Страница 274, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

04.47. Постройте эскиз графика функции $y = f(x)$, $x \in \mathbb{R}$, по графику производной, изображённому на заданном рисунке:

а) рис. 125;

б) рис. 126;

в) рис. 127;

г) рис. 128.

Рис. 125

Рис. 126

Рис. 127

Рис. 128

Для построения эскиза графика функции $f(x)$ по графику ее производной $f'(x)$ будем использовать следующие правила:

• Если на некотором интервале $f'(x) > 0$, то функция $f(x)$ на этом интервале возрастает.
• Если на некотором интервале $f'(x) < 0$, то функция $f(x)$ на этом интервале убывает.
• Если $f'(x) = 0$ в некоторой точке, то это стационарная точка функции $f(x)$ (потенциальный локальный минимум или максимум). Если производная меняет знак в этой точке, то это точка экстремума.
• Если на некотором интервале $f'(x)$ возрастает, то функция $f(x)$ на этом интервале является выпуклой вниз (вогнутой).
• Если на некотором интервале $f'(x)$ убывает, то функция $f(x)$ на этом интервале является выпуклой вверх (выпуклой).
• Точки, в которых $f'(x)$ имеет локальный экстремум, являются точками перегиба для $f(x)$.
• Если график $f'(x)$ имеет разрыв (скачок), то график $f(x)$ в этой точке будет иметь излом (угол).
• Если график $f'(x)$ непрерывен, но имеет излом, то график $f(x)$ будет гладким в этой точке, но в ней будет точка перегиба.

Так как мы строим эскиз, точное положение графика по оси $y$ не определено (оно зависит от константы интегрирования), важна лишь его форма.

а) рис. 125

График производной $f'(x)$ является непрерывной ломаной линией. Это означает, что сама функция $f(x)$ будет гладкой (без изломов), а точки излома на графике $f'(x)$ будут соответствовать точкам перегиба на графике $f(x)$.

1. На интервале $(-\infty, a)$ производная $f'(x)$ постоянна и отрицательна. Следовательно, $f(x)$ — убывающая линейная функция (прямая с отрицательным наклоном).
2. В точке $x=a$ график $f'(x)$ имеет излом, но непрерывен. Это точка перегиба для $f(x)$. Функция $f(x)$ плавно переходит из прямой в кривую.
3. На интервале $(a, b)$ производная $f'(x)$ возрастает и отрицательна (от некоторого отрицательного значения до нуля). Значит, $f(x)$ убывает и является выпуклой вниз (вогнутой). Скорость убывания уменьшается.
4. В точке $x=b$ производная $f'(b)=0$, при этом она меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, $x=b$ — точка локального минимума функции $f(x)$.
5. На интервале $(b, c)$ производная $f'(x)$ возрастает и положительна. Значит, $f(x)$ возрастает и является выпуклой вниз (вогнутой).
6. В точке $x=c$ график $f'(x)$ имеет излом. Это точка перегиба для $f(x)$. Функция плавно переходит из кривой в прямую.
7. На интервале $(c, d)$ производная $f'(x)$ постоянна и положительна. Значит, $f(x)$ — возрастающая линейная функция.
8. В точке $x=d$ график $f'(x)$ имеет излом. Это точка перегиба для $f(x)$. Функция плавно переходит из прямой в кривую.
9. На интервале $(d, \infty)$ производная $f'(x)$ возрастает и положительна. Значит, $f(x)$ возрастает и является выпуклой вниз (вогнутой).

Ответ: Эскиз графика $f(x)$ представляет собой гладкую кривую. Слева от точки $a$ это прямая, убывающая. В точке $a$ — перегиб. На интервале $(a, c)$ это кривая, похожая на параболу ветвями вверх, с точкой минимума в $x=b$. В точке $c$ — перегиб, и кривая переходит в возрастающую прямую. В точке $d$ — снова перегиб, и прямая переходит в возрастающую кривую, выпуклую вниз.

б) рис. 126

График производной $f'(x)$ — непрерывная ломаная линия. Функция $f(x)$ будет гладкой, а точки излома на графике $f'(x)$ (в точках $a, b, c, d$) будут точками перегиба для $f(x)$. Точки пересечения графика $f'(x)$ с осью абсцисс — это точки экстремумов $f(x)$. Обозначим точки пересечения с осью $Ox$ как $x_1, O, x_2$.

1. На интервале $(-\infty, x_1)$ производная $f'(x)>0$, значит $f(x)$ возрастает. На $(-\infty, a)$ $f'(x)$ возрастает ( $f(x)$ выпукла вниз), а на $(a, x_1)$ $f'(x)$ убывает ( $f(x)$ выпукла вверх). В $x=a$ — точка перегиба.
2. В точке $x=x_1$ производная $f'(x_1)=0$ и меняет знак с `+` на `-`. Это точка локального максимума.
3. На интервале $(x_1, O)$ производная $f'(x)<0$, значит $f(x)$ убывает. На $(x_1, b)$ $f'(x)$ убывает ( $f(x)$ выпукла вверх), а на $(b, O)$ $f'(x)$ возрастает ( $f(x)$ выпукла вниз). В $x=b$ — точка перегиба.
4. В точке $x=O$ производная $f'(O)=0$ и меняет знак с `-` на `+`. Это точка локального минимума.
5. На интервале $(O, x_2)$ производная $f'(x)>0$, значит $f(x)$ возрастает. На $(O, c)$ $f'(x)$ возрастает ( $f(x)$ выпукла вниз), а на $(c, x_2)$ $f'(x)$ убывает ( $f(x)$ выпукла вверх). В $x=c$ — точка перегиба.
6. В точке $x=x_2$ производная $f'(x_2)=0$ и меняет знак с `+` на `-`. Это точка локального максимума.
7. На интервале $(x_2, \infty)$ производная $f'(x)<0$, значит $f(x)$ убывает. На $(x_2, d)$ $f'(x)$ убывает ( $f(x)$ выпукла вверх), а на $(d, \infty)$ $f'(x)$ возрастает ( $f(x)$ выпукла вниз). В $x=d$ — точка перегиба.

Ответ: Эскиз графика $f(x)$ — гладкая "волнистая" кривая, имеющая два локальных максимума (в точках $x_1$ и $x_2$) и один локальный минимум (в точке $O$). Кривая меняет свою выпуклость в точках $a, b, c, d$ (точки перегиба).

в) рис. 127

График производной $f'(x)$ имеет разрывы первого рода (скачки) в точках $a, b, c, d$. Это означает, что график функции $f(x)$ в этих точках будет иметь изломы (углы), но останется непрерывным.

1. На интервале $(-\infty, a)$ производная $f'(x)$ постоянна и положительна (равна 2). Значит, $f(x)$ — возрастающая прямая с угловым коэффициентом 2.
2. В точке $x=a$ происходит скачок $f'(x)$ (с 2 до 1). График $f(x)$ имеет излом.
3. На интервале $(a, b)$ производная $f'(x)$ постоянна и положительна (равна 1). Значит, $f(x)$ — возрастающая прямая с меньшим угловым коэффициентом 1.
4. В точке $x=b$ производная $f'(x)$ скачком меняет знак с положительного (+1) на отрицательный (-1). Следовательно, $x=b$ — точка локального максимума, которая является точкой излома (острый пик).
5. На интервале $(b, c)$ производная $f'(x)$ отрицательна и убывает (линейно от -1 до -2). Значит, $f(x)$ убывает и является выпуклой вверх.
6. В точке $x=c$ происходит скачок $f'(x)$ (с -2 до -3). График $f(x)$ имеет излом.
7. На интервале $(c, d)$ производная $f'(x)$ постоянна и отрицательна (равна -3). Значит, $f(x)$ — убывающая прямая с угловым коэффициентом -3.
8. В точке $x=d$ происходит скачок $f'(x)$ (с -3 до -1). График $f(x)$ имеет излом.
9. На интервале $(d, \infty)$ производная $f'(x)$ постоянна и отрицательна (равна -1). Значит, $f(x)$ — убывающая прямая с угловым коэффициентом -1 (убывает медленнее, чем на предыдущем интервале).

Ответ: Эскиз графика $f(x)$ — непрерывная ломаная кривая. До точки $b$ функция возрастает (с изломом в точке $a$, где наклон уменьшается). В точке $b$ — острый пик (локальный максимум). После точки $b$ функция убывает, сначала по кривой, выпуклой вверх, а затем по прямым с разным наклоном (с изломами в точках $c$ и $d$).

г) рис. 128

График производной $f'(x)$ — гладкая кривая. Это означает, что и сама функция $f(x)$ будет гладкой кривой.

1. На интервале $(-\infty, a)$ производная $f'(x)<0$, значит, $f(x)$ убывает.
2. В точке $x=a$ производная $f'(a)=0$ и меняет знак с `-` на `+`. Это точка локального минимума.
3. На интервале $(a, O)$ производная $f'(x)>0$, значит, $f(x)$ возрастает.
4. В точке $x=O$ производная $f'(O)=0$ и меняет знак с `+` на `-`. Это точка локального максимума.
5. На интервале $(O, \infty)$ производная $f'(x)<0$, значит, $f(x)$ убывает.

Теперь проанализируем выпуклость по поведению $f'(x)$. Точки $b$ и $c$ — это точки экстремумов для $f'(x)$, следовательно, они являются точками перегиба для $f(x)$.

1. На интервале $(-\infty, b)$ производная $f'(x)$ возрастает, значит $f(x)$ выпукла вниз.
2. В точке $x=b$ — точка перегиба.
3. На интервале $(b, c)$ производная $f'(x)$ убывает, значит $f(x)$ выпукла вверх.
4. В точке $x=c$ — точка перегиба.
5. На интервале $(c, \infty)$ производная $f'(x)$ возрастает, значит $f(x)$ выпукла вниз.

Ответ: Эскиз графика $f(x)$ — гладкая кривая, напоминающая по форме график кубической параболы $y=-x^3+kx$. Функция убывает до точки $a$, где достигается локальный минимум. Затем возрастает до точки $O$, где достигается локальный максимум. После этого функция снова убывает. Кривая имеет две точки перегиба: в $x=b$ (переход от выпуклости вниз к выпуклости вверх) и в $x=c$ (переход от выпуклости вверх к выпуклости вниз).