при $n^2$. Коэффициент в числителе -2, в знаменателе 1. Значит, предел равен $\frac{-2}{1} = -2$.
Ответ: -2.

38.19. а) $x_n = \frac{(2n + 1)(3n - 4) - 6n^2 + 12n}{n + 5}$;

б) $x_n = \frac{n^2(2n + 5) - 2n^3 + 5n^2 - 13}{n(n + 1)(n - 7) + 1 - n}$;

в) $x_n = \frac{(1 - n)(n^2 + 1) + n^3}{n^2 + 2n}$;

г) $x_n = \frac{n(7 - n^2) + n^3 - 3n - 1}{(n + 1)(n + 2) + 2n^2 + 1}$.

а)

Дано выражение для $x_n$:

$x_n = \frac{(2n + 1)(3n - 4) - 6n^2 + 12n}{n + 5}$

Для упрощения выражения, сначала раскроем скобки в числителе:

$(2n + 1)(3n - 4) = 2n \cdot 3n - 2n \cdot 4 + 1 \cdot 3n - 1 \cdot 4 = 6n^2 - 8n + 3n - 4 = 6n^2 - 5n - 4$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в числитель и приведем подобные слагаемые:

$(6n^2 - 5n - 4) - 6n^2 + 12n = (6n^2 - 6n^2) + (-5n + 12n) - 4 = 7n - 4$.

Таким образом, выражение для $x_n$ принимает вид:

$x_n = \frac{7n - 4}{n + 5}$.

Ответ: $x_n = \frac{7n - 4}{n + 5}$.

б)

Дано выражение для $x_n$:

$x_n = \frac{n^2(2n + 5) - 2n^3 + 5n^2 - 13}{n(n + 1)(n - 7) + 1 - n}$

Упростим числитель. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$n^2(2n + 5) - 2n^3 + 5n^2 - 13 = 2n^3 + 5n^2 - 2n^3 + 5n^2 - 13 = (2n^3 - 2n^3) + (5n^2 + 5n^2) - 13 = 10n^2 - 13$.

Теперь упростим знаменатель. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$n(n + 1)(n - 7) + 1 - n = n(n^2 - 7n + n - 7) + 1 - n = n(n^2 - 6n - 7) + 1 - n = n^3 - 6n^2 - 7n + 1 - n = n^3 - 6n^2 - 8n + 1$.

В результате получаем упрощенное выражение для $x_n$:

$x_n = \frac{10n^2 - 13}{n^3 - 6n^2 - 8n + 1}$.

Ответ: $x_n = \frac{10n^2 - 13}{n^3 - 6n^2 - 8n + 1}$.

в)

Дано выражение для $x_n$:

$x_n = \frac{(1 - n)(n^2 + 1) + n^3}{n^2 + 2n}$

Упростим числитель. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(1 - n)(n^2 + 1) + n^3 = (1 \cdot n^2 + 1 \cdot 1 - n \cdot n^2 - n \cdot 1) + n^3 = (n^2 + 1 - n^3 - n) + n^3 = n^2 - n + 1$.

Упростим знаменатель, вынеся общий множитель за скобки:

$n^2 + 2n = n(n + 2)$.

Тогда выражение для $x_n$ будет иметь вид:

$x_n = \frac{n^2 - n + 1}{n(n + 2)}$.

Ответ: $x_n = \frac{n^2 - n + 1}{n(n + 2)}$.

г)

Дано выражение для $x_n$:

$x_n = \frac{n(7 - n^2) + n^3 - 3n - 1}{(n + 1)(n + 2) + 2n^2 + 1}$

Упростим числитель. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$n(7 - n^2) + n^3 - 3n - 1 = 7n - n^3 + n^3 - 3n - 1 = (-n^3 + n^3) + (7n - 3n) - 1 = 4n - 1$.

Теперь упростим знаменатель. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(n + 1)(n + 2) + 2n^2 + 1 = (n^2 + 2n + n + 2) + 2n^2 + 1 = (n^2 + 3n + 2) + 2n^2 + 1 = 3n^2 + 3n + 3 = 3(n^2 + n + 1)$.

В результате получаем упрощенное выражение для $x_n$:

$x_n = \frac{4n - 1}{3(n^2 + n + 1)}$.

Ответ: $x_n = \frac{4n - 1}{3(n^2 + n + 1)}$.