Страница 242, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

41.38. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

а) $f(x) = \sin x, x_0 = \frac{\pi}{3}$;

б) $f(x) = \cos x, x_0 = -\frac{\pi}{4}$;

в) $f(x) = \cos x, x_0 = \frac{\pi}{3}$;

г) $f(x) = \sin x, x_0 = -\frac{\pi}{6}$.

Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ равен $k$, если:

Угловой коэффициент касательной $k$ к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции $f'(x)$ в этой точке. Таким образом, $k = f'(x_0)$.

а)

Дана функция $f(x) = \sin x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

1. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$k = f'(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $k = \frac{1}{2}$.

б)

Дана функция $f(x) = \cos x$ и точка $x_0 = -\frac{\pi}{4}$.

1. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = -\frac{\pi}{4}$:

$k = f'(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(-\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $k = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

в)

Дана функция $f(x) = \cos x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

1. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$k = f'(\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $k = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

г)

Дана функция $f(x) = \sin x$ и точка $x_0 = -\frac{\pi}{6}$.

1. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = -\frac{\pi}{6}$:

$k = f'(-\frac{\pi}{6}) = \cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $k = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

41.39. a) $f(x) = \sqrt{x} - x, k = 1;$

б) $f(x) = \sqrt{x} + 3x, k = 4.$

а)

Задача состоит в том, чтобы найти уравнение касательной к графику функции $f(x) = \sqrt{x} - x$ с заданным угловым коэффициентом $k=1$.

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Угловой коэффициент касательной $k$ равен значению производной в точке касания, то есть $k = f'(x_0)$.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{x} - x)' = (x^{\frac{1}{2}} - x)' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - 1 = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1$.

2. Найдем абсциссу точки касания $x_0$, приравняв производную к заданному угловому коэффициенту $k=1$:

$f'(x_0) = 1$

$\frac{1}{2\sqrt{x_0}} - 1 = 1$

$\frac{1}{2\sqrt{x_0}} = 2$

$1 = 4\sqrt{x_0}$

$\sqrt{x_0} = \frac{1}{4}$

Возведя обе части в квадрат, получаем:

$x_0 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$.

3. Найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0$ в исходную функцию:

$y_0 = f(x_0) = f(\frac{1}{16}) = \sqrt{\frac{1}{16}} - \frac{1}{16} = \frac{1}{4} - \frac{1}{16} = \frac{4}{16} - \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$.

4. Теперь, зная точку касания $(\frac{1}{16}, \frac{3}{16})$ и угловой коэффициент $k=1$, составим уравнение касательной:

$y = f(x_0) + k(x - x_0)$

$y = \frac{3}{16} + 1 \cdot \left(x - \frac{1}{16}\right)$

$y = \frac{3}{16} + x - \frac{1}{16}$

$y = x + \frac{2}{16}$

$y = x + \frac{1}{8}$.

Ответ: $y = x + \frac{1}{8}$.

б)

Задача состоит в том, чтобы найти уравнение касательной к графику функции $f(x) = \sqrt{x} + 3x$ с заданным угловым коэффициентом $k=4$.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{x} + 3x)' = (x^{\frac{1}{2}} + 3x)' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + 3 = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 3$.

2. Найдем абсциссу точки касания $x_0$, приравняв производную к заданному угловому коэффициенту $k=4$:

$f'(x_0) = 4$

$\frac{1}{2\sqrt{x_0}} + 3 = 4$

$\frac{1}{2\sqrt{x_0}} = 1$

$1 = 2\sqrt{x_0}$

$\sqrt{x_0} = \frac{1}{2}$

Возведя обе части в квадрат, получаем:

$x_0 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

3. Найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0$ в исходную функцию:

$y_0 = f(x_0) = f(\frac{1}{4}) = \sqrt{\frac{1}{4}} + 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$.

4. Теперь, зная точку касания $(\frac{1}{4}, \frac{5}{4})$ и угловой коэффициент $k=4$, составим уравнение касательной:

$y = f(x_0) + k(x - x_0)$

$y = \frac{5}{4} + 4 \left(x - \frac{1}{4}\right)$

$y = \frac{5}{4} + 4x - 4 \cdot \frac{1}{4}$

$y = \frac{5}{4} + 4x - 1$

$y = 4x + \frac{5}{4} - \frac{4}{4}$

$y = 4x + \frac{1}{4}$.

Ответ: $y = 4x + \frac{1}{4}$.

41.40. а) $f(x) = \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}, k = -\frac{\sqrt{2}}{4};$

б) $f(x) = \cos^2 \frac{x}{2}, k = \frac{1}{2}. $

а)

Требуется решить уравнение $f(x) = k$ при $f(x) = \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$ и $k = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.
Запишем уравнение, подставив данные значения:
$\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$
Для упрощения левой части уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Из этой формулы следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.
В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$, поэтому $2\alpha = x$. Применим формулу:
$\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = \frac{1}{2}\sin x$
Теперь подставим это упрощенное выражение обратно в исходное уравнение:
$\frac{1}{2}\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{4}$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $\sin x$:
$\sin x = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$
$\sin x = -\frac{2\sqrt{2}}{4}$
$\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Получили стандартное тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $\sin x = a$ записывается как $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Для нашего случая $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, а арксинус этого значения равен $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}$.
Подставляем это значение в общую формулу решения:
$x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
Это выражение можно упростить, внеся знак минус в множитель $(-1)^n$:
$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

б)

Требуется решить уравнение $f(x) = k$ при $f(x) = \cos^2\frac{x}{2}$ и $k = \frac{1}{2}$.
Запишем уравнение, подставив данные значения:
$\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1}{2}$
Для упрощения левой части воспользуемся формулой понижения степени для косинуса: $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.
В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$, следовательно, $2\alpha = x$. Применяем формулу:
$\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$\frac{1 + \cos x}{2} = \frac{1}{2}$
Умножим обе части уравнения на 2:
$1 + \cos x = 1$
Вычтем 1 из обеих частей уравнения:
$\cos x = 0$
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Его решениями являются все углы, косинус которых равен нулю.
Это точки на единичной окружности, соответствующие $\frac{\pi}{2}$ и $-\frac{\pi}{2}$, которые повторяются с периодом $\pi$.
Общее решение для уравнения $\cos x = 0$ имеет вид:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Найдите тангенс угла между касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и положительным направлением оси $x$:

41.41. а) $f(x) = x^6 - 4x, x_0 = 1;$

б) $f(x) = \sqrt{x} - 3, x_0 = \frac{1}{4};$

в) $f(x) = -x^5 - 2x^2 + 2, x_0 = -1;$

г) $f(x) = \frac{25}{x} + 2, x_0 = \frac{5}{4}.$

Тангенс угла, образованного касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и положительным направлением оси $x$, равен значению производной функции в этой точке, то есть $\tan(\alpha) = f'(x_0)$.

а) Дана функция $f(x) = x^6 - 4x$ и точка $x_0 = 1$.
Сначала найдем производную функции:
$f'(x) = (x^6 - 4x)' = (x^6)' - (4x)' = 6x^5 - 4$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = 6 \cdot (1)^5 - 4 = 6 \cdot 1 - 4 = 2$.
Следовательно, тангенс искомого угла равен 2.
Ответ: 2.

б) Дана функция $f(x) = \sqrt{x} - 3$ и точка $x_0 = \frac{1}{4}$.
Найдем производную функции, представив корень как степень: $f(x) = x^{1/2} - 3$.
$f'(x) = (x^{1/2} - 3)' = (x^{1/2})' - (3)' = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} - 0 = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{4}$:
$f'(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{1} = 1$.
Следовательно, тангенс искомого угла равен 1.
Ответ: 1.

в) Дана функция $f(x) = -x^5 - 2x^2 + 2$ и точка $x_0 = -1$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (-x^5 - 2x^2 + 2)' = (-x^5)' - (2x^2)' + (2)' = -5x^4 - 4x$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:
$f'(-1) = -5(-1)^4 - 4(-1) = -5 \cdot 1 + 4 = -5 + 4 = -1$.
Следовательно, тангенс искомого угла равен -1.
Ответ: -1.

г) Дана функция $f(x) = \frac{25}{x} + 2$ и точка $x_0 = \frac{5}{4}$.
Найдем производную функции, представив дробь как степень: $f(x) = 25x^{-1} + 2$.
$f'(x) = (25x^{-1} + 2)' = (25x^{-1})' + (2)' = 25 \cdot (-1)x^{-1-1} + 0 = -25x^{-2} = -\frac{25}{x^2}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{5}{4}$:
$f'(\frac{5}{4}) = -\frac{25}{(\frac{5}{4})^2} = -\frac{25}{\frac{25}{16}} = -25 \cdot \frac{16}{25} = -16$.
Следовательно, тангенс искомого угла равен -16.
Ответ: -16.

41.42. а) $f(x) = 10 - \cos x, x_0 = \frac{3\pi}{2}$;

б) $f(x) = 2 \operatorname{tg} x, x_0 = \frac{\pi}{4}$;

в) $f(x) = 4 - \sin x, x_0 = 6\pi$;

г) $f(x) = -4 \operatorname{ctg} x, x_0 = -\frac{\pi}{4}$.

а) Для функции $f(x) = 10 - \cos x$ необходимо найти значение производной в точке $x_0 = \frac{3\pi}{2}$.
Сначала найдем производную функции $f(x)$. Используя правила дифференцирования, получаем:
$f'(x) = (10 - \cos x)' = (10)' - (\cos x)' = 0 - (-\sin x) = \sin x$.
Теперь подставим значение $x_0$ в найденную производную:
$f'(\frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2})$.
Значение синуса в этой точке равно -1.
$f'(\frac{3\pi}{2}) = -1$.
Ответ: -1

б) Для функции $f(x) = 2 \operatorname{tg} x$ необходимо найти значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (2 \operatorname{tg} x)' = 2 \cdot (\operatorname{tg} x)' = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{2}{\cos^2 x}$.
Подставим значение $x_0$ в производную:
$f'(\frac{\pi}{4}) = \frac{2}{\cos^2(\frac{\pi}{4})}$.
Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, тогда $\cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $f'(\frac{\pi}{4}) = \frac{2}{1/2} = 4$.
Ответ: 4

в) Для функции $f(x) = 4 - \sin x$ необходимо найти значение производной в точке $x_0 = 6\pi$.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (4 - \sin x)' = (4)' - (\sin x)' = 0 - \cos x = -\cos x$.
Подставим значение $x_0$ в производную:
$f'(6\pi) = -\cos(6\pi)$.
Так как период функции косинус равен $2\pi$, то $\cos(6\pi) = \cos(0) = 1$.
Следовательно, $f'(6\pi) = -1$.
Ответ: -1

г) Для функции $f(x) = -4 \operatorname{ctg} x$ необходимо найти значение производной в точке $x_0 = -\frac{\pi}{4}$.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (-4 \operatorname{ctg} x)' = -4 \cdot (\operatorname{ctg} x)' = -4 \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x}) = \frac{4}{\sin^2 x}$.
Подставим значение $x_0$ в производную:
$f'(-\frac{\pi}{4}) = \frac{4}{\sin^2(-\frac{\pi}{4})}$.
Мы знаем, что синус - нечетная функция, поэтому $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Тогда $\sin^2(-\frac{\pi}{4}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $f'(-\frac{\pi}{4}) = \frac{4}{1/2} = 8$.
Ответ: 8

41.43. a) $f(x) = x^2 \sin x$, $f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = ?$

б) $f(x) = x(1 + \cos x)$, $f'(\pi) = ?$

в) $f(x) = \sqrt{3}\sin x + \frac{x^2}{\pi} + x\sin\frac{\pi}{6}$, $f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = ?$

г) $f(x) = \sqrt{3}\cos x - x\cos\frac{\pi}{6} + \frac{x^2}{\pi}$, $f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = ?$

а) Дана функция $f(x) = x^2 \sin x$. Для нахождения производной используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u(x) = x^2$ и $v(x) = \sin x$. Производные этих функций: $u'(x) = 2x$ и $v'(x) = \cos x$. Таким образом, производная исходной функции равна: $f'(x) = (x^2)' \sin x + x^2 (\sin x)' = 2x \sin x + x^2 \cos x$. Теперь вычислим значение производной в точке $x = \frac{\pi}{2}$: $f'(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \sin(\frac{\pi}{2}) + (\frac{\pi}{2})^2 \cdot \cos(\frac{\pi}{2})$. Зная, что $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем: $f'(\frac{\pi}{2}) = \pi \cdot 1 + \frac{\pi^2}{4} \cdot 0 = \pi$. Ответ: $\pi$.

б) Дана функция $f(x) = x(1 + \cos x) = x + x \cos x$. Найдем ее производную, дифференцируя по частям. Производная первого слагаемого $(x)' = 1$. Для второго слагаемого $x \cos x$ используем правило производной произведения: $(x \cos x)' = (x)' \cos x + x (\cos x)' = 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x) = \cos x - x \sin x$. Таким образом, $f'(x) = 1 + \cos x - x \sin x$. Теперь вычислим значение производной в точке $x = \pi$: $f'(\pi) = 1 + \cos(\pi) - \pi \sin(\pi)$. Зная, что $\cos(\pi) = -1$ и $\sin(\pi) = 0$, получаем: $f'(\pi) = 1 + (-1) - \pi \cdot 0 = 0$. Ответ: $0$.

в) Дана функция $f(x) = \sqrt{3}\sin x + \frac{x^2}{\pi} + x\sin\frac{\pi}{6}$. Сначала упростим выражение, вычислив константу: $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$. Тогда функция принимает вид $f(x) = \sqrt{3}\sin x + \frac{1}{\pi}x^2 + \frac{1}{2}x$. Найдем производную, дифференцируя каждое слагаемое: $f'(x) = (\sqrt{3}\sin x)' + (\frac{1}{\pi}x^2)' + (\frac{1}{2}x)' = \sqrt{3}\cos x + \frac{2x}{\pi} + \frac{1}{2}$. Теперь вычислим значение производной в точке $x = \frac{\pi}{6}$: $f'(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}\cos(\frac{\pi}{6}) + \frac{2(\frac{\pi}{6})}{\pi} + \frac{1}{2}$. Зная, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $f'(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi/3}{\pi} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = (\frac{3}{2}+\frac{1}{2}) + \frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$. Ответ: $\frac{7}{3}$.

г) Дана функция $f(x) = \sqrt{3}\cos x - x\cos