Страница 287, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

47.1. Двузначное число составляют из цифр 0, 1, 3, 4, 5, 6, 9 (повторения цифр допустимы).

а) Сколько всего можно составить чисел?

б) Сколько всего можно составить чисел, больших 50?

в) Сколько всего можно составить нечётных чисел?

г) Сколько всего можно составить нечётных чисел, меньших 55?

а) Сколько всего можно составить чисел?

Двузначное число состоит из двух цифр: цифры десятков и цифры единиц. Данный набор цифр: {0, 1, 3, 4, 5, 6, 9}, всего 7 цифр.
На место первой цифры (десятки) можно поставить любую из этих цифр, кроме 0, так как число не может начинаться с нуля. Следовательно, для первой цифры существует 6 вариантов: {1, 3, 4, 5, 6, 9}.
На место второй цифры (единицы) можно поставить любую из 7 данных цифр, так как по условию повторения цифр допустимы.
Общее количество возможных двузначных чисел находится по правилу умножения: количество вариантов для первой цифры умножается на количество вариантов для второй.
$N = 6 \times 7 = 42$
Ответ: 42.

б) Сколько всего можно составить чисел, больших 50?

Чтобы двузначное число было больше 50, его первая цифра (десятки) должна быть 5 или больше. Рассмотрим возможные случаи:
1. Первая цифра равна 5. Число имеет вид 5Y. Чтобы число было больше 50, вторая цифра Y должна быть больше 0. Из доступного набора {0, 1, 3, 4, 5, 6, 9} подходят цифры {1, 3, 4, 5, 6, 9}. Таким образом, есть 6 вариантов.
2. Первая цифра больше 5. Из доступного набора {1, 3, 4, 5, 6, 9} этому условию удовлетворяют цифры 6 и 9. Это 2 варианта для первой цифры. Вторая цифра может быть любой из 7 доступных. Количество таких чисел равно $2 \times 7 = 14$.
Общее количество чисел, больших 50, равно сумме чисел из обоих случаев:
$N = 6 + 14 = 20$
Ответ: 20.

в) Сколько всего можно составить нечётных чисел?

Число является нечётным, если его последняя цифра (цифра единиц) нечётная.
В наборе {0, 1, 3, 4, 5, 6, 9} нечётными являются цифры {1, 3, 5, 9}. Это 4 варианта для второй цифры.
Первая цифра (десятки) может быть любой из 6 доступных цифр, кроме 0: {1, 3, 4, 5, 6, 9}.
Общее количество нечётных двузначных чисел равно произведению количества вариантов для каждой из цифр:
$N = 6 \times 4 = 24$
Ответ: 24.

г) Сколько всего можно составить нечётных чисел, меньших 55?

Требуется найти количество нечётных двузначных чисел, которые меньше 55. Рассмотрим варианты для первой цифры (десятков).
1. Первая цифра меньше 5. Из нашего набора {1, 3, 4, 5, 6, 9} подходят цифры {1, 3, 4}. Это 3 варианта. В этом случае любое составленное число будет меньше 50, а значит, и меньше 55. Вторая цифра должна быть нечётной. В наборе 4 нечётные цифры: {1, 3, 5, 9}. Количество таких чисел: $3 \times 4 = 12$.
2. Первая цифра равна 5. Число имеет вид 5Y. Чтобы число было меньше 55, вторая цифра Y должна быть меньше 5. Так как число должно быть нечётным, Y также должна быть нечётной. Из нечётных цифр {1, 3, 5, 9} условию "меньше 5" удовлетворяют {1, 3}. Это 2 варианта.
3. Первая цифра больше 5 (т.е. 6 или 9). Любое такое число будет больше или равно 60, что не удовлетворяет условию "меньше 55".
Суммируем количество подходящих чисел из всех случаев:
$N = 12 + 2 = 14$
Ответ: 14.

47.2. Двузначное число составляют из цифр 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7 (повторения цифр допустимы).

а) Сколько всего можно составить чисел?

б) Сколько всего можно составить чисел, отличающихся от 40 менее чем на 10?

в) Сколько всего можно составить чётных чисел?

г) Сколько можно составить чисел, отличающихся от 50 более чем на 20?

а) Сколько всего можно составить чисел?

Для составления двузначного числа используются цифры из набора {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7}. Всего в наборе 7 цифр. Двузначное число состоит из двух позиций: десятки и единицы. На позицию десятков можно поставить любую цифру из данного набора, кроме 0 (иначе число не будет двузначным). Следовательно, для первой цифры есть 6 возможных вариантов: {1, 2, 4, 5, 6, 7}. На позицию единиц можно поставить любую из 7 данных цифр, так как по условию повторения цифр допустимы. Для нахождения общего количества возможных чисел используется комбинаторное правило умножения: количество вариантов для первой цифры умножается на количество вариантов для второй. $N_{всего} = 6 \times 7 = 42$.

Ответ: 42

б) Сколько всего можно составить чисел, отличающихся от 40 менее чем на 10?

Условие "число отличается от 40 менее чем на 10" математически записывается как неравенство $|N - 40| < 10$, где $N$ - искомое число. Это двойное неравенство: $-10 < N - 40 < 10$. Прибавив 40 ко всем частям, получим диапазон для $N$: $30 < N < 50$. Нам нужно найти все двузначные числа, которые можно составить из данных цифр, попадающие в этот интервал. Первая цифра (десятки) такого числа должна быть 3 или 4. В нашем наборе цифр {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7} цифры 3 нет, поэтому первая цифра может быть только 4. Итак, первая цифра - это 4 (1 вариант). Вторая цифра (единицы) может быть любой из 7 доступных цифр: {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7}. Таким образом, мы можем составить следующие числа: 40, 41, 42, 44, 45, 46, 47. Все эти 7 чисел удовлетворяют условию $30 < N < 50$.

Ответ: 7

в) Сколько всего можно составить чётных чисел?

Число является чётным, если его последняя цифра (цифра единиц) является чётной. В нашем наборе цифр {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7} чётными являются {0, 2, 4, 6}. Таким образом, для цифры единиц есть 4 варианта. На место десятков, как и в пункте а), можно поставить любую цифру, кроме 0. Таких вариантов 6: {1, 2, 4, 5, 6, 7}. По правилу умножения, общее количество возможных чётных двузначных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции: $N_{чётные} = 6 \times 4 = 24$.

Ответ: 24

г) Сколько можно составить чисел, отличающихся от 50 более чем на 20?

Условие "число отличается от 50 более чем на 20" записывается как неравенство $|N - 50| > 20$. Это неравенство распадается на два случая: 1) $N - 50 > 20$, что даёт $N > 70$. 2) $N - 50 < -20$, что даёт $N < 30$. Нам нужно посчитать количество чисел, удовлетворяющих любому из этих двух условий.
Случай 1: $N < 30$
Первая цифра (десятки) должна быть меньше 3. Из доступных для первой цифры вариантов {1, 2, 4, 5, 6, 7} подходят 1 и 2. То есть, 2 варианта. Вторая цифра (единицы) может быть любой из 7 доступных цифр. Количество таких чисел: $2 \times 7 = 14$.
Случай 2: $N > 70$
Первая цифра (десятки) должна быть 7 или больше. Из доступных вариантов {1, 2, 4, 5, 6, 7} подходит только 7. То есть, 1 вариант. Число имеет вид 7Y. Чтобы оно было строго больше 70 ($N > 70$), вторая цифра Y должна быть больше 0. Из нашего набора {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7} для Y подходят {1, 2, 4, 5, 6, 7}. Таких вариантов 6. Количество таких чисел: $1 \times 6 = 6$.
Общее количество искомых чисел равно сумме чисел из обоих случаев, так как они не пересекаются: $N_{общ} = 14 + 6 = 20$.

Ответ: 20

47.3. a) Сколько имеется трёхзначных чисел, составленных только из чётных цифр?

б) Сколько имеется трёхзначных чисел, которые не меняются при перемене местами первой и последней цифр?

в) Сколько имеется трёхзначных чисел, кратных 5?

г) Сколько имеется трёхзначных чисел, которые при перемене местами первой и второй цифр меняются менее чем на 90?

а) Трёхзначное число состоит из трёх цифр. Чётными цифрами являются 0, 2, 4, 6, 8 (всего 5 цифр). Пусть трёхзначное число имеет вид $xyz$. На место первой цифры ($x$) можно поставить любую чётную цифру, кроме 0 (иначе число не будет трёхзначным). Таким образом, для первой цифры есть 4 варианта: 2, 4, 6, 8. На место второй цифры ($y$) можно поставить любую из 5 чётных цифр: 0, 2, 4, 6, 8. На место третьей цифры ($z$) также можно поставить любую из 5 чётных цифр. По правилу произведения, общее количество таких чисел равно произведению количества вариантов для каждой цифры: $N = 4 \times 5 \times 5 = 100$.
Ответ: 100

б) Пусть трёхзначное число имеет вид $abc$. Условие, что число не меняется при перемене местами первой и последней цифр, означает, что число $abc$ равно числу $cba$. Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда первая цифра равна последней, то есть $a = c$. Первая цифра $a$ не может быть нулём, поэтому для неё существует 9 вариантов (от 1 до 9). Вторая цифра $b$ может быть любой, от 0 до 9, что даёт 10 вариантов. Третья цифра $c$ однозначно определяется выбором первой цифры ($c = a$), поэтому для неё есть только 1 вариант. Общее количество таких чисел равно: $N = 9 \times 10 \times 1 = 90$.
Ответ: 90

в) Трёхзначное число кратно 5, если его последняя цифра равна 0 или 5. Пусть трёхзначное число имеет вид $abc$. Для первой цифры $a$ есть 9 вариантов (любая цифра от 1 до 9). Для второй цифры $b$ есть 10 вариантов (любая цифра от 0 до 9). Для третьей цифры $c$ есть 2 варианта (0 или 5). Общее количество таких трёхзначных чисел равно: $N = 9 \times 10 \times 2 = 180$.
Ответ: 180

г) Пусть исходное трёхзначное число $N_1$ представлено в виде $100a + 10b + c$, где $a$ — цифра от 1 до 9, а $b$ и $c$ — цифры от 0 до 9. После перестановки первой и второй цифр получаем число $N_2 = 100b + 10a + c$. По условию, изменение числа должно быть меньше 90. Это означает, что модуль разности между $N_1$ и $N_2$ должен быть меньше 90: $|N_1 - N_2| < 90$. Вычислим эту разность: $| (100a + 10b + c) - (100b + 10a + c) | = | 90a - 90b | = 90 \cdot |a - b|$. Подставим это в неравенство: $90 \cdot |a - b| < 90$. Разделив обе части на 90, получим: $|a - b| < 1$. Поскольку $a$ и $b$ являются целыми числами (цифрами), их разность $a - b$ также является целым числом. Единственное целое число, модуль которого меньше 1, это 0. Следовательно, $|a - b| = 0$, что означает $a = b$. Таким образом, мы ищем трёхзначные числа, у которых первая и вторая цифры равны. Для первой цифры $a$ есть 9 вариантов (от 1 до 9). Вторая цифра $b$ должна быть равна первой ($b=a$), поэтому для неё есть только 1 вариант. Третья цифра $c$ может быть любой (от 0 до 9), что даёт 10 вариантов. Общее количество таких чисел: $N = 9 \times 1 \times 10 = 90$.
Ответ: 90

47.4. На кусок белого, чёрного или ржаного хлеба можно положить сыр, колбасу или масло. Бутерброд можно запить чаем, кофе, молоком или кефиром, а после этого или погулять, или пойти в гости, или остаться дома.

а) Найдите общее число вариантов начала выходного дня.

б) В скольких случаях будет выпит молочный напиток?

в) Каков будет ответ в пункте а), если в доме привыкли масло мазать только на белый хлеб?

г) Каков будет ответ в пункте а), если хлеб надо сначала купить в одном из трёх ближайших магазинов?

Для решения задачи используется комбинаторное правило умножения, согласно которому, если объект $A_1$ можно выбрать $n_1$ способами, после каждого такого выбора объект $A_2$ можно выбрать $n_2$ способами, ..., и после каждого выбора объектов $A_1, ..., A_{k-1}$ объект $A_k$ можно выбрать $n_k$ способами, то последовательность объектов $(A_1, A_2, ..., A_k)$ можно выбрать $N = n_1 \cdot n_2 \cdot ... \cdot n_k$ способами.

а) Найдите общее число вариантов начала выходного дня.

В данном случае у нас есть четыре независимых выбора:

• Выбор хлеба: белый, чёрный или ржаной (3 варианта).
• Выбор начинки: сыр, колбаса или масло (3 варианта).
• Выбор напитка: чай, кофе, молоко или кефир (4 варианта).
• Выбор занятия: погулять, пойти в гости или остаться дома (3 варианта).

Чтобы найти общее число вариантов, нужно перемножить количество вариантов для каждого выбора:

$N_{общ} = 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3 = 108$

Ответ: 108

б) В скольких случаях будет выпит молочный напиток?

Сначала определим, какие напитки являются молочными. Из списка (чай, кофе, молоко, кефир) молочными являются молоко и кефир. Таким образом, у нас есть 2 варианта выбора молочного напитка.

Количество вариантов для остальных выборов остается прежним:

• Выбор хлеба: 3 варианта.
• Выбор начинки: 3 варианта.
• Выбор молочного напитка: 2 варианта.
• Выбор занятия: 3 варианта.

Перемножим количество этих вариантов:

$N_{мол} = 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 = 54$

Ответ: 54

в) Каков будет ответ в пункте а), если в доме привыкли масло мазать только на белый хлеб?

Это условие изменяет количество возможных комбинаций бутербродов, так как выбор начинки теперь зависит от выбора хлеба. Рассчитаем количество вариантов бутербродов:

• Если выбран белый хлеб, на него можно положить любую из 3 начинок (сыр, колбаса, масло).
• Если выбран чёрный хлеб, на него можно положить 2 начинки (сыр, колбаса).
• Если выбран ржаной хлеб, на него также можно положить 2 начинки (сыр, колбаса).

Общее количество вариантов бутербродов: $3 + 2 + 2 = 7$ вариантов.

Теперь умножим это количество на число вариантов для остальных выборов (напиток и занятие):

$N_{общ.в} = 7 \cdot 4 \cdot 3 = 84$

Ответ: 84

г) Каков будет ответ в пункте а), если хлеб надо сначала купить в одном из трёх ближайших магазинов?

К исходной последовательности выборов из пункта а) добавляется ещё один независимый выбор — выбор магазина. Есть 3 варианта выбора магазина.

Таким образом, общее количество вариантов будет произведением количества вариантов выбора магазина и результата, полученного в пункте а):

$N_{общ.г} = (\text{выбор магазина}) \cdot (\text{варианты из пункта а})$

$N_{общ.г} = 3 \cdot 108 = 324$

Или можно перемножить все варианты заново:

$N_{общ.г} = (\text{магазин}) \cdot (\text{хлеб}) \cdot (\text{начинка}) \cdot (\text{напиток}) \cdot (\text{занятие}) = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3 = 324$

Ответ: 324