Страница 228, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

39.14. a) $\lim_{x\to\infty} \frac{x+1}{x-2}$;

б) $\lim_{x\to\infty} \frac{3x-4}{2x+7}$;

В) $\lim_{x\to\infty} \frac{x-4}{x+3}$;

Г) $\lim_{x\to\infty} \frac{7x+9}{6x-1}$.

а)

Чтобы найти предел $ \lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{x-2} $, мы имеем дело с неопределенностью вида $ \frac{\infty}{\infty} $. Для ее раскрытия разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной $x$, то есть на $x$.

$ \lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{x-2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{2}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}} $

Поскольку при $ x \to \infty $ выражения $ \frac{1}{x} $ и $ \frac{2}{x} $ стремятся к нулю, мы можем подставить эти значения в предел:

$ \frac{1 + 0}{1 - 0} = \frac{1}{1} = 1 $

Ответ: $1$.

б)

Для нахождения предела $ \lim_{x \to \infty} \frac{3x-4}{2x+7} $ также сталкиваемся с неопределенностью $ \frac{\infty}{\infty} $. Разделим числитель и знаменатель на $x$.

$ \lim_{x \to \infty} \frac{3x-4}{2x+7} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x}{x} - \frac{4}{x}}{\frac{2x}{x} + \frac{7}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{4}{x}}{2 + \frac{7}{x}} $

Так как $ \frac{4}{x} \to 0 $ и $ \frac{7}{x} \to 0 $ при $ x \to \infty $, получаем:

$ \frac{3 - 0}{2 + 0} = \frac{3}{2} $

Ответ: $ \frac{3}{2} $.

в)

Находим предел $ \lim_{x \to \infty} \frac{x-4}{x+3} $. Это снова неопределенность вида $ \frac{\infty}{\infty} $. Делим числитель и знаменатель на $x$.

$ \lim_{x \to \infty} \frac{x-4}{x+3} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} - \frac{4}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{x}}{1 + \frac{3}{x}} $

Учитывая, что $ \frac{4}{x} \to 0 $ и $ \frac{3}{x} \to 0 $ при $ x \to \infty $, имеем:

$ \frac{1 - 0}{1 + 0} = \frac{1}{1} = 1 $

Ответ: $1$.

г)

Для предела $ \lim_{x \to \infty} \frac{7x+9}{6x-1} $ мы имеем неопределенность $ \frac{\infty}{\infty} $. Разделим числитель и знаменатель на $x$.

$ \lim_{x \to \infty} \frac{7x+9}{6x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7x}{x} + \frac{9}{x}}{\frac{6x}{x} - \frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{9}{x}}{6 - \frac{1}{x}} $

Поскольку $ \frac{9}{x} \to 0 $ и $ \frac{1}{x} \to 0 $ при $ x \to \infty $, получаем:

$ \frac{7 + 0}{6 - 0} = \frac{7}{6} $

Ответ: $ \frac{7}{6} $.

39.15. a) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x - 1}{x^2 + 7x + 5};$

б) $\lim_{x \to \infty} \frac{5 - 5x}{2x^2 - 9x};$

В) $\lim_{x \to \infty} \frac{-2x - 1}{3x^2 - 4x + 1};$

Г) $\lim_{x \to \infty} \frac{4x + 3}{12x^2 - 6x}.$

а)

Для нахождения предела $\lim_{x \to \infty} \frac{3x - 1}{x^2 + 7x + 5}$ мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы раскрыть эту неопределенность, разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной $x$ в знаменателе, то есть на $x^2$.

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x - 1}{x^2 + 7x + 5} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x - 1}{x^2}}{\frac{x^2 + 7x + 5}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{7x}{x^2} + \frac{5}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{7}{x} + \frac{5}{x^2}}$

При $x \to \infty$, значения выражений $\frac{3}{x}$, $\frac{1}{x^2}$, $\frac{7}{x}$ и $\frac{5}{x^2}$ стремятся к нулю.

Следовательно, получаем: $\frac{0 - 0}{1 + 0 + 0} = \frac{0}{1} = 0$

Также можно заметить, что степень многочлена в числителе (1) меньше степени многочлена в знаменателе (2), поэтому предел равен нулю.

Ответ: $0$

б)

Для нахождения предела $\lim_{x \to \infty} \frac{5 - 5x}{2x^2 - 9x}$ мы также сталкиваемся с неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень $x$ в знаменателе, то есть на $x^2$.

$\lim_{x \to \infty} \frac{5 - 5x}{2x^2 - 9x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 - 5x}{x^2}}{\frac{2x^2 - 9x}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^2} - \frac{5x}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2} - \frac{9x}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^2} - \frac{5}{x}}{2 - \frac{9}{x}}$

Так как при $x \to \infty$ выражения $\frac{5}{x^2}$, $\frac{5}{x}$ и $\frac{9}{x}$ стремятся к нулю, мы можем подставить эти значения в предел.

$\frac{0 - 0}{2 - 0} = \frac{0}{2} = 0$

Как и в предыдущем случае, степень числителя (1) меньше степени знаменателя (2), что подтверждает, что предел равен нулю.

Ответ: $0$

в)

Рассмотрим предел $\lim_{x \to \infty} \frac{-2x - 1}{3x^2 - 4x + 1}$. Здесь снова неопределенность $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на $x^2$ (старшая степень в знаменателе).

$\lim_{x \to \infty} \frac{-2x - 1}{3x^2 - 4x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-2x - 1}{x^2}}{\frac{3x^2 - 4x + 1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-2x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{\frac{3x^2}{x^2} - \frac{4x}{x^2} + \frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-2}{x} - \frac{1}{x^2}}{3 - \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}$

При $x \to \infty$, дроби $\frac{-2}{x}$, $\frac{1}{x^2}$, $\frac{4}{x}$ и $\frac{1}{x^2}$ стремятся к нулю.

Таким образом, предел равен: $\frac{0 - 0}{3 - 0 + 0} = \frac{0}{3} = 0$

Степень числителя (1) меньше степени знаменателя (2), поэтому предел равен нулю.

Ответ: $0$

г)

Вычислим предел $\lim_{x \to \infty} \frac{4x + 3}{12x^2 - 6x}$. Это неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на $x^2$.

$\lim_{x \to \infty} \frac{4x + 3}{12x^2 - 6x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4x + 3}{x^2}}{\frac{12x^2 - 6x}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4x}{x^2} + \frac{3}{x^2}}{\frac{12x^2}{x^2} - \frac{6x}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}}{12 - \frac{6}{x}}$

Поскольку при $x \to \infty$ выражения $\frac{4}{x}$, $\frac{3}{x^2}$ и $\frac{6}{x}$ стремятся к нулю, получаем:

$\frac{0 + 0}{12 - 0} = \frac{0}{12} = 0$

Здесь также степень многочлена в числителе (1) меньше, чем степень многочлена в знаменателе (2), что приводит к нулевому пределу.

Ответ: $0$

39.16. a) $ \lim_{x \to \infty} \frac{4x - x^2 + 1}{5x^2 - 2x}; $

б) $ \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 8}{x^3 + 18}; $

в) $ \lim_{x \to \infty} \frac{3x - 2x^2 + 4}{3x^2 + 2x}; $

г) $ \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 3x^2}{x^4 + 2x + 1}. $

а)

Для нахождения предела отношения двух многочленов при $x \to \infty$, разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени, которая присутствует в знаменателе. В данном случае это $x^2$.

$ \lim_{x \to \infty} \frac{4x - x^2 + 1}{5x^2 - 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4x}{x^2} - \frac{x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2}}{\frac{5x^2}{x^2} - \frac{2x}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} - 1 + \frac{1}{x^2}}{5 - \frac{2}{x}} $

При $x \to \infty$ значения выражений $\frac{4}{x}$, $\frac{1}{x^2}$ и $\frac{2}{x}$ стремятся к нулю. Подставляя эти значения, получаем:

$ \frac{0 - 1 + 0}{5 - 0} = -\frac{1}{5} $

Поскольку степени многочленов в числителе и знаменателе равны (оба равны 2), предел равен отношению коэффициентов при старших степенях: $\frac{-1}{5}$.

Ответ: $-\frac{1}{5}$

б)

Степени многочленов в числителе и знаменателе равны (оба равны 3). Разделим числитель и знаменатель на $x^3$.

$ \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 8}{x^3 + 18} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^3}{x^3} - \frac{8}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3} + \frac{18}{x^3}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{8}{x^3}}{1 + \frac{18}{x^3}} $

При $x \to \infty$ выражения $\frac{8}{x^3}$ и $\frac{18}{x^3}$ стремятся к нулю.

$ \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1 $

Предел равен отношению коэффициентов при старших степенях ($x^3$), то есть $\frac{1}{1} = 1$.

Ответ: $1$

в)

Степени многочленов в числителе и знаменателе равны (оба равны 2). Разделим числитель и знаменатель на $x^2$.

$ \lim_{x \to \infty} \frac{3x - 2x^2 + 4}{3x^2 + 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x}{x^2} - \frac{2x^2}{x^2} + \frac{4}{x^2}}{\frac{3x^2}{x^2} + \frac{2x}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} - 2 + \frac{4}{x^2}}{3 + \frac{2}{x}} $

При $x \to \infty$ выражения $\frac{3}{x}$, $\frac{4}{x^2}$ и $\frac{2}{x}$ стремятся к нулю.

$ \frac{0 - 2 + 0}{3 + 0} = -\frac{2}{3} $

Предел равен отношению коэффициентов при старших степенях ($x^2$), то есть $\frac{-2}{3}$.

Ответ: $-\frac{2}{3}$

г)

В этом случае степень многочлена в числителе (3) меньше степени многочлена в знаменателе (4). Разделим числитель и знаменатель на старшую степень знаменателя, то есть на $x^4$.

$ \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 3x^2}{x^4 + 2x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^3}{x^4} - \frac{3x^2}{x^4}}{\frac{x^4}{x^4} + \frac{2x}{x^4} + \frac{1}{x^4}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^2}}{1 + \frac{2}{x^3} + \frac{1}{x^4}} $

При $x \to \infty$, все члены, содержащие $x$ в знаменателе, стремятся к нулю.

$ \frac{0 - 0}{1 + 0 + 0} = \frac{0}{1} = 0 $

Поскольку степень многочлена в знаменателе больше степени многочлена в числителе, предел равен нулю.

Ответ: $0$

39.17. a) $lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 9}{x^2 + 2};$

б) $lim_{x \to \infty} \frac{12x^2 + 5x + 2}{6x^2 + 5x - 1};$

В) $lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 8}{x^2 - 1};$

Г) $lim_{x \to \infty} \frac{10x^2 + 4x - 3}{5x^2 + 2x + 1}.$

а) Чтобы найти предел $\lim_{x\to\infty} \frac{4x^2 + 9}{x^2 + 2}$, мы сталкиваемся с неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$. Для ее раскрытия разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $x$ в знаменателе, то есть на $x^2$.
$\lim_{x\to\infty} \frac{4x^2 + 9}{x^2 + 2} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{4x^2}{x^2} + \frac{9}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{2}{x^2}} = \lim_{x\to\infty} \frac{4 + \frac{9}{x^2}}{1 + \frac{2}{x^2}}$.
Поскольку при $x \to \infty$ выражения вида $\frac{c}{x^n}$ (где $c$ - константа, $n > 0$) стремятся к нулю, то $\frac{9}{x^2} \to 0$ и $\frac{2}{x^2} \to 0$.
Подставив эти значения, получаем:
$\frac{4 + 0}{1 + 0} = \frac{4}{1} = 4$.
Ответ: 4

б) Найдем предел $\lim_{x\to\infty} \frac{12x^2 + 5x + 2}{6x^2 + 5x - 1}$. Здесь также имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на $x^2$.
$\lim_{x\to\infty} \frac{12x^2 + 5x + 2}{6x^2 + 5x - 1} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{12x^2}{x^2} + \frac{5x}{x^2} + \frac{2}{x^2}}{\frac{6x^2}{x^2} + \frac{5x}{x^2} - \frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to\infty} \frac{12 + \frac{5}{x} + \frac{2}{x^2}}{6 + \frac{5}{x} - \frac{1}{x^2}}$.
При $x \to \infty$ дроби $\frac{5}{x}$, $\frac{2}{x^2}$ и $\frac{1}{x^2}$ стремятся к нулю.
Следовательно, предел равен:
$\frac{12 + 0 + 0}{6 + 0 - 0} = \frac{12}{6} = 2$.
Ответ: 2

в) Для предела $\lim_{x\to\infty} \frac{3x^2 - 8}{x^2 - 1}$ снова сталкиваемся с неопределенностью $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель дроби на $x^2$.
$\lim_{x\to\infty} \frac{3x^2 - 8}{x^2 - 1} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{3x^2}{x^2} - \frac{8}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} - \frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to\infty} \frac{3 - \frac{8}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^2}}$.
Учитывая, что при $x \to \infty$ выражения $\frac{8}{x^2}$ и $\frac{1}{x^2}$ стремятся к нулю, получаем:
$\frac{3 - 0}{1 - 0} = \frac{3}{1} = 3$.
Ответ: 3

г) Рассмотрим предел $\lim_{x\to\infty} \frac{10x^2 + 4x - 3}{5x^2 + 2x + 1}$. Это неопределенность типа $\frac{\infty}{\infty}$. Для ее решения разделим числитель и знаменатель на $x^2$.
$\lim_{x\to\infty} \frac{10x^2 + 4x - 3}{5x^2 + 2x + 1} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{10x^2}{x^2} + \frac{4x}{x^2} - \frac{3}{x^2}}{\frac{5x^2}{x^2} + \frac{2x}{x^2} + \frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to\infty} \frac{10 + \frac{4}{x} - \frac{3}{x^2}}{5 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}$.
При $x \to \infty$ дроби $\frac{4}{x}$, $\frac{3}{x^2}$, $\frac{2}{x}$ и $\frac{1}{x^2}$ стремятся к нулю.
Таким образом, предел равен:
$\frac{10 + 0 - 0}{5 + 0 + 0} = \frac{10}{5} = 2$.
Ответ: 2

39.18. Какая из функций, графики которых изображены на рисунках 72–79, имеет предел при $x \to 3$? Чему равен этот предел?

Рис. 72

Рис. 73

Рис. 74

Рис. 75

Рис. 76

Рис. 77

Рис. 78

Рис. 79

Для того чтобы существовал предел функции $f(x)$ при $x$, стремящемся к некоторой точке $a$, необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны друг другу её односторонние пределы (предел слева и предел справа). Математически это записывается так:

$\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$

где $L$ — это конечное число, которое и является значением предела. В данной задаче мы анализируем поведение функций в окрестности точки $x=3$.

Рис. 72

Найдём односторонние пределы. Когда $x$ стремится к 3 с левой стороны ($x \to 3^-$), значения функции $y$ приближаются к 3. Следовательно, предел слева $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 3$. Когда $x$ стремится к 3 с правой стороны ($x \to 3^+$), значения функции $y$ также приближаются к 3. Следовательно, предел справа $\lim_{x \to 3^+} f(x) = 3$. Поскольку односторонние пределы равны ($3=3$), предел функции в точке $x=3$ существует. Выколотая точка на графике означает, что функция в точке $x=3$ не определена, но это не влияет на существование предела.

Ответ: предел существует и равен 3.

Рис. 73

Найдём односторонние пределы. При приближении $x$ к 3 слева ($x \to 3^-$), значения $y$ стремятся к 4, т.е. $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 4$. При приближении $x$ к 3 справа ($x \to 3^+$), значения $y$ также стремятся к 4, т.е. $\lim_{x \to 3^+} f(x) = 4$. Так как односторонние пределы равны ($4=4$), предел существует. Наличие отдельной точки $(3, 3)$ означает, что значение функции в этой точке $f(3)=3$, но оно не совпадает со значением предела.

Ответ: предел существует и равен 4.

Рис. 74

Найдём односторонние пределы. Когда $x$ стремится к 3 слева ($x \to 3^-$), значения $y$ стремятся к 4. Таким образом, $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 4$. Когда $x$ стремится к 3 справа ($x \to 3^+$), значения $y$ также стремятся к 4. Таким образом, $\lim_{x \to 3^+} f(x) = 4$. Поскольку односторонние пределы равны, предел существует. В данном случае функция непрерывна в точке $x=3$, и её предел совпадает со значением функции в этой точке.

Ответ: предел существует и равен 4.

Рис. 75

Найдём односторонние пределы. При $x \to 3^-$, значения функции стремятся к 3, т.е. $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 3$. При $x \to 3^+$, значения функции стремятся к 4, т.е. $\lim_{x \to 3^+} f(x) = 4$. Поскольку предел слева не равен пределу справа ($3 \neq 4$), предел функции в точке $x=3$ не существует. Это так называемый разрыв первого рода (скачок).

Ответ: предел не существует.

Рис. 76

При приближении $x$ к 3 как слева, так и справа, значения функции $y$ неограниченно возрастают, т.е. стремятся к бесконечности. $\lim_{x \to 3} f(x) = +\infty$. Поскольку предел не является конечным числом, в стандартном определении предела говорят, что он не существует. Прямая $x=3$ является вертикальной асимптотой.

Ответ: предел не существует.

Рис. 77

Найдём односторонние пределы. Предел слева: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 3$. Предел справа: $\lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty$. Так как правый предел не является конечным числом (и, следовательно, не равен левому пределу), общий предел в точке $x=3$ не существует.

Ответ: предел не существует.

Рис. 78

Найдём односторонние пределы. Предел слева: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 3$. Предел справа: $\lim_{x \to 3^+} f(x) = 5$. Поскольку односторонние пределы не равны ($3 \neq 5$), предел функции в точке $x=3$ не существует. Это разрыв типа "скачок".

Ответ: предел не существует.

Рис. 79

Найдём односторонние пределы. Когда $x$ стремится к 3 слева ($x \to 3^-$), значения $y$ стремятся к 1, то есть $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 1$. Когда $x$ стремится к 3 справа ($x \to 3^+$), значения $y$ также стремятся к 1, то есть $\lim_{x \to 3^+} f(x) = 1$. Так как односторонние пределы равны, предел существует. Функция непрерывна в точке $x=3$.

Ответ: предел существует и равен 1.