Страница 237, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

40.12. Воспользовавшись определением, найдите производную функции в точке $x_0$ или докажите, что она не существует:

а) $y = |x + 4|$, $x_0 = -4;$

б) $y = -3x|x|$, $x_0 = 0;$

в) $y = 2x|x|$, $x_0 = 0;$

г) $y = (x - 1)|x - 1|$, $x_0 = 1.$

а) Дана функция $y = f(x) = |x + 4|$ и точка $x_0 = -4$. Воспользуемся определением производной в точке $x_0$:$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$.

Найдем значение функции в точке $x_0 = -4$:$f(-4) = |-4 + 4| = |0| = 0$.

Найдем значение функции в точке $x_0 + \Delta x = -4 + \Delta x$:$f(-4 + \Delta x) = |(-4 + \Delta x) + 4| = |\Delta x|$.

Подставим найденные значения в определение производной:$f'(-4) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{|\Delta x| - 0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{|\Delta x|}{\Delta x}$.

Для существования производной необходимо, чтобы предел существовал. Проверим существование предела, вычислив односторонние пределы.

Правосторонний предел (когда $\Delta x \to 0^+$, то есть $\Delta x > 0$ и, следовательно, $|\Delta x| = \Delta x$):$\lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} 1 = 1$.

Левосторонний предел (когда $\Delta x \to 0^-$, то есть $\Delta x < 0$ и, следовательно, $|\Delta x| = -\Delta x$):$\lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{-\Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} -1 = -1$.

Так как правосторонний и левосторонний пределы не равны ($1 \neq -1$), общий предел не существует. Это означает, что функция не имеет производной в точке $x_0 = -4$.

Ответ: производная не существует.

б) Дана функция $y = f(x) = -3x|x|$ и точка $x_0 = 0$. Воспользуемся определением производной.

Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:$f(0) = -3 \cdot 0 \cdot |0| = 0$.

Найдем значение функции в точке $x_0 + \Delta x = \Delta x$:$f(0 + \Delta x) = f(\Delta x) = -3(\Delta x)|\Delta x|$.

Подставим значения в определение производной:$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-3(\Delta x)|\Delta x| - 0}{\Delta x}$.

Упростим выражение под знаком предела:$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-3(\Delta x)|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (-3|\Delta x|)$.

Поскольку при $\Delta x \to 0$ значение $|\Delta x|$ также стремится к 0, получаем:$\lim_{\Delta x \to 0} (-3|\Delta x|) = -3 \cdot 0 = 0$.

Предел существует и равен 0. Следовательно, производная функции в точке $x_0=0$ существует и равна 0.

Ответ: $y'(0) = 0$.

в) Дана функция $y = f(x) = 2x|x|$ и точка $x_0 = 0$. Воспользуемся определением производной.

Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:$f(0) = 2 \cdot 0 \cdot |0| = 0$.

Найдем значение функции в точке $x_0 + \Delta x = \Delta x$:$f(0 + \Delta x) = f(\Delta x) = 2(\Delta x)|\Delta x|$.

Подставим значения в определение производной:$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2(\Delta x)|\Delta x| - 0}{\Delta x}$.

Упростим выражение:$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2(\Delta x)|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2|\Delta x|)$.

При $\Delta x \to 0$ значение $|\Delta x|$ также стремится к 0:$\lim_{\Delta x \to 0} (2|\Delta x|) = 2 \cdot 0 = 0$.

Предел существует и равен 0. Следовательно, производная функции в точке $x_0=0$ существует и равна 0.

Ответ: $y'(0) = 0$.

г) Дана функция $y = f(x) = (x - 1)|x - 1|$ и точка $x_0 = 1$. Воспользуемся определением производной.

Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:$f(1) = (1 - 1)|1 - 1| = 0 \cdot |0| = 0$.

Найдем значение функции в точке $x_0 + \Delta x = 1 + \Delta x$:$f(1 + \Delta x) = ((1 + \Delta x) - 1)|(1 + \Delta x) - 1| = (\Delta x)|\Delta x|$.

Подставим значения в определение производной:$f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(\Delta x)|\Delta x| - 0}{\Delta x}$.

Упростим выражение:$f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(\Delta x)|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} |\Delta x|$.

При $\Delta x \to 0$ значение $|\Delta x|$ также стремится к 0:$\lim_{\Delta x \to 0} |\Delta x| = 0$.

Предел существует и равен 0. Следовательно, производная функции в точке $x_0=1$ существует и равна 0.

Ответ: $y'(1) = 0$.

40.13. Найдите скорость изменения функции в точке x:

а) $y = 9.5x - 3;$

б) $y = -16x + 3;$

в) $y = 6.7x - 13;$

г) $y = -9x + 4.$

Скорость изменения функции в точке — это значение производной функции в этой точке. Поскольку в задании не указана конкретная точка $x$, мы найдем скорость изменения как функцию от $x$, то есть найдем производную $y'(x)$.

Все представленные функции являются линейными и имеют общий вид $y = kx + b$. Производная линейной функции — это постоянная величина, равная ее угловому коэффициенту $k$.

Общая формула для нахождения производной: $y'(x) = (kx + b)' = (kx)' + (b)' = k \cdot 1 + 0 = k$.

Это означает, что скорость изменения для линейной функции не зависит от $x$ и всегда равна коэффициенту $k$.

а) Для функции $y = 9,5x - 3$:

Здесь коэффициент $k = 9,5$.

Находим производную:

$y' = (9,5x - 3)' = 9,5$.

Скорость изменения функции в любой точке $x$ равна 9,5.

Ответ: 9,5.

б) Для функции $y = -16x + 3$:

Здесь коэффициент $k = -16$.

Находим производную:

$y' = (-16x + 3)' = -16$.

Скорость изменения функции в любой точке $x$ равна -16.

Ответ: -16.

в) Для функции $y = 6,7x - 13$:

Здесь коэффициент $k = 6,7$.

Находим производную:

$y' = (6,7x - 13)' = 6,7$.

Скорость изменения функции в любой точке $x$ равна 6,7.

Ответ: 6,7.

г) Для функции $y = -9x + 4$:

Здесь коэффициент $k = -9$.

Находим производную:

$y' = (-9x + 4)' = -9$.

Скорость изменения функции в любой точке $x$ равна -9.

Ответ: -9.

40.14. Найдите скорость изменения функции $y = f(x)$ в указанной точке:

a) $f(x) = x^2, x_0 = 2;$

б) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = -1;$

в) $f(x) = x^2, x_0 = -2;$

г) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = -0,5.$

Скорость изменения функции $y = f(x)$ в указанной точке $x_0$ — это значение производной функции $f'(x)$ в этой точке, то есть $f'(x_0)$.

а) Дана функция $f(x) = x^2$ и точка $x_0 = 2$.
1. Находим производную функции $f(x)$. Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:
$f'(x) = (x^2)' = 2x^{2-1} = 2x$.
2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 2$:
$f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$.
Ответ: 4

б) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x}$ и точка $x_0 = -1$.
1. Находим производную функции $f(x)$. Для этого представим функцию в виде $f(x) = x^{-1}$ и применим правило дифференцирования степенной функции:
$f'(x) = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.
2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = -1$:
$f'(-1) = -\frac{1}{(-1)^2} = -\frac{1}{1} = -1$.
Ответ: -1

в) Дана функция $f(x) = x^2$ и точка $x_0 = -2$.
1. Производная функции $f(x) = x^2$ была найдена в пункте а):
$f'(x) = 2x$.
2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = -2$:
$f'(-2) = 2 \cdot (-2) = -4$.
Ответ: -4

г) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x}$ и точка $x_0 = -0,5$.
1. Производная функции $f(x) = \frac{1}{x}$ была найдена в пункте б):
$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.
2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = -0,5$:
$f'(-0,5) = -\frac{1}{(-0,5)^2} = -\frac{1}{0,25} = -4$.
Ответ: -4

40.15. Закон движения точки по прямой задается формулой $s(t) = t^2$, где $t$ — время (в секундах), $s(t)$ — отклонение точки в момент времени $t$ (в метрах) от начального положения. Найдите скорость и ускорение (скорость изменения скорости) в момент времени $t$, если:

а) $t = 1$ с;

б) $t = 2.1$ с;

в) $t = 2$ с;

г) $t = 3.5$ с.

Для нахождения скорости и ускорения точки необходимо найти первую и вторую производные от функции, описывающей закон движения $s(t)$, по времени $t$.

Закон движения точки задан формулой: $s(t) = t^2$.

Скорость $v(t)$ является первой производной от пути по времени: $v(t) = s'(t) = (t^2)' = 2t$ (м/с).

Ускорение $a(t)$ является второй производной от пути по времени (или первой производной от скорости): $a(t) = v'(t) = (2t)' = 2$ (м/с?).

Как видно из формулы, ускорение является постоянной величиной и не зависит от времени. Теперь подставим заданные значения времени в формулы для скорости и ускорения.

а) t = 1 с
Скорость в момент времени $t = 1$ с:
$v(1) = 2 \cdot 1 = 2$ м/с.
Ускорение в момент времени $t = 1$ с:
$a(1) = 2$ м/с?.
Ответ: скорость 2 м/с, ускорение 2 м/с?.

б) t = 2,1 с
Скорость в момент времени $t = 2,1$ с:
$v(2,1) = 2 \cdot 2,1 = 4,2$ м/с.
Ускорение в момент времени $t = 2,1$ с:
$a(2,1) = 2$ м/с?.
Ответ: скорость 4,2 м/с, ускорение 2 м/с?.

в) t = 2 с
Скорость в момент времени $t = 2$ с:
$v(2) = 2 \cdot 2 = 4$ м/с.
Ускорение в момент времени $t = 2$ с:
$a(2) = 2$ м/с?.
Ответ: скорость 4 м/с, ускорение 2 м/с?.

г) t = 3,5 с
Скорость в момент времени $t = 3,5$ с:
$v(3,5) = 2 \cdot 3,5 = 7$ м/с.
Ускорение в момент времени $t = 3,5$ с:
$a(3,5) = 2$ м/с?.
Ответ: скорость 7 м/с, ускорение 2 м/с?.

40.16. Закон движения некоторой точки по прямой задаётся формулой $s(t) = t^2 + t$, где $t$ — время (в секундах), $s(t)$ — отклонение точки в момент времени $t$ (в метрах) от начального положения. Найдите скорость и ускорение в момент времени $t$, если:

а) $t = 1$ с;

б) $t = 2,1$ с;

в) $t = 2$ с;

г) $t = 3,5$ с.

Для нахождения скорости и ускорения точки, движущейся по закону $s(t) = t^2 + t$, необходимо использовать производные. Скорость $v(t)$ является первой производной от функции перемещения $s(t)$ по времени $t$, а ускорение $a(t)$ — второй производной от перемещения (или первой производной от скорости).

1. Находим функцию скорости $v(t)$:
Скорость — это производная от перемещения по времени:
$v(t) = s'(t) = (t^2 + t)' = (t^2)' + (t)' = 2t + 1$.
Скорость измеряется в метрах в секунду (м/с).

2. Находим функцию ускорения $a(t)$:
Ускорение — это производная от скорости по времени:
$a(t) = v'(t) = (2t + 1)' = (2t)' + (1)' = 2$.
Ускорение измеряется в метрах на секунду в квадрате (м/с?).
Как видно из результата, ускорение является постоянной величиной и не зависит от времени.

Теперь вычислим значения скорости и ускорения для каждого заданного момента времени.

а) При $t = 1$ с:
Скорость: $v(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3$ м/с.
Ускорение: $a(1) = 2$ м/с?.
Ответ: скорость 3 м/с, ускорение 2 м/с?.

б) При $t = 2,1$ с:
Скорость: $v(2,1) = 2 \cdot 2,1 + 1 = 4,2 + 1 = 5,2$ м/с.
Ускорение: $a(2,1) = 2$ м/с?.
Ответ: скорость 5,2 м/с, ускорение 2 м/с?.

в) При $t = 2$ с:
Скорость: $v(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5$ м/с.
Ускорение: $a(2) = 2$ м/с?.
Ответ: скорость 5 м/с, ускорение 2 м/с?.

г) При $t = 3,5$ с:
Скорость: $v(3,5) = 2 \cdot 3,5 + 1 = 7 + 1 = 8$ м/с.
Ускорение: $a(3,5) = 2$ м/с?.
Ответ: скорость 8 м/с, ускорение 2 м/с?.

40.17. a) Прямая, проходящая через начало координат, является касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке A(2; -4,5). Вычислите $f'(2)$.

б) Прямая, проходящая через точку A(1; 1), является касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке B(3; 4). Вычислите $f'(3)$.

а)

Геометрический смысл производной функции в точке заключается в том, что ее значение равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке. То есть, $f'(x_0) = k$, где $k$ — угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой $x_0$.

В данной задаче касание происходит в точке $A(2; -4,5)$, следовательно, $x_0 = 2$. Нам нужно найти $f'(2)$.

Известно, что касательная проходит через две точки: точку касания $A(2; -4,5)$ и начало координат $O(0; 0)$. Угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, находится по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Подставим координаты точек $A$ и $O$: $f'(2) = k = \frac{-4,5 - 0}{2 - 0} = \frac{-4,5}{2} = -2,25$

Ответ: -2,25

б)

По аналогии с предыдущим пунктом, нам нужно найти значение производной $f'(3)$. Это значение равно угловому коэффициенту касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0 = 3$.

Точкой касания является точка $B(3; 4)$. По условию, касательная, проведенная в этой точке, также проходит через точку $A(1; 1)$.

Чтобы найти угловой коэффициент $k$ этой касательной, используем координаты двух известных точек, через которые она проходит: $A(1; 1)$ и $B(3; 4)$.

$f'(3) = k = \frac{4 - 1}{3 - 1} = \frac{3}{2} = 1,5$

Ответ: 1,5

41.1. Найдите производную функции:

a) $y = 7x + 4$;

б) $y = x^2$;

в) $y = -6x + 1$;

г) $y = \frac{1}{x}$.

а)

Дана функция $y = 7x + 4$. Для нахождения ее производной необходимо применить правила дифференцирования.

1. Правило производной суммы: производная суммы двух функций равна сумме их производных. $y' = (7x + 4)' = (7x)' + (4)'$.

2. Производная константы (числа) равна нулю. $(4)' = 0$.

3. Константный множитель можно вынести за знак производной, а производная $x$ равна 1. $(7x)' = 7 \cdot (x)' = 7 \cdot 1 = 7$.

Складываем полученные результаты: $y' = 7 + 0 = 7$.

Ответ: $y' = 7$.

б)

Дана функция $y = x^2$. Это степенная функция.

Для нахождения производной степенной функции вида $y = x^n$ используется формула: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

В данном случае, показатель степени $n = 2$.

Применяем формулу: $y' = (x^2)' = 2 \cdot x^{2-1} = 2 \cdot x^1 = 2x$.

Ответ: $y' = 2x$.

в)

Дана функция $y = -6x + 1$. Это линейная функция.

Используем те же правила, что и в пункте а).

$y' = (-6x + 1)' = (-6x)' + (1)'$.

Находим производную каждого слагаемого:

$(-6x)' = -6 \cdot (x)' = -6 \cdot 1 = -6$.

$(1)' = 0$.

Складываем результаты: $y' = -6 + 0 = -6$.

Ответ: $y' = -6$.

г)

Дана функция $y = \frac{1}{x}$.

Для нахождения производной представим функцию в виде степени с отрицательным показателем: $y = x^{-1}$.

Теперь применим формулу производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, где $n = -1$.

$y' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -1 \cdot x^{-2}$.

Вернемся к записи в виде дроби: $y' = -\frac{1}{x^2}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{x^2}$.