Страница 248, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

42.12. a) $y = \operatorname{tg}^3 x, x_0 = \frac{\pi}{4}$;

Б) $y = \sin \sqrt{x}, x_0 = \frac{\pi^2}{36}$;

В) $y = \cos x^3, x_0 = 0$;

Г) $y = \operatorname{ctg}^2 x - 1, x_0 = \frac{\pi}{4}$.

а) Для нахождения производной функции $y = \text{tg}^3 x$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом). Представим функцию в виде $y = u^3$, где $u = \text{tg} x$. Производная $y$ по $x$ равна $y' = (u^3)'_u \cdot (u)'_x$. Находим производные: $(u^3)'_u = 3u^2 = 3\text{tg}^2 x$ и $(\text{tg} x)'_x = \frac{1}{\cos^2 x}$. Следовательно, производная исходной функции: $y' = 3\text{tg}^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{3\text{tg}^2 x}{\cos^2 x}$. Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$. Подставляем значения $\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $y'(\frac{\pi}{4}) = \frac{3\text{tg}^2(\frac{\pi}{4})}{\cos^2(\frac{\pi}{4})} = \frac{3 \cdot 1^2}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 6$.
Ответ: $6$

б) Для нахождения производной сложной функции $y = \sin\sqrt{x}$ применим цепное правило. Пусть $u = \sqrt{x}$, тогда $y = \sin u$. Производная $y' = (\sin u)'_u \cdot (\sqrt{x})'_x$. Находим производные: $(\sin u)'_u = \cos u = \cos(\sqrt{x})$ и $(\sqrt{x})'_x = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Таким образом, производная исходной функции: $y' = \cos(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}$. Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi^2}{36}$. Сначала находим $\sqrt{x_0} = \sqrt{\frac{\pi^2}{36}} = \frac{\pi}{6}$. Подставляем это значение в производную: $y'(\frac{\pi^2}{36}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{6})}{2 \cdot \frac{\pi}{6}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{\pi} = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi}$.
Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}$

в) Для нахождения производной сложной функции $y = \cos x^3$ используем цепное правило. Пусть $u = x^3$, тогда $y = \cos u$. Производная $y' = (\cos u)'_u \cdot (x^3)'_x$. Находим производные: $(\cos u)'_u = -\sin u = -\sin(x^3)$ и $(x^3)'_x = 3x^2$. Производная исходной функции: $y' = -\sin(x^3) \cdot 3x^2 = -3x^2\sin(x^3)$. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$: $y'(0) = -3 \cdot 0^2 \cdot \sin(0^3) = -3 \cdot 0 \cdot \sin(0) = 0$.
Ответ: $0$

г) Для функции $y = \text{ctg}^2 x - 1$ найдем производную, используя правило дифференцирования разности: $y' = (\text{ctg}^2 x)' - (1)'$. Производная константы $(1)'=0$. Для нахождения $(\text{ctg}^2 x)'$ применим цепное правило. Пусть $u = \text{ctg} x$, тогда имеем $u^2$. Производная $(u^2)'_x = (u^2)'_u \cdot (u)'_x = 2u \cdot (\text{ctg} x)'_x$. Зная, что $(\text{ctg} x)'_x = -\frac{1}{\sin^2 x}$, получаем: $(\text{ctg}^2 x)' = 2\text{ctg} x \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x}) = -\frac{2\text{ctg} x}{\sin^2 x}$. Таким образом, итоговая производная $y' = -\frac{2\text{ctg} x}{\sin^2 x}$. Вычислим ее значение в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$. Подставляем значения $\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $y'(\frac{\pi}{4}) = -\frac{2\text{ctg}(\frac{\pi}{4})}{\sin^2(\frac{\pi}{4})} = -\frac{2 \cdot 1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = -\frac{2}{\frac{1}{2}} = -4$.
Ответ: $-4$

Вычислите скорость изменения функции в точке $x_0$:

42.13. а) $y = (2x + 1)^5, x_0 = -1;$

б) $y = \sqrt{7x - 3}, x_0 = 1;$

в) $y = \frac{4}{12x - 5}, x_0 = 2;$

г) $y = \sqrt{11 - 5x}, x_0 = -1.$

Скорость изменения функции в точке $x_0$ равна значению производной этой функции в данной точке. То есть, чтобы найти скорость изменения, нужно найти производную функции $y'$ и вычислить её значение при $x = x_0$.

а) Дана функция $y = (2x + 1)^5$ и точка $x_0 = -1$.

Найдем производную функции. Это сложная функция, поэтому воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция — степенная, а внутренняя — линейная $g(x) = 2x+1$.

Производная будет равна:

$y' = 5(2x + 1)^{5-1} \cdot (2x + 1)' = 5(2x + 1)^4 \cdot 2 = 10(2x + 1)^4$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$y'(-1) = 10(2(-1) + 1)^4 = 10(-2 + 1)^4 = 10(-1)^4 = 10 \cdot 1 = 10$.

Ответ: $10$.

б) Дана функция $y = \sqrt{7x - 3}$ и точка $x_0 = 1$.

Представим функцию в виде $y = (7x - 3)^{\frac{1}{2}}$. Это сложная функция.

Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции и формулу для степенной функции $(u^n)'=nu^{n-1} \cdot u'$.

$y' = \frac{1}{2}(7x - 3)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (7x - 3)' = \frac{1}{2}(7x - 3)^{-\frac{1}{2}} \cdot 7 = \frac{7}{2(7x - 3)^{\frac{1}{2}}} = \frac{7}{2\sqrt{7x - 3}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$y'(1) = \frac{7}{2\sqrt{7(1) - 3}} = \frac{7}{2\sqrt{7 - 3}} = \frac{7}{2\sqrt{4}} = \frac{7}{2 \cdot 2} = \frac{7}{4}$.

Ответ: $\frac{7}{4}$.

в) Дана функция $y = \frac{4}{12x - 5}$ и точка $x_0 = 2$.

Представим функцию в виде $y = 4(12x - 5)^{-1}$. Это сложная функция.

Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции:

$y' = 4 \cdot (-1)(12x - 5)^{-1-1} \cdot (12x - 5)' = -4(12x - 5)^{-2} \cdot 12 = -48(12x - 5)^{-2} = \frac{-48}{(12x - 5)^2}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:

$y'(2) = \frac{-48}{(12(2) - 5)^2} = \frac{-48}{(24 - 5)^2} = \frac{-48}{19^2} = -\frac{48}{361}$.

Ответ: $-\frac{48}{361}$.

г) Дана функция $y = \sqrt{11 - 5x}$ и точка $x_0 = -1$.

Представим функцию в виде $y = (11 - 5x)^{\frac{1}{2}}$. Это сложная функция.

Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции:

$y' = \frac{1}{2}(11 - 5x)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (11 - 5x)' = \frac{1}{2}(11 - 5x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-5) = \frac{-5}{2(11 - 5x)^{\frac{1}{2}}} = \frac{-5}{2\sqrt{11 - 5x}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$y'(-1) = \frac{-5}{2\sqrt{11 - 5(-1)}} = \frac{-5}{2\sqrt{11 + 5}} = \frac{-5}{2\sqrt{16}} = \frac{-5}{2 \cdot 4} = -\frac{5}{8}$.

Ответ: $-\frac{5}{8}$.

42.14. a) $y = \sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right), x_0 = \frac{\pi}{4};$

б) $y = \operatorname{tg} 6x, x_0 = \frac{\pi}{24};$

в) $y = \cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right), x_0 = \frac{\pi}{3};$

г) $y = \operatorname{ctg}\frac{x}{3}, x_0 = \pi.$

а) $y = \sin(3x - \frac{\pi}{4})$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$

Для решения задачи необходимо найти производную функции $y(x)$ и затем вычислить её значение в точке $x_0$.

Функция $y = \sin(3x - \frac{\pi}{4})$ является сложной. Для нахождения её производной применим правило дифференцирования сложной функции: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Находим производную функции $y(x)$:

$y'(x) = (\sin(3x - \frac{\pi}{4}))' = \cos(3x - \frac{\pi}{4}) \cdot (3x - \frac{\pi}{4})' = \cos(3x - \frac{\pi}{4}) \cdot 3 = 3\cos(3x - \frac{\pi}{4})$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

$y'(\frac{\pi}{4}) = 3\cos(3 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) = 3\cos(\frac{3\pi - \pi}{4}) = 3\cos(\frac{2\pi}{4}) = 3\cos(\frac{\pi}{2})$.

Так как значение косинуса $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем:

$y'(\frac{\pi}{4}) = 3 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0

б) $y = \operatorname{tg} 6x$, $x_0 = \frac{\pi}{24}$

Для решения задачи найдем производную функции $y(x)$ и вычислим её значение в точке $x_0$.

Функция $y = \operatorname{tg} 6x$ является сложной. Применим правило дифференцирования сложной функции. Вспомним, что производная тангенса $(\operatorname{tg} u)' = \frac{1}{\cos^2 u}$.

Находим производную функции $y(x)$:

$y'(x) = (\operatorname{tg} 6x)' = \frac{1}{\cos^2(6x)} \cdot (6x)' = \frac{1}{\cos^2(6x)} \cdot 6 = \frac{6}{\cos^2(6x)}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{24}$:

$y'(\frac{\pi}{24}) = \frac{6}{\cos^2(6 \cdot \frac{\pi}{24})} = \frac{6}{\cos^2(\frac{\pi}{4})}$.

Значение косинуса $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно, $\cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Подставляем это значение в выражение для производной:

$y'(\frac{\pi}{24}) = \frac{6}{1/2} = 6 \cdot 2 = 12$.

Ответ: 12

в) $y = \cos(\frac{\pi}{3} - 2x)$, $x_0 = \frac{\pi}{3}$

Для решения задачи найдем производную функции $y(x)$ и вычислим её значение в точке $x_0$.

Функция $y = \cos(\frac{\pi}{3} - 2x)$ является сложной. Применим правило дифференцирования сложной функции.

Находим производную функции $y(x)$:

$y'(x) = (\cos(\frac{\pi}{3} - 2x))' = -\sin(\frac{\pi}{3} - 2x) \cdot (\frac{\pi}{3} - 2x)' = -\sin(\frac{\pi}{3} - 2x) \cdot (-2) = 2\sin(\frac{\pi}{3} - 2x)$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$y'(\frac{\pi}{3}) = 2\sin(\frac{\pi}{3} - 2 \cdot \frac{\pi}{3}) = 2\sin(\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}) = 2\sin(-\frac{\pi}{3})$.

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-a) = -\sin(a)$, получаем:

$y'(\frac{\pi}{3}) = -2\sin(\frac{\pi}{3})$.

Так как значение синуса $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:

$y'(\frac{\pi}{3}) = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}$

г) $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{3}$, $x_0 = \pi$

Для решения задачи найдем производную функции $y(x)$ и вычислим её значение в точке $x_0$.

Функция $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{3}$ является сложной. Применим правило дифференцирования сложной функции. Вспомним, что производная котангенса $(\operatorname{ctg} u)' = -\frac{1}{\sin^2 u}$.

Находим производную функции $y(x)$:

$y'(x) = (\operatorname{ctg} \frac{x}{3})' = -\frac{1}{\sin^2(\frac{x}{3})} \cdot (\frac{x}{3})' = -\frac{1}{\sin^2(\frac{x}{3})} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{3\sin^2(\frac{x}{3})}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \pi$:

$y'(\pi) = -\frac{1}{3\sin^2(\frac{\pi}{3})}$.

Значение синуса $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно, $\sin^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.

Подставляем это значение в выражение для производной:

$y'(\pi) = -\frac{1}{3 \cdot \frac{3}{4}} = -\frac{1}{\frac{9}{4}} = -\frac{4}{9}$.

Ответ: $-\frac{4}{9}$

42.15. а) $y = \sqrt{4x^2 - 20x + 25}, x_0 = 3;$

б) $y = \sqrt{\sin^2 x - 2 \sin x + 1}, x_0 = \frac{\pi}{3};$

в) $y = \sqrt{1 - 10x + 25x^2}, x_0 = 1;$

г) $y = \sqrt{1 - \cos x + \frac{1}{4}\cos^2 x}, x_0 = \frac{\pi}{4}.$

а) Дана функция $y = \sqrt{4x^2 - 20x + 25}$ и точка $x_0 = 3$.

Сначала упростим выражение под корнем. Заметим, что $4x^2 - 20x + 25$ является полным квадратом разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=2x$ и $b=5$.

Таким образом, $y = \sqrt{(2x - 5)^2}$.

Используя свойство квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем функцию в виде $y = |2x - 5|$.

Теперь найдем значение функции в точке $x_0 = 3$:

$y(3) = |2 \cdot 3 - 5| = |6 - 5| = |1| = 1$.

Ответ: 1

б) Дана функция $y = \sqrt{\sin^2 x - 2 \sin x + 1}$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

Выражение под корнем $\sin^2 x - 2 \sin x + 1$ является полным квадратом разности $(\sin x - 1)^2$.

Тогда функция принимает вид $y = \sqrt{(\sin x - 1)^2} = |\sin x - 1|$.

Поскольку значение функции $\sin x$ никогда не превышает 1 (т.е. $\sin x \le 1$), выражение $\sin x - 1$ всегда будет меньше или равно нулю. Следовательно, при раскрытии модуля мы меняем знак: $|\sin x - 1| = -(\sin x - 1) = 1 - \sin x$.

Итак, $y = 1 - \sin x$.

Подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$y(\frac{\pi}{3}) = 1 - \sin(\frac{\pi}{3}) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

в) Дана функция $y = \sqrt{1 - 10x + 25x^2}$ и точка $x_0 = 1$.

Перепишем выражение под корнем в стандартном виде: $25x^2 - 10x + 1$. Это полный квадрат разности $(5x - 1)^2$ или, что то же самое, $(1-5x)^2$.

Функция имеет вид $y = \sqrt{(1 - 5x)^2} = |1 - 5x|$.

Подставим значение $x_0 = 1$:

$y(1) = |1 - 5 \cdot 1| = |1 - 5| = |-4| = 4$.

Ответ: 4

г) Дана функция $y = \sqrt{1 - \cos x + \frac{1}{4}\cos^2 x}$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Выражение под корнем $1 - \cos x + \frac{1}{4}\cos^2 x$ является полным квадратом разности $(1 - \frac{1}{2}\cos x)^2$.

Тогда функция принимает вид $y = \sqrt{(1 - \frac{1}{2}\cos x)^2} = |1 - \frac{1}{2}\cos x|$.

Область значений функции $\cos x$ - это отрезок $[-1, 1]$. Тогда $-\frac{1}{2} \le \frac{1}{2}\cos x \le \frac{1}{2}$. Выражение $1 - \frac{1}{2}\cos x$ всегда будет положительным (его значения лежат в отрезке $[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$). Поэтому модуль можно опустить.

Итак, $y = 1 - \frac{1}{2}\cos x$.

Подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

$y(\frac{\pi}{4}) = 1 - \frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{4}) = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $1 - \frac{\sqrt{2}}{4}$

42.16. a) $y = (x - \sin x)^2, x_0 = \pi;$

б) $y = \sqrt{\frac{1 - \sin x}{\cos x}}, x_0 = \frac{\pi}{4};$

в) $y = \sqrt{(\sin x + 1) \cos x}, x_0 = \frac{\pi}{6};$

г) $y = (\operatorname{tg} x - 1)^4, x_0 = \frac{\pi}{4}.$

а) Дана функция $y = (x - \sin x)^2$ и точка $x_0 = \pi$. Для нахождения производной в точке необходимо сначала найти производную функции $y'(x)$, а затем подставить в нее значение $x_0$. Это сложная функция вида $y = u(x)^2$, где $u(x) = x - \sin x$. Применяем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $y' = (u^2)'_u \cdot u'_x = 2u \cdot u'$. Находим производную $u'(x)$: $u'(x) = (x - \sin x)' = (x)' - (\sin x)' = 1 - \cos x$. Теперь подставляем всё в формулу для $y'$: $y'(x) = 2(x - \sin x) \cdot (1 - \cos x)$. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \pi$: $y'(\pi) = 2(\pi - \sin \pi) \cdot (1 - \cos \pi)$. Зная, что $\sin \pi = 0$ и $\cos \pi = -1$, получаем: $y'(\pi) = 2(\pi - 0) \cdot (1 - (-1)) = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$.
Ответ: $4\pi$.

б) Дана функция $y = \sqrt{\frac{1 - \sin x}{\cos x}}$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$. Это сложная функция вида $y = \sqrt{u(x)}$, где $u(x) = \frac{1 - \sin x}{\cos x}$. Ее производная находится по цепному правилу: $y' = (\sqrt{u})'_u \cdot u'_x = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$. Сначала найдем производную $u'(x)$ по правилу дифференцирования частного: $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$. Здесь $f(x) = 1 - \sin x$ и $g(x) = \cos x$. $f'(x) = -\cos x$. $g'(x) = -\sin x$. $u'(x) = \frac{(-\cos x)(\cos x) - (1 - \sin x)(-\sin x)}{(\cos x)^2} = \frac{-\cos^2 x + \sin x - \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin x - (\sin^2 x + \cos^2 x)}{\cos^2 x} = \frac{\sin x - 1}{\cos^2 x}$. Теперь подставляем $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу для $y'$: $y'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1 - \sin x}{\cos x}}} \cdot \frac{\sin x - 1}{\cos^2 x}$. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$. При $x_0 = \frac{\pi}{4}$: $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $y'(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1 - \sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2}}} \cdot \frac{\sqrt{2}/2 - 1}{(\sqrt{2}/2)^2} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{(2-\sqrt{2})/2}{\sqrt{2}/2}}} \cdot \frac{(\sqrt{2}-2)/2}{2/4} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}} \cdot (\sqrt{2}-2)$. Упростим выражение под корнем: $\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}-1$. $y'(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2\sqrt{\sqrt{2}-1}} \cdot (\sqrt{2}-2) = \frac{\sqrt{2}(1-\sqrt{2})}{2\sqrt{\sqrt{2}-1}} = -\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{2\sqrt{\sqrt{2}-1}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{\sqrt{2}-1} = -\sqrt{\frac{2}{4}(\sqrt{2}-1)} = -\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$.
Ответ: $-\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$.

в) Дана функция $y = \sqrt{(\sin x + 1)\cos x}$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$. Это сложная функция вида $y = \sqrt{u(x)}$, где $u(x) = (\sin x + 1)\cos x$. Производная: $y' = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$. Найдем $u'(x)$ по правилу дифференцирования произведения: $(fg)' = f'g + fg'$. Здесь $f(x) = \sin x + 1$ и $g(x) = \cos x$. $f'(x) = \cos x$. $g'(x) = -\sin x$. $u'(x) = (\cos x)(\cos x) + (\sin x + 1)(-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x - \sin x$. Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$, получаем: $u'(x) = \cos(2x) - \sin x$. Тогда производная функции $y$ равна: $y'(x) = \frac{\cos(2x) - \sin x}{2\sqrt{(\sin x + 1)\cos x}}$. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$. При $x_0 = \frac{\pi}{6}$: $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. Подставляем эти значения в числитель производной: $\cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) - \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$. Знаменатель в этой точке не равен нулю: $2\sqrt{(\frac{1}{2}+1)\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{\frac{3\sqrt{3}}{4}} = \sqrt{3\sqrt{3}} \ne 0$. Следовательно, значение производной равно: $y'(\frac{\pi}{6}) = \frac{0}{\sqrt{3\sqrt{3}}} = 0$.
Ответ: $0$.

г) Дана функция $y = (\text{tg} \, x - 1)^4$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$. Это сложная функция вида $y = u(x)^4$, где $u(x) = \text{tg} \, x - 1$. Применяем цепное правило: $y' = 4u^3 \cdot u'$. Находим производную $u'(x)$: $u'(x) = (\text{tg} \, x - 1)' = (\text{tg} \, x)' - (1)' = \frac{1}{\cos^2 x} - 0 = \frac{1}{\cos^2 x}$. Теперь подставляем всё в формулу для $y'$: $y'(x) = 4(\text{tg} \, x - 1)^3 \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$: $y'(\frac{\pi}{4}) = 4(\text{tg} \, \frac{\pi}{4} - 1)^3 \cdot \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{4})}$. Зная, что $\text{tg} \, \frac{\pi}{4} = 1$ и $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем $\cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. $y'(\frac{\pi}{4}) = 4(1 - 1)^3 \cdot \frac{1}{1/2} = 4 \cdot 0^3 \cdot 2 = 0$.
Ответ: $0$.

42.17. При каких значениях аргумента скорость изменения функции $y = f(x)$ равна скорости изменения функции $y = g(x):$

a) $f(x) = \cos 2x$, $g(x) = \sin x$;

б) $f(x) = \sin 6x$, $g(x) = \cos 12x + 4$;

в) $f(x) = \frac{2}{3} \sin 3x$, $g(x) = \cos 2x$;

г) $f(x) = \sqrt{x^2 - 2x}$, $g(x) = 2\sqrt{x}$?

Скорость изменения функции в точке — это значение ее производной в этой точке. Для того чтобы найти значения аргумента $x$, при которых скорости изменения функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$ равны, необходимо найти производные этих функций и решить уравнение $f'(x) = g'(x)$.

а) Даны функции $f(x) = \cos 2x$ и $g(x) = \sin x$.
Находим их производные:
$f'(x) = (\cos 2x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin 2x$.
$g'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
Приравниваем производные и решаем полученное уравнение:
$f'(x) = g'(x)$
$-2\sin 2x = \cos x$.
Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:
$-2(2\sin x \cos x) = \cos x$
$-4\sin x \cos x - \cos x = 0$
$-\cos x (4\sin x + 1) = 0$.
Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $4\sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -\frac{1}{4}$. Решения этого уравнения имеют вид $x = (-1)^{n} \arcsin(-\frac{1}{4}) + \pi n$, что можно записать как $x = (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Даны функции $f(x) = \sin 6x$ и $g(x) = \cos 12x + 4$.
Находим их производные:
$f'(x) = (\sin 6x)' = \cos(6x) \cdot (6x)' = 6\cos 6x$.
$g'(x) = (\cos 12x + 4)' = -\sin(12x) \cdot (12x)' + 0 = -12\sin 12x$.
Приравниваем производные:
$6\cos 6x = -12\sin 12x$.
Используем формулу синуса двойного угла $\sin 12x = \sin(2 \cdot 6x) = 2\sin 6x \cos 6x$:
$6\cos 6x = -12(2\sin 6x \cos 6x)$
$6\cos 6x + 24\sin 6x \cos 6x = 0$
$6\cos 6x(1 + 4\sin 6x) = 0$.
Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $\cos 6x = 0 \implies 6x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{6}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $1 + 4\sin 6x = 0 \implies \sin 6x = -\frac{1}{4}$. Решения этого уравнения: $6x = (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi n \implies x = \frac{(-1)^{n+1} \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi n}{6}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{6}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{(-1)^{n+1} \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi n}{6}, n \in \mathbb{Z}$.

в) Даны функции $f(x) = \frac{2}{3}\sin 3x$ и $g(x) = \cos 2x$.
Находим их производные:
$f'(x) = \left(\frac{2}{3}\sin 3x\right)' = \frac{2}{3} \cos(3x) \cdot (3x)' = \frac{2}{3} \cdot 3 \cos 3x = 2\cos 3x$.
$g'(x) = (\cos 2x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin 2x$.
Приравниваем производные:
$2\cos 3x = -2\sin 2x$
$\cos 3x = -\sin 2x$.
Используя формулу приведения $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin \alpha$, получаем:
$\cos 3x = \cos\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right)$.
Уравнение вида $\cos a = \cos b$ равносильно совокупности $a = \pm b + 2\pi k$.
1) $3x = \frac{\pi}{2} + 2x + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $3x = -\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) + 2\pi n \implies 3x = -\frac{\pi}{2} - 2x + 2\pi n \implies 5x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

г) Даны функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 2x}$ и $g(x) = 2\sqrt{x}$.
Сначала найдем области определения производных.
Производная $f'(x)$ определена, когда подкоренное выражение строго больше нуля: $x^2 - 2x > 0 \implies x(x-2) > 0$, что выполняется при $x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$.
Производная $g'(x)$ определена при $x > 0$.
Следовательно, общее множество, на котором мы ищем решение уравнения $f'(x) = g'(x)$, есть пересечение этих областей: $x \in (2, +\infty)$.
Находим производные:
$f'(x) = (\sqrt{x^2 - 2x})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 2x}} \cdot (x^2 - 2x)' = \frac{2x-2}{2\sqrt{x^2 - 2x}} = \frac{x-1}{\sqrt{x^2 - 2x}}$.
$g'(x) = (2\sqrt{x})' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.
Приравниваем производные:
$\frac{x-1}{\sqrt{x^2 - 2x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.
На области определения $x > 2$ обе части уравнения положительны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:
$\frac{(x-1)^2}{x^2 - 2x} = \frac{1}{x}$
$\frac{(x-1)^2}{x(x - 2)} = \frac{1}{x}$.
Так как $x > 2$, то $x \ne 0$, и мы можем умножить обе части на $x$:
$\frac{(x-1)^2}{x - 2} = 1$
$(x-1)^2 = x - 2$
$x^2 - 2x + 1 = x - 2$
$x^2 - 3x + 3 = 0$.
Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: таких значений аргумента не существует.