Страница 244, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

При каких значениях аргумента скорость изменения функции $y = f(x)$ равна скорости изменения функции $y = g(x)$:

41.53. a) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2$, $g(x) = 7,5x^2 - 16x;

б) $f(x) = \sqrt{x}$, $g(x) = \frac{-1}{x}$?

а) Скорость изменения функции — это ее производная. Чтобы найти значения аргумента, при которых скорости изменения функций $f(x)$ и $g(x)$ равны, необходимо найти их производные и приравнять их, то есть решить уравнение $f'(x) = g'(x)$.
Даны функции: $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2$ и $g(x) = 7,5x^2 - 16x$.
1. Находим производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x^2)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} - 2x^{2-1} = x^2 - 2x$.
2. Находим производную функции $g(x)$:
$g'(x) = (7,5x^2 - 16x)' = 7,5 \cdot 2x^{2-1} - 16x^{1-1} = 15x - 16$.
3. Приравниваем производные и решаем полученное уравнение:
$f'(x) = g'(x)$
$x^2 - 2x = 15x - 16$
$x^2 - 2x - 15x + 16 = 0$
$x^2 - 17x + 16 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 \pm 15}{2}$.
$x_1 = \frac{17 - 15}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
$x_2 = \frac{17 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16$.
Скорости изменения функций равны при значениях аргумента $x=1$ и $x=16$.
Ответ: 1; 16.

б) Даны функции: $f(x) = \sqrt{x}$ и $g(x) = \frac{-1}{x}$.
1. Находим производную функции $f(x)$. Представим функцию в виде $f(x) = x^{\frac{1}{2}}$.
$f'(x) = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Область определения производной $f'(x)$ — $x > 0$.
2. Находим производную функции $g(x)$. Представим функцию в виде $g(x) = -x^{-1}$.
$g'(x) = (-x^{-1})' = -(-1)x^{-1-1} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.
Область определения производной $g'(x)$ — $x \ne 0$.
Общая область определения для уравнения $f'(x) = g'(x)$ — $x > 0$.
3. Приравниваем производные и решаем уравнение:
$\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{x^2}$
Так как $x>0$, то $x^2 \ne 0$ и $2\sqrt{x} \ne 0$. Можем использовать свойство пропорции:
$x^2 = 2\sqrt{x}$
Чтобы избавиться от иррациональности, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(x^2)^2 = (2\sqrt{x})^2$
$x^4 = 4x$
$x^4 - 4x = 0$
$x(x^3 - 4) = 0$
Получаем два возможных решения: $x=0$ или $x^3 - 4 = 0$.
Первое решение $x=0$ не входит в область определения $x > 0$, поэтому оно является посторонним корнем.
Решаем второе уравнение:
$x^3 = 4$
$x = \sqrt[3]{4}$
Данное значение удовлетворяет условию $x > 0$.
Ответ: $\sqrt[3]{4}$.

41.54. a) $f(x) = \cos x, g(x) = \sin x;$

б) $f(x) = \tan x, g(x) = -\cot x?$

а)

Чтобы определить, является ли функция $g(x) = \sin x$ первообразной для функции $f(x) = \cos x$, нужно найти производную функции $g(x)$ и проверить, равна ли она функции $f(x)$. По определению, функция $G(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$, если выполняется равенство $G'(x) = f(x)$.

Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Сравним результат с функцией $f(x)$:

$g'(x) = \cos x$, и $f(x) = \cos x$.

Так как $g'(x) = f(x)$, то функция $g(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Ответ: да, является.

б)

Чтобы определить, является ли функция $g(x) = -\text{ctg } x$ первообразной для функции $f(x) = \text{tg } x$, необходимо найти производную функции $g(x)$ и сравнить её с функцией $f(x)$.

Найдем производную функции $g(x)$, используя правило дифференцирования и производную котангенса $(\text{ctg } x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$:

$g'(x) = (-\text{ctg } x)' = -(\text{ctg } x)' = -(-\frac{1}{\sin^2 x}) = \frac{1}{\sin^2 x}$.

Теперь сравним полученную производную $g'(x)$ с функцией $f(x)$:

$g'(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$, а $f(x) = \text{tg } x$.

Равенство $g'(x) = f(x)$ не выполняется, так как $\frac{1}{\sin^2 x} \neq \text{tg } x$. Например, при $x = \frac{\pi}{4}$ имеем:

$g'(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{4})} = \frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{1}{\frac{2}{4}} = 2$.

$f(\frac{\pi}{4}) = \text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Поскольку $2 \neq 1$, функция $g(x)$ не является первообразной для функции $f(x)$.

Ответ: нет, не является.

41.55. При каких значениях аргумента скорость изменения функции $y = g(x)$ больше скорости изменения функции $y = h(x):$

a) $g(x) = x^3 - 3x^2$, $h(x) = 1.5x^2 - 9$;

б) $g(x) = \text{tg } x$, $h(x) = 4x - 81$?

Скорость изменения функции в точке характеризуется ее производной. Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых скорость изменения функции $y = g(x)$ больше скорости изменения функции $y = h(x)$, необходимо решить неравенство $g'(x) > h'(x)$.

a) $g(x) = x^3 - 3x^2$, $h(x) = 1,5x^2 - 9$

1. Найдем производные функций $g(x)$ и $h(x)$:

$g'(x) = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x$

$h'(x) = (1,5x^2 - 9)' = 1,5 \cdot 2x = 3x$

2. Составим и решим неравенство $g'(x) > h'(x)$:

$3x^2 - 6x > 3x$

$3x^2 - 9x > 0$

Разделим обе части на 3:

$x^2 - 3x > 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 3) > 0$

3. Решим полученное квадратное неравенство методом интервалов. Корни соответствующего уравнения $x(x - 3) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, +\infty)$.

Парабола $y = x^2 - 3x$ ветвями направлена вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Следовательно, неравенство выполняется при $x < 0$ или $x > 3$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$.

б) $g(x) = \operatorname{tg} x$, $h(x) = 4x - 81$

1. Найдем производные функций $g(x)$ и $h(x)$:

$g'(x) = (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$

$h'(x) = (4x - 81)' = 4$

Область определения функции $g(x) = \operatorname{tg} x$ и ее производной: все $x$, для которых $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Составим и решим неравенство $g'(x) > h'(x)$:

$\frac{1}{\cos^2 x} > 4$

Так как в области определения $\cos^2 x > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $\cos^2 x$, не меняя знака неравенства:

$1 > 4\cos^2 x$

$\cos^2 x < \frac{1}{4}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$|\cos x| < \frac{1}{2}$

Это двойное неравенство равносильно системе:

$-\frac{1}{2} < \cos x < \frac{1}{2}$

3. Решим это неравенство. На единичной окружности этому условию соответствуют дуги, где абсцисса (косинус) находится между $-1/2$ и $1/2$. Решением являются интервалы, которые можно обобщить формулой:

$x \in (\frac{\pi}{3} + \pi k, \frac{2\pi}{3} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4. Учтем область определения. Мы должны исключить из решения точки $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

Заметим, что для любого целого $k$ выполняется неравенство $\frac{\pi}{3} + \pi k < \frac{\pi}{2} + \pi k < \frac{2\pi}{3} + \pi k$. Это означает, что каждая точка вида $\frac{\pi}{2} + \pi k$ попадает внутрь одного из найденных интервалов. Поэтому каждый интервал решения нужно разделить на два в этой точке.

Таким образом, решение представляет собой объединение интервалов:

$(\frac{\pi}{3} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k) \cup (\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{2\pi}{3} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{3} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k) \cup (\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{2\pi}{3} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

41.56. Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию

$f'(x) = g'(x)$, если:

a) $f(x) = \frac{6}{5x - 9}$, $g(x) = \frac{3}{7 - 5x}$;

б) $f(x) = ctg x$, $g(x) = 2x + 15$.

а)

Даны функции $f(x) = \frac{6}{5x - 9}$ и $g(x) = \frac{3}{7 - 5x}$. Требуется найти значения аргумента $x$, для которых выполняется условие $f'(x) = g'(x)$.

Сначала найдем производные данных функций. Для нахождения производных воспользуемся формулой производной частного, в частном случае для функции вида $y = \frac{k}{u(x)}$ ее производная равна $y' = -\frac{k \cdot u'(x)}{[u(x)]^2}$.

Производная функции $f(x)$: $f'(x) = \left(\frac{6}{5x - 9}\right)' = -\frac{6 \cdot (5x - 9)'}{(5x - 9)^2} = -\frac{6 \cdot 5}{(5x - 9)^2} = -\frac{30}{(5x - 9)^2}$.

Производная функции $g(x)$: $g'(x) = \left(\frac{3}{7 - 5x}\right)' = -\frac{3 \cdot (7 - 5x)'}{(7 - 5x)^2} = -\frac{3 \cdot (-5)}{(7 - 5x)^2} = \frac{15}{(7 - 5x)^2}$.

Теперь приравняем найденные производные, чтобы решить уравнение $f'(x) = g'(x)$: $-\frac{30}{(5x - 9)^2} = \frac{15}{(7 - 5x)^2}$.

Заметим, что знаменатели $(5x - 9)^2$ и $(7 - 5x)^2$ всегда неотрицательны. Они не могут быть равны нулю, так как это нарушает область определения исходных функций ($x \neq \frac{9}{5}$ и $x \neq \frac{7}{5}$). Следовательно, левая часть уравнения, $-\frac{30}{(5x - 9)^2}$, всегда является строго отрицательным числом. Правая часть уравнения, $\frac{15}{(7 - 5x)^2}$, всегда является строго положительным числом.

Поскольку отрицательное число не может быть равно положительному, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: таких значений аргумента не существует.

б)

Даны функции $f(x) = \operatorname{ctg} x$ и $g(x) = 2x + 15$. Требуется найти значения аргумента $x$, для которых выполняется условие $f'(x) = g'(x)$.

Найдем производную функции $f(x)$. Производная котангенса: $f'(x) = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

Найдем производную функции $g(x)$. Производная линейной функции: $g'(x) = (2x + 15)' = 2$.

Теперь составим и решим уравнение $f'(x) = g'(x)$: $-\frac{1}{\sin^2 x} = 2$.

Умножим обе части уравнения на -1: $\frac{1}{\sin^2 x} = -2$.

Из этого уравнения выразим $\sin^2 x$: $\sin^2 x = -\frac{1}{2}$.

Для любого действительного значения $x$, значение $\sin x$ является действительным числом. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $\sin^2 x \ge 0$. Следовательно, уравнение $\sin^2 x = -\frac{1}{2}$ не имеет решений в действительных числах.

Ответ: таких значений аргумента не существует.

41.57. Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию $f'(x) \leq g'(x)$, если:

a) $f(x) = \sin x \cdot \cos x, g(x) = \frac{1}{2}x + 61;$

б) $f(x) = x \cos x, g(x) = \sin x.$

а)

Даны функции $f(x) = \sin x \cdot \cos x$ и $g(x) = \frac{1}{2}x + 61$.

Сначала найдем производные этих функций. Для функции $f(x)$ удобно сначала применить формулу синуса двойного угла:

$f(x) = \sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$

Тогда производная $f'(x)$ равна:

$f'(x) = \left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right)' = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \cdot (2x)' = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \cdot 2 = \cos(2x)$

Производная функции $g(x)$ равна:

$g'(x) = \left(\frac{1}{2}x + 61\right)' = \frac{1}{2}$

Теперь решим неравенство $f'(x) \leq g'(x)$:

$\cos(2x) \leq \frac{1}{2}$

Общее решение неравенства $\cos t \leq \frac{1}{2}$ имеет вид $\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq t \leq \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Сделаем обратную замену $t = 2x$:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq 2x \leq \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$

Разделив все части неравенства на 2, получим решение для $x$:

$\frac{\pi}{6} + \pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left[\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{5\pi}{6} + \pi n\right], n \in \mathbb{Z}$.

б)

Даны функции $f(x) = x \cos x$ и $g(x) = \sin x$.

Найдем производную функции $f(x)$, используя правило производной произведения:

$f'(x) = (x)'\cos x + x(\cos x)' = 1 \cdot \cos x + x(-\sin x) = \cos x - x \sin x$

Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (\sin x)' = \cos x$

Решим неравенство $f'(x) \leq g'(x)$:

$\cos x - x \sin x \leq \cos x$

Упростим неравенство:

$-x \sin x \leq 0$

$x \sin x \geq 0$

Это неравенство выполняется, когда множители $x$ и $\sin x$ имеют одинаковые знаки или равны нулю.

Рассмотрим два случая:

1. $x \geq 0$ и $\sin x \geq 0$. Решением является объединение промежутков $[2k\pi, (2k+1)\pi]$ для всех целых $k \geq 0$.

2. $x \leq 0$ и $\sin x \leq 0$. Решением является объединение промежутков $[(2k-1)\pi, 2k\pi]$ для всех целых $k \leq 0$.

Объединив все эти промежутки, получим итоговое решение. Например, при $k=0$ из первого случая имеем $[0, \pi]$, а из второго — $[-\pi, 0]$. Вместе они дают отрезок $[-\pi, \pi]$. Остальные промежутки соответствуют $k \ge 1$ для первого случая и $k \le -1$ для второго.

Ответ: $x \in [-\pi, \pi] \cup \bigcup_{k=1}^{\infty} \left( [2k\pi, (2k+1)\pi] \cup [-(2k+1)\pi, -2k\pi] \right)$.

41.58. Укажите, какой формулой можно задать функцию

$y = f(x)$, если:

а) $f'(x) = 2x$;

б) $f'(x) = \cos x$;

в) $f'(x) = 3$;

г) $f'(x) = -\sin x$.

а) Чтобы найти функцию $y = f(x)$, зная ее производную $f'(x) = 2x$, необходимо выполнить операцию, обратную дифференцированию, то есть найти первообразную (неопределенный интеграл).
$f(x) = \int f'(x) \,dx = \int 2x \,dx$.
Используя формулу для интеграла степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:
$f(x) = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^2 + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Следовательно, любую функцию, удовлетворяющую условию, можно задать этой формулой.
Ответ: $y = x^2 + C$.

б) Требуется найти функцию $f(x)$, производная которой равна $f'(x) = \cos x$. Для этого найдем неопределенный интеграл от $\cos x$.
$f(x) = \int \cos x \,dx$.
Согласно таблице основных интегралов, первообразной для функции $\cos x$ является $\sin x$. Таким образом:
$f(x) = \sin x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Это общая формула для всех функций, имеющих заданную производную.
Ответ: $y = \sin x + C$.

в) Дана производная $f'(x) = 3$. Чтобы найти исходную функцию $f(x)$, необходимо проинтегрировать данное выражение.
$f(x) = \int 3 \,dx$.
Интеграл от константы равен произведению этой константы на переменную интегрирования, плюс константа интегрирования:
$f(x) = 3x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Эта формула задает все функции с производной, равной 3.
Ответ: $y = 3x + C$.

г) Требуется найти функцию $f(x)$ по её производной $f'(x) = -\sin x$. Вычислим соответствующий неопределенный интеграл.
$f(x) = \int (-\sin x) \,dx = - \int \sin x \,dx$.
Из таблицы основных интегралов известно, что первообразная для функции $\sin x$ равна $-\cos x$. Следовательно:
$f(x) = -(-\cos x) + C = \cos x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Таким образом, искомая функция задается этой формулой.
Ответ: $y = \cos x + C$.

41.59. Известна производная функции $y = f'(x)$. Укажите, какой формулой можно задать функцию $y = f(x)$, если:

а) $f'(x) = 3x^2 + 2x;$

б) $f'(x) = -\frac{7}{x^2};$

в) $f'(x) = 5x^4 - 1;$

г) $f'(x) = \frac{9}{2\sqrt{x}}.$

Чтобы найти функцию $y = f(x)$ по её известной производной $f'(x)$, необходимо выполнить операцию, обратную дифференцированию, то есть найти первообразную (или неопределённый интеграл) от функции $f'(x)$. Общая формула для первообразной степенной функции: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

а) Дана производная $f'(x) = 3x^2 + 2x$.

Находим первообразную, используя правило интегрирования суммы функций и степенной функции:

$f(x) = \int (3x^2 + 2x) dx = \int 3x^2 dx + \int 2x dx$

$f(x) = 3 \int x^2 dx + 2 \int x^1 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C$

Выполнив вычисления, получаем:

$f(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^3 + x^2 + C$

Ответ: $f(x) = x^3 + x^2 + C$.

б) Дана производная $f'(x) = -\frac{7}{x^2}$.

Для интегрирования представим её в виде степенной функции: $f'(x) = -7x^{-2}$.

Теперь найдём первообразную:

$f(x) = \int (-7x^{-2}) dx = -7 \int x^{-2} dx = -7 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C$

$f(x) = -7 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C = 7x^{-1} + C$

Запишем результат в виде дроби:

$f(x) = \frac{7}{x} + C$

Ответ: $f(x) = \frac{7}{x} + C$.

в) Дана производная $f'(x) = 5x^4 - 1$.

Находим первообразную, интегрируя функцию:

$f(x) = \int (5x^4 - 1) dx = \int 5x^4 dx - \int 1 dx$

Применяя правило интегрирования степенной функции и интеграл от константы, получаем:

$f(x) = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} - x + C = 5 \cdot \frac{x^5}{5} - x + C$

Упростив выражение, имеем:

$f(x) = x^5 - x + C$

Ответ: $f(x) = x^5 - x + C$.

г) Дана производная $f'(x) = \frac{9}{2\sqrt{x}}$.

Для удобства интегрирования представим функцию в виде степенной: $f'(x) = \frac{9}{2}x^{-1/2}$.

Найдём первообразную:

$f(x) = \int \frac{9}{2}x^{-1/2} dx = \frac{9}{2} \int x^{-1/2} dx$

Используем формулу интегрирования степенной функции:

$f(x) = \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C$

Упрощая выражение, получаем:

$f(x) = \frac{9}{2} \cdot 2x^{1/2} + C = 9x^{1/2} + C = 9\sqrt{x} + C$

Ответ: $f(x) = 9\sqrt{x} + C$.

41.60. Задайте аналитически функцию $y = f(x)$, если графиком её производной является:

а) парабола (см. рис. 98);

б) ломаная (см. рис. 102).

а)

Графиком производной $y=f'(x)$ является парабола. Из соответствующего рисунка 98 видно, что вершина параболы находится в точке $(1, -1)$, и она проходит через точки $(0, 0)$ и $(2, 0)$. Общее уравнение параболы с вершиной в точке $(h, k)$ имеет вид $y = a(x-h)^2 + k$. Подставим координаты вершины $(1, -1)$ в это уравнение: $f'(x) = a(x-1)^2 - 1$. Для нахождения коэффициента $a$ используем одну из точек, через которую проходит график, например, $(0, 0)$: $0 = a(0-1)^2 - 1$ $0 = a(1) - 1$ $a = 1$. Таким образом, уравнение для производной функции $f(x)$ имеет вид: $f'(x) = 1 \cdot (x-1)^2 - 1 = (x^2 - 2x + 1) - 1 = x^2 - 2x$. Чтобы найти функцию $f(x)$, необходимо найти ее первообразную, то есть вычислить неопределенный интеграл от $f'(x)$: $f(x) = \int f'(x) dx = \int (x^2 - 2x) dx = \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + C$. Здесь $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

б)

Графиком производной $y=f'(x)$ является ломаная линия, которая, согласно рисунку 102, состоит из двух отрезков. Зададим функцию $f'(x)$ аналитически для каждого отрезка.

1. Отрезок для $-1 \le x \le 1$: Этот отрезок соединяет точки $(-1, 1)$ и $(1, -1)$. Найдем уравнение прямой, проходящей через эти две точки. Сначала вычислим угловой коэффициент (наклон) $m_1$: $m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 1}{1 - (-1)} = \frac{-2}{2} = -1$. Используя формулу прямой $y - y_1 = m(x - x_1)$ и точку $(1, -1)$: $y - (-1) = -1(x - 1)$ $y + 1 = -x + 1$ $y = -x$. Итак, при $-1 \le x \le 1$, $f'(x) = -x$.

2. Отрезок для $1 < x \le 3$: Этот отрезок соединяет точки $(1, -1)$ и $(3, 1)$. Вычислим угловой коэффициент $m_2$: $m_2 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - (-1)}{3 - 1} = \frac{2}{2} = 1$. Используя ту же формулу и точку $(1, -1)$: $y - (-1) = 1(x - 1)$ $y + 1 = x - 1$ $y = x-2$. Итак, при $1 < x \le 3$, $f'(x) = x-2$.

Таким образом, производная задается кусочной функцией: $f'(x) = \begin{cases} -x, & \text{если } -1 \le x \le 1 \\ x-2, & \text{если } 1 < x \le 3 \end{cases}$

Чтобы найти $f(x)$, проинтегрируем $f'(x)$ на каждом из интервалов: При $-1 \le x \le 1$: $f(x) = \int (-x) dx = -\frac{x^2}{2} + C_1$. При $1 < x \le 3$: $f(x) = \int (x-2) dx = \frac{x^2}{2} - 2x + C_2$. где $C_1$ и $C_2$ - постоянные интегрирования.

Поскольку исходная функция $f(x)$ дифференцируема, она должна быть непрерывной. В частности, она должна быть непрерывной в точке "стыка" $x=1$. Это означает, что значения функции, вычисленные по обеим формулам, в точке $x=1$ должны совпадать: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x)$ $-\frac{1^2}{2} + C_1 = \frac{1^2}{2} - 2(1) + C_2$ $-\frac{1}{2} + C_1 = \frac{1}{2} - 2 + C_2$ $-\frac{1}{2} + C_1 = -\frac{3}{2} + C_2$ $C_2 = C_1 + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = C_1 + 1$.

Мы можем выбрать одну из констант произвольно. Пусть $C_1 = C$, тогда $C_2 = C+1$. Таким образом, мы получаем общее решение в виде семейства функций: $f(x) = \begin{cases} -\frac{x^2}{2} + C, & \text{если } -1 \le x \le 1 \\ \frac{x^2}{2} - 2x + 1 + C, & \text{если } 1 < x \le 3 \end{cases}$ Заметим, что второе выражение можно переписать как $\frac{1}{2}(x-2)^2 - 1 + C$.

Ответ: $f(x) = \begin{cases} -\frac{x^2}{2} + C, & \text{если } -1 \le x \le 1 \\ \frac{x^2}{2} - 2x + 1 + C, & \text{если } 1 < x \le 3 \end{cases}$, где $C$ - произвольная постоянная.