Страница 313, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Запишите формулу перехода к новому основанию логарифма. Покажите, как её применить, если $log_3 5$ нужно выразить через логарифмы по основанию 2.

Запишите формулу перехода к новому основанию логарифма.

Формула перехода от логарифма числа $b$ по основанию $a$ к новому основанию $c$ имеет следующий вид:
$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$
где $a, b, c$ — положительные числа, причём основания логарифмов $a \neq 1$ и $c \neq 1$.

Ответ: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

Покажите, как её применить, если $\log_3 5$ нужно выразить через логарифмы по основанию 2.

Чтобы выразить логарифм $\log_3 5$ через логарифмы по основанию 2, мы используем указанную выше формулу. В данном случае:
Исходное основание $a = 3$.
Число под логарифмом $b = 5$.
Новое основание $c = 2$.
Подставляем эти значения в формулу перехода к новому основанию:
$\log_3 5 = \frac{\log_2 5}{\log_2 3}$
Таким образом, искомое выражение получено.

Ответ: $\log_3 5 = \frac{\log_2 5}{\log_2 3}$

2. Какие из приведённых ниже соотношений верны, а какие — нет:

а) $\frac{\log_2 7}{\log_2 5} = \log_2 (5 - 2)$;

б) $\frac{\log_2 7}{\log_2 5} = \log_5 7$;

в) $\frac{\log_2 7}{\log_2 5} = \log_7 5$;

г) $\frac{\log_2 7}{\log_2 5} = \log_2 \frac{7}{5}$?

Для определения верности предложенных соотношений, мы проанализируем каждое из них, используя основные свойства логарифмов.

Проверим верность соотношения $\frac{\log_2 7}{\log_2 5} = \log_2(5-2)$.

Сначала упростим правую часть равенства:
$\log_2(5-2) = \log_2 3$.

Теперь преобразуем левую часть, используя формулу перехода к новому основанию логарифма: $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$.
Применив эту формулу, получим:
$\frac{\log_2 7}{\log_2 5} = \log_5 7$.

Теперь необходимо сравнить полученные выражения: является ли верным равенство $\log_5 7 = \log_2 3$?

Оценим значения логарифмов:
Так как $5^1 = 5$ и $5^2 = 25$, то $1 < \log_5 7 < 2$.
Так как $2^1 = 2$ и $2^2 = 4$, то $1 < \log_2 3 < 2$.

Для более точной проверки можно перейти к одному основанию, например, натуральному логарифму:
$\log_5 7 = \frac{\ln 7}{\ln 5}$ и $\log_2 3 = \frac{\ln 3}{\ln 2}$.
Равенство $\frac{\ln 7}{\ln 5} = \frac{\ln 3}{\ln 2}$ эквивалентно $\ln 7 \cdot \ln 2 = \ln 3 \cdot \ln 5$.
Приблизительные значения: $\ln 2 \approx 0.693$, $\ln 3 \approx 1.099$, $\ln 5 \approx 1.609$, $\ln 7 \approx 1.946$.
$1.946 \cdot 0.693 \approx 1.349$
$1.099 \cdot 1.609 \approx 1.768$
Поскольку $1.349 \neq 1.768$, равенство неверно.

Ответ: неверно.

Проверим верность соотношения $\frac{\log_2 7}{\log_2 5} = \log_5 7$.

Это соотношение является прямым применением формулы перехода к новому основанию логарифма: $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$.

В данном случае, если мы положим $a=7$, $b=5$ и в качестве нового основания $c=2$, то формула примет вид:
$\log_5 7 = \frac{\log_2 7}{\log_2 5}$.

Следовательно, данное равенство является тождеством.

Ответ: верно.

Проверим верность соотношения $\frac{\log_2 7}{\log_2 5} = \log_7 5$.

Как мы установили в пункте б), левая часть равенства $\frac{\log_2 7}{\log_2 5}$ равна $\log_5 7$.

Таким образом, исходное соотношение можно переписать в виде $\log_5 7 = \log_7 5$.

Используем свойство логарифма: $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$.
Применив его, получим $\log_7 5 = \frac{1}{\log_5 7}$.

Тогда наше равенство принимает вид:
$\log_5 7 = \frac{1}{\log_5 7}$.

Это равенство было бы верным, если $(\log_5 7)^2 = 1$, что означает $\log_5 7 = 1$ или $\log_5 7 = -1$.
- Если $\log_5 7 = 1$, то по определению логарифма $5^1 = 7$, что ложно.
- Если $\log_5 7 = -1$, то $5^{-1} = \frac{1}{5} = 7$, что также ложно.

Следовательно, исходное соотношение неверно.

Ответ: неверно.

Проверим верность соотношения $\frac{\log_2 7}{\log_2 5} = \log_2 \frac{7}{5}$.

Рассмотрим правую часть равенства. По свойству логарифма частного $\log_b \frac{x}{y} = \log_b x - \log_b y$:
$\log_2 \frac{7}{5} = \log_2 7 - \log_2 5$.

Левая часть, как мы знаем из пункта б), равна $\log_5 7$.

Таким образом, проверяемое равенство эквивалентно:
$\log_5 7 = \log_2 7 - \log_2 5$.

Это не является стандартным логарифмическим тождеством. Такое равенство является следствием путаницы между формулой частного логарифмов (формула перехода к новому основанию) и логарифмом частного.

Оценим значения обеих частей:
$\log_5 7 \approx 1.209$
$\log_2 7 - \log_2 5 \approx 2.807 - 2.322 = 0.485$
Поскольку $1.209 \neq 0.485$, равенство неверно.

Ответ: неверно.