Страница 249, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Представьте в виде произведения тригонометрических функций:

a) $ \sin \alpha + \sin \beta $;

б) $ \sin u - \sin v $;

в) $ \cos z - \cos t $;

г) $ \cos \delta - \cos \gamma $.

а) Для того чтобы представить сумму синусов $sin \alpha + sin \beta$ в виде произведения, необходимо использовать формулу преобразования суммы тригонометрических функций в произведение. Формула для суммы синусов выглядит так:
$sin x + sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$.
Подставив в эту формулу $x = \alpha$ и $y = \beta$, получаем искомое выражение:
$sin \alpha + sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
Ответ: $2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

б) Для преобразования разности синусов $sin u - sin v$ в произведение применяется формула разности синусов:
$sin x - sin y = 2 \sin\frac{x-y}{2} \cos\frac{x+y}{2}$.
Подставляем в формулу $x = u$ и $y = v$ и получаем:
$sin u - sin v = 2 \sin\frac{u-v}{2} \cos\frac{u+v}{2}$.
Ответ: $2 \sin\frac{u-v}{2} \cos\frac{u+v}{2}$

в) Чтобы представить разность косинусов $cos z - cos t$ в виде произведения, используем соответствующую формулу преобразования разности косинусов:
$cos x - cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$.
Подставив в эту формулу $x = z$ и $y = t$, получаем:
$cos z - cos t = -2 \sin\frac{z+t}{2} \sin\frac{z-t}{2}$.
Ответ: $-2 \sin\frac{z+t}{2} \sin\frac{z-t}{2}$

г) Для выражения $cos \delta - cos \gamma$ применяется та же формула преобразования разности косинусов в произведение, что и в предыдущем пункте:
$cos x - cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$.
В данном случае подставляем $x = \delta$ и $y = \gamma$. Выполнив подстановку, получаем:
$cos \delta - cos \gamma = -2 \sin\frac{\delta+\gamma}{2} \sin\frac{\delta-\gamma}{2}$.
Ответ: $-2 \sin\frac{\delta+\gamma}{2} \sin\frac{\delta-\gamma}{2}$

2. Дано тождество $f(x) = \frac{\sin 9x + \sin 5x}{2}$. Какое из утверждений верно:

a) $f(x) = \sin 7x \sin 2x$;

б) $f(x) = \cos 7x \cos 2x$;

в) $f(x) = \sin 7x \cos 2x$;

г) $f(x) = \sin 2x \cos 7x?$

Для решения данной задачи необходимо преобразовать исходное выражение для функции $f(x)$, используя формулу суммы синусов.

Исходное тождество: $f(x) = \frac{\sin 9x + \sin 5x}{2}$.

Воспользуемся тригонометрической формулой суммы синусов:

$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2}$

В нашем случае $\alpha = 9x$ и $\beta = 5x$. Подставим эти значения в формулу:

$\sin 9x + \sin 5x = 2 \sin\frac{9x + 5x}{2} \cos\frac{9x - 5x}{2} = 2 \sin\frac{14x}{2} \cos\frac{4x}{2} = 2 \sin 7x \cos 2x$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное тождество для $f(x)$:

$f(x) = \frac{2 \sin 7x \cos 2x}{2} = \sin 7x \cos 2x$.

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами утверждений.

а) $f(x) = \sin 7x \sin 2x$

Наш результат $f(x) = \sin 7x \cos 2x$. Сравнивая его с данным утверждением, видим, что они не совпадают, так как $\cos 2x \neq \sin 2x$ в общем случае. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

б) $f(x) = \cos 7x \cos 2x$

Наш результат $f(x) = \sin 7x \cos 2x$. Сравнивая его с данным утверждением, видим, что они не совпадают, так как $\sin 7x \neq \cos 7x$ в общем случае. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

в) $f(x) = \sin 7x \cos 2x$

Данное утверждение в точности совпадает с полученным нами результатом $f(x) = \sin 7x \cos 2x$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

г) $f(x) = \sin 2x \cos 7x$

Наш результат $f(x) = \sin 7x \cos 2x$. Сравним его с данным утверждением $f(x) = \sin 2x \cos 7x$. Эти выражения не являются тождественно равными. Равенство $\sin 7x \cos 2x = \sin 2x \cos 7x$ эквивалентно $\sin(7x-2x) = 0$, то есть $\sin(5x) = 0$, что выполняется лишь для отдельных значений $x$ (например, $x = \frac{\pi n}{5}$), а не для всех $x$. Следовательно, это не тождество. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

3. Дано тождество $f(x) = \frac{\sin 9x - \sin 5x}{2}$. Какое из утверждений верно:

a) $f(x) = \sin 7x \sin 2x;$

б) $f(x) = \cos 7x \cos 2x;$

в) $f(x) = \sin 7x \cos 2x;$

г) $f(x) = \sin 2x \cos 7x?$

Для того чтобы определить, какое из предложенных утверждений является верным, необходимо упростить исходное тождество для функции $f(x)$.

Дано: $f(x) = \frac{\sin 9x - \sin 5x}{2}$

Мы можем преобразовать числитель дроби, используя тригонометрическую формулу разности синусов (формула преобразования суммы в произведение):

$\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$

В нашем случае, пусть $\alpha = 9x$ и $\beta = 5x$. Подставим эти значения в формулу:

$\sin 9x - \sin 5x = 2\cos\left(\frac{9x+5x}{2}\right)\sin\left(\frac{9x-5x}{2}\right)$

Теперь выполним вычисления внутри аргументов косинуса и синуса:

$\frac{9x+5x}{2} = \frac{14x}{2} = 7x$

$\frac{9x-5x}{2} = \frac{4x}{2} = 2x$

Таким образом, выражение в числителе принимает вид:

$\sin 9x - \sin 5x = 2\cos(7x)\sin(2x)$

Теперь подставим результат обратно в исходное выражение для $f(x)$:

$f(x) = \frac{2\cos(7x)\sin(2x)}{2}$

Сократив на 2, получаем:

$f(x) = \cos(7x)\sin(2x)$

Так как умножение коммутативно (порядок множителей не имеет значения), мы можем записать это выражение как:

$f(x) = \sin(2x)\cos(7x)$

Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту г).

Ответ: г)

4. Дано тождество $f(x) = \frac{\cos 9x + \cos 5x}{2}$. Какое из утверждений верно:

a) $f(x) = \sin 7x \sin 2x;$

б) $f(x) = \cos 7x \cos 2x;$

в) $f(x) = \sin 7x \cos 2x;$

г) $f(x) = \sin 2x \cos 7x?$

Для того чтобы определить, какое из предложенных утверждений является верным, необходимо преобразовать данное тождество $f(x) = \frac{\cos 9x + \cos 5x}{2}$, используя тригонометрические формулы.

Мы воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов в произведение, которая имеет следующий вид:

$$ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2} $$

Применим эту формулу к числителю исходного выражения. В нашем случае $\alpha = 9x$ и $\beta = 5x$.

Сначала найдем значения полусуммы и полуразности аргументов:

$$ \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{9x + 5x}{2} = \frac{14x}{2} = 7x $$

$$ \frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{9x - 5x}{2} = \frac{4x}{2} = 2x $$

Теперь подставим эти значения в формулу суммы косинусов:

$$ \cos 9x + \cos 5x = 2 \cos 7x \cos 2x $$

Далее подставим полученное выражение обратно в исходное тождество для $f(x)$:

$$ f(x) = \frac{2 \cos 7x \cos 2x}{2} $$

Сократив множитель 2 в числителе и знаменателе, мы получаем итоговое выражение для функции $f(x)$:

$$ f(x) = \cos 7x \cos 2x $$

Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, мы можем заключить, что верным является утверждение б).

Ответ: Верным является утверждение б) $f(x) = \cos 7x \cos 2x$.

5. Дано тождество $f(x) = \frac{\cos 9x - \cos 5x}{2}$. Какое из утверждений

верно:

а) $f(x) = \sin 7x \sin 2x;$

б) $f(x) = \cos 7x \cos 2x;$

в) $f(x) = \sin 7x \cos 2x;$

г) $f(x) = \sin 2x \cos 7x?$

Для того чтобы определить, какое из утверждений верно, преобразуем данное тождество $f(x) = \frac{\cos 9x - \cos 5x}{2}$.

Воспользуемся тригонометрической формулой для разности косинусов:

$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$

В нашем случае $\alpha = 9x$ и $\beta = 5x$. Подставим эти значения в формулу, чтобы преобразовать числитель дроби:

$\cos 9x - \cos 5x = -2 \sin\left(\frac{9x+5x}{2}\right) \sin\left(\frac{9x-5x}{2}\right)$

Выполним вычисления в аргументах синусов:

$\cos 9x - \cos 5x = -2 \sin\left(\frac{14x}{2}\right) \sin\left(\frac{4x}{2}\right) = -2 \sin(7x) \sin(2x)$

Теперь подставим полученное выражение для числителя обратно в исходное тождество для $f(x)$:

$f(x) = \frac{-2 \sin(7x) \sin(2x)}{2} = -\sin(7x) \sin(2x)$

Сравним полученный результат с предложенными вариантами:

а) $f(x) = \sin 7x \sin 2x$

б) $f(x) = \cos 7x \cos 2x$

в) $f(x) = \sin 7x \cos 2x$

г) $f(x) = \sin 2x \cos 7x$

Результат нашего преобразования $f(x) = -\sin 7x \sin 2x$ не совпадает в точности ни с одним из вариантов. Однако он отличается от варианта а) только знаком. Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка, и исходное тождество должно было выглядеть как $f(x) = \frac{\cos 5x - \cos 9x}{2}$. В этом случае результат преобразования был бы $f(x) = \sin 7x \sin 2x$, что соответствует варианту а). Исходя из того, что в задаче предполагается наличие одного верного ответа, наиболее вероятным является вариант а).

Ответ: а)

42.18. При каких значениях аргумента скорость изменения функции $y = g(x)$ больше скорости изменения функции $y = h(x):$

a) $g(x) = \sin \left(3x - \frac{\pi}{6}\right)$, $h(x) = 6x - 12;$

б) $g(x) = \cos \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)$, $h(x) = 3 - \sqrt{2x}?$

а) Скорость изменения функции в точке равна значению ее производной в этой точке. Для того чтобы найти значения аргумента, при которых скорость изменения функции $y = g(x)$ больше скорости изменения функции $y = h(x)$, необходимо решить неравенство $g'(x) > h'(x)$.
Найдем производные заданных функций:
Для функции $g(x) = \sin\left(3x - \frac{\pi}{6}\right)$, используя правило производной сложной функции, получаем:
$g'(x) = \left(\sin\left(3x - \frac{\pi}{6}\right)\right)' = \cos\left(3x - \frac{\pi}{6}\right) \cdot (3x - \frac{\pi}{6})' = 3\cos\left(3x - \frac{\pi}{6}\right)$.
Для функции $h(x) = 6x - 12$ производная равна:
$h'(x) = (6x - 12)' = 6$.
Теперь составим и решим неравенство:
$g'(x) > h'(x)$
$3\cos\left(3x - \frac{\pi}{6}\right) > 6$
Разделим обе части на 3:
$\cos\left(3x - \frac{\pi}{6}\right) > 2$
Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что значение $\cos\left(3x - \frac{\pi}{6}\right)$ не может быть больше 1, и, следовательно, не может быть больше 2. Таким образом, неравенство не имеет решений.
Ответ: таких значений аргумента не существует.

б) Аналогично пункту а), найдем производные функций и решим неравенство $g'(x) > h'(x)$.
Даны функции $g(x) = \cos\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)$ и $h(x) = 3 - \sqrt{2}x$.
Найдем производную функции $g(x)$:
$g'(x) = \left(\cos\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)\right)' = -\sin\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) \cdot \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)' = -\sin\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) \cdot (-2) = 2\sin\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)$.
Найдем производную функции $h(x)$:
$h'(x) = (3 - \sqrt{2}x)' = -\sqrt{2}$.
Составим и решим неравенство:
$2\sin\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) > -\sqrt{2}$
$\sin\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Для решения этого тригонометрического неравенства введем замену $t = \frac{\pi}{4} - 2x$. Получим неравенство $\sin(t) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Решением этого неравенства на единичной окружности являются углы $t$, для которых ордината (значение синуса) больше, чем $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это соответствует интервалу:
$-\frac{\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in Z$.
Теперь выполним обратную замену:
$-\frac{\pi}{4} + 2\pi k < \frac{\pi}{4} - 2x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$
Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей двойного неравенства:
$-\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k < -2x < \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$-\frac{2\pi}{4} + 2\pi k < -2x < \frac{4\pi}{4} + 2\pi k$
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < -2x < \pi + 2\pi k$
Разделим все части неравенства на -2, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:
$\frac{\pi + 2\pi k}{-2} < x < \frac{-\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{-2}$
$-\frac{\pi}{2} - \pi k < x < \frac{\pi}{4} - \pi k$
Так как $k$ — любое целое число, то и $-k$ — любое целое число. Для более удобной записи заменим $-k$ на $n$, где $n \in Z$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n$
Ответ: $x \in \left(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n\right)$, где $n \in Z$.

42.19. Найдите тангенс угла между касательной к графику функции $y = h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и осью $x$:

а) $h(x) = \frac{18}{4x + 1}$, $x_0 = 0,5$;

б) $h(x) = \cos^3 x$, $x_0 = \frac{\pi}{6}$;

в) $h(x) = \sqrt{6 - 2x}$, $x_0 = 1$;

г) $h(x) = \sqrt{\text{tg } x}$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Тангенс угла между касательной к графику функции $y = h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и осью x равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = \tan \alpha = h'(x_0)$. Для решения каждой задачи необходимо найти производную функции и вычислить её значение в заданной точке $x_0$.

а) Дана функция $h(x) = \frac{18}{4x + 1}$ и точка $x_0 = 0,5$.

Найдём производную функции. Удобно представить функцию в виде $h(x) = 18(4x + 1)^{-1}$. Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем: $h'(x) = \left(18(4x + 1)^{-1}\right)' = 18 \cdot (-1) \cdot (4x + 1)^{-2} \cdot (4x+1)' = -18(4x + 1)^{-2} \cdot 4 = -\frac{72}{(4x+1)^2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0,5$: $h'(0,5) = -\frac{72}{(4 \cdot 0,5 + 1)^2} = -\frac{72}{(2+1)^2} = -\frac{72}{3^2} = -\frac{72}{9} = -8$.

Ответ: -8.

б) Дана функция $h(x) = \cos^3 x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$.

Найдём производную функции $h(x)$ по правилу дифференцирования сложной функции: $h'(x) = (\cos^3 x)' = 3\cos^2 x \cdot (\cos x)' = 3\cos^2 x \cdot (-\sin x) = -3\cos^2 x \sin x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$. Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. $h'\left(\frac{\pi}{6}\right) = -3 \cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right) \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -3 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right) = -3 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{9}{8}$.

Ответ: $-\frac{9}{8}$.

в) Дана функция $h(x) = \sqrt{6 - 2x}$ и точка $x_0 = 1$.

Найдём производную функции $h(x)$, представив её как $h(x) = (6 - 2x)^{1/2}$: $h'(x) = \left((6 - 2x)^{1/2}\right)' = \frac{1}{2}(6 - 2x)^{-1/2} \cdot (6 - 2x)' = \frac{1}{2\sqrt{6 - 2x}} \cdot (-2) = -\frac{1}{\sqrt{6 - 2x}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $h'(1) = -\frac{1}{\sqrt{6 - 2 \cdot 1}} = -\frac{1}{\sqrt{4}} = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

г) Дана функция $h(x) = \sqrt{\tan x}$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Найдём производную функции $h(x)$, представив её как $h(x) = (\tan x)^{1/2}$: $h'(x) = \left((\tan x)^{1/2}\right)' = \frac{1}{2}(\tan x)^{-1/2} \cdot (\tan x)' = \frac{1}{2\sqrt{\tan x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$. Мы знаем, что $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $h'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2\sqrt{\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)} \cdot \cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{1}{2\sqrt{1} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{1}{2 \cdot 1 \cdot \frac{2}{4}} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 1$.

Ответ: 1.

42.20. Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ равен $a$, если:

a) $f(x) = \sin x \cdot \cos x, k = -\frac{\sqrt{2}}{2};$

б) $f(x) = \cos^2 x, k = \frac{1}{2}.$

а) Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$. Дана функция $f(x) = \sin x \cdot \cos x$ и угловой коэффициент $k = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Сначала упростим функцию, используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$: $f(x) = \frac{1}{2} \cdot 2\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$. Теперь найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = \left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right)' = \frac{1}{2}(\cos(2x)) \cdot (2x)' = \frac{1}{2}\cos(2x) \cdot 2 = \cos(2x)$. Приравняем производную к заданному угловому коэффициенту $k$: $f'(x) = k$ $\cos(2x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Решим это тригонометрическое уравнение. $2x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. $2x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$: $x = \pm \frac{3\pi}{8} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{8} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Дана функция $f(x) = \cos^2 x$ и угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило производной сложной функции $(u^2)' = 2u \cdot u'$: $f'(x) = (\cos^2 x)' = 2\cos x \cdot (\cos x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x$. Используя формулу синуса двойного угла, получаем: $f'(x) = -\sin(2x)$. Приравняем производную к заданному угловому коэффициенту $k$: $f'(x) = k$ $-\sin(2x) = \frac{1}{2}$ $\sin(2x) = -\frac{1}{2}$. Решим это тригонометрическое уравнение. Общее решение для $\sin t = a$ имеет вид $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. $2x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. $2x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. $2x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

42.21. Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной равен 0:

а) $f(x) = \tan^3 x$;

б) $f(x) = \sin^2 x \cos 2x$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$ в этой точке. Чтобы найти абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной равен 0, необходимо найти производную данной функции и решить уравнение $f'(x) = 0$.

а) $f(x) = \operatorname{tg}^3 x$

1. Найдем производную функции $f(x)$. Это сложная функция вида $u^3$, где $u = \operatorname{tg} x$. Используем правило дифференцирования сложной функции: $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.
$f'(x) = (\operatorname{tg}^3 x)' = 3 \operatorname{tg}^{3-1} x \cdot (\operatorname{tg} x)' = 3 \operatorname{tg}^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$.
Таким образом, $f'(x) = \frac{3 \operatorname{tg}^2 x}{\cos^2 x}$.

2. Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти искомые абсциссы.
$\frac{3 \operatorname{tg}^2 x}{\cos^2 x} = 0$.

3. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Область определения функции тангенса и ее производной исключает точки, где $\cos x = 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
Приравниваем числитель к нулю:
$3 \operatorname{tg}^2 x = 0$
$\operatorname{tg}^2 x = 0$
$\operatorname{tg} x = 0$.

4. Решаем тригонометрическое уравнение $\operatorname{tg} x = 0$.
Решениями являются значения $x$, при которых синус равен нулю:
$x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Эти значения не совпадают с ограничениями области определения.

Ответ: $x = k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

б) $f(x) = \sin^2 x \cos 2x$

1. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = \sin^2 x$ и $v(x) = \cos 2x$.
$u'(x) = (\sin^2 x)' = 2 \sin x \cdot (\sin x)' = 2 \sin x \cos x = \sin 2x$.
$v'(x) = (\cos 2x)' = -\sin 2x \cdot (2x)' = -2 \sin 2x$.

2. Применяем формулу производной произведения:
$f'(x) = u'v + uv' = (\sin 2x)(\cos 2x) + (\sin^2 x)(-2 \sin 2x)$
$f'(x) = \sin 2x \cos 2x - 2 \sin^2 x \sin 2x$.

3. Приравняем производную к нулю:
$\sin 2x \cos 2x - 2 \sin^2 x \sin 2x = 0$.
Вынесем общий множитель $\sin 2x$ за скобки:
$\sin 2x (\cos 2x - 2 \sin^2 x) = 0$.

4. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:
Уравнение 1: $\sin 2x = 0$.
$2x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Уравнение 2: $\cos 2x - 2 \sin^2 x = 0$.
Используем формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ для преобразования уравнения:
$\cos 2x - 2 \left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right) = 0$
$\cos 2x - (1 - \cos 2x) = 0$
$\cos 2x - 1 + \cos 2x = 0$
$2 \cos 2x - 1 = 0$
$\cos 2x = \frac{1}{2}$.
Решения этого уравнения:
$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2n\pi \implies x = \pm \frac{\pi}{6} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

5. Область определения исходной функции и ее производной — все действительные числа, поэтому все найденные серии корней являются решением задачи.

Ответ: $x = \frac{k\pi}{2}, x = \pm \frac{\pi}{6} + n\pi$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

42.22. а) Найдите корни уравнения $f'(x)=0$, принадлежащие отрезку $[0, 2]$, если известно, что $f(x) = \cos^2 x + 1 + \sin x$.

б) Найдите корни уравнения $f'(x)=0$, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$, если известно, что $f(x) = \sin^2 x - \cos x - 1$.

а)

Для того чтобы найти корни уравнения $f'(x) = 0$, сначала необходимо найти производную функции $f(x) = \cos^2 x + 1 + \sin x$.

Используем правила дифференцирования:

• Производная от $\cos^2 x$ находится как производная сложной функции: $(\cos^2 x)' = 2 \cos x \cdot (\cos x)' = 2 \cos x \cdot (-\sin x) = -2 \sin x \cos x$.
• Производная от константы 1 равна 0.
• Производная от $\sin x$ равна $\cos x$.

Сложив производные всех слагаемых, получаем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = -2 \sin x \cos x + 0 + \cos x = \cos x - 2 \sin x \cos x$.

Теперь решим уравнение $f'(x) = 0$:

$\cos x - 2 \sin x \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (1 - 2 \sin x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:

1) $\cos x = 0$

2) $1 - 2 \sin x = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$

Теперь найдем корни этих уравнений, принадлежащие отрезку $[0, 2]$.

Для уравнения $\cos x = 0$ общая формула для корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим, какие корни попадают в отрезок $[0, 2]$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$.

• При $k=0$, $x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Так как $0 \le 1.57 \le 2$, корень $x = \frac{\pi}{2}$ принадлежит отрезку.
• При $k=1$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71$. Этот корень не принадлежит отрезку $[0, 2]$.
• При $k=-1$, $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2} \approx -1.57$. Этот корень не принадлежит отрезку $[0, 2]$.

Для уравнения $\sin x = \frac{1}{2}$ общие формулы для корней: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим первую серию корней $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ на принадлежность отрезку $[0, 2]$.

• При $n=0$, $x = \frac{\pi}{6} \approx \frac{3.14}{6} \approx 0.52$. Так как $0 \le 0.52 \le 2$, корень $x = \frac{\pi}{6}$ принадлежит отрезку.
• При $n=1$, $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi$, что очевидно больше 2.

Проверим вторую серию корней $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

• При $n=0$, $x = \frac{5\pi}{6} \approx \frac{5 \cdot 3.14}{6} \approx 2.62$. Этот корень не принадлежит отрезку $[0, 2]$, так как $2.62 > 2$.

Итак, корни уравнения $f'(x)=0$, принадлежащие отрезку $[0, 2]$, это $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}$.

б)

Дана функция $f(x) = \sin^2 x - \cos x - 1$. Сначала найдем её производную.

Используем правила дифференцирования:

• Производная от $\sin^2 x$ находится как производная сложной функции: $(\sin^2 x)' = 2 \sin x \cdot (\sin x)' = 2 \sin x \cos x$.
• Производная от $-\cos x$ равна $-(-\sin x) = \sin x$.
• Производная от константы -1 равна 0.

Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = 2 \sin x \cos x + \sin x$.

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$2 \sin x \cos x + \sin x = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x (2 \cos x + 1) = 0$

Получаем два уравнения:

1) $\sin x = 0$

2) $2 \cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -\frac{1}{2}$

Найдем корни этих уравнений, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$. Этот отрезок включает в себя вторую и третью координатные четверти.

Для уравнения $\sin x = 0$ общая формула для корней $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отберем корни, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$:

• При $k=0$, $x = 0$. Не принадлежит отрезку.
• При $k=1$, $x = \pi$. Так как $\frac{\pi}{2} \le \pi \le \frac{3\pi}{2}$, этот корень подходит.
• При $k=2$, $x = 2\pi$. Не принадлежит отрезку.

Для уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$ общие формулы для корней: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Отберем корни, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

Для серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$:

• При $n=0$, $x = \frac{2\pi}{3}$. Этот корень находится во второй четверти, поэтому $\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi$. Корень принадлежит заданному отрезку.

Для серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$:

• При $n=1$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$. Этот корень находится в третьей четверти, поэтому $\pi < \frac{4\pi}{3} < \frac{3\pi}{2}$. Корень принадлежит заданному отрезку.

Итак, корни уравнения $f'(x)=0$, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$, это $\frac{2\pi}{3}, \pi$ и $\frac{4\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}$.

42.23. a) Дано: $f(x) = a \sin 2x + b \cos x$, $f'(\frac{\pi}{6}) = 2$, $f'(\frac{9\pi}{2}) = -4$. Чему равны $a$ и $b$?

б) Дано: $f(x) = a \cos 2x + b \sin 4x$, $f'(\frac{7\pi}{12}) = 4$, $f'(\frac{3\pi}{4}) = 2$. Чему равны $a$ и $b$?

а) Дана функция $f(x) = a \sin 2x + b \cos x$ и условия $f'(\frac{\pi}{6}) = 2$, $f'(\frac{9\pi}{2}) = -4$.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (a \sin 2x + b \cos x)' = a \cdot (\sin 2x)' + b \cdot (\cos x)' = a \cdot \cos 2x \cdot 2 + b \cdot (-\sin x) = 2a \cos 2x - b \sin x$.

2. Используем первое условие $f'(\frac{\pi}{6}) = 2$. Подставим $x = \frac{\pi}{6}$ в выражение для производной:

$f'(\frac{\pi}{6}) = 2a \cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) - b \sin(\frac{\pi}{6}) = 2a \cos(\frac{\pi}{3}) - b \sin(\frac{\pi}{6})$.

Зная, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$2a \cdot \frac{1}{2} - b \cdot \frac{1}{2} = 2$

$a - \frac{b}{2} = 2$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

$2a - b = 4$ (1)

3. Используем второе условие $f'(\frac{9\pi}{2}) = -4$. Подставим $x = \frac{9\pi}{2}$ в выражение для производной:

$f'(\frac{9\pi}{2}) = 2a \cos(2 \cdot \frac{9\pi}{2}) - b \sin(\frac{9\pi}{2}) = 2a \cos(9\pi) - b \sin(\frac{9\pi}{2})$.

Зная, что $\cos(9\pi) = \cos(\pi + 8\pi) = \cos(\pi) = -1$ и $\sin(\frac{9\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2} + 4\pi) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:

$2a \cdot (-1) - b \cdot 1 = -4$

$-2a - b = -4$

Умножим обе части на -1:

$2a + b = 4$ (2)

4. Решим систему из двух линейных уравнений (1) и (2):

$\begin{cases} 2a - b = 4 \\ 2a + b = 4 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения:

$(2a - b) + (2a + b) = 4 + 4$

$4a = 8$

$a = 2$

Подставим значение $a=2$ во второе уравнение:

$2(2) + b = 4$

$4 + b = 4$

$b = 0$

Ответ: $a=2$, $b=0$.

б) Дана функция $f(x) = a \cos 2x + b \sin 4x$ и условия $f'(\frac{7\pi}{12}) = 4$, $f'(\frac{3\pi}{4}) = 2$.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (a \cos 2x + b \sin 4x)' = a \cdot (\cos 2x)' + b \cdot (\sin 4x)' = a \cdot (-\sin 2x) \cdot 2 + b \cdot \cos 4x \cdot 4 = -2a \sin 2x + 4b \cos 4x$.

2. Используем первое условие $f'(\frac{7\pi}{12}) = 4$. Подставим $x = \frac{7\pi}{12}$ в выражение для производной:

$f'(\frac{7\pi}{12}) = -2a \sin(2 \cdot \frac{7\pi}{12}) + 4b \cos(4 \cdot \frac{7\pi}{12}) = -2a \sin(\frac{7\pi}{6}) + 4b \cos(\frac{7\pi}{3})$.

Зная, что $\sin(\frac{7\pi}{6}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$ и $\cos(\frac{7\pi}{3}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$-2a \cdot (-\frac{1}{2}) + 4b \cdot \frac{1}{2} = 4$

$a + 2b = 4$ (1)

3. Используем второе условие $f'(\frac{3\pi}{4}) = 2$. Подставим $x = \frac{3\pi}{4}$ в выражение для производной:

$f'(\frac{3\pi}{4}) = -2a \sin(2 \cdot \frac{3\pi}{4}) + 4b \cos(4 \cdot \frac{3\pi}{4}) = -2a \sin(\frac{3\pi}{2}) + 4b \cos(3\pi)$.

Зная, что $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$ и $\cos(3\pi) = \cos(\pi + 2\pi) = \cos(\pi) = -1$, получаем:

$-2a \cdot (-1) + 4b \cdot (-1) = 2$

$2a - 4b = 2$

Разделим обе части на 2:

$a - 2b = 1$ (2)

4. Решим систему из двух линейных уравнений (1) и (2):

$\begin{cases} a + 2b = 4 \\ a - 2b = 1 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения:

$(a + 2b) + (a - 2b) = 4 + 1$

$2a = 5$

$a = 2.5$

Подставим значение $a=2.5$ в первое уравнение:

$2.5 + 2b = 4$

$2b = 4 - 2.5$

$2b = 1.5$

$b = 0.75$

Ответ: $a=2.5$, $b=0.75$.

42.24. Решите уравнение $f'(x) = 0$, если:

a) $f(x) = \sqrt{\cos 2x}$;

б) $f(x) = \operatorname{tg}^2 x$;

в) $f(x) = \sin^4 x$;

г) $f(x) = \cos^3 x - \sin^3 x$.

а) Дана функция $f(x) = \sqrt{\cos 2x}$.
Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: $\cos 2x \ge 0$.
Теперь найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (\sqrt{\cos 2x})' = \frac{1}{2\sqrt{\cos 2x}} \cdot (\cos 2x)' = \frac{1}{2\sqrt{\cos 2x}} \cdot (-\sin 2x \cdot 2) = -\frac{\sin 2x}{\sqrt{\cos 2x}}$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$-\frac{\sin 2x}{\sqrt{\cos 2x}} = 0$.
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель существует и отличен от нуля. Это приводит к системе условий: $\sin 2x = 0$ и $\cos 2x > 0$.
Из уравнения $\sin 2x = 0$ находим $2x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Отсюда $x = \frac{\pi n}{2}$.
Теперь нужно проверить, для каких из этих значений выполняется условие $\cos 2x > 0$. Подставим найденные корни:
$\cos(2 \cdot \frac{\pi n}{2}) = \cos(\pi n)$.
Значение $\cos(\pi n)$ равно $1$ при четных $n$ и $-1$ при нечетных $n$. Условию $\cos(\pi n) > 0$ удовлетворяют только четные значения $n$.
Пусть $n=2k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Тогда решениями будут $x = \frac{\pi(2k)}{2} = \pi k$.
Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Дана функция $f(x) = \operatorname{tg}^2 x$.
Область определения функции: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (\operatorname{tg}^2 x)' = 2 \operatorname{tg} x \cdot (\operatorname{tg} x)' = 2 \operatorname{tg} x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{2 \operatorname{tg} x}{\cos^2 x}$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$\frac{2 \operatorname{tg} x}{\cos^2 x} = 0$.
Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
$2 \operatorname{tg} x = 0$, откуда $\operatorname{tg} x = 0$.
Решением этого уравнения является $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Эти значения удовлетворяют области определения, так как $\cos(\pi n) = \pm 1 \neq 0$.
Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Дана функция $f(x) = \sin^4 x$.
Область определения функции: все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (\sin^4 x)' = 4\sin^3 x \cdot (\sin x)' = 4\sin^3 x \cos x$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$4\sin^3 x \cos x = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два случая:
1) $\sin^3 x = 0 \implies \sin x = 0 \implies x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Объединение этих двух множеств решений дает все точки, кратные $\frac{\pi}{2}$.
Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

г) Дана функция $f(x) = \cos^3 x - \sin^3 x$.
Область определения функции: все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (\cos^3 x)' - (\sin^3 x)' = 3\cos^2 x \cdot (-\sin x) - 3\sin^2 x \cdot (\cos x) = -3\sin x \cos^2 x - 3\sin^2 x \cos x$.
Вынесем общий множитель $-3\sin x \cos x$ за скобки:
$f'(x) = -3\sin x \cos x (\cos x + \sin x)$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$-3\sin x \cos x (\cos x + \sin x) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассматриваем три случая:
1) $\sin x = 0 \implies x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Эти два случая можно объединить. Условие $\sin x = 0$ или $\cos x = 0$ эквивалентно $\sin(2x) = 2\sin x \cos x = 0$, откуда $2x = \pi m \implies x = \frac{\pi m}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.
3) $\cos x + \sin x = 0 \implies \sin x = -\cos x$. Если $\cos x \neq 0$, можно разделить обе части на $\cos x$, получив $\operatorname{tg} x = -1$. Отсюда $x = -\frac{\pi}{4} + \pi l$, где $l \in \mathbb{Z}$. (Если бы $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что невозможно, т.к. $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$).
Таким образом, получаем два независимых семейства решений.
Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

42.25. Решите неравенство $y' \le 0$, если:

a) $y = \frac{(1-3x)^3}{(2-7x)^5}$;

б) $y = \frac{(2x+3)^4}{(2-5x)^5}$.

а) Дана функция $y = \frac{(1-3x)^3}{(2-7x)^5}$.

Для решения неравенства $y' \le 0$ сначала найдем производную функции $y$ по $x$. Будем использовать правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ и правило дифференцирования сложной функции.

Пусть $u(x) = (1-3x)^3$ и $v(x) = (2-7x)^5$. Найдем их производные:

$u'(x) = 3(1-3x)^2 \cdot (1-3x)' = 3(1-3x)^2 \cdot (-3) = -9(1-3x)^2$.

$v'(x) = 5(2-7x)^4 \cdot (2-7x)' = 5(2-7x)^4 \cdot (-7) = -35(2-7x)^4$.

Теперь подставим найденные производные в формулу производной частного:

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{-9(1-3x)^2 (2-7x)^5 - (1-3x)^3 [-35(2-7x)^4]}{((2-7x)^5)^2}$

$y' = \frac{-9(1-3x)^2 (2-7x)^5 + 35(1-3x)^3 (2-7x)^4}{(2-7x)^{10}}$

Вынесем общие множители $(1-3x)^2(2-7x)^4$ в числителе за скобки:

$y' = \frac{(1-3x)^2 (2-7x)^4 [-9(2-7x) + 35(1-3x)]}{(2-7x)^{10}}$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$-9(2-7x) + 35(1-3x) = -18 + 63x + 35 - 105x = 17 - 42x$.

Подставим это выражение обратно и сократим дробь на $(2-7x)^4$ (область определения функции $y$ и ее производной $y'$ исключает точку $x=2/7$):

$y' = \frac{(1-3x)^2 (17 - 42x)}{(2-7x)^6}$.

Теперь решим неравенство $y' \le 0$:

$\frac{(1-3x)^2 (17 - 42x)}{(2-7x)^6} \le 0$.

Знаменатель $(2-7x)^6$ всегда положителен при $x \ne 2/7$, так как показатель степени четный. Множитель $(1-3x)^2$ в числителе всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x = 1/3$.

Следовательно, знак дроби определяется знаком множителя $(17 - 42x)$. Неравенство выполняется в двух случаях:

1. Когда числитель равен нулю, то есть $(1-3x)^2 = 0$. Отсюда $1-3x = 0$, $x = 1/3$. В этой точке $y' = 0$, что удовлетворяет условию $y' \le 0$.

2. Когда множитель $17 - 42x$ отрицателен (а множители $(1-3x)^2$ и $(2-7x)^6$ положительны), т.е. $17 - 42x < 0$. Решаем это неравенство: $17 < 42x$, откуда $x > \frac{17}{42}$. Равенство $17-42x=0$ дает $x=\frac{17}{42}$, что тоже является решением.

Объединяя эти случаи, получаем, что неравенство $y' \le 0$ выполняется при $x = 1/3$ и при $x \ge \frac{17}{42}$.

Ответ: $x \in \{\frac{1}{3}\} \cup [\frac{17}{42}, +\infty)$.

б) Дана функция $y = \frac{(2x+3)^4}{(2-5x)^5}$.

Аналогично пункту а), найдем производную $y'$.

Пусть $u(x) = (2x+3)^4$ и $v(x) = (2-5x)^5$.

$u'(x) = 4(2x+3)^3 \cdot (2x+3)' = 4(2x+3)^3 \cdot 2 = 8(2x+3)^3$.

$v'(x) = 5(2-5x)^4 \cdot (2-5x)' = 5(2-5x)^4 \cdot (-5) = -25(2-5x)^4$.

Применим формулу производной частного:

$y' = \frac{8(2x+3)^3 (2-5x)^5 - (2x+3)^4 [-25(2-5x)^4]}{((2-5x)^5)^2}$

$y' = \frac{8(2x+3)^3 (2-5x)^5 + 25(2x+3)^4 (2-5x)^4}{(2-5x)^{10}}$

Вынесем общие множители $(2x+3)^3(2-5x)^4$ в числителе:

$y' = \frac{(2x+3)^3 (2-5x)^4 [8(2-5x) + 25(2x+3)]}{(2-5x)^{10}}$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$8(2-5x) + 25(2x+3) = 16 - 40x + 50x + 75 = 10x + 91$.

Подставим и сократим дробь на $(2-5x)^4$ (при $x \ne 2/5$):

$y' = \frac{(2x+3)^3 (10x + 91)}{(2-5x)^6}$.

Теперь решим неравенство $y' \le 0$:

$\frac{(2x+3)^3 (10x + 91)}{(2-5x)^6} \le 0$.

Знаменатель $(2-5x)^6$ всегда положителен при $x \ne 2/5$. Следовательно, знак дроби определяется знаком числителя. Решаем неравенство:

$(2x+3)^3 (10x + 91) \le 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни числителя:

$(2x+3)^3 = 0 \implies 2x+3=0 \implies x_1 = -\frac{3}{2}$.

$10x+91 = 0 \implies 10x=-91 \implies x_2 = -\frac{91}{10}$.

Отметим точки $x_1 = -1.5$ и $x_2 = -9.1$ на числовой прямой. Они разбивают ее на три интервала. Определим знак выражения $(2x+3)^3 (10x + 91)$ на каждом из них. Поскольку оба корня имеют нечетную кратность, знак будет чередоваться. На крайнем правом интервале $(-\frac{3}{2}, +\infty)$ выражение положительно (например, при $x=0$ получаем $(+)^3(+) > 0$). Двигаясь влево, на интервале $(-\frac{91}{10}, -\frac{3}{2})$ выражение будет отрицательно, а на интервале $(-\infty, -\frac{91}{10})$ — снова положительно.

Нас интересует, где выражение меньше или равно нулю. Это происходит на отрезке, включающем концы, так как неравенство нестрогое: $[-\frac{91}{10}, -\frac{3}{2}]$.

Точка $x=2/5$, исключенная из области определения, не входит в этот отрезок, поэтому решение остается без изменений.

Ответ: $x \in [-\frac{91}{10}, -\frac{3}{2}]$.