Страница 240, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Найдите значение производной заданной функции в точке $x_0$:

41.24. a) $y = \sin x, x_0 = -\frac{\pi}{2}$;

б) $y = \cos x, x_0 = \frac{\pi}{6}$;

в) $y = \cos x, x_0 = -3\pi$;

г) $y = \sin x, x_0 = 0$.

а) Дана функция $y = \sin x$ и точка $x_0 = -\frac{\pi}{2}$.
Сначала найдем производную функции $y = \sin x$. Производная синуса равна косинусу:
$y' = (\sin x)' = \cos x$.
Теперь подставим значение $x_0$ в производную, чтобы найти ее значение в этой точке:
$y'(x_0) = y'(-\frac{\pi}{2}) = \cos(-\frac{\pi}{2})$.
Так как функция косинус является четной ($\cos(-a) = \cos(a)$), то $\cos(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Ответ: 0

б) Дана функция $y = \cos x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$.
Сначала найдем производную функции $y = \cos x$. Производная косинуса равна минус синусу:
$y' = (\cos x)' = -\sin x$.
Теперь подставим значение $x_0$ в производную:
$y'(x_0) = y'(\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6})$.
Значение синуса для угла $\frac{\pi}{6}$ равно $\frac{1}{2}$.
Следовательно, $y'(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

в) Дана функция $y = \cos x$ и точка $x_0 = -3\pi$.
Производная функции $y = \cos x$ равна $y' = -\sin x$.
Найдем значение производной в точке $x_0$:
$y'(x_0) = y'(-3\pi) = -\sin(-3\pi)$.
Так как функция синус является нечетной ($\sin(-a) = -\sin(a)$), то $-\sin(-3\pi) = \sin(3\pi)$.
Используя периодичность синуса (период $2\pi$), получаем: $\sin(3\pi) = \sin(\pi + 2\pi) = \sin(\pi) = 0$.
Ответ: 0

г) Дана функция $y = \sin x$ и точка $x_0 = 0$.
Производная функции $y = \sin x$ равна $y' = \cos x$.
Найдем значение производной в точке $x_0$:
$y'(x_0) = y'(0) = \cos(0)$.
Значение косинуса для угла 0 равно 1.
Следовательно, $y'(0) = 1$.
Ответ: 1

41.25. a) $y = 6x - 9, x_0 = 3;$

б) $y = x^3 - 3x + 2, x_0 = -1;$

В) $y = 5x - 8, x_0 = 2;$

Г) $y = x^2 + 3x - 4, x_0 = 1.$

а) Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Дана функция $f(x) = 6x - 9$ и точка $x_0 = 3$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(3) = 6 \cdot 3 - 9 = 18 - 9 = 9$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (6x - 9)' = 6$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(3) = 6$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 9 + 6(x - 3)$.
5. Упростим уравнение:
$y = 9 + 6x - 18$
$y = 6x - 9$.
Ответ: $y = 6x - 9$.

б) Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Дана функция $f(x) = x^3 - 3x + 2$ и точка $x_0 = -1$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 3x + 2)' = 3x^2 - 3$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(-1) = 3(-1)^2 - 3 = 3 \cdot 1 - 3 = 0$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 4 + 0 \cdot (x - (-1))$.
5. Упростим уравнение:
$y = 4$.
Ответ: $y = 4$.

в) Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Дана функция $f(x) = 5x - 8$ и точка $x_0 = 2$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(2) = 5 \cdot 2 - 8 = 10 - 8 = 2$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (5x - 8)' = 5$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(2) = 5$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 2 + 5(x - 2)$.
5. Упростим уравнение:
$y = 2 + 5x - 10$
$y = 5x - 8$.
Ответ: $y = 5x - 8$.

г) Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Дана функция $f(x) = x^2 + 3x - 4$ и точка $x_0 = 1$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(1) = 1^2 + 3 \cdot 1 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^2 + 3x - 4)' = 2x + 3$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 0 + 5(x - 1)$.
5. Упростим уравнение:
$y = 5x - 5$.
Ответ: $y = 5x - 5$.

41.26. а) $y = \frac{2}{x} - \frac{x}{2}, x_0 = 4;$

б) $y = \sqrt{x} + 4, x_0 = 9;$

в) $y = \frac{8}{x} - \frac{x^3}{3}, x_0 = 1;$

г) $y = \sqrt{x} + 5x, x_0 = 4.$

а) Рассмотрим функцию $y = \frac{2}{x} - \frac{x}{2}$ в точке $x_0 = 4$.

Для нахождения значения производной в точке, сначала найдем общую формулу производной $y'(x)$. Перепишем функцию для удобства дифференцирования: $y = 2x^{-1} - \frac{1}{2}x$.

Применяя правила дифференцирования (производная степенной функции и линейность производной), получаем:

$y'(x) = (2x^{-1})' - (\frac{1}{2}x)' = 2 \cdot (-1)x^{-1-1} - \frac{1}{2} \cdot 1 = -2x^{-2} - \frac{1}{2} = -\frac{2}{x^2} - \frac{1}{2}$.

Теперь подставим значение $x_0 = 4$ в полученное выражение для производной:

$y'(4) = -\frac{2}{4^2} - \frac{1}{2} = -\frac{2}{16} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{8} - \frac{4}{8} = -\frac{5}{8}$.

Ответ: $-\frac{5}{8}$.

б) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x} + 4$ в точке $x_0 = 9$.

Сначала найдем производную функции $y(x)$. Представим функцию в виде $y = x^{1/2} + 4$.

Производная суммы функций равна сумме производных. Производная константы равна нулю. Используя формулу производной степенной функции, получаем:

$y'(x) = (x^{1/2} + 4)' = (x^{1/2})' + (4)' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} + 0 = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 9$:

$y'(9) = \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

в) Рассмотрим функцию $y = \frac{8}{x} - \frac{x^3}{3}$ в точке $x_0 = 1$.

Найдем производную функции $y(x)$. Перепишем функцию в виде $y = 8x^{-1} - \frac{1}{3}x^3$.

Дифференцируем функцию, используя правила дифференцирования:

$y'(x) = (8x^{-1} - \frac{1}{3}x^3)' = (8x^{-1})' - (\frac{1}{3}x^3)' = 8 \cdot (-1)x^{-2} - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = -8x^{-2} - x^2 = -\frac{8}{x^2} - x^2$.

Подставим значение $x_0 = 1$ в выражение для производной:

$y'(1) = -\frac{8}{1^2} - 1^2 = -8 - 1 = -9$.

Ответ: $-9$.

г) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x} + 5x$ в точке $x_0 = 4$.

Найдем производную функции $y(x)$. Представим функцию в виде $y = x^{1/2} + 5x$.

Используя правила дифференцирования, находим производную:

$y'(x) = (x^{1/2} + 5x)' = (x^{1/2})' + (5x)' = \frac{1}{2}x^{-1/2} + 5 = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 5$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 4$:

$y'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} + 5 = \frac{1}{2 \cdot 2} + 5 = \frac{1}{4} + 5 = \frac{1}{4} + \frac{20}{4} = \frac{21}{4}$.

Ответ: $\frac{21}{4}$.

41.27. a) $y = 2 \sin x - 13 \cos x, x_0 = \frac{\pi}{2}$;

б) $y = -\cos x + \frac{1}{\pi}x^2, x_0 = \frac{\pi}{6}$;

в) $y = -\sin x - 3, x_0 = \frac{\pi}{3}$;

г) $y = 4 \cos x + x\sqrt{2}, x_0 = \frac{\pi}{4}$.

а) Дана функция $y = 2 \sin x - 13 \cos x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{2}$.
Для решения задачи необходимо найти производную данной функции, а затем вычислить её значение в указанной точке $x_0$.
1. Находим производную функции $y'$. Используем правила дифференцирования: $(\sin x)' = \cos x$ и $(\cos x)' = -\sin x$.
$y' = (2 \sin x - 13 \cos x)' = 2(\sin x)' - 13(\cos x)' = 2 \cos x - 13(-\sin x) = 2 \cos x + 13 \sin x$.
2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$.
$y'(\frac{\pi}{2}) = 2 \cos(\frac{\pi}{2}) + 13 \sin(\frac{\pi}{2})$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, подставляем эти значения:
$y'(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 0 + 13 \cdot 1 = 13$.
Ответ: 13.

б) Дана функция $y = -\cos x + \frac{1}{\pi}x^2$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$.
1. Находим производную функции $y'$. Используем правила дифференцирования: $(\cos x)' = -\sin x$ и $(x^n)' = nx^{n-1}$.
$y' = (-\cos x + \frac{1}{\pi}x^2)' = -(\cos x)' + \frac{1}{\pi}(x^2)' = -(-\sin x) + \frac{1}{\pi}(2x) = \sin x + \frac{2x}{\pi}$.
2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$.
$y'(\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) + \frac{2 \cdot \frac{\pi}{6}}{\pi}$.
Так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, а $\frac{2 \cdot \frac{\pi}{6}}{\pi} = \frac{\frac{\pi}{3}}{\pi} = \frac{1}{3}$, получаем:
$y'(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$.

в) Дана функция $y = -\sin x - 3$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$.
1. Находим производную функции $y'$. Используем правила дифференцирования: $(\sin x)' = \cos x$ и $(C)' = 0$, где $C$ - константа.
$y' = (-\sin x - 3)' = -(\sin x)' - (3)' = -\cos x - 0 = -\cos x$.
2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$.
$y'(\frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3})$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, получаем:
$y'(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

г) Дана функция $y = 4 \cos x + x\sqrt{2}$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.
1. Находим производную функции $y'$. Используем правила дифференцирования: $(\cos x)' = -\sin x$ и $(kx)' = k$.
$y' = (4 \cos x + x\sqrt{2})' = 4(\cos x)' + (x\sqrt{2})' = 4(-\sin x) + \sqrt{2} = -4\sin x + \sqrt{2}$.
2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$.
$y'(\frac{\pi}{4}) = -4\sin(\frac{\pi}{4}) + \sqrt{2}$.
Так как $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставляем это значение:
$y'(\frac{\pi}{4}) = -4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} = -2\sqrt{2} + \sqrt{2} = -\sqrt{2}$.
Ответ: $-\sqrt{2}$.

41.28. a) $y = \operatorname{tg}x + \sqrt{\pi} \cdot \sqrt{x}, x_0 = \frac{\pi}{4};$

б) $y = 2 \operatorname{ctg}x - 3 \operatorname{tg}x, x_0 = \frac{\pi}{3};$

в) $y = \operatorname{ctg}x + \frac{\pi^2}{x}, x_0 = -\frac{\pi}{6};$

г) $y = (2x + 3)^2 - 4 \operatorname{tg}x, x_0 = 0.$

а)

Дана функция $y = \text{tg}x + \sqrt{\pi} \cdot \sqrt{x}$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Чтобы найти значение производной в точке $x_0$, сначала найдем производную функции $y$ по $x$.

Используем правила дифференцирования. Производная суммы равна сумме производных:

$y' = (\text{tg}x + \sqrt{\pi} \cdot \sqrt{x})' = (\text{tg}x)' + (\sqrt{\pi} \cdot \sqrt{x})'$

Производная тангенса: $(\text{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2x}$.

Для второго слагаемого, представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$ и воспользуемся правилом производной степенной функции и вынесения константы:

$(\sqrt{\pi} \cdot x^{1/2})' = \sqrt{\pi} \cdot (x^{1/2})' = \sqrt{\pi} \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{x}}$

Таким образом, производная функции:

$y' = \frac{1}{\cos^2x} + \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{x}}$

Теперь подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{4}$ в выражение для производной:

$y'(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{4})} + \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{\frac{\pi}{4}}}$

Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно $\cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Также, $\sqrt{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$.

Подставляем эти значения:

$y'(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{1/2} + \frac{\sqrt{\pi}}{2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2}} = 2 + \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{\pi}} = 2 + 1 = 3$

Ответ: $3$

б)

Дана функция $y = 2\text{ctg}x - 3\text{tg}x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

Найдем производную функции $y$ по $x$:

$y' = (2\text{ctg}x - 3\text{tg}x)' = 2(\text{ctg}x)' - 3(\text{tg}x)'$

Производная котангенса: $(\text{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2x}$.

Производная тангенса: $(\text{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2x}$.

Подставляем производные в выражение:

$y' = 2(-\frac{1}{\sin^2x}) - 3(\frac{1}{\cos^2x}) = -\frac{2}{\sin^2x} - \frac{3}{\cos^2x}$

Теперь подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$y'(\frac{\pi}{3}) = -\frac{2}{\sin^2(\frac{\pi}{3})} - \frac{3}{\cos^2(\frac{\pi}{3})}$

Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $\sin^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$ и $\cos^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Подставляем эти значения:

$y'(\frac{\pi}{3}) = -\frac{2}{3/4} - \frac{3}{1/4} = -2 \cdot \frac{4}{3} - 3 \cdot 4 = -\frac{8}{3} - 12 = -\frac{8}{3} - \frac{36}{3} = -\frac{44}{3}$

Ответ: $-\frac{44}{3}$

в)

Дана функция $y = \text{ctg}x + \frac{\pi^2}{x}$ и точка $x_0 = -\frac{\pi}{6}$.

Найдем производную функции $y$ по $x$. Представим второе слагаемое как $\pi^2 x^{-1}$:

$y' = (\text{ctg}x + \pi^2 x^{-1})' = (\text{ctg}x)' + (\pi^2 x^{-1})'$

Производная котангенса: $(\text{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2x}$.

Производная второго слагаемого: $(\pi^2 x^{-1})' = \pi^2 \cdot (-1)x^{-2} = -\frac{\pi^2}{x^2}$.

Таким образом, производная функции:

$y' = -\frac{1}{\sin^2x} - \frac{\pi^2}{x^2}$

Теперь подставим значение $x_0 = -\frac{\pi}{6}$:

$y'(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sin^2(-\frac{\pi}{6})} - \frac{\pi^2}{(-\frac{\pi}{6})^2}$

Мы знаем, что $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

Следовательно, $\sin^2(-\frac{\pi}{6}) = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Знаменатель второй дроби: $(-\frac{\pi}{6})^2 = \frac{\pi^2}{36}$.

Подставляем эти значения:

$y'(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{1/4} - \frac{\pi^2}{\pi^2/36} = -4 - 36 = -40$

Ответ: $-40$

г)

Дана функция $y = (2x + 3)^2 - 4\text{tg}x$ и точка $x_0 = 0$.

Найдем производную функции $y$ по $x$:

$y' = ((2x + 3)^2 - 4\text{tg}x)' = ((2x + 3)^2)' - (4\text{tg}x)'$

Для первого слагаемого используем правило производной сложной функции. Пусть $u = 2x+3$, тогда $(u^2)' = 2u \cdot u'$.

$((2x + 3)^2)' = 2(2x+3) \cdot (2x+3)' = 2(2x+3) \cdot 2 = 4(2x+3) = 8x + 12$.

Производная второго слагаемого: $(4\text{tg}x)' = 4(\text{tg}x)' = 4 \cdot \frac{1}{\cos^2x} = \frac{4}{\cos^2x}$.

Таким образом, производная функции:

$y' = 8x + 12 - \frac{4}{\cos^2x}$

Теперь подставим значение $x_0 = 0$:

$y'(0) = 8(0) + 12 - \frac{4}{\cos^2(0)}$

Мы знаем, что $\cos(0) = 1$, следовательно $\cos^2(0) = 1^2 = 1$.

Подставляем это значение:

$y'(0) = 0 + 12 - \frac{4}{1} = 12 - 4 = 8$

Ответ: $8$

41.29. a) $y = \frac{\sin x}{x}$, $x_0 = \frac{\pi}{2}$;

б) $y = \frac{x+1}{x-1}$, $x_0 = 2$;

В) $y = \frac{\cos x}{x}$, $x_0 = \pi$;

Г) $y = \frac{2x}{x+1}$, $x_0 = 0$.

а) $y = \frac{\sin x}{x}, x_0 = \frac{\pi}{2}$

Для решения задачи необходимо найти производную функции $y(x)$ и вычислить её значение в точке $x_0$.

Функция $y(x)$ представляет собой частное двух функций: $u(x) = \sin x$ и $v(x) = x$. Для нахождения её производной воспользуемся правилом дифференцирования частного:

$y'(x) = \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$

Найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (\sin x)' = \cos x$

$v'(x) = (x)' = 1$

Теперь подставим найденные производные в формулу:

$y'(x) = \frac{(\cos x) \cdot x - (\sin x) \cdot 1}{x^2} = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:

$y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\frac{\pi}{2} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}{\left(\frac{\pi}{2}\right)^2}$

Так как $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ и $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$, получаем:

$y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\frac{\pi}{2} \cdot 0 - 1}{\frac{\pi^2}{4}} = \frac{-1}{\frac{\pi^2}{4}} = -\frac{4}{\pi^2}$

Ответ: $-\frac{4}{\pi^2}$

б) $y = \frac{x+1}{x-1}, x_0 = 2$

Используем правило дифференцирования частного. Пусть $u(x) = x+1$ и $v(x) = x-1$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (x+1)' = 1$

$v'(x) = (x-1)' = 1$

Производная функции $y(x)$ равна:

$y'(x) = \frac{1 \cdot (x-1) - (x+1) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x-1-x-1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:

$y'(2) = \frac{-2}{(2-1)^2} = \frac{-2}{1^2} = -2$

Ответ: $-2$

в) $y = \frac{\cos x}{x}, x_0 = \pi$

Применим правило дифференцирования частного. Пусть $u(x) = \cos x$ и $v(x) = x$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (\cos x)' = -\sin x$

$v'(x) = (x)' = 1$

Производная функции $y(x)$ равна:

$y'(x) = \frac{(-\sin x) \cdot x - (\cos x) \cdot 1}{x^2} = \frac{-x \sin x - \cos x}{x^2}$

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \pi$:

$y'(\pi) = \frac{-\pi \sin(\pi) - \cos(\pi)}{\pi^2}$

Так как $\sin(\pi) = 0$ и $\cos(\pi) = -1$, получаем:

$y'(\pi) = \frac{-\pi \cdot 0 - (-1)}{\pi^2} = \frac{1}{\pi^2}$

Ответ: $\frac{1}{\pi^2}$

г) $y = \frac{2x}{x+1}, x_0 = 0$

Воспользуемся правилом дифференцирования частного. Пусть $u(x) = 2x$ и $v(x) = x+1$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (2x)' = 2$

$v'(x) = (x+1)' = 1$

Производная функции $y(x)$ равна:

$y'(x) = \frac{2 \cdot (x+1) - 2x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x+2-2x}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$y'(0) = \frac{2}{(0+1)^2} = \frac{2}{1^2} = 2$

Ответ: $2$

41.30. Докажите, что производная заданной функции принимает положительные значения при всех допустимых значениях аргумента:

а) $y = 3x + 12;$

б) $y = 2x^3 + 15x;$

в) $y = -2 \sin x + 4x;$

г) $y = 3x - 1,5 \cos x.$

а)

Дана функция $y = 3x + 12$. Область допустимых значений аргумента — все действительные числа, то есть $x \in \mathbb{R}$.
Чтобы доказать, что производная функции принимает положительные значения, найдем эту производную.
$y' = (3x + 12)' = (3x)' + (12)' = 3 \cdot 1 + 0 = 3$.
Производная данной функции является константой и равна 3. Поскольку $3 > 0$, производная всегда положительна при любых значениях аргумента $x$.
Ответ: производная $y' = 3$ всегда положительна, что и требовалось доказать.

б)

Дана функция $y = 2x^3 + 15x$. Область допустимых значений аргумента — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.
Найдем производную функции:
$y' = (2x^3 + 15x)' = (2x^3)' + (15x)' = 2 \cdot 3x^2 + 15 = 6x^2 + 15$.
Теперь проанализируем знак полученного выражения $6x^2 + 15$.
Выражение $x^2$ является неотрицательным для любого действительного числа $x$, то есть $x^2 \ge 0$.
Следовательно, $6x^2 \ge 6 \cdot 0$, то есть $6x^2 \ge 0$.
Прибавив к обеим частям неравенства 15, получим: $6x^2 + 15 \ge 15$.
Так как $15 > 0$, то и производная $y' = 6x^2 + 15$ всегда положительна при всех допустимых значениях $x$.
Ответ: производная $y' = 6x^2 + 15$ всегда положительна, что и требовалось доказать.

в)

Дана функция $y = -2 \sin x + 4x$. Область допустимых значений аргумента — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.
Найдем производную функции:
$y' = (-2 \sin x + 4x)' = (-2 \sin x)' + (4x)' = -2 \cos x + 4 = 4 - 2 \cos x$.
Проанализируем знак выражения $y' = 4 - 2 \cos x$.
Известно, что область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, для любого $x$ выполняется неравенство: $-1 \le \cos x \le 1$.
Умножим все части этого двойного неравенства на -2. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-1 \cdot (-2) \ge -2 \cos x \ge 1 \cdot (-2)$, что эквивалентно $2 \ge -2 \cos x \ge -2$.
Теперь прибавим 4 ко всем частям неравенства:
$4 + 2 \ge 4 - 2 \cos x \ge 4 - 2$, что дает $6 \ge y' \ge 2$.
Таким образом, значения производной лежат в отрезке $[2, 6]$. Поскольку наименьшее значение производной равно 2, а $2 > 0$, производная всегда принимает положительные значения.
Ответ: производная $y' = 4 - 2 \cos x$ всегда положительна, что и требовалось доказать.

г)

Дана функция $y = 3x - 1.5 \cos x$. Область допустимых значений аргумента — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.
Найдем производную функции:
$y' = (3x - 1.5 \cos x)' = (3x)' - (1.5 \cos x)' = 3 - 1.5(-\sin x) = 3 + 1.5 \sin x$.
Проанализируем знак выражения $y' = 3 + 1.5 \sin x$.
Известно, что область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, для любого $x$ выполняется неравенство: $-1 \le \sin x \le 1$.
Умножим все части этого двойного неравенства на 1.5:
$-1 \cdot 1.5 \le 1.5 \sin x \le 1 \cdot 1.5$, что эквивалентно $-1.5 \le 1.5 \sin x \le 1.5$.
Теперь прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$3 - 1.5 \le 3 + 1.5 \sin x \le 3 + 1.5$, что дает $1.5 \le y' \le 4.5$.
Таким образом, значения производной лежат в отрезке $[1.5, 4.5]$. Поскольку наименьшее значение производной равно 1.5, а $1.5 > 0$, производная всегда принимает положительные значения.
Ответ: производная $y' = 3 + 1.5 \sin x$ всегда положительна, что и требовалось доказать.