Страница 255, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

43.15. a) $f(x) = x^2, a = 0,5;$

б) $f(x) = -3x^3, a = \frac{1}{3};$

В) $f(x) = 0,2x^5, a = -1;$

Г) $f(x) = -0,25x^4, a = 0?$

а) Для того чтобы найти значение производной функции $f(x) = x^2$ в точке $a = 0,5$, сначала найдем ее производную.
Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:
$f'(x) = (x^2)' = 2x^{2-1} = 2x$.
Теперь подставим значение $a = 0,5$ в выражение для производной:
$f'(0,5) = 2 \cdot 0,5 = 1$.
Ответ: $1$.

б) Найдем значение производной функции $f(x) = -3x^3$ в точке $a = \frac{1}{3}$.
Сначала находим производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (-3x^3)' = -3 \cdot (x^3)' = -3 \cdot 3x^2 = -9x^2$.
Далее, вычисляем значение производной в точке $a = \frac{1}{3}$:
$f'(\frac{1}{3}) = -9 \cdot (\frac{1}{3})^2 = -9 \cdot \frac{1^2}{3^2} = -9 \cdot \frac{1}{9} = -1$.
Ответ: $-1$.

в) Найдем значение производной функции $f(x) = 0,2x^5$ в точке $a = -1$.
Находим производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (0,2x^5)' = 0,2 \cdot (x^5)' = 0,2 \cdot 5x^4 = 1 \cdot x^4 = x^4$.
Вычисляем значение производной в точке $a = -1$:
$f'(-1) = (-1)^4 = 1$.
Ответ: $1$.

г) Найдем значение производной функции $f(x) = -0,25x^4$ в точке $a = 0$.
Сначала находим производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (-0,25x^4)' = -0,25 \cdot (x^4)' = -0,25 \cdot 4x^3 = -1 \cdot x^3 = -x^3$.
Вычисляем значение производной в точке $a = 0$:
$f'(0) = -(0)^3 = 0$.
Ответ: $0$.

43.16. a) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 7, a = 1;$

б) $f(x) = -7x^3 + 10x^2 + x - 12, a = 0?$`

а)

Предполагается, что задача состоит в нахождении уравнения касательной к графику функции $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 7$ в точке с абсциссой $a = 1$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x = a$ определяется по формуле:
$y = f(a) + f'(a)(x - a)$

Для нахождения уравнения касательной выполним следующие действия:

1. Вычислим значение функции в точке $a = 1$:
$f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 - 7 = 1 - 3 + 2 - 7 = -7$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^3 - 3x^2 + 2x - 7)' = 3x^2 - 6x + 2$.

3. Вычислим значение производной в точке $a = 1$:
$f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 + 2 = 3 - 6 + 2 = -1$.

4. Подставим найденные значения $f(1) = -7$ и $f'(1) = -1$ в общую формулу уравнения касательной:
$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$
$y = -7 + (-1)(x - 1)$
$y = -7 - x + 1$
$y = -x - 6$

Следовательно, искомое уравнение касательной: $y = -x - 6$.

Ответ: $y = -x - 6$.

б)

Задача состоит в нахождении уравнения касательной к графику функции $f(x) = -7x^3 + 10x^2 + x - 12$ в точке с абсциссой $a = 0$.

Используем ту же формулу уравнения касательной: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

1. Вычислим значение функции в точке $a = 0$:
$f(0) = -7 \cdot 0^3 + 10 \cdot 0^2 + 0 - 12 = -12$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (-7x^3 + 10x^2 + x - 12)' = -21x^2 + 20x + 1$.

3. Вычислим значение производной в точке $a = 0$:
$f'(0) = -21 \cdot 0^2 + 20 \cdot 0 + 1 = 1$.

4. Подставим найденные значения $f(0) = -12$ и $f'(0) = 1$ в формулу уравнения касательной:
$y = f(0) + f'(0)(x - 0)$
$y = -12 + 1 \cdot (x - 0)$
$y = x - 12$

Следовательно, искомое уравнение касательной: $y = x - 12$.

Ответ: $y = x - 12$.

43.17. a) $f(x) = \frac{2x-1}{3-2x}$, $a = \frac{1}{2}$;

б) $f(x) = \frac{x-1}{x-2}$, $a = 1?$;

а)

Дана функция $f(x) = \frac{2x - 1}{3 - 2x}$ и точка $a = \frac{1}{2}$. Задача состоит в нахождении значения производной функции $f'(x)$ в точке $a$.

1. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 2x - 1$ и $v(x) = 3 - 2x$.

Тогда их производные: $u'(x) = 2$ и $v'(x) = -2$.

Подставляем в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{(2x - 1)'(3 - 2x) - (2x - 1)(3 - 2x)'}{(3 - 2x)^2} = \frac{2(3 - 2x) - (2x - 1)(-2)}{(3 - 2x)^2}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$f'(x) = \frac{6 - 4x - (-4x + 2)}{(3 - 2x)^2} = \frac{6 - 4x + 4x - 2}{(3 - 2x)^2} = \frac{4}{(3 - 2x)^2}$

2. Теперь вычислим значение производной в точке $a = \frac{1}{2}$.

$f'(\frac{1}{2}) = \frac{4}{(3 - 2 \cdot \frac{1}{2})^2} = \frac{4}{(3 - 1)^2} = \frac{4}{2^2} = \frac{4}{4} = 1$.

Ответ: $1$.

б)

Дана функция $f(x) = \frac{x - 1}{x - 2}$ и точка $a = 1$. Задача состоит в нахождении значения производной функции $f'(x)$ в точке $a$.

1. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = x - 1$ и $v(x) = x - 2$.

Тогда их производные: $u'(x) = 1$ и $v'(x) = 1$.

Подставляем в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{(x - 1)'(x - 2) - (x - 1)(x - 2)'}{(x - 2)^2} = \frac{1 \cdot (x - 2) - (x - 1) \cdot 1}{(x - 2)^2}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$f'(x) = \frac{x - 2 - x + 1}{(x - 2)^2} = \frac{-1}{(x - 2)^2}$

2. Теперь вычислим значение производной в точке $a = 1$.

$f'(1) = \frac{-1}{(1 - 2)^2} = \frac{-1}{(-1)^2} = \frac{-1}{1} = -1$.

Ответ: $-1$.

43.18. a) $f(x) = \sqrt{6x + 7}$, $a = 3\frac{1}{3}$;

б) $f(x) = \sqrt{5 - 2x}$, $a = 2$?

а)

Задача состоит в том, чтобы найти такое значение $x$, при котором значение функции $f(x)$ равно $a$. Для этого приравняем выражение для функции к заданному значению $a$ и решим полученное уравнение.
$f(x) = \sqrt{6x + 7}$, $a = 3\frac{1}{3}$.
Составим уравнение:
$\sqrt{6x + 7} = 3\frac{1}{3}$
Сначала преобразуем смешанное число $3\frac{1}{3}$ в неправильную дробь:
$3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$
Уравнение принимает вид:
$\sqrt{6x + 7} = \frac{10}{3}$
Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат. При этом необходимо помнить, что выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть $6x + 7 \ge 0$, откуда $x \ge -\frac{7}{6}$.
$(\sqrt{6x + 7})^2 = (\frac{10}{3})^2$
$6x + 7 = \frac{100}{9}$
Теперь решим это линейное уравнение:
$6x = \frac{100}{9} - 7$
$6x = \frac{100}{9} - \frac{63}{9}$
$6x = \frac{37}{9}$
$x = \frac{37}{9 \cdot 6} = \frac{37}{54}$
Проверим, соответствует ли найденное значение области допустимых значений: $x \ge -\frac{7}{6}$.
Так как $\frac{37}{54}$ — положительное число, а $-\frac{7}{6}$ — отрицательное, условие $\frac{37}{54} \ge -\frac{7}{6}$ выполняется.
Ответ: $x = \frac{37}{54}$.

б)

Аналогично предыдущему пункту, решим уравнение $f(x) = a$.
$f(x) = \sqrt{5 - 2x}$, $a = 2$.
Составим уравнение:
$\sqrt{5 - 2x} = 2$
Область допустимых значений для этого уравнения определяется условием $5 - 2x \ge 0$, то есть $5 \ge 2x$, или $x \le 2.5$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{5 - 2x})^2 = 2^2$
$5 - 2x = 4$
Решим полученное уравнение:
$-2x = 4 - 5$
$-2x = -1$
$x = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$
Проверим, удовлетворяет ли корень $x = \frac{1}{2}$ условию $x \le 2.5$.
$0.5 \le 2.5$. Условие выполняется.
Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

43.19. а) $f(x) = \sqrt{3} \cos \frac{x}{3}, a = \frac{3\pi}{2};$

б) $f(x) = \frac{1}{2} \sin 2x, a = \frac{\pi}{2}?$

а)

Чтобы найти значение функции $f(x) = \sqrt{3} \cos \frac{x}{3}$ в точке $a = \frac{3\pi}{2}$, необходимо подставить значение $a$ в функцию вместо $x$.

$f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \sqrt{3} \cos\left(\frac{\frac{3\pi}{2}}{3}\right)$

Упростим аргумент косинуса:

$\frac{\frac{3\pi}{2}}{3} = \frac{3\pi}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

Теперь подставим упрощенный аргумент обратно в функцию:

$f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \sqrt{3} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)$

Значение косинуса от $\frac{\pi}{2}$ равно 0, поэтому:

$f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \sqrt{3} \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

б)

Чтобы найти значение функции $f(x) = \frac{1}{2} \sin 2x$ в точке $a = -\frac{\pi}{2}$, необходимо подставить значение $a$ в функцию вместо $x$.

$f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2} \sin\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$

Упростим аргумент синуса:

$2 \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\pi$

Теперь подставим упрощенный аргумент обратно в функцию:

$f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2} \sin(-\pi)$

Значение синуса от $-\pi$ равно 0, поэтому:

$f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

43.20. a) $f(x) = \operatorname{tg} x + \sin \frac{x}{3}, a = 3\pi;$

б) $f(x) = \cos x + \operatorname{ctg} \frac{x}{2}, a = \frac{\pi}{3}?$

а)

Задана функция $f(x) = \tg x + \sin\frac{x}{3}$. Чтобы найти основной (наименьший положительный) период функции $f(x)$, которая является суммой двух периодических функций $g(x) = \tg x$ и $h(x) = \sin\frac{x}{3}$, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их основных периодов.

1. Найдем основной период функции $g(x) = \tg x$.
Основной период функции тангенса $\tg(kx)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$. В данном случае $k=1$, поэтому период $T_1$ для $g(x)$ равен: $T_1 = \frac{\pi}{1} = \pi$.

2. Найдем основной период функции $h(x) = \sin\frac{x}{3}$.
Основной период функции синуса $\sin(kx)$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае $k=\frac{1}{3}$, поэтому период $T_2$ для $h(x)$ равен: $T_2 = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$.

3. Найдем основной период $T$ функции $f(x)$.
Период $T$ является наименьшим общим кратным периодов $T_1$ и $T_2$. $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\pi, 6\pi)$. Поскольку $6\pi$ является кратным $\pi$ ($6\pi = 6 \cdot \pi$), то НОК этих двух периодов равно $6\pi$. $T = 6\pi$.

В условии дано значение $a = 3\pi$. Проверим, является ли это число периодом функции. Для этого должно выполняться равенство $f(x+a)=f(x)$ для всех $x$ из области определения функции. $f(x + 3\pi) = \tg(x + 3\pi) + \sin\frac{x + 3\pi}{3} = \tg(x) + \sin(\frac{x}{3} + \pi)$. Используя формулу приведения $\sin(\alpha + \pi) = -\sin\alpha$, получаем: $f(x + 3\pi) = \tg(x) - \sin\frac{x}{3}$. Так как $f(x+3\pi) \neq f(x)$, число $a=3\pi$ не является периодом функции.

Ответ: наименьший положительный период функции равен $6\pi$.

б)

Задана функция $f(x) = \cos x + \ctg\frac{x}{2}$. Это сумма двух периодических функций: $g(x) = \cos x$ и $h(x) = \ctg\frac{x}{2}$. Найдем их основные периоды, чтобы определить основной период функции $f(x)$.

1. Найдем основной период функции $g(x) = \cos x$.
Основной период функции косинуса $\cos(kx)$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае $k=1$, поэтому период $T_1$ для $g(x)$ равен: $T_1 = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$.

2. Найдем основной период функции $h(x) = \ctg\frac{x}{2}$.
Основной период функции котангенса $\ctg(kx)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$. В данном случае $k=\frac{1}{2}$, поэтому период $T_2$ для $h(x)$ равен: $T_2 = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$.

3. Найдем основной период $T$ функции $f(x)$.
Период $T$ является наименьшим общим кратным периодов $T_1$ и $T_2$. $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(2\pi, 2\pi) = 2\pi$.

Вопрос "$a = \pi/3$?" можно интерпретировать как проверку, является ли число $a = \frac{\pi}{3}$ периодом данной функции. Проверим, выполняется ли равенство $f(x+a)=f(x)$ для всех $x$ из области определения. $f(x + \frac{\pi}{3}) = \cos(x + \frac{\pi}{3}) + \ctg\left(\frac{x + \pi/3}{2}\right) = \cos(x + \frac{\pi}{3}) + \ctg(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})$. Данное выражение не равно исходной функции $f(x) = \cos x + \ctg\frac{x}{2}$. Чтобы это показать, достаточно привести один контрпример. Возьмем значение $x = \frac{\pi}{2}$ (которое входит в область определения функции). $f(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) + \ctg(\frac{\pi/2}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) + \ctg(\frac{\pi}{4}) = 0 + 1 = 1$. Теперь вычислим $f(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}) = f(\frac{5\pi}{6})$: $f(\frac{5\pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{6}) + \ctg(\frac{5\pi/6}{2}) = \cos(\frac{5\pi}{6}) + \ctg(\frac{5\pi}{12}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + (2-\sqrt{3}) = 2 - \frac{3\sqrt{3}}{2}$. Так как $1 \neq 2 - \frac{3\sqrt{3}}{2}$, то $f(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}) \neq f(\frac{\pi}{2})$. Следовательно, число $a=\frac{\pi}{3}$ не является периодом функции.

Ответ: наименьший положительный период функции равен $2\pi$.

43.21. a) $f(x) = |2x - x^2|$, $a = 1;$

б) $f(x) = |x^2 - 3x - 4|$, $a = -2;$

в) $f(x) = |x^2 + 4x|$, $a = -3;$

г) $f(x) = |x^2 - 3x - 4|$, $a = -1?$

а) $f(x) = |2x - x^2|$, $a = 1$

Чтобы найти производную функции $f(x)$ в точке $a=1$, сначала определим, как раскрывается модуль в окрестности этой точки. Для этого рассмотрим знак выражения под модулем: $g(x) = 2x - x^2$.

Найдем нули функции $g(x)$: $2x - x^2 = 0 \Rightarrow x(2-x) = 0$, откуда $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

Это парабола с ветвями, направленными вниз. Следовательно, $g(x) \ge 0$ при $x \in [0, 2]$ и $g(x) < 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)$.

Точка $a=1$ принадлежит интервалу $(0, 2)$, на котором $2x - x^2 > 0$. Значит, в окрестности точки $x=1$ модуль раскрывается со знаком плюс: $f(x) = 2x - x^2$.

Теперь найдем производную этой функции:

$f'(x) = (2x - x^2)' = 2 - 2x$.

Вычислим значение производной в точке $a=1$:

$f'(1) = 2 - 2(1) = 0$.

Ответ: $0$.

б) $f(x) = |x^2 - 3x - 4|$, $a = -2$

Рассмотрим выражение под модулем: $g(x) = x^2 - 3x - 4$. Найдем его нули, решив квадратное уравнение $x^2 - 3x - 4 = 0$.

По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 4$.

Это парабола с ветвями, направленными вверх. Значит, $g(x) \ge 0$ при $x \in (-\infty, -1] \cup [4, \infty)$ и $g(x) < 0$ при $x \in (-1, 4)$.

Точка $a=-2$ принадлежит интервалу $(-\infty, -1)$, на котором $x^2 - 3x - 4 > 0$. Следовательно, в окрестности точки $x=-2$ модуль раскрывается со знаком плюс: $f(x) = x^2 - 3x - 4$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^2 - 3x - 4)' = 2x - 3$.

Вычислим значение производной в точке $a=-2$:

$f'(-2) = 2(-2) - 3 = -4 - 3 = -7$.

Ответ: $-7$.

в) $f(x) = |x^2 + 4x|$, $a = -3$

Рассмотрим выражение под модулем: $g(x) = x^2 + 4x$. Найдем его нули: $x^2 + 4x = 0 \Rightarrow x(x+4) = 0$, откуда $x_1 = 0$, $x_2 = -4$.

Это парабола с ветвями, направленными вверх. Значит, $g(x) \ge 0$ при $x \in (-\infty, -4] \cup [0, \infty)$ и $g(x) < 0$ при $x \in (-4, 0)$.

Точка $a=-3$ принадлежит интервалу $(-4, 0)$, на котором $x^2 + 4x < 0$. Следовательно, в окрестности точки $x=-3$ модуль раскрывается со знаком минус: $f(x) = -(x^2 + 4x) = -x^2 - 4x$.

Найдем производную этой функции:

$f'(x) = (-x^2 - 4x)' = -2x - 4$.

Вычислим значение производной в точке $a=-3$:

$f'(-3) = -2(-3) - 4 = 6 - 4 = 2$.

Ответ: $2$.

г) $f(x) = |x^2 - 3x - 4|$, $a = -1$

Рассмотрим выражение под модулем $g(x) = x^2 - 3x - 4$ в точке $a=-1$.

$g(-1) = (-1)^2 - 3(-1) - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$.

Поскольку выражение под модулем обращается в ноль в точке $a=-1$, функция $f(x)$ может не иметь производной в этой точке (может быть "излом" графика). Для проверки существования производной необходимо найти левостороннюю и правостороннюю производные в этой точке.

1. Левосторонняя производная ($x \to -1^-$). При $x < -1$ (как мы выяснили в пункте б), выражение $x^2 - 3x - 4 > 0$. Значит, $f(x) = x^2 - 3x - 4$.

Производная для $x < -1$ равна $f'(x) = 2x - 3$.

Левосторонняя производная в точке $a=-1$ равна:

$f'_-(-1) = \lim_{x \to -1^-} (2x - 3) = 2(-1) - 3 = -5$.

2. Правосторонняя производная ($x \to -1^+$). При $x > -1$ и $x<4$, выражение $x^2 - 3x - 4 < 0$. Значит, $f(x) = -(x^2 - 3x - 4) = -x^2 + 3x + 4$.

Производная для $x \in (-1, 4)$ равна $f'(x) = -2x + 3$.

Правосторонняя производная в точке $a=-1$ равна:

$f'_+(-1) = \lim_{x \to -1^+} (-2x + 3) = -2(-1) + 3 = 2 + 3 = 5$.

Поскольку левосторонняя производная $f'_-(-1) = -5$ не равна правосторонней производной $f'_+(-1) = 5$, производная функции $f(x)$ в точке $a=-1$ не существует.

Ответ: производная не существует.

Составьте уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$:

43.22. а) $f(x) = x^2, a = 3;$

б) $f(x) = 2 - x - x^3, a = 0;$

в) $f(x) = x^3, a = 1;$

г) $f(x) = x^2 - 3x + 5, a = -1.$

Для составления уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$ используется общая формула:
$y = f(a) + f'(a)(x - a)$
где $f(a)$ — значение функции в точке касания, а $f'(a)$ — значение производной в этой же точке, которое равно угловому коэффициенту касательной.

Для функции $f(x) = x^2$ и точки $a = 3$.
1. Найдем значение функции в точке касания:
$f(a) = f(3) = 3^2 = 9$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^2)' = 2x$.
3. Найдем значение производной в точке касания:
$f'(a) = f'(3) = 2 \cdot 3 = 6$.
4. Подставим найденные значения $f(a)=9$, $f'(a)=6$ и $a=3$ в уравнение касательной:
$y = 9 + 6(x - 3)$
$y = 9 + 6x - 18$
$y = 6x - 9$
Ответ: $y = 6x - 9$

Для функции $f(x) = 2 - x - x^3$ и точки $a = 0$.
1. Найдем значение функции в точке касания:
$f(a) = f(0) = 2 - 0 - 0^3 = 2$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (2 - x - x^3)' = -1 - 3x^2$.
3. Найдем значение производной в точке касания:
$f'(a) = f'(0) = -1 - 3 \cdot 0^2 = -1$.
4. Подставим найденные значения $f(a)=2$, $f'(a)=-1$ и $a=0$ в уравнение касательной:
$y = 2 + (-1)(x - 0)$
$y = 2 - x$
Ответ: $y = -x + 2$

Для функции $f(x) = x^3$ и точки $a = 1$.
1. Найдем значение функции в точке касания:
$f(a) = f(1) = 1^3 = 1$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3)' = 3x^2$.
3. Найдем значение производной в точке касания:
$f'(a) = f'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3$.
4. Подставим найденные значения $f(a)=1$, $f'(a)=3$ и $a=1$ в уравнение касательной:
$y = 1 + 3(x - 1)$
$y = 1 + 3x - 3$
$y = 3x - 2$
Ответ: $y = 3x - 2$

Для функции $f(x) = x^2 - 3x + 5$ и точки $a = -1$.
1. Найдем значение функции в точке касания:
$f(a) = f(-1) = (-1)^2 - 3(-1) + 5 = 1 + 3 + 5 = 9$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^2 - 3x + 5)' = 2x - 3$.
3. Найдем значение производной в точке касания:
$f'(a) = f'(-1) = 2(-1) - 3 = -2 - 3 = -5$.
4. Подставим найденные значения $f(a)=9$, $f'(a)=-5$ и $a=-1$ в уравнение касательной:
$y = 9 + (-5)(x - (-1))$
$y = 9 - 5(x + 1)$
$y = 9 - 5x - 5$
$y = -5x + 4$
Ответ: $y = -5x + 4$

43.23. a) $f(x) = \frac{3x - 2}{3 - x}, a = 2;$

б) $f(x) = \frac{1}{(x + 2)^3}, a = -3;$

В) $f(x) = \frac{2x - 5}{5 - x}, a = 4;$

Г) $f(x) = \frac{1}{4(2x - 1)^2}, a = 1.$

а)

Дана функция $f(x) = \frac{3x - 2}{3 - x}$ и точка $a = 2$. Задача состоит в том, чтобы найти значение производной функции в данной точке, то есть $f'(a)$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Так как функция представляет собой частное двух выражений, воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае $u(x) = 3x - 2$ и $v(x) = 3 - x$. Их производные равны $u'(x) = 3$ и $v'(x) = -1$.

Подставим эти значения в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{(3x-2)'(3-x) - (3x-2)(3-x)'}{(3-x)^2} = \frac{3(3-x) - (3x-2)(-1)}{(3-x)^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$f'(x) = \frac{9 - 3x - (-3x + 2)}{(3-x)^2} = \frac{9 - 3x + 3x - 2}{(3-x)^2} = \frac{7}{(3-x)^2}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x = a = 2$:

$f'(2) = \frac{7}{(3-2)^2} = \frac{7}{1^2} = 7$

Ответ: 7

б)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{(x + 2)^3}$ и точка $a = -3$.

Для удобства дифференцирования представим функцию в виде степенной: $f(x) = (x + 2)^{-3}$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

Здесь $u = x + 2$, $n = -3$, и производная внутренней функции $u' = (x+2)' = 1$.

Применяем правило:

$f'(x) = -3(x+2)^{-3-1} \cdot (x+2)' = -3(x+2)^{-4} \cdot 1 = -\frac{3}{(x+2)^4}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x = a = -3$:

$f'(-3) = -\frac{3}{(-3+2)^4} = -\frac{3}{(-1)^4} = -\frac{3}{1} = -3$

Ответ: -3

в)

Дана функция $f(x) = \frac{2x - 5}{5 - x}$ и точка $a = 4$.

Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В данном случае $u(x) = 2x - 5$ и $v(x) = 5 - x$. Их производные: $u'(x) = 2$ и $v'(x) = -1$.

Подставляем в формулу:

$f'(x) = \frac{(2x-5)'(5-x) - (2x-5)(5-x)'}{(5-x)^2} = \frac{2(5-x) - (2x-5)(-1)}{(5-x)^2}$

Упростим числитель:

$f'(x) = \frac{10 - 2x - (-2x + 5)}{(5-x)^2} = \frac{10 - 2x + 2x - 5}{(5-x)^2} = \frac{5}{(5-x)^2}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x = a = 4$:

$f'(4) = \frac{5}{(5-4)^2} = \frac{5}{1^2} = 5$

Ответ: 5

г)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{4(2x - 1)^2}$ и точка $a = 1$.

Представим функцию в виде $f(x) = \frac{1}{4}(2x - 1)^{-2}$ для упрощения дифференцирования.

Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции $(c \cdot u^n)' = c \cdot n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

Здесь константа $c = \frac{1}{4}$, основание степени $u = 2x - 1$, показатель степени $n = -2$, и производная основания $u' = (2x-1)' = 2$.

Применяем правило:

$f'(x) = \frac{1}{4} \cdot (-2)(2x-1)^{-2-1} \cdot (2x-1)' = \frac{1}{4} \cdot (-2)(2x-1)^{-3} \cdot 2$

Упростим выражение:

$f'(x) = \frac{-4}{4}(2x-1)^{-3} = -1 \cdot (2x-1)^{-3} = -\frac{1}{(2x-1)^3}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x = a = 1$:

$f'(1) = -\frac{1}{(2 \cdot 1 - 1)^3} = -\frac{1}{(2 - 1)^3} = -\frac{1}{1^3} = -1$

Ответ: -1

43.24. а) $f(x) = 2\sqrt{3x - 5}, a = 2;$

б) $f(x) = \sqrt{7 - 2x}, a = 3.$

а) Чтобы найти значение $x$, при котором $f(x) = a$, необходимо приравнять функцию к заданному значению $a$ и решить получившееся уравнение.
Дано: $f(x) = 2\sqrt{3x - 5}$ и $a = 2$.
Составим уравнение:
$2\sqrt{3x - 5} = 2$
Разделим обе части уравнения на 2:
$\sqrt{3x - 5} = 1$
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:
$(\sqrt{3x - 5})^2 = 1^2$
$3x - 5 = 1$
Перенесем -5 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$3x = 1 + 5$
$3x = 6$
Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 3:
$x = \frac{6}{3}$
$x = 2$
Выполним проверку. Найденное значение $x$ должно принадлежать области определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$3x - 5 \ge 0$
$3x \ge 5$
$x \ge \frac{5}{3}$
Так как $2 > \frac{5}{3}$, корень $x=2$ является допустимым.
Ответ: $x=2$.

б) Аналогично предыдущему пункту, решим уравнение $f(x) = a$.
Дано: $f(x) = \sqrt{7 - 2x}$ и $a = 3$.
Составим уравнение:
$\sqrt{7 - 2x} = 3$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{7 - 2x})^2 = 3^2$
$7 - 2x = 9$
Перенесем 7 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$-2x = 9 - 7$
$-2x = 2$
Найдем $x$, разделив обе части уравнения на -2:
$x = \frac{2}{-2}$
$x = -1$
Выполним проверку. Область определения функции задается условием:
$7 - 2x \ge 0$
$-2x \ge -7$
$x \le \frac{-7}{-2}$
$x \le 3.5$
Так как $-1 \le 3.5$, корень $x=-1$ является допустимым.
Ответ: $x=-1$.

43.25. a) $f(x) = \cos \frac{x}{3}, a = 0;$

Б) $f(x) = \operatorname{ctg} 2x, a = \frac{\pi}{4};$

В) $f(x) = \sin 2x, a = \frac{\pi}{4};$

Г) $f(x) = 2 \operatorname{tg} \frac{x}{3}, a = 0.$

а) Для функции $f(x) = \cos(\frac{x}{3})$ в точке $a = 0$.

Задача состоит в том, чтобы найти значение производной функции $f(x)$ в точке $a$. Это обозначается как $f'(a)$.

1. Находим производную функции $f(x)$.
Функция $f(x) = \cos(\frac{x}{3})$ является сложной функцией. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.
Здесь внешняя функция $g(u) = \cos(u)$, а внутренняя функция $h(x) = \frac{x}{3}$.
Производная внешней функции: $(\cos(u))' = -\sin(u)$.
Производная внутренней функции: $(\frac{x}{3})' = \frac{1}{3}$.
Таким образом, производная $f(x)$ равна:
$f'(x) = -\sin(\frac{x}{3}) \cdot (\frac{x}{3})' = -\sin(\frac{x}{3}) \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{3}\sin(\frac{x}{3})$.

2. Вычисляем значение производной в точке $a = 0$.
Подставим $x = 0$ в выражение для производной:
$f'(0) = -\frac{1}{3}\sin(\frac{0}{3}) = -\frac{1}{3}\sin(0)$.
Так как $\sin(0) = 0$, получаем:
$f'(0) = -\frac{1}{3} \cdot 0 = 0$.

Ответ: $0$

б) Для функции $f(x) = \operatorname{ctg}(2x)$ в точке $a = \frac{\pi}{4}$.

1. Находим производную функции $f(x)$.
Используем цепное правило. Внешняя функция $g(u) = \operatorname{ctg}(u)$, внутренняя $h(x) = 2x$.
Производная внешней функции: $(\operatorname{ctg}(u))' = -\frac{1}{\sin^2(u)}$.
Производная внутренней функции: $(2x)' = 2$.
Производная $f(x)$ равна:
$f'(x) = -\frac{1}{\sin^2(2x)} \cdot (2x)' = -\frac{1}{\sin^2(2x)} \cdot 2 = -\frac{2}{\sin^2(2x)}$.

2. Вычисляем значение производной в точке $a = \frac{\pi}{4}$.
Подставляем $x = \frac{\pi}{4}$:
$f'(\frac{\pi}{4}) = -\frac{2}{\sin^2(2 \cdot \frac{\pi}{4})} = -\frac{2}{\sin^2(\frac{\pi}{2})}$.
Так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:
$f'(\frac{\pi}{4}) = -\frac{2}{1^2} = -2$.

Ответ: $-2$

в) Для функции $f(x) = \sin(2x)$ в точке $a = \frac{\pi}{4}$.

1. Находим производную функции $f(x)$.
Используем цепное правило. Внешняя функция $g(u) = \sin(u)$, внутренняя $h(x) = 2x$.
Производная внешней функции: $(\sin(u))' = \cos(u)$.
Производная внутренней функции: $(2x)' = 2$.
Производная $f(x)$ равна:
$f'(x) = \cos(2x) \cdot (2x)' = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$.

2. Вычисляем значение производной в точке $a = \frac{\pi}{4}$.
Подставляем $x = \frac{\pi}{4}$:
$f'(\frac{\pi}{4}) = 2\cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = 2\cos(\frac{\pi}{2})$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем:
$f'(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot 0 = 0$.

Ответ: $0$

г) Для функции $f(x) = 2\operatorname{tg}(\frac{x}{3})$ в точке $a = 0$.

1. Находим производную функции $f(x)$.
Используем правило дифференцирования произведения на константу и цепное правило. Внешняя функция $g(u) = \operatorname{tg}(u)$, внутренняя $h(x) = \frac{x}{3}$.
Производная внешней функции: $(\operatorname{tg}(u))' = \frac{1}{\cos^2(u)}$.
Производная внутренней функции: $(\frac{x}{3})' = \frac{1}{3}$.
Производная $f(x)$ равна:
$f'(x) = 2 \cdot (\operatorname{tg}(\frac{x}{3}))' = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{3})} \cdot (\frac{x}{3})' = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{3})} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3\cos^2(\frac{x}{3})}$.

2. Вычисляем значение производной в точке $a = 0$.
Подставляем $x = 0$:
$f'(0) = \frac{2}{3\cos^2(\frac{0}{3})} = \frac{2}{3\cos^2(0