Страница 310, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Какое из двух утверждений верно, если $a > 1$, $f(x) > 0$, $g(x) > 0$:

a) неравенство $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ равносильно неравенству $f(x) < g(x)$;

б) неравенство $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ равносильно неравенству $f(x) > g(x)$?

Для ответа на этот вопрос необходимо проанализировать свойства логарифмической функции $y = \log_a(x)$. Поведение этой функции зависит от ее основания $a$.

По условию задачи дано, что основание логарифма $a > 1$. При таком условии логарифмическая функция $y = \log_a(x)$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения (условия $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$ гарантируют, что аргументы логарифмов положительны).

Свойство монотонно возрастающей функции заключается в том, что для любых двух значений аргумента $U$ и $V$ из области определения, неравенство $\log_a(U) > \log_a(V)$ выполняется тогда и только тогда, когда $U > V$. Другими словами, при переходе от логарифмов к их аргументам (потенцировании) знак неравенства сохраняется.

Применим это правило к исходному неравенству $\log_a(f(x)) > \log_a(g(x))$. Поскольку $a > 1$, это неравенство равносильно (эквивалентно) неравенству $f(x) > g(x)$.

Теперь проанализируем предложенные утверждения.

а) неравенство $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ равносильно неравенству $f(x) < g(x)$

Это утверждение неверно. Как было показано выше, для $a > 1$ знак неравенства при потенцировании сохраняется. Равносильность с неравенством $f(x) < g(x)$ (то есть смена знака неравенства) имела бы место, если бы основание логарифма было в интервале $0 < a < 1$, так как в этом случае логарифмическая функция является убывающей.
Ответ: утверждение а) неверно.

б) неравенство $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ равносильно неравенству $f(x) > g(x)$

Это утверждение верно. Оно в точности соответствует свойству возрастающей логарифмической функции при основании $a > 1$, согласно которому большему значению функции соответствует большее значение аргумента, и знак неравенства сохраняется.
Ответ: утверждение б) верно.

Следовательно, из двух предложенных утверждений верным является утверждение б).