Страница 338, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

3. При каких значениях $q$ предел последовательности $y_n = q^n$:

а) равен 0;

б) равен 1;

в) не существует?

Рассмотрим поведение последовательности $y_n = q^n$ при $n \to \infty$ в зависимости от значения $q$. Это классический пример сходимости геометрической прогрессии.

а) равен 0

Предел последовательности $y_n = q^n$ равен нулю, когда основание $q$ по модулю строго меньше единицы. Запишем это условие: $\lim_{n \to \infty} q^n = 0$.

Это выполняется при $|q| < 1$, что эквивалентно двойному неравенству $-1 < q < 1$.

• Если $q = 0$, то $y_n = 0^n = 0$ (при $n \ge 1$), и предел очевидно равен 0.
• Если $0 < q < 1$, то $q^n$ является убывающей последовательностью положительных чисел, стремящейся к 0. Например, $(\frac{1}{2})^n \to 0$.
• Если $-1 < q < 0$, то последовательность $q^n$ является знакочередующейся. Однако ее модуль, $|q^n| = |q|^n$, стремится к нулю, так как $0 < |q| < 1$. Если $\lim_{n \to \infty} |y_n| = 0$, то и $\lim_{n \to \infty} y_n = 0$.

Таким образом, предел последовательности равен 0 при $|q| < 1$.
Ответ: при $q \in (-1, 1)$.

б) равен 1

Рассмотрим, при каком значении $q$ предел последовательности $y_n = q^n$ равен единице: $\lim_{n \to \infty} q^n = 1$.

Это возможно только в одном случае: когда $q=1$.

Если $q=1$, то последовательность является постоянной: $y_n = 1^n = 1$ для любого натурального $n$. Предел постоянной последовательности равен самой этой постоянной.
$\lim_{n \to \infty} 1^n = \lim_{n \to \infty} 1 = 1$.

Во всех остальных случаях (рассмотренных в пунктах а и в) предел либо равен 0, либо не существует.
Ответ: при $q = 1$.

в) не существует?

Предел последовательности $y_n = q^n$ не существует, если она не стремится к конечному числу. Это происходит в следующих случаях:

• $q > 1$: Последовательность $q^n$ монотонно возрастает и не ограничена сверху. Она стремится к бесконечности: $\lim_{n \to \infty} q^n = +\infty$. Так как предел не является конечным числом, говорят, что он не существует.
• $q = -1$: Последовательность $y_n = (-1)^n$ принимает значения $-1, 1, -1, 1, \dots$. Она является колеблющейся (осциллирующей) и не стремится к какому-либо одному значению. Следовательно, предел не существует.
• $q < -1$: Последовательность $y_n = q^n$ также является колеблющейся, но ее члены неограниченно возрастают по модулю. Например, при $q = -2$ последовательность имеет вид $-2, 4, -8, 16, \dots$. Она не стремится ни к конечному, ни к бесконечному пределу. Предел не существует.

Объединяя эти случаи, получаем, что предел не существует при $q \le -1$ или $q > 1$.
Ответ: при $q \in (-\infty, -1] \cup (1, \infty)$.

4. Даны утверждения A и B.

A. Числовая последовательность сходится.

B. Числовая последовательность является ограниченной.

Какое из соотношений является верным:

а) $A \Rightarrow B$;

б) $B \Rightarrow A$;

в) $A \Leftrightarrow B$?

Для решения данной задачи необходимо проанализировать логическую связь между двумя утверждениями из математического анализа.

Утверждение A: Числовая последовательность сходится.

Утверждение B: Числовая последовательность является ограниченной.

Проверим каждое из предложенных соотношений.

а) A ? B

Это соотношение означает "Если последовательность сходится, то она ограничена". Данное утверждение является фундаментальной теоремой в теории последовательностей. Докажем его.

Пусть последовательность $\{x_n\}$ сходится к пределу $L$. По определению предела последовательности, для любого положительного числа $\epsilon$ существует такой натуральный номер $N$, что для всех номеров $n > N$ выполняется неравенство $|x_n - L| < \epsilon$.

Выберем конкретное значение $\epsilon$, например $\epsilon = 1$. Тогда найдется номер $N$, такой что для всех $n > N$ будет верно $|x_n - L| < 1$.

Из свойства модуля $|a| - |b| \le |a - b|$ следует, что $|x_n| - |L| \le |x_n - L|$. Поэтому для $n > N$ мы имеем $|x_n| - |L| < 1$, или $|x_n| < |L| + 1$.

Это неравенство дает нам оценку для всех членов последовательности, начиная с $(N+1)$-го. Первые же $N$ членов ($x_1, x_2, \dots, x_N$) образуют конечное множество, которое всегда ограничено.

Чтобы найти общую границу для всех членов последовательности, выберем число $M$ как максимум из модулей первых $N$ членов и величины $|L| + 1$: $M = \max\{|x_1|, |x_2|, \dots, |x_N|, |L| + 1\}$.

Тогда для любого натурального $n$ будет справедливо неравенство $|x_n| \le M$. Это по определению означает, что последовательность $\{x_n\}$ ограничена.

Таким образом, импликация A ? B верна.

Ответ: Соотношение A ? B является верным.

б) B ? A

Это соотношение означает "Если последовательность ограничена, то она сходится". Это утверждение неверно. Чтобы это показать, достаточно привести контрпример.

Рассмотрим последовательность $x_n = (-1)^n$. Ее члены: -1, 1, -1, 1, ...

Эта последовательность ограничена, так как для любого $n$ выполняется $|x_n| = |(-1)^n| = 1$, то есть все члены последовательности лежат в отрезке [-1, 1].

Однако эта последовательность не сходится. У нее есть две подпоследовательности: одна, состоящая из нечетных членов, сходится к -1, а вторая, из четных членов, сходится к 1. Поскольку не все подпоследовательности сходятся к одному и тому же пределу, сама последовательность расходится.

Мы привели пример ограниченной, но расходящейся последовательности, следовательно, импликация B ? A неверна.

Ответ: Соотношение B ? A является неверным.

в) A ? B

Эквивалентность A ? B (читается как "A тогда и только тогда, когда B") верна, если верны обе импликации: A ? B и B ? A.

Как показано в пункте а), импликация A ? B верна.

Как показано в пункте б), импликация B ? A неверна.

Поскольку одна из импликаций ложна, эквивалентность в целом также является ложной.

Ответ: Соотношение A ? B является неверным.

Итог: Единственным верным соотношением из предложенных является а) A ? B.

a), $A \cup B$, b), $A \setminus B$, c) $A \cap B$.

5. Приведите пример ограниченной последовательности, не являющейся сходящейся.

Чтобы привести пример такой последовательности, необходимо понять, что такое ограниченная и сходящаяся последовательности.

Ограниченная последовательность — это числовая последовательность, все члены которой принадлежат некоторому конечному отрезку. Формально, последовательность $\{x_n\}$ называется ограниченной, если существуют такие числа $m$ и $M$, что для любого натурального номера $n$ выполняется неравенство $m \le x_n \le M$. Эквивалентное определение: существует число $C > 0$ такое, что для всех $n$ выполняется $|x_n| \le C$.

Сходящаяся последовательность — это последовательность, которая имеет конечный предел. То есть, по мере неограниченного роста номера $n$, члены последовательности приближаются к одному конкретному числу.

6. Приведите, если это возможно, пример сходящейся последовательности, которая не является ограниченной.

Привести пример сходящейся последовательности, которая не является ограниченной, невозможно. Это следует из фундаментальной теоремы математического анализа, которая гласит, что любая сходящаяся последовательность является ограниченной. Докажем это утверждение.

Доказательство. Пусть последовательность $\{x_n\}$ сходится к некоторому пределу $L$. По определению сходимости последовательности, это означает, что для любого положительного числа $\epsilon > 0$ найдется такой натуральный номер $N$, что для всех номеров $n > N$ будет выполняться неравенство:

Выберем конкретное значение для $\epsilon$, например, $\epsilon = 1$. Тогда существует такой номер $N$, что для всех $n > N$ выполняется:

Используя свойство модуля (неравенство треугольника $|a+b| \le |a| + |b|$), мы можем оценить $|x_n|$:

Поскольку для $n > N$ мы имеем $|x_n - L| < 1$, то для этих же $n$ справедливо:

Это означает, что все члены последовательности, начиная с $(N+1)$-го, ограничены по модулю числом $1 + |L|$.

Теперь рассмотрим первые $N$ членов последовательности: $x_1, x_2, \dots, x_N$. Это конечное множество чисел, и любое конечное множество действительных чисел является ограниченным. Обозначим $M_0$ как максимальное значение модуля среди этих членов:

Теперь мы можем найти число, которое ограничивает все члены последовательности. Возьмем в качестве такого числа $M$ максимум из двух найденных нами границ:

Тогда для любого натурального $n$ будет выполняться неравенство $|x_n| \le M$. Действительно, если $1 \le n \le N$, то $|x_n| \le M_0 \le M$. Если же $n > N$, то $|x_n| < 1 + |L| \le M$. Таким образом, мы показали, что существует такое число $M > 0$, что для всех $n \in \mathbb{N}$ выполняется $|x_n| \le M$.

Это по определению означает, что последовательность $\{x_n\}$ является ограниченной. Следовательно, любая сходящаяся последовательность всегда ограничена, и привести пример сходящейся, но неограниченной последовательности невозможно.

Ответ: Привести такой пример невозможно, так как любая сходящаяся последовательность является ограниченной.

7. Приведите пример какой-нибудь сходящейся последовательности и укажите любую её нижнюю и верхнюю границы.

Сходящаяся последовательность — это числовая последовательность, которая имеет конечный предел. Это означает, что по мере увеличения номера $n$ члены последовательности $a_n$ неограниченно приближаются к некоторому числу $L$, которое и называется пределом последовательности ($\lim_{n \to \infty} a_n = L$).

Пример сходящейся последовательности

Рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена:

$a_n = \frac{1}{n}$, где $n \in \mathbb{N}$ (множество натуральных чисел).

Первые несколько членов этой последовательности выглядят так:

$a_1 = 1, \quad a_2 = \frac{1}{2}, \quad a_3 = \frac{1}{3}, \quad a_4 = \frac{1}{4}, \quad \ldots$

Эта последовательность является сходящейся, поскольку её предел существует и конечен. Найдём его:

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$.

Так как предел равен 0, последовательность сходится к нулю.

Нижняя и верхняя границы

Теперь укажем любую нижнюю и верхнюю границы для этой последовательности.

Верхняя граница — это любое число $M$, которое не меньше любого члена последовательности, то есть $a_n \le M$ для всех $n \in \mathbb{N}$. Последовательность $a_n = \frac{1}{n}$ является монотонно убывающей, так как с ростом $n$ знаменатель дроби увеличивается, а сама дробь уменьшается. Следовательно, её наибольшее значение — это первый член $a_1 = 1$. Таким образом, все члены последовательности не превосходят 1. В качестве верхней границы можно взять число 1. (Также верхней границей будет любое число, большее 1).

Нижняя граница — это любое число $m$, которое не больше любого члена последовательности, то есть $a_n \ge m$ для всех $n \in \mathbb{N}$. Все члены последовательности $a_n = \frac{1}{n}$ положительны, так как $n$ — натуральное число. С ростом $n$ они становятся всё ближе к нулю, но никогда не достигают его и не становятся отрицательными. Это означает, что $a_n > 0$ для всех $n$. Следовательно, в качестве нижней границы можно взять число 0. (Также нижней границей будет любое число, меньшее 0).

Ответ:
Пример сходящейся последовательности: $a_n = \frac{1}{n}$.
Её верхняя граница: 1.
Её нижняя граница: 0.

8. Сформулируйте теорему Вейерштрасса.

Имя Карла Вейерштрасса носит несколько фундаментальных теорем математического анализа. Как правило, в курсе математического анализа под «теоремой Вейерштрасса» понимают одну из следующих теорем о свойствах непрерывных функций, заданных на замкнутом промежутке (отрезке).

Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности непрерывной функции)

Эта теорема утверждает, что если функция непрерывна на замкнутом отрезке, то она обязательно будет ограниченной на этом отрезке. То есть её значения не могут уходить в бесконечность.

Формулировка:

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то она ограничена на этом отрезке, то есть существует такое число $M > 0$, что для любого $x \in [a, b]$ выполняется неравенство $|f(x)| \le M$.

Ответ: Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке.

Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении экстремумов)

Эта теорема является усилением первой и утверждает, что непрерывная на отрезке функция не просто ограничена, но и достигает своих точных границ — максимального и минимального значений.

Формулировка:

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то она достигает на нём своего наибольшего и наименьшего значений. То есть существуют точки $c_1, c_2 \in [a, b]$ такие, что $f(c_1) = \max_{x \in [a, b]} f(x)$ и $f(c_2) = \min_{x \in [a, b]} f(x)$.

Ответ: Функция, непрерывная на отрезке, достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений.

В более общем виде эти две теоремы формулируются для непрерывных функций, определенных на компактах, и являются фундаментальными свойствами таких функций.

Помимо этих двух, существуют и другие важные теоремы, носящие имя Вейерштрасса, которые часто встречаются в разных разделах анализа.

Теорема Больцано — Вейерштрасса (о предельной точке)

Эта теорема является ключевой в анализе и топологии и касается свойств ограниченных последовательностей.

Формулировка:

Из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. В более общей формулировке: любое бесконечное ограниченное подмножество евклидова пространства $\mathbb{R}^n$ имеет хотя бы одну предельную точку.

Ответ: Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Признак Вейерштрасса (о равномерной сходимости функциональных рядов)

Это мощный инструмент для доказательства равномерной сходимости рядов, состоящих из функций.

Формулировка:

Пусть дан функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$, определенный на множестве $X$. Если существует сходящийся числовой ряд с положительными членами $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ такой, что для всех $n$, начиная с некоторого, и для всех $x \in X$ выполняется неравенство $|u_n(x)| \le a_n$, то функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ сходится на множестве $X$ равномерно (и абсолютно).

Ответ: Если члены функционального ряда $\sum u_n(x)$ на множестве $X$ можно по модулю ограничить соответствующими членами сходящегося положительного числового ряда $\sum a_n$ (мажорантного ряда), то функциональный ряд сходится на $X$ равномерно.

9. Сформулируйте теорему об арифметических операциях над пределами числовых последовательностей.

Теорема об арифметических операциях над пределами сходящихся последовательностей устанавливает правила для нахождения пределов суммы, разности, произведения и частного двух последовательностей, имеющих конечные пределы.

Формулировка теоремы:
Пусть даны две числовые последовательности $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$, которые сходятся к конечным пределам:
$ \lim_{n \to \infty} x_n = A $
$ \lim_{n \to \infty} y_n = B $
где $ A $ и $ B $ — действительные числа ($A, B \in \mathbb{R}$).

Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Предел суммы и разности

Последовательность $\{x_n \pm y_n\}$ также сходится, и ее предел равен сумме (разности) пределов исходных последовательностей:
$ \lim_{n \to \infty} (x_n \pm y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n \pm \lim_{n \to \infty} y_n = A \pm B $

2. Предел произведения

Последовательность $\{x_n \cdot y_n\}$ также сходится, и ее предел равен произведению пределов исходных последовательностей:
$ \lim_{n \to \infty} (x_n \cdot y_n) = (\lim_{n \to \infty} x_n) \cdot (\lim_{n \to \infty} y_n) = A \cdot B $

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела. Если $c \in \mathbb{R}$ — константа, то:
$ \lim_{n \to \infty} (c \cdot x_n) = c \cdot \lim_{n \to \infty} x_n = c \cdot A $

3. Предел частного

Если предел последовательности-знаменателя не равен нулю ($B \neq 0$), то последовательность частного $\{\frac{x_n}{y_n}\}$ также сходится, и ее предел равен частному пределов исходных последовательностей:
$ \lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{\lim_{n \to \infty} x_n}{\lim_{n \to \infty} y_n} = \frac{A}{B} $
Условие $B \neq 0$ гарантирует, что начиная с некоторого номера $N$, все члены $y_n$ не равны нулю ($y_n \neq 0$ для всех $n \ge N$), поэтому деление на $y_n$ для $n \ge N$ корректно.

Ответ:
Теорема об арифметических операциях над пределами числовых последовательностей утверждает, что если последовательности $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$ сходятся к конечным пределам $A$ и $B$ соответственно, то:
1) Предел их суммы (разности) равен сумме (разности) их пределов: $ \lim_{n \to \infty} (x_n \pm y_n) = A \pm B $.
2) Предел их произведения равен произведению их пределов: $ \lim_{n \to \infty} (x_n \cdot y_n) = A \cdot B $.
3) Предел их частного равен частному их пределов: $ \lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{A}{B} $, при условии, что предел знаменателя не равен нулю ($B \neq 0$).

10. Какую числовую последовательность называют геометрической прогрессией?

Геометрической прогрессией называется такая числовая последовательность, обозначаемая $(b_n)$, все члены которой отличны от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же постоянное число.

Это постоянное для данной последовательности число называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается буквой $q$. По определению, первый член прогрессии $b_1 \neq 0$ и знаменатель $q \neq 0$.

Таким образом, для любого натурального числа $n$ выполняется рекуррентное соотношение:
$b_{n+1} = b_n \cdot q$

Из этого соотношения следует, что знаменатель прогрессии можно найти как отношение любого её члена (начиная со второго) к предыдущему:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$

Пример: Последовательность $2, -4, 8, -16, 32, ...$ является геометрической прогрессией. Её первый член $b_1 = 2$, а знаменатель $q = \frac{-4}{2} = -2$.

Для нахождения произвольного n-го члена геометрической прогрессии, зная её первый член и знаменатель, используют формулу n-го члена:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Ответ: Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, члены которой не равны нулю, и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же постоянное число (знаменатель прогрессии).

11. Дана геометрическая прогрессия $b_1, b_2, b_3, ..., b_n, ...$. Запишите формулу для вычисления $S_n$, где $S_n = b_1 + b_2 + b_3 + ... + b_n$.

Сумма $S_n$ первых $n$ членов геометрической прогрессии $b_1, b_2, b_3, \dots$ определяется как $S_n = b_1 + b_2 + b_3 + \dots + b_n$. Для вывода общей формулы необходимо знать первый член прогрессии $b_1$ и её знаменатель $q$.

Каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, может быть выражен через первый член и знаменатель по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Тогда сумму можно записать в следующем виде: $S_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-1}$.

Чтобы получить формулу для $S_n$, умножим это равенство на $q$: $S_n \cdot q = b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 + \dots + b_1q^n$.

Теперь вычтем из второго равенства первое: $S_n \cdot q - S_n = (b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^n) - (b_1 + b_1q + \dots + b_1q^{n-1})$.

После сокращения большинства членов в правой части, получим: $S_n(q - 1) = b_1q^n - b_1$, или $S_n(q - 1) = b_1(q^n - 1)$.

Дальнейшее решение зависит от значения знаменателя $q$.

1. Если знаменатель прогрессии $q \neq 1$

В этом случае можно разделить обе части последнего равенства на $(q-1)$, чтобы выразить $S_n$: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Эту формулу также можно представить в эквивалентном виде, который бывает удобен при вычислениях, если $|q| < 1$: $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.

2. Если знаменатель прогрессии $q = 1$

В этом случае деление на $(q-1)$ невозможно, так как это будет деление на ноль. Если $q=1$, то все члены прогрессии равны первому члену: $b_1 = b_2 = \dots = b_n$. Сумма $S_n$ в этом случае равна сумме $n$ одинаковых слагаемых $b_1$: $S_n = \underbrace{b_1 + b_1 + \dots + b_1}_{n \text{ слагаемых}} = n \cdot b_1$.

Ответ: Формула для вычисления суммы $S_n$ первых $n$ членов геометрической прогрессии зависит от ее знаменателя $q$.

Если $q \neq 1$, то сумма вычисляется по формуле: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Если $q = 1$, то сумма вычисляется по формуле: $S_n = n \cdot b_1$.

12. Что называют суммой бесконечной геометрической прогрессии? В каких случаях эта сумма существует, а в каких — нет? Если сумма существует, то по какой формуле её можно вычислить?

Что называют суммой бесконечной геометрической прогрессии?

Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию $(b_n)$, которая представляет собой последовательность чисел $b_1, b_2, b_3, \dots$, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число $q$, называемое знаменателем прогрессии ($b_{n+1} = b_n \cdot q$).

Сумма первых $n$ членов такой прогрессии, называемая частичной суммой $S_n$, вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ (при $q \neq 1$).

Суммой бесконечной геометрической прогрессии называется предел (конечное число), к которому стремится последовательность её частичных сумм $S_n$ при неограниченном увеличении числа членов $n$ (т.е. при $n \to \infty$). Если такой предел существует, его обозначают буквой $S$. Математически это записывается как $S = \lim_{n \to \infty} S_n$.

Ответ: Суммой бесконечной геометрической прогрессии называется предел последовательности её частичных сумм при стремлении числа членов к бесконечности.

В каких случаях эта сумма существует, а в каких — нет?

Существование конечной суммы у бесконечной геометрической прогрессии полностью зависит от значения её знаменателя $q$.

Сумма существует только в том случае, когда модуль знаменателя строго меньше единицы: $|q| < 1$. Такие прогрессии называются бесконечно убывающими. В этом случае, чем больше членов мы суммируем, тем ближе их сумма подходит к некоторому конечному числу.

Сумма не существует (в этом случае говорят, что ряд расходится), если модуль знаменателя больше или равен единице: $|q| \ge 1$. При $q \ge 1$ (и $b_1 \neq 0$) сумма неограниченно растет и стремится к бесконечности. При $q \le -1$ последовательность частичных сумм не стремится к какому-либо одному числу, а либо колеблется (как при $q=-1$), либо неограниченно возрастает по модулю, меняя знак.

Ответ: Сумма существует, если модуль знаменателя прогрессии $|q| < 1$. Сумма не существует, если $|q| \ge 1$.

Если сумма существует, то по какой формуле её можно вычислить?

Если сумма существует, то есть выполняется условие $|q| < 1$, для её вычисления используется специальная формула. Она получается из формулы для частичной суммы $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ путём нахождения её предела при $n \to \infty$. Так как при $|q| < 1$ величина $q^n$ стремится к нулю ($\lim_{n \to \infty} q^n = 0$), мы получаем:

$S = \lim_{n \to \infty} \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} = \frac{b_1(1-0)}{1-q} = \frac{b_1}{1-q}$

Формула для вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$S = \frac{b_1}{1-q}$

Здесь $b_1$ — это первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Ответ: Если сумма существует (т.е. при $|q|<1$), она вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.