Страница 337, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Что называют пределом числовой последовательности?

1.

Предел числовой последовательности — это одно из фундаментальных понятий математического анализа. Интуитивно, предел последовательности — это число, к которому члены последовательности неограниченно приближаются с ростом их номера.

Существует строгое формальное определение предела, известное как определение Коши или определение на языке "эпсилон-дельта" (в данном случае "эпсилон-N").

Определение: Число $A$ называется пределом числовой последовательности $\{x_n\}$, если для любого сколь угодно малого положительного числа $\varepsilon$ (эпсилон) найдётся такое натуральное число $N$ (зависящее от $\varepsilon$), что для всех членов последовательности с номерами $n$, большими чем $N$, выполняется неравенство: $|x_n - A| < \varepsilon$.

Записывается это так: $\lim_{n \to \infty} x_n = A$ или $x_n \to A$ при $n \to \infty$.

Разберем определение подробнее:

• Для любого $\varepsilon > 0$: Это означает, что мы можем выбрать абсолютно любое, сколь угодно маленькое положительное число. Это число $\varepsilon$ задает "коридор точности" или окрестность вокруг предела $A$.
• Найдётся такое натуральное число $N$: Это означает, что мы можем указать конкретный номер в последовательности.
• Для всех $n > N$ выполняется $|x_n - A| < \varepsilon$: Это ключевая часть. Она говорит, что все члены последовательности, начиная с номера $N+1$ и до бесконечности, будут находиться от числа $A$ на расстоянии, меньшем чем $\varepsilon$.

Геометрическая интерпретация: Неравенство $|x_n - A| < \varepsilon$ равносильно двойному неравенству $A - \varepsilon < x_n < A + \varepsilon$. Это означает, что член последовательности $x_n$ лежит в интервале $(A - \varepsilon, A + \varepsilon)$, который называется $\varepsilon$-окрестностью точки $A$.

Таким образом, определение предела означает, что какую бы узкую $\varepsilon$-окрестность точки $A$ мы ни взяли, всегда можно найти такой номер $N$, что все последующие члены последовательности окажутся внутри этой окрестности. Вне этой окрестности может находиться лишь конечное число членов последовательности (с номерами от 1 до $N$).

На языке кванторов определение записывается так: $A = \lim_{n \to \infty} x_n \iff \forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall n > N : |x_n - A| < \varepsilon$.

Ответ: Число $A$ называют пределом числовой последовательности $\{x_n\}$, если для любого положительного числа $\varepsilon > 0$ существует такое натуральное число $N$, что для всех номеров $n > N$ выполняется неравенство $|x_n - A| < \varepsilon$.

2. В каком случае говорят, что числовая последовательность сходится, а в каком — расходится?

Случай, когда последовательность сходится

Говорят, что числовая последовательность $\{x_n\}$ сходится, если существует такое конечное число $A$, к которому члены последовательности неограниченно приближаются с ростом их номера $n$. Это число $A$ называется пределом последовательности.

Более строго (на языке «эпсилон-дельта»): число $A$ является пределом последовательности $\{x_n\}$, если для любого сколь угодно малого положительного числа $\varepsilon > 0$ найдется такой номер $N$, что для всех членов последовательности с номерами $n > N$ выполняется неравенство $|x_n - A| < \varepsilon$.

Это означает, что, какую бы малую окрестность точки $A$ мы ни взяли, все члены последовательности, начиная с некоторого номера, попадут в эту окрестность и останутся в ней. Наличие конечного предела записывают так: $\lim_{n \to \infty} x_n = A$.

Пример: Последовательность $x_n = \frac{1}{n}$ (ее члены: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots$) сходится к нулю, так как ее члены становятся все ближе и ближе к 0. $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$. Число 0 — это конечный предел.

Ответ: Говорят, что числовая последовательность сходится, если она имеет конечный предел.

Случай, когда последовательность расходится

Говорят, что числовая последовательность расходится, если она не сходится. Это означает, что последовательность не имеет конечного предела. Существует несколько вариантов расходимости:

1. Последовательность стремится к бесконечности. Члены последовательности неограниченно возрастают (стремятся к $+\infty$) или неограниченно убывают (стремятся к $-\infty$). Хотя в этом случае иногда говорят, что предел существует и равен бесконечности, такая последовательность все равно считается расходящейся, так как ее предел не является конечным числом.

   Пример: Последовательность $x_n = n^2$ ($1, 4, 9, 16, \ldots$) расходится, так как $\lim_{n \to \infty} n^2 = +\infty$.

2. Последовательность не имеет предела. Члены последовательности не стремятся ни к какому конкретному значению (ни к конечному, ни к бесконечному). Они могут, например, колебаться.

   Пример: Последовательность $x_n = (-1)^n$ (ее члены: $-1, 1, -1, 1, \ldots$) расходится. Ее члены "прыгают" между двумя значениями и не приближаются ни к какой одной точке. У этой последовательности нет предела.

Ответ: Говорят, что числовая последовательность расходится, если она не имеет конечного предела (т.е. либо предел равен бесконечности, либо предела не существует).